立體幾何復(fù)習(xí)專題(空間角)

實(shí)用文案專題:空間角一、基礎(chǔ)梳理兩條異面直線所成的角（1）異面直線所成的角的范圍： (0, ]。22）異面直線垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，則叫兩條異面直線垂直。兩條異面直線a,b垂直，記作ab。3）求異面直線所成的角的方法：1）通過平移，在一條直線上（或空間）找一點(diǎn)，過該點(diǎn)作另一（或兩條）直線的平行線；2）找出與一條直線平行且與另一條相交的直線，那么這兩條相交直線所成的角即為所求。平移技巧有：平行四邊形對邊平移、三角形中位線平移、補(bǔ)形平移技巧等。1：三棱柱OABO1A1B1，平面OBB1O1⊥平面OAB，O1OB60,AOB90，且OBOO12,O1B1OA3，求異面直線A1B與AO1所成角的余弦。A1O BA2．直線和平面所成的角（簡稱“線面角” ）（1）定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條斜線和這個(gè)平面所成的角。一直線垂直于平面，所成的角是直角；一直線平行于平面或在平面內(nèi)，所成角為 0角。直線和平面所成角范圍： 0， 。22）最小角定理：斜線和平面所成角是這條斜線和平面內(nèi)經(jīng)過斜足的直線所成的一切角中最小的角。Pa（3）公式：已知平面的斜線a與內(nèi)一直線b相交成θ角，且a與相交成1角，a在上的射影c與b相交成2角，則有cos1cos 2 cos 。 A由（3）中的公式同樣可以得到：平面的斜線和它在平面內(nèi)的射影所成角，是這條斜線和這個(gè)平面內(nèi)的任一條直線所成角中最小的角。

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cOB b標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案考點(diǎn)二：直線和平面所成的角例2.如圖，在三棱柱ABCABC邊形AABB是菱形，四邊形BCCB

C中，四是矩形，CBAB,CB2,AB4,ABB600，AB求AC與平面BCCB所成角的正切。CA B3：（1）在1200的二面角PaQ的兩個(gè)面P與Q內(nèi)分別有兩點(diǎn)A、B，已知點(diǎn)A和點(diǎn)B到棱的距離分別為2cm,4cm，且線段AB10cm。求：①直線AB和棱a所成角的正弦值；②直線AB和平面Q所成角的正弦值。（2）（08全國Ⅰ11）已知三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱與底面邊長都相等，A1在底面ABC內(nèi)的射影為△ABC的中心，則AB1與底面ABC所成角的正弦值等于（）A．1B．2C．3D．23333（3）如圖，在矩形ABCD中，AB33,BC3，沿對角線BD將BCD折起，使點(diǎn)C移到C點(diǎn)，且C點(diǎn)在平面ABD上的射影O恰在AB上。求直線AB與平面BCD所成角的大小。33C(C)BA3OABCDD標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案（4）①AB為平面 的斜線，則平面 內(nèi)過A點(diǎn)的直線l與AB所成的最小角為_____________，最大角為__________________。平面內(nèi)過 A點(diǎn)的直線l與AB所成角 的范圍為_______________。②AB與平面 內(nèi)不過A點(diǎn)的直線所成的角的范圍為_______________________。

BBl③直線l1與平面 所成的角為 300，直線l2與l1所成角為600，則l2與平面 所成角的取值范圍是______________________。④設(shè)直線l平面，過平面外一點(diǎn)A與l,都成300角的直線有且只有()（Ａ）１條（Ｂ）２條（Ｃ）３條（Ｄ）４條⑤過正方體的頂點(diǎn)A作截面，使正方體的12條棱所在直線與截面所成的角皆相等。試寫出滿足條件的一個(gè)截面 ________________________（注：只須任意寫出一個(gè)） ，并證明。3．二面角1）二面角的概念：平面內(nèi)的一條直線把平面分為兩個(gè)部分，其中的每一部分叫做半平面；從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，每個(gè)半平面叫做二面角的面。若棱為l，兩個(gè)面分別為,的二面角記為l。（2）二面角的平面角：Ol過二面角的棱上的一點(diǎn)分別在兩個(gè)半平面內(nèi)．．．．．．作棱的兩條垂線 OA,OB，則 AOB叫做二面角的平面角。說明：①二面角的平面角范圍是 0, ，因此二面

