大一微積分復習資料

10—1110—11學年第一學期大學的考試比較簡單，主要以書本為主，下面的復習指導可作提引作用。“微積分”期末復習指導第一章函數本章重點復合函數及分解，初等函數的概念。復習要求1、 能熟練地求函數定義域；會求函數的值域。2、 理解函數的簡單性質，知道它們的幾何特點。3、 牢記常函數、幕函數、指數函數、對數函數、三角函數、反三角函數等六類基本初等函數的表達式，知道它們的定義域、值域、性質及圖形特點。其中⑴.對于對數函數y=Inx不僅要熟記它的運算性質，還能熟練應用它與指數函數y=ex互為反函數的關系，能熟練將幕指函數作如下代數運算：uv=evmu⑵.對于常用的四個反三角函數，不僅要熟習它們的定義域、值域及簡單性質，還要熟記它們在特殊點的函數值.4、 掌握復合函數，初等函數的概念，能熟練地分解復合函數為簡單函數的組合。5、 知道分段函數，隱函數的概念。.三.例題選解例1.試分析下列函數為哪幾個簡單函數（基本初等函或基本初等函數的線性函數）復合而成的？⑴.y=esin2xz1、⑵.y=arctan（i—-^）分析：分解一個復合函數的復合過程應由外層向里層進行，每一步的中間變量都必須是基本初等函數或其線性函數（即簡單函數）。解：⑴.y=eu,u=v2,v=sinx

⑵.y=arctanu,u=—,v=x2+1.例2.y=arccotx的定義域、值域各是什么？arccotl=?答：y=arccotx是y=cotx,xe（0,冗）的反函數，根據反函數的定義域是原來函數的值域，反函數的值域是原來函數的定義域，可知y=arccotx的定義域是Df=（一8,+8），值域為Z=（0,兀）.arccotl=—4四.練習題及參考答案f（x）=arctanx則f（x）定義域為，值域為f（1）=;f（0）=:f（x）=arcsinx分解下列函數為簡單函數的復合：⑴.y=e-3x⑵.y=ln(x3-1)答案：1.(-8+8),1.(-8+8),(-號，9,與，02 2,42.L1,1],冗冗—t,—冗冗,—,—L2 2」23.3.⑴.y=eu,u-=—3X1—cosa(X)a2(x)(參見教材P79)(2).y=lnu,u=x3一1.自我復習：習題一.(A)55.⑴、⑵、⑶;習題一.(B).11.第二章極限與連續(xù)本章重點極限的計算；函數的連續(xù)及間斷的判定；初等函數的連續(xù)性。復習要求了解變量極限的概念，掌握函數f(x)在琮點有極限的充要條件是：函數在X。點的左右極限都存在且相等。理解無窮小量與無窮大量的概念和關系，掌握無窮小量的運算性質，特別是無窮小量乘以有界變量仍為無窮小。例如：limxsin—=0,lim血X=0XT0 X XT8X會比較無窮小的階。在求無窮小之比的極限時，利用等價無窮小代換可使運算簡化，常用的等價無窮小代換有：當a(X)0時，有：sina(x)?a(x)； tana(x)?a(x)ea(x)—1?a(x)；ln(1+a(x))?a(x)；掌握兩個重要極限：sinxyTOC\o"1-5"\h\z.lim =1XT0X1 —.lim(1+)x=e=lim(1+x)x\o"CurrentDocument"XT8 X XT0記住它們的形式、特點、自變量的變化趨勢及擴展形式(變形式).并能熟練應用其求極限，特別是應用重要極限(I)的如下擴展形式求1④型未定式極限：k 1lim(1+)x=ek=lim(1+kx)xXT8 X XT0.， k、 ., ■、上lim(1一)x=e-k=lim(1—kx)xXT8 X XT0掌握函數連續(xù)的概念，知道結論：初等函數在其定義區(qū)間內都是連續(xù)的，分段函數在定義區(qū)間內的不連續(xù)點只可能是分段點。函數f(x)在分段點X0處連續(xù)的充要條是：函數在x0點極限存在且等于f(X0)，即：limf(x)=f(x)、 0xTx0當分段函數在分段點X0的左右兩邊表達式不相同時，函數f(x)在分段點X0處連續(xù)的充要條件則是：limf(x)=limf(x)=f(x).XTX— XTX+ 00 0掌握函數間斷點及類型的判定。函數的不連續(xù)點稱為間斷點，函數f(x)在x0點間斷，必至少有下列三種情況之一發(fā)生:⑴、f(x)在X0點無定義；

