函數(shù)、方程與不等式教學設計

教學基本信息課題函數(shù)與方程、不等式是否屬于地方課程或校本課程否學科數(shù)學學段：初中年級九年級相關領域初三復習課教材書名：出版社：出版日期： 年月指導思想與理論依據(jù)建構主義學習理論認為：學習是一個積極主動的建構過程。學生不是被動地接受外在信息，而是根據(jù)原有知識背景、個人活動經驗自主建構自己對數(shù)學知識的理解的過程，突出學習者的主體作用，數(shù)學學習過程是一個富有個性、體現(xiàn)多樣化學習需求的過程，同時又是與他人交流和反思后生成對數(shù)學的理解的過程。學生在主動建構知識的過程中不斷地修正，調整自己的認識，以達到對事物的理解。課程標準指出：“數(shù)學知識的教學，應注重學生對所學知識的理解，體會數(shù)學知識間的關系?！薄敖處煈沂局R的數(shù)學實質及體現(xiàn)的數(shù)學思想，幫助學生理清相關知識之間的區(qū)別和聯(lián)系等”“數(shù)學知識的教學，要注重知識的“生長點”與“延伸點”……，體會對某些數(shù)學知識可以從不同的角度加以分析，從不同的層次進行理解”。本節(jié)課是節(jié)初三復習課，關于復習課我的思考：復習課不是知識簡單的重復，而是知識邏輯體系整理的機會，復習的主要任務及目標是完成各部分知識的條理、歸納、糅合，使各部分知識成為一個有機的整體。出于以上思考設計了本節(jié)課，通過問題解決搭結構，探究函數(shù)、方程與不等式之間的聯(lián)系，在問題解決中，引導學生換個角度思考，體會知識間的聯(lián)系，并通過轉化解決問題。最終體會函數(shù)、方程與不等式三者實際上本質相同，即在不同背景下對同一事情的不同表達。教學背景分析教學內容：函數(shù)與方程、不等式在初中數(shù)學教學中有重要地位，初中代數(shù)內容“方程”、“函數(shù)”是核心。同時函數(shù)又是代數(shù)的“紐帶”，代數(shù)式、方程、不等式等都與函數(shù)知識有直接的聯(lián)系。中考考試說明對于函數(shù)一章的C級要求是“能解決函數(shù)與其他知識結合的有關試題，。函數(shù)與方程、不等式的綜合題，歷年來是中考熱點之一，主要采用以函數(shù)為主線將函數(shù)圖象、性質和方程及不等式的相關知識進行綜合運用，滲透數(shù)形結合和轉化的思想方法。函數(shù)、方程、不等式的結合，是函數(shù)某一變量值一定或在某一范圍下的方程或不等式，體現(xiàn)了一般到特殊的觀念。也體現(xiàn)了函數(shù)圖像與方程、不等式的內在聯(lián)系。如：代數(shù)式2a2+3a+1，可以看成是函數(shù)y=2x2+3x+1在x=a時的值；方程ax2+bx+c=0的根可以看成是函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交點的橫坐標；不等式ax2+bx+c<0的解，可以看作在x軸下方的函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象上的點的橫坐標。理解這三者之間的聯(lián)系，會為學生解決問題提供優(yōu)化的解題方法和策略。學生情況：該班學生的學習能力較強，有良好的學習習慣，樂于思考，喜歡探索。課堂參與意識濃厚，喜歡和同伴分享、交流想法，樂于嘗試多種方法解決問題，思維靈活。從知識和技能層面來看，學生對函數(shù)、方程與不等式的基本經驗是：已具備從函數(shù)角度去看方程、不等式的基本經驗，但是體會不深刻，對于具體題目，不會主動構造函數(shù)，并利用函數(shù)解決問題；另外從方程、不等式角度看函數(shù)認識不深。