高中數(shù)學(xué)競賽中不等式的解法

摘要：本文給出了競賽數(shù)學(xué)中常用的排序不等式，平均值不等式，柯西不等式和切比雪夫不等式的證明過程，并

切比雪夫不等式.本文就將探討這幾個不等式的證明和它們的一些應(yīng)用.1．排序不等式n

n

...

,

b

b

... b

n

n

(倒序積和)b

n

(倒序積和)

n

n

...

b

rn

n

n

b

b

rn

n

n

r

r

b

b

...

b

n

時成立.r

r

n

時成立.

b

b

,...,b

...

n

b

b

... b

順序積和.）

rn

rn

b

b

...

b

r

r

r

rn

r

r

r

r

r

b

b

...

b

的意義：當(dāng)

n

時，S

達到最大值n

b

b

... n

n

n

(

)

.因此，首先證明

b

rn

n

n

b

rn rn

b

b

b

rn rn

rn

rnrn

b

b

(

b

b

)

(b

b

)(

rn

rnrn

rn

bn

b

rn

nn

n

b

b

...

bn

n

n

n

b

rn

b

b

...

rn

b

b

...

bn

n

r

r

再證不等式左端,

/

...

,b

b

n

n

n

...

b

r

r

r

r

rn

n

n

...

b

)

(b

b

...

b

)n

rn

r

rn

r

r

n

n

...

b

b

b

...

bn

bb

b

思路分析：考慮兩邊取常用對數(shù)，再利用排序不等式證明.證明：不妨設(shè)

b

bbb

bbbb

bb bb bbbb

bb

b

b

bb

例2

b

b

b

b

b

思路分析：中間式子每項都是兩個式子之和，將它們拆開，再用排序不等式證明. 證明：不妨設(shè)

b

b

b

b

b b b

b

b b b

/

b

b b

b

b

b b

b b

b

b b

b b 綜上所述，原不等式得證.

j

j

,...,

j

...

b

j

j

,...,

j n n

i

i

,...,i

的兩個排列.

br

n

n

ir

jr

n

n

b

（1-2）思路分析：已知條件中有兩組有序?qū)崝?shù)，而式（1-2）具有“積和”形式，考慮使用排序不等式.證明：令

證明：令

d

r

（r=

n

b

j d

d

...

d

nn

b

b

n

... r

r

r

n

br

d

...

n

d

d

ir

d

n

n

n

n

br

n

/

br

r

br

r

d

ir

i

j

jr

ir

n

n

n

n

b

n

d

d

r r

原式得證.

,

,...,

n

稱為均值不等式.

...

n

,

,...,

...

n()

...

...

()

n

的調(diào)和平均數(shù)，幾何平均數(shù)，算術(shù)平均數(shù)，均方根平均數(shù).

...

...

b

i

i

b

b

...b

n bb

...b

nn

...

nn

b

n

b

,

b

,...,bn

n

,

b

n

.nn

b

b

... b

n

...

n

n

n

n

/

...

...

(

)

(

)

...(

) n n (

)

(

)

...(

)

... (

...

n

...

...

)

...

n時，不等式取等號.

, ,...,

n

...

...

...

（等號成立的條件是顯然的）.

證明：由于

(這時

)時取得

b

b

/

證明：令

證明：令

,

b

,

,

,

任意兩個之和是一個正數(shù)，所以它們中間至多有一個負數(shù).

（2-1）

（2-1）式成立.

（2-1）式得證.

,

,...,

...

n

n

...

n

...

...

n

n

n

n

n

i

i

ni

n

i

i

數(shù)形式，嘗試用調(diào)和平均.證明：不等式左邊化為 n ni iiii

i

,

,...,

n

n

ni

i

i

nnini

/

i

i

i

i

(

i

i

i

i

i

i

i

3．柯西不等式

b

b

.b

b

i

n

n

ni

i

i

i

ii

i

i

b

b

...

bnn

等式成立.

b

b

b

n

n

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C

b

i

i

i

i

i

i

i

,

,

,

n

C

b

b

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n

ni

i

i

i

i

ii

i

,

,

,

b

,

b

,

,

b

,

,

b

b

b

b

.

,

bi

b

b

b

i i

i

i i

i i

ii i

,

b

b

b

b

b

b

b

b

/

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

n n

b

b

b

b

b

b

b

,

b

b

,

,

b

b

b

b

b

b

n

n

,

,

,

;

b

,

b

,

,

b

n

bb

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

/

命題1

與b

b

b

i i

i

i

i

i

ii

i

i

i

n

n

b

b

b

b

,

bi

i i

i

i i

i i

b

b

b

i i

i

b

b

i i

i ii i i

i i ii i i i ii i命題2

與

與b

n

b

b

,b

i i

i

ni

ii

i

N

i

ii

i

,g

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g

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bg

,

g

,b

與g

、

、g

,, ,b

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,

g

g

i

i ii

,

bg

g

i

i

i

i

,

b

g

n n

與b

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ii

i

g

g

,

i

i

i

g

g

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

b

g

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bg

/

b

p

b

p

p

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qq

i i

i i

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i

,n),

p

q

p

q

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i

i

i

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i .b

q

,n;

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p q p q

,

P

P

q

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P

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.q

q

p

q

p

p

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qb

n

i i

p

,

bn

i

i

q

,

代入以上不等式并對于

,n

，把這

個不等式相

b

q

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q

p q

b

q

p q

p

qq

p

b

i

i

i

b

p

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i

i

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i

ib

b

qp

b

i

i i

b

q

bi

i ii

p

q

pi

i

p

i

i

q

,例7

,

,...,

...

ii

...

思路分析：注意到式子中的倒數(shù)關(guān)系，考慮運用柯西不等式來證明.

,

,...,

n

...

...

n

n

n

n

.

.

...

.

n

.

n

n

n

...

n

...

...

/

,

b,,d

，e

bd

b

d

的取值范圍.思路分析：由

解：因為

b

d

e

聯(lián)想到應(yīng)用柯西不等式.

b

d

)

b

d

)

(bd)

,

)

)

e

ee e

e

ee

e

評述：此題十分巧妙地應(yīng)用柯西不等式求最值，十分典型，它是將重要不等式應(yīng)用于求最值問題的一道重要題目.例9

,

,

解：容易猜到

解：容易猜到

..

i

i

i

i

ii

i

i

i

i

i

( )(

)

i ii i

（3-1）

( )(

)

/

( )(

)

( )(

)

評述：柯西不等式中的

b

b

i

i

i

i

i

i

)

b

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i們的需要加以分解，柯西不等式的應(yīng)用更為廣泛.

,

,...,

(

滿足什么條件是，存在實數(shù)

,

,...,

n

n

使得

...

...

(i

)的范圍.i解：將

...

, n

n

n

使（3-2）成立，則

使（3-2）成立，則

n

n

n

n

（3-3）

，由（3-2）可知

n n

n

n

/

n

反之若（3-4）成立，有兩種情況：

n

，k=0,1,2,…,n，顯然（3-2）成立.

,...,

n n n

n

易知（3-2）成立.n 4．切比雪夫不等式

,

.定理

,

,...,

n

,

,...,

n

為任意兩組實數(shù)，若

...

n

...

n

...

n

...

n

n n n

i

i

i

i

n

n

n

（4-1）

...

n

...

n

...

n

...

n

n n n

i

i

i

i

n

n

n

...

n

...

n

證明：

,

,...,

,

,

,...,

n

n

...