O ABO' A'B'角有銳二面角、直二面角與鈍二面角之分。②二面角的平面角為直角時(shí)，則稱為直二面角，組成直二面角的兩個(gè)平面互相垂直。3）二面角的求法：4）（一）直接法：作二面角的平面角的作法：①定義法；②棱的垂面法；③三垂線定理或逆定理法；（注意一些常見模型的二面角的平面角的作法）標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案（二）間接法：面積射影定理的方法。（4）面積射影定理：面積射影定理：已知ABC的邊BC在平面內(nèi)，頂點(diǎn)A。設(shè)ABC的面積為S，它在平面內(nèi)的射影面積為S1，且平面與ABC所在平面所成的二面角為(00900)，則cosS1。AS注：①面積射影定理反映了斜面面積、射影面積S和這兩個(gè)平面所成二面角的平面角間的關(guān)系；ABC可以推廣到任意的多邊形。A1②在二面角的平面角不易作時(shí)，經(jīng)常采用“面積射影定理法”。BDS1C例3．如圖，在四棱錐SABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)棱SD⊥底面ABCD，E，F(xiàn)分別為AB，SC的中點(diǎn)。

S1）證明EF∥平面SAD；2）設(shè)SD2DC，求二面角AEFD的大小。FD

CA E B如圖所示，在直三棱柱 ABC A1B1C1中， ACB 900,CB 1, C1CA3,AA16，M為側(cè)棱CC1上一點(diǎn)，AMBA1。A1B1（1）求證：AM平面A1BC；M（2）求二面角BAMC的大??；（3）求點(diǎn)C到平面ABM的距離。CA B標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案四棱錐ABCDE中，底面BCDE為矩形，側(cè)面ABC底面BCDE，ABC2，CD2，ABAC。①證明：ADCE；②設(shè)CE與平面ABE所成的角為45，求二面角CADE的大小。B EC DS為直角梯形ABCD所在平面外一點(diǎn),ABC900,SAS面ABCD,SAABBC1，AD1，求平面SCD與平面2SAB所成二面角的大小。BAD

C等邊三角形ABC與正方形ABDE有一公共邊AB，二面角CABD的余弦值為3，M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，則EM，AN所成角的余弦值等于3。標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案例4．如圖所示，已知平行六面體ABCDA1B1C1D1的底面ABCDC1是矩形，且側(cè)面ABB1A1底面D1ABCD，AB1BB1,AN3NB,M、E分別是B1C、AB的中點(diǎn)，A1B1F是EC的中點(diǎn)，AB4,MNM2，側(cè)棱與底面ABCD成450的角。DC（1）求證：MF底面ABCD；（2）求二面角MABC的大小；F（3）求MN與平面B1CE所成角的大小。AENBC11．（1）已知正三棱柱ABC—A1B1C1中，A1B⊥CB，則ABA1B與AC1所成的角為（）（A）450（B）600C1（C）900（D）1200A1B1（2）（08全國Ⅱ10）已知正四棱錐SABCD的側(cè)棱長與底面邊長都相等，E是SB的中點(diǎn)，則AE，SD所成的角的余弦值為（）A．1B．2C．3D．23333（3）RtABC的斜邊在平面內(nèi)，頂點(diǎn)A在外，BAC在平面內(nèi)的射影是BAC，則BAC的范圍是________________。（4）從平面外一點(diǎn)P向平面引垂線和斜線，A為垂足，B為斜足，射線BC，這時(shí)PBC為鈍角，設(shè)PBCx,ABCy，則（）A.xyB.xyC.xyD.x,y的大小關(guān)系不確定（5）相交成60°的兩條直線與一個(gè)平面所成的角都是45°，那么這兩條直線在平面內(nèi)的射影所成的角是（）A．30°B．45°C．60°D．90°（6）一條與平面相交的線段，其長度為10cm，兩端點(diǎn)到平面的距離分別是2cm，3cm，這條線標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案段與平面所成的角是；若一條線段與平面不相交，兩端點(diǎn)到平面的距離分別是2，3，則線段所在直線與平面所成的角是。cmcm（7）PA、PB、PC是從P點(diǎn)引出的三條射線，每兩條夾角都是60°，那么直線PC與平面PAB所成角的余弦值是（）A．1B．2C．6D．3223D13C1（8）如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M,N分別是A1A,AB上的點(diǎn)，若NMC1900，AB1那么NMB1的大小是（）A.大于900B.小于900MDCC.900D.不能確定（9）已知SOANABC所在平面于O點(diǎn)，且S到A,B,C三點(diǎn)等距離，若cosAcosBsinAsinB，則O點(diǎn)（）A.必在ABC的某一邊上B.必在ABC外部（不含邊界）C.必在ABC內(nèi)部（不含邊界）D.以上都不對（10）如果直角三角形的斜邊與平面平行，兩條直角邊所在直線與平面