鑒于以上設計本節(jié)課，根據(jù)本班學生的學習特點，充分發(fā)揮學生學習的主動性和積極性，采用問題探究情境梳理三者的聯(lián)系，探究三者的本質，在例題中深化對三者本質的認識，以及轉化應用，完成對知識的系統(tǒng)梳理。教學方式：啟發(fā)式教學，問題情境教學教學手段與技術準備：學習用具：一副尺規(guī)和學案等。教學用具：投影儀、課件、三角板等。教學目標（內容框架）教學目標：.知識與技能：通過對問題的探究，逐步理解函數(shù)、方程與不等式間的本質聯(lián)系。學會用三者的聯(lián)系轉化解決問題。.過程與方法：在問題解決中，經歷思考、觀察、發(fā)現(xiàn)、總結提升等探究過程，并逐步形成通過相互轉化獲取解題策略。.情感、態(tài)度與價值觀：在問題解決中，感受數(shù)學問題的挑戰(zhàn)性，并體驗問題解決后的成就感。教學重點與難點：教學重點：運用函數(shù)、方程與不等式的聯(lián)系解決問題。教學難點：在具體問題情境中三者如何轉化幫助解決問題。教學過程（文字描述）環(huán)節(jié)一：問題情境中探究函數(shù)、方程與不等式的聯(lián)系，理解三者本質聯(lián)系；環(huán)節(jié)二：在具體情境中體會怎樣轉化幫助獲取解題策略，進而深化對三者聯(lián)系的認識;環(huán)節(jié)三：課堂檢測反饋學生對所學掌握情況。教學過程（表格描述）教學階段教師活動學生活動設置意圖時間安排創(chuàng)設情境引入：今天這節(jié)課我們一起復習函數(shù)、方程與不等式。這三者之間有什么聯(lián)系？知道它們的聯(lián)系對我們解題有什么幫助？提出問題：學習方程和不等式時我們重點學習和研究的是它們的什么？它們與函數(shù)之間又有什么聯(lián)系？板書：方程（解）函數(shù)（圖象）不等式（解集）思考回答：方程重點學習的是解方程，不等式重點學習的是解不等式。開門見山引入課題，使學生明確探究目標。2分鐘溫故知新【問題1】解方程％2—%—2=0。學生口答：x=2,x=—1.溫故引新【問題2】用圖象求方程》2-%—2=0的近似解。提出問題：誰有圖象？怎樣從方程中構造函數(shù)？思考作答：構造方法一：令y=%2—%—2,y=0創(chuàng)設問題情境，探究函數(shù)與方程間

新課講解還可以怎樣構造？進一步探究：從數(shù)上看，方程的解轉化為找函數(shù)的什么？從形上看，圖象上哪些點的函數(shù)值相等，此時方程的解是誰？板書：解方程還可以通過找圖象交點的橫坐標來求解。橫向探究：觀察函數(shù)y1=x2-x—2和y2=0圖象的交點，我們知道當x取交點的橫坐標時，函數(shù)值相等。想~*相：：：：當x取別的值時，對應兩函數(shù)圖象上的點什么特點？觀察x取何值時，拋物線上的點在x軸上方？x取何值時，拋物線上的點在x軸下方？這反映了什么？板書：我們還可以利用函數(shù)的圖象解對應的不等式。怎樣利」用圖象解不等式呢？此時不等式的解集中的邊界值2,-1，在對應方程中是誰？在函數(shù)圖象上又是誰？（黑板上用紅筆畫虛線x一2，x一1表示邊界）觀察函數(shù)y1一x2,y2=x+2的圖象，你能找到哪個方程的解？你怎么找到的？你能解不等式x2>x+2嗎？怎樣解？小結：通過剛才的探究，你發(fā)現(xiàn)方程的解，不等式的解集與函數(shù)圖象間有什么聯(lián)系？歸納：方程的解、函數(shù)圖象交點的橫坐標與不等式的解集不同背景下本質相同。在方程背景下是解，在函數(shù)圖象背景下是圖象交點的橫坐標，在不等式背景下是解集的邊界值。構造方法二：原方程變形為：x2=x+2令y一x2,y=x+2在網格紙中畫圖，探究怎樣用圖象來找方程的解。觀察作答：當x取相同的值時，可能拋物線上的點在x軸上方；也可能拋物線上的點在x軸的下方。遷移運用：解不等式x2>x+2,轉化求當x取何值時，拋物線的圖象在直線的上方。觀察圖象，應在交點橫坐標的外側。嘗試歸納：方程的解，是函數(shù)圖象交點的橫坐標，是不等式解集的邊界。反之亦然。聯(lián)系。橫向探究函數(shù)與不等式間的聯(lián)系，同時溝通方程與不等式間的聯(lián)系。遷移運用，怎樣利用函數(shù)圖象找對應方程的解，不等式的解集。10分鐘例1. 出示方程x3-x-1一0。思考：如何解方程？4