⑵、limf(x)不存在；xTX0⑶、存在limf(x)，但limf(x)。f(x).X* xTx0 0若x0為f(x)的間斷點，當lim/(x)及xTX0+limf(x)都存在時，稱xo為f(x)的第一類間斷xTX0點，特別limf(x)=limf(x)時(即limf(x)XTX°+ xTx°_ xTxo存在時)，稱xo為f(x)的可去間斷點；limf(x)豐limf(x)時稱x°為f(x)的跳XTx+ xTx-00躍間斷點。不是第一類間斷點的都稱為第二類間斷點。了解連續(xù)函數的運算性質及閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質，特別要知道閉區(qū)間上的連續(xù)函數必有最大值與最小值。能夠熟練地利用極限的四則運算性質；無窮小量、無窮大量的關系與性質；等價無窮小代換；教材P69公式(2.6)；兩個重要極限；初等函數的連續(xù)性及洛必達法則(第四章)求函數的極限。記f(x)= ,xtanx則f⑴=1ta；xlimf(x)=limTOC\o"1-5"\h\zxT0+ xT0+tanx =1limf(x)=lim即x=-1。limtanx =1xT0- xT0- x xT0+即D也不對，剩下的B就是正確答案。⑵.由于: 2x21+2x2一1代換2 x2lim =lim=lim——=1xT0 sin2x xT0x2 xT0x2應選擇D.例3.求極限：ln(1-x2)⑴lim xT01一cosx三.例題選解三.例題選解⑵lim(x—2)x

xT8x一5例1.單項選擇題⑴下列極限中正確的是()「sinxA.lim =1B.xT8.1sin—lim―1^xT3_xC.sinx2_lim =1xT0 x「tanx」D.lim =1xT0x⑵當xT0時，頊1+2x2-1是sin2x的( )A.低階無窮?。?B.高階無窮小；同階無窮小，但不是等價無窮小;等價無窮??；分析與解：⑴.A與C顯然都不對，對于D,解：⑴此極限為0型?.?當xT0時，有l(wèi)n(1一x2)?(-x2)， 1一cosx-ln(1-x2) -x2...lim =lim =-2xT01-COSx xT0xL萬⑵此極限為18型，可用重要極限(II)。lim(_-)x=lim(1+ —)xxT8x一5 xT8x-53 x—5_J_=lim(1+——)3-x—5』xs x—5-xx-xx-5xs3 x—5=lim(1+—)3x一5=e3.(lim—-—-x=lim=3)xsx—5 xsx—5四.練習題及參考答案填空⑴.當xT0時，(gx—1)sin2x與x2—9 ,>、,例2.判斷函數y= 的間斷點x2—x—6G1+x—1)ln(1+2x)相比，是 無窮?。慌袛嗥漕愋?。x2—9 (x—3)(x+3)解：由于y=x2—x—6(x—3)(x+2)⑵.lim(xT8f(xf(x)=<⑴.A.limxT0tanxWx=3,x=—2是函數y無定義的點，因而是函數y的間斷點。(x—3)(x+3) x+36...lim =lim=xF(x-3)(x+2)xt3x+2 5.x=3為函數y的可去間斷點；(x—3)(x+3) x+3■/lim =lim=8x.—2(x—3)(x+2)xT—2x+2x=—2為函數y的第二類(無窮型)間斷。例3.函數—cos— 2x2k在點x=0處連續(xù)，求常數k.分析與解：由于分段函數f(x)在分段點x=0的x[cos(3x)一1]tan—⑶.lim =xT0(g2x—1)ln(1+5x2)單項選擇題下面說法正確的是點x=—3,x=2都是可去間斷點；點x=2是跳躍間斷點，點x=3是無窮間斷點；點x=2是可去間斷點，點x=3是無窮間斷點；點x=2是可去間斷點，點x=3是跳躍間斷點；⑵.下面正確的是... ?1cBlimxsin—=0；x左右兩邊表達式相同，因此f(x)在x=0連續(xù)的充要條件是limf(x)=f(0)=k.xT0C.limxT0|tanx