BABC中，有所成的角分別為1和2，則（A．sin21sin22C．sin21sin22（11）如圖，，A，B到l的距離分別是是 和 ，AB在 ，

）122B．sin1sin21D．sin21sin22l，A，B，a和b，AB與，所成的角分別內(nèi)的射影分別是m和n，若ab，

11A則（ ）A． ，m nC． ，m n

B．，mnD．，mn

l

a b B（12）與正方形各面成相等的角且過正方體三個(gè)頂點(diǎn)的截面的個(gè)數(shù)是 ________。2.已知直三棱柱ABCA1B1C1,ABAC,F為BB1上一點(diǎn)，BFBC2a,FB1a。（1）若D為BC的中點(diǎn)，E為AD上不同于A、D的任意一點(diǎn)，證明：EFFC1；（2）若A1B13a，求FC1與平面AA1B1B所成角的正弦值。DBCEAFB1 C1A1標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案3.已知直角三角形ABC的兩直角邊AC2,BC3，P為斜邊AB上的一點(diǎn)，現(xiàn)沿CP將ACP折起，使A點(diǎn)到A點(diǎn)，且A在面BCP內(nèi)的射影在CP上。當(dāng)AB7時(shí)，求二面角PACB的大小。A(A)APP2C3BCBC1DA14．如圖正三棱柱ABCA1B1C1中，底面邊長為a，側(cè)棱FB1長為2a，若經(jīng)過對角線AB1且與對角線BC1平行的平2面交上底面于 DB1。（1）試確定D點(diǎn)的位置，并證明你

EGC的結(jié)論；（2）求平面AB1D與側(cè)面AB1所成的角及平面AB1D與底面所成的角；（3）求A1到平面AB1D的距離。

A B5．如圖,在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，DC＝23，AA1＝3，AD⊥DC，AC⊥BD,垂足為E。（I）求證：BD⊥A1C；（II11）求二面角A－BD－C的大?。唬↖II）求異面直線AD與BC1所成角的大小。標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案6.如圖，平面ABEF平面ABCDABEF與ABCD都是直角梯形，，四邊形BADFAB90，BC∥1AD，BE∥1AF。22（Ⅰ）證明：C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面；（Ⅱ）設(shè)ABBCBE，求二面角AEDB的大小。FEADBC7．（08江西20）如圖，正三棱錐OABC的三條側(cè)棱OA，OB，OC兩兩垂直，且長度均為2。E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，H是EF的中點(diǎn)，過EF的一個(gè)平面與側(cè)棱OA，OB，OC或其延長線分別相交于A1，B1，C1，已知OA13。21）證明：B1C1平面OAH；2）求二面角OA1B1C1的大小。OA1 F CA C1HEBB1標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案8．如圖，已知平行六面體 ABCD A1B1C1D1的底面為正方形， O1、O分別為上、下底面的中心，且A1在底面ABCD上的射影是O。（1）求證：平面O1DC平面ABCD；（2）若點(diǎn)E,F分別在棱AA1,BC上，且AE2EA1，問點(diǎn)F在何處時(shí)，EFAD？（3）若A1AB600，求二面角CAA1B的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)表示）。D1A1O1C1EB1DCAOFB9．如圖，正四棱柱 ABCD A1B1C1D1，側(cè)棱長為 3，底面邊