（1）判斷方程了3—%—1=0有幾個解？（2）求方程了3—%—1=0的近似解（結創(chuàng)設認知沖突一：不能果保留兩個有效數(shù)字）用常規(guī)代數(shù)提示：函數(shù)y=了3的圖象如下：嘗試利用函數(shù)圖象解方程。法解方程？怎么辦？冰4-3-2-交流分享想法17-4-3-2-1 234x在思考中尋求新的解題l-2-策略，體會-3-運用函數(shù)圖I 1 I 象解方程適用的問題情境。小結：完善如何運用函數(shù)圖對于常見的方程如：一元一次方程，一兀二象解方程，以及體會何次方程我們會采用代數(shù)法求解；對于本題中時運用函數(shù)圖象解方的這些高次方程我們不能用常規(guī)方法求其解，利用圖象法可以直觀明了了解方程有幾個解，并通過交點橫坐標找出解的近似值。程的問題情境。創(chuàng)設認知沖突二：可以例2. 設一元二次方程（了—1）（了-2）=m用常規(guī)方法解題，但太的兩實根分別為a,P，且a〈P,獨立思考，尋求解題突復雜，怎么辦？則a,P滿足（）破。A.1<a<P<2 b,1<a<2<P同伴交流，分享經驗。嘗試構造函數(shù)，把求方C.a<1<0<2 d,a<1且0>2板書演示，共享解題策程的解轉化為找函數(shù)圖小結：借助函數(shù)圖象來研究對應方程根的情略獲取過程。象交點的橫況，常使復雜問題迎刃而解。坐標。完善對函數(shù)18引導交流：目前解方程有幾種方法？圖象解題的分什么情況下會用函數(shù)圖象解方程？歸納完善認識，分享交認識。對函鐘運用函數(shù)圖象怎么樣幫助我們巧妙解題？流經驗。數(shù)圖象的解題策略從要實踐操作5

例3. 如圖是一次函數(shù)J1-kx+m和二次函數(shù)J-ax2+bx+c的圖象。2AP :觀察圖象，你能找到哪些方程的解，哪些不等式的解集？它們的解，解集分別是什么？變式已知一次函數(shù)J-kx+b，和二次函數(shù)J-x2—2x—3，若只有當—2Vx<2時，kx+b>x2—2x—3。求這個一次函數(shù)的解析式。引導題后反思：.解題過程中你的困難是什么？.解題突破是什么？.你是怎樣轉化運用題目中的條件"-2<x<2"？回顧解題過程你有什么收獲？看圖獲取信息，發(fā)現(xiàn)問題并解決問題。獨立思考獲取解題策略同伴交流解題經驗演示交流共享解題經驗思考回答，及時歸納總結解題經驗。我用，內化為我要用。創(chuàng)設開放性問題情境，從要我解題，變?yōu)槲襾戆l(fā)現(xiàn)問題，并解決問題。深化從函數(shù)圖象怎樣解方程，怎樣尋求不等式的解集。溝通知識間的聯(lián)系，解決三者去和來的問題，把題目條件中的不等式信息，轉化為函數(shù)圖象交點的橫坐標。進而深化對三者本質聯(lián)系的認識。分享交流.函數(shù)、方程與不等式間有什么聯(lián)系？.怎樣利用三者的聯(lián)系解題？同伴交流，完善認知。歸納總結2分鐘效果評價完成課堂檢測題：獨立完成課堂檢測反饋8分鐘學習效果評價設計評價方式.目標達成評價.學生情感態(tài)度評價評價量規(guī).目標達成評價量規(guī)：在探究三者聯(lián)系的環(huán)節(jié)，絕大部分同學能明了三者的本質聯(lián)系；在例題解題環(huán)節(jié)，絕大部分同學能嘗試運用三者的聯(lián)系并轉化條件解題；在課堂檢測反饋環(huán)節(jié)，95%以上同學能正確完成檢測題。.