x不存在;tanxD.limxT0x3答案:1.⑴.同階而不等價的；(2).g-2；(3).—.20x x21—coslimf(x)=lim 2代換lim-8xT0 xT0 x2 xT0x2⑴.C;⑵.B.自我復習.習題二(A)11.(4).24.⑴,(4),⑺.27.⑴.(4).28.⑴，⑵.30.⑵.37.⑴，⑶.習題二(B).14.第三章導數與微分本章重點.導數的概念，導數及微分的計算.復習要求掌握函數/(X)在七處可導的定義，并能熟練應用導數的定義式求分段函數在分段點的導數。導數是一個逐點概念，/(x)在X0處的導數的定義式常用的有如下三種形式：f(七+Ax)-，(七)TOC\o"1-5"\h\zf(X)—11^0 0 0—。AxF AXf(X+h)-f(x)—lim o o—ht0 hf(X)一f(Xn)—lim o—.XtX0 X-X0知道導數的幾何意義，會求/G)在x0處的切線方程。熟記基本求導公式及求導的運算法則，熟練掌握下列求導方法，并能熟練應用它們求函數的導數：⑴運用基本求導公式及求導的四則運算法則求導；⑵復合函數求導法；⑶隱函數求導法；⑷取對數求導法。理解高階導數的概念，能熟練求函數的二階導數。理解微分的概念，能應用微分基本公式及運算法則求函數的微分。掌握函數可微,可導及連續(xù)的關系。例題選解例1.求下列函數的導數：⑴.y—f(1+x2)，求yf,y”.⑵.y=X3X,求y'..⑶.設y=eyx，求dy⑷.y—1n(1+x3)，求y"解：⑴、本題為抽象函數求導，由復合函數求導法，得：y—r(i+X2)(i+x2)—f'(1+X2).2x—2x.f'(1+x2).y〃=2尸(1+x2)+2xf"(1+x2).2x—2ff(1+x2)+4x2f〃(1+x2)⑵本題為幕指函數求導，必須用取對數求導法原方程兩邊取對數：1ny=、3x.1nx上式兩邊對x求導，視y為中間變量：y' 3 1=—.1nx+%3x-—y2w3x Xy=曖[2血x+1_—x板*[2血x+1—”3x具-2嘩+1)注：本題除此方法外，也可以:y—e3x*lnxy'=e3x-lnx(——-3-lnX+v3X?—)2%'3x x⑶.?/y'=etanx.(tanx)'=etanx?sec2x:.dy=etanx?sec2xdx⑷.y'=〃6x(1+x3)一3x2-3x2 3x(2一x3)y= = (1+x3)2 (1+x3)2例2.設/(x)在x=1處可導，且/'(1)=2.求lim/(4-3x)-/⑴TOC\o"1-5"\h\zxT1 x-1分析:將/(x)在x=1處的導數的定義式理解為結構式：