學生情感態(tài)度評價量規(guī)：在探究三者聯(lián)系的環(huán)節(jié)，絕大部分同學能主動探究三者聯(lián)系；在例題解題環(huán)節(jié)，解題遇到問題，能積極探求解題突破，尋求解題策略；在課堂檢測反饋環(huán)節(jié)，積極主動完成題目，檢測反饋所學。本教學設計與以往或其他教學設計相比的特點（300-500字數(shù)）.通過問題搭建結構，溝通知識間聯(lián)系以問題“用圖象求方程x2-x-2=0的近似解?！睖\入，探求從函數(shù)圖象角度求方程解的方法，在此基礎上溝通函數(shù)與方程的聯(lián)系，利用函數(shù)圖象提供了解方程的一種方法；反過來求函數(shù)圖象交點坐標，可以借助解方程（組）來得到。進而通過研究圖象上除交點外其他點的關系，得到解不等式方法。從而深出得到函數(shù)、方程與不等式三者間聯(lián)系，完成知識間邏輯體系整理。.問題解決中建構認識，內化為己用創(chuàng)設用以往知識或經驗不能解決問題的情境，為所學提供應用的土壤，在問題解決中體會、獲取解題經驗，深化對三者本質聯(lián)系的認識。深入的解決棘手問題，淺出的體會三者的內在聯(lián)系，并在問題解決中，體會知識間的去與來，經歷“要我用”為“我要用”的過程，在具體問題中內化為己用，完成對三者本質聯(lián)系的建構過程。課后反思因在八年級學過從函數(shù)角度看函數(shù)、方程與不等式，所以學生已經具備關于函數(shù)、方程與不等式的基本經驗，知道可以用函數(shù)圖象解方程與不等式，但僅限于知道，認為提供了解方程、不等式的一種方法，一種函數(shù)觀點研究問題的視角，在實際解題中尤其需要用函數(shù)圖象（題目沒明顯要求，如例2）來解題，或需要用函數(shù)圖象解題但還是有同學轉化為代數(shù)方法來解題（如2008北京中考23（3）），不會主動用函數(shù)圖象來解題。所以本節(jié)課設計意圖是通過問題探究建構知識間的聯(lián)系，并通過解題應用內化為認知，從而從“要我用”變?yōu)椤拔乙谩睆恼谜n來看，學生經歷了搭建知識聯(lián)系的過程，以及運用聯(lián)系轉化尋求解題策略的過程，從課上例題的解答，以及課后檢測看，學生95%都能正確解答，但課堂上尤其前面搭建知識聯(lián)系的過程，學生們還是過于沉悶，老師說的過多，是什么原因？難道僅僅是因為緊張？下面截取課堂表現(xiàn)以及課后老師的交流，進行反思，并提出改進建議，以期完善教學。.課堂微觀表現(xiàn)被動亦步亦趨的參與從提出課題“函數(shù)與方程、不等式間有什么聯(lián)系？明了這些聯(lián)系對我們解題有什么幫助？”到構建聯(lián)系完成用時大概15分鐘，學生的主要參與是通過引導發(fā)現(xiàn)可以從方程中構建函數(shù)，然后在網格紙中畫函數(shù)圖象，通過找圖象交點的橫坐標完成解題。進而在教師引導下發(fā)現(xiàn)，除交點外，對于相同的x，對應的兩個函數(shù)值存在大小關系，從而找到不等式的解集。最后在老師的強調下發(fā)現(xiàn)這三者的本質聯(lián)系。老師我有新方法在例1.尋求方程x3-x-1=0有幾個解，并求出它的近似解的解答中，李泓錕同學給出的解法是：由題知x豐0，（所以兩邊同除以x），得：x2-1-1=0x-T1（移項）得：x2-1=-x1這樣求方程x3-x-1=0的解，轉化為找函數(shù)y=x2-1與函數(shù)y=圖象交點的橫坐標。x學生的一句“牢騷”話課后賀思錦同學與我聊：“老師，這節(jié)課不好玩，我都快睡著了，您平時多幽默啊，忒沒意思，您以后可別這么上?！