r ，Ye-x2—1例4、設f(x)=，—x— x壬00x=0試討論f(x)在x=0處的連續(xù)性及可導性。分析與解：由已知，f(0)=0;(1)討論f(x)在x=0處的連續(xù)性。/(1)=lim/(1+)一/⑴T0其中□為Ax=x口1或Ax的函數.且當Ax—0時，T0即可.口limxT0代換e-x2—1f(x)=lim xT0x—x2lim—=0=f(0).xT0x解:f(x)在x=0處連續(xù)。W(4-3x)-/⑴xT1 x-1(2)討論f(x)在x=0處的可導性。=limxT1/[I-3(x-1)]-/⑴-3(x-1)-(-3)=-3f'(1)=-6分段函數在分段點的導數必須用定義求f(。)=lim代x)-f(0)xT0x一0例3.求曲線x3+y3-3axy=a3在點(0,a)處的切線方程。解：顯然，點(0,a)在曲線上，現(xiàn)求切線的斜率，即y'(0,a)曲線方程兩邊對X求導：3x2+3y2-y9-3ay-3axy，=0

e-x2-!-0=lim―xT0 x-0=lim竺W警lim壬=-1xT0x2 xT0x2即存在f'(0)=-1.練習題及參考答案單項選擇題"穴，ay-x2解得y= y2-ax.設f(x)=〈ln(1-x2)y'(0,a)=1x2切線方程為：y一a=x

下面說法正確的是( ).A.f(x)在x=0不連續(xù);1(1(X-1)2fhn(1-x)].f(X)在X=0連續(xù)，但不可導；f(x)在x=0可導，且f'(0)=-1；f(x)在X=0可導，且f'(0)=0.填空題f(X)在X=X0處可導，且ff(X0)=一1,則⑴ f(X+h)一/(X-h)(1)lim 0 0 = hT0 h求函數的導數或微分：1⑴y=Xx,求yf⑵y=fR(1-x)] (xv1),求y',y"⑶.y=In寸x2—1，求dy.設y3=x+cos(xy)確定y是x的函數，求當，并求出函數在點(0,1)的切線方程。dx證明：(1)若/(x)是偶函數且可導，那么/'(x)是奇函數，(2)若/(x)是奇函數且可導，那么ff(x)是偶函數，答案：1.D. 2.-23.⑴.y'=xx-2(1-lnx)(2).y，=Ef[ln(1-X)]；x-1y"=―1一f"R(1-x)](x-1)2Jx⑶).dy= dx.x2-14dy=1-ysin(x).dx3y2+xsin(xy)'切線方程：3y-x=3.自我復習:習題三(A)13;21,⑹，⑼；24.⑴，⑵;25;26.⑴，⑺;27.⑸；29.⑵，⑹，⑺；47.⑴，⑵.54.習題三(B)1；3；11.第四章中值定理與導數的應用本章重點求未定式極限的洛必達法則；應用導數判定函數的單調性，求函數的極值和最值；應用導數確定曲線的凹向與拐點；對經濟問題作邊際分析；復習要求1知道羅爾定理、拉格朗日中值定理的條件和結論,會求定理中的&，掌握拉格朗日定理推論的意義。熟練掌握用洛必達法則求未定式極限的方法。注意:⑴洛必達法則只能直接用于求“0”型或“-”0 8型未定式的極限，對于其他類型的未定式極限，必須將其轉化為“0”型或“8”型未定式才能使0 8用法則。⑵洛必達法則可以連續(xù)使用，當再次使用法則時，一定要檢驗法則的條件是否成立，當條件不滿足時必須停止使用，改用其他求極限的方法計算.⑶).在求未定式極限時，將洛必達法則和等價無窮小代換等其它方法結合使用，可使運算更簡便。掌握用一階導數判定函數單調性的方法，并能利用函數的單調性證明不等式。掌握函數極值的概念及求函數極值方法.掌握最值的概念及其與極值的關系，能熟練求閉區(qū)間上連續(xù)函數的最大、最小值；會求經濟應用問題的最值.如求最大總收入，最大總利潤等.掌握函數的凹向,拐點的概念及求曲線凹向，拐點的方法.三.例題選解例1.求下列極限ex+sinx一2x一1(1).lim——xt0 xln(1+x)(2).limx2sinxxT0+2洛lim與xT0+一1x2=lim(-2x)=0. 原式=e0=1xT0+-1 1 1 f(3)lim—— 3—8型)xt0xln(1+x)(3).lim—-x ln(1+x)=limln(1+x)一x