甭犝n老師的話李老師，說的多了，給學生的思考時間不夠。.課后反思--“老師，讓我們來解謎”一節(jié)課知識完成了，學生基本上也能解題了，但就是感覺哪兒別扭，缺少了數(shù)學的靈動之美。為什么賀思錦同學這么說？李泓錕同學的方法怎么得來的？是受前面構建聯(lián)系后的啟示嗎？例題解題環(huán)節(jié)學生們的熱情哪兒去了？為什么問題沒有激發(fā)火花？帶著這些問題進行了思考，加上與培訓組老師的交流，以及馮啟磊老師的點撥，我想這源于復習引入時我出了個迷，但卻沒沒給學生們解謎機會，我?guī)е麄儯⒏嬖V他們謎底是怎么來的。有了謎底，后面的例題，只不過就是套謎底，因為前面的學習，已經為學生鋪好了臺階，向他們暗示了解決問題的方向。雖然也有解出題目的成就感，但少了解謎的探索與參與，后面的樂趣減低了很多。對于學生來說，見到一道題最有興趣的是什么？那就是未解謎底時的新鮮感，沒頭沒腦時的那種焦慮感，找到解題方法之后的興奮感，經歷了探索過程，但沒找到方法，但通過交流時的頓悟…，只有這種感覺才能讓他們真正獲得成功的體驗---成就感。皮亞杰認為，兒童有一種與生俱來的探索精神和好奇心，具有理解客觀世界的內在欲望，這便是其探究世界的內部動機。正是這個內在動力驅使兒童主動、積極地發(fā)現(xiàn)知識。至于如何獲得新知識，皮亞杰的認知建構主義理論認為，兒童通常是在自身經驗的基礎上建構自己的知識。如果教師僅僅是給學生解釋概念，那么學生掌握的也不過是“死的知識”，因而，學生需要親身探索和經歷事物的機會。另外，在考試時，沒有我們?yōu)樗麄円罚嬲疾焖麄兊木褪沁@種自己遷移知識的能力，也就是發(fā)現(xiàn)問題，通過以往解題的經驗，或分析解決問題的相關知識點，從而分析解決問題，這對于學生來說也是最難得的。很多學生就是拿到題目之后無從下手或眉毛胡子一把抓亂了套路，這些困難和問題應該是我們在復習課要突破的難點，消除的障礙。所以，把問題或題目交給學生，讓他們按照自己的想法去做，在做的基礎上提出自己的問題，在此基礎上，老師再把復習的知識點作為一種友情提示，在他們最需要的時候給他們效果應該會更好。所以在課堂上，老師要放手，給機會讓學生自己去解謎。.教學設計改進探究聯(lián)系環(huán)節(jié)一改為：問題1：解方程%2-%-2二0。問題2：解方程％3-%-1二0。【設計思想】提出用常規(guī)方法解決不了的問題，讓學生想招兒，運用已有知識或經驗來解題，在此基礎上交流分享方法與經驗：如遇到棘手問題時怎么分析解決(包括信念上，具體方法上)獲取如何解題的策略；在具體解法上獲取如何構建適合的函數(shù)，如何把解方程轉化為找函數(shù)圖象交點的橫坐標。讓學生體會用函數(shù)圖象解方程方法存在的必要性，并且溝通函數(shù)與方程的聯(lián)系。探究聯(lián)系環(huán)節(jié)二改為：問題3：通過剛才解題我們發(fā)現(xiàn)可以利用函數(shù)圖象解方程，那利用剛才函數(shù)圖象可以解哪個不等式？你是怎樣解的？【設計思想】喚醒已有的解題經驗，溝通函數(shù)與不等式的聯(lián)系。探究聯(lián)系環(huán)節(jié)三：函數(shù)與方程、不等式之間有什么聯(lián)系？對我們解題有什么幫助？【設計思想】收獲解題經驗，歸納三者的初步聯(lián)系：函數(shù)圖象提供了解方程和不等式的方法。實踐操作例1.設一元二次方程(%-1)(%-2)=m的兩實根分別為a,P，且a<p，則a,0滿足()A.1<a<0<2b,1<a<2<0

C.a<1<p<2 d,aV1且0>2【設計思想】構建應用聯(lián)系的問題情境，內化知識為解題策略。例2,已知一次函數(shù)y=kx+b，和二次函數(shù)y=x2—2x