xT0xln(1+x)（通分化為0型）xT0解:解:ln(1+x)-x /,、?、lim (代換)xT0 x-xex+sinx-2x-1⑴lim——xT0 xln(1+x)(0)嬖limex+sinx一2x-11=lim1xT0 2x（洛必達）=lim

xT0一x2x(1+x)TOC\o"1-5"\h\z洛 ex+cosx一2 ,0、—lim ()xT0 2x 0—limex一:inx (不是未定式)xT0 2二1_2.

x例2.求函數y= 的單調區(qū)間和極值，凹凸區(qū)1+x2間和拐點。x解：函數y= 的定義域為（一8,+8）1+x2(1(1+x2)2(2)原式為幕指型不定式(0。型)，利用代數變換：Uv=evlnu，得：limx2sinx=lime2sinx-lnxxT0+ xT0+-lim2sinx-lnx=exT0+(1+x2)-2x-x 1-x2y= = / ' (1+x2)2，?(-2x)-(1+x2)2-2(1+x2)-2x-(1-x2)y= (1+x2)4x(x2-3)

(1+x2)3TOC\o"1-5"\h\z其中l(wèi)im2sinx-lnx (0?8)xT0+=lim2x-lnx (代換)XT0+2lnx 8=lim (—)xT0+— 8x

令y,=(1-x)(1+x)=0，得駐點x=-1,(1+x2)2x=L無不可導點。兩駐點分定義域為三個子區(qū)間，列表討論如下:x(-8,-1)-1(-1,1)1(1,+8)y'一0+0—y極小極大令yff=2x(xf3)(x+、3)=0即證在x>0時，f(x)單減。(1+x2)31+x■/f(x)=ln(1+x)+ —x—11+x=ln(1+x)一xx(—8,—③-3(-75>0)0(0酒(焰,+8)y'-0+0-0+yn拐點U拐點n拐點U得x=0，x=±T3，無y不存在的點。曲線的凹向及拐點列表討論如下：由上面的討論看出：f(x)<f(0)=0f〃(x)= 1--1=--^<01+x1+xx>。時，f(x)單減，有???f(x)也單減，有f(x)<f(0)=0證畢。x函數y= 的單減區(qū)間為(一8，—1)u(1，+8)；1+X2例4.證明：對任意x>L有1單增區(qū)間為［_1，1］。極小值是y(—1)=—，21極大值是y(1)=。2arctan、x2—1+arcsin—=—x2分析：本題為恒等式的證明。我們設_ .1F(x)=arctan扣x2—1+arcsinx由拉格朗日定理的推論，若能證明曲線y= x—的凸區(qū)間是(—8，一t'3)u(0,w：'3)1+X2凹區(qū)間是(—。3,0)u(u3,+8)。x ■-國曲線y=的拐點有三個：(一、3,— )，1+X2 4(0,0)，6若)。例3.證明不等式(1+x)ln(1+x)<—x2+x (x>0)2分析與證：證明不等式的方法很多，利用函數的單調性或最值證明不等式是常用的方法之一。這里用單調性來證明。即令1f(x)=(1+x)ln(1+x)——x2—x2則問題轉化為證f(x)<0=f(0) (x>0)F'(x)=0則nF(x)=c，再確定兀c=3即可。2證：當x>1時，F(xiàn)'(x)=——廣 -32—1)'+1+(寸x2—1)2(bx1-(1)2x — x\x2—1x<x2—1兀-F(1)=arctan0+arcsin1=—2冗?-C=-，證畢！例5求出函數y=x5-5x4+5x3+1在區(qū)間[-2,1]上的最大、最小值。解：顯然函數y=x5-5x4+5x3+1在閉區(qū)間[-2，1]