《弧度制》教案（Word版）

《弧度制》教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)1．根據(jù)函數(shù)概念中強(qiáng)調(diào)函數(shù)必須是實(shí)數(shù)集到實(shí)數(shù)集的對(duì)應(yīng)，體會(huì)弧度制引入的背景及必要性，明白同一個(gè)量可以用不同的單位制來度量．2．在半徑不同但圓心角相同的的扇形中，利用初中所學(xué)的扇形的弧長公式能夠發(fā)現(xiàn)弧長與半徑之比不變，從而體會(huì)用該比值作為弧度制定義的合理性，加深弧度制概念的理解．在此過程中，學(xué)生可以感悟數(shù)學(xué)抽象的層次性及邏輯推理的嚴(yán)謹(jǐn)性．3．體會(huì)弧度制是度量角的一種方式，并能利用180°＝πrad進(jìn)行弧度制與角度制的互化，利用單位圓中弧長等于半徑的圓心角，直觀感受用長度度量1弧度的大小，能證明并靈活運(yùn)用一些關(guān)于扇形的公式，同時(shí)能理解角與實(shí)數(shù)之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系．教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：在了解弧度制引入的背景下，理解弧度制的概念，能進(jìn)行角度制與弧度制的互化．教學(xué)難點(diǎn)：弧度制概念的理解．課前準(zhǔn)備計(jì)算器、PPT課件．教學(xué)過程（一）創(chuàng)設(shè)情境問題1：我們知道：籃球明星姚明的身高是米，但在NBA官方數(shù)據(jù)中卻是英尺，為什么？你還知道哪些量有不同的度量制？舉例說明．預(yù)設(shè)的師生活動(dòng)：學(xué)生針對(duì)老師提出的問題進(jìn)行思考與回答．預(yù)設(shè)答案：因?yàn)橛昧瞬煌膯挝唬偃?，度量重量可以用千克、斤、磅等不同的單位制，度量體積可以用立方米、升等不同的單位制．設(shè)計(jì)意圖：通過生活中的發(fā)現(xiàn)，度量長度可以用米、尺、碼等不同的單位制，讓學(xué)生體會(huì)度量一樣?xùn)|西可以有多種度量制．（二）新知探究1．弧度制圖1問題2：度量角除了角度制，還有什么單位制呢？圖1追問1：如圖1，射線OA繞端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到OB形成角α．在旋轉(zhuǎn)過程中，射線OA上的點(diǎn)P（不同于點(diǎn)O）的軌跡是一條圓弧，這條圓弧對(duì)應(yīng)于圓心角α．設(shè)α=n°，OP=r，點(diǎn)P所形成的圓弧的長為l．回憶初中所學(xué)知識(shí)，弧長l如何用圓心角α來表示？圖1預(yù)設(shè)的師生活動(dòng)：學(xué)生經(jīng)過觀察、討論得出結(jié)論．圖1圖2預(yù)設(shè)答案：．圖2追問2：如圖2，在射線OA上任取一點(diǎn)Q（不同于點(diǎn)O和P），OQ=r1．在旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)Q所形成的的圓弧的長為l1，那么l1與r1的比值是多少？你能得出什么結(jié)論？預(yù)設(shè)的師生活動(dòng)：學(xué)生經(jīng)過觀察、討論得出結(jié)論．預(yù)設(shè)答案：；圓心角所對(duì)的弧長與半徑的比值，與半徑的大小無關(guān)，只與的大小有關(guān)，也就是說，這個(gè)比值隨的確定而唯一確定．因此可以用弧長和半徑的比值表示圓心角．設(shè)計(jì)意圖：通過復(fù)習(xí)初中所學(xué)知識(shí)可知，使學(xué)生得到弧長與半徑的比只與角的大小有關(guān)，推廣到一般也成立，因此我們可以利用這個(gè)比值來度量角，引出新概念，使學(xué)生明白新概念的由來和定義的合理性．追問3：結(jié)合上面的探索過程，你能試著說一說什么是1弧度角嗎？預(yù)設(shè)的師生活動(dòng)：學(xué)生用自己的語言表述清楚即可，教師在學(xué)生表述的基礎(chǔ)上進(jìn)行完善．預(yù)設(shè)答案：我們規(guī)定：長度等于半徑的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，弧度單位用符號(hào)rad表示，讀作弧度．設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生得出定義，體會(huì)定義產(chǎn)生的背景、原由及過程．追問4：（1）我們把半徑為1的圓叫做單位圓．既然角的大小與半徑無關(guān)，那么在單位圓中如何確定1rad的角呢？（2）在半徑為r的圓中，弧長為l的弧所對(duì)的圓心角α的弧度數(shù)是多少？（3）角有正、負(fù)、零角之分，它的弧度數(shù)呢？圖3預(yù)設(shè)的師生活動(dòng)：學(xué)生思考后回答．圖3圖3預(yù)設(shè)答案：得出單位圓中長度為1的弧所對(duì)的圓心角就是1rad（如圖3）；在半徑為的圓中；類比角度制，的正負(fù)由角的終邊的旋轉(zhuǎn)方向決定．圖3設(shè)計(jì)意圖：深化理解弧度的定義．在單位圓中，直觀感受1rad的角的大小，體會(huì)1rad角的幾何表示；進(jìn)一步能在一般圓中求得角的弧度數(shù)，使學(xué)生通過圖形獲取對(duì)新概念的直觀印象，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力．追問5：請(qǐng)你說說弧度制與角度制有哪些不同？預(yù)設(shè)的師生活動(dòng)：學(xué)生展開討論之后總結(jié)提煉．預(yù)設(shè)答案：第一，弧度制以線段長度來度量角，角度制是“以角量角”；第二，弧度制是十進(jìn)制，角度制是六十進(jìn)制；第三，1弧度是等于半徑長的弧所對(duì)的圓心角的大小，而1°的角是周角的；第四，無論是以“弧度”還是以“度”為單位，角的大小都是一個(gè)與半徑大小無關(guān)的定值，等等．設(shè)計(jì)意圖：概念辨析，深化理解．2．角度制與弧度制的換算問題3既然角度制、弧度制都是角的度量制，那么，它們之間如何換算？你認(rèn)為在換算的過程中最為關(guān)鍵的是什么？預(yù)設(shè)的師生活動(dòng)：學(xué)生思考后回答，得出答案．預(yù)設(shè)答案：這兩種角度度量制之間的關(guān)系是：360°＝2πrad．其中，最為基礎(chǔ)也是最為關(guān)鍵的是180°＝πrad，即1°＝rad，1rad＝≈°．設(shè)計(jì)意圖：通過思考，讓學(xué)生掌握弧度和角度換算的方法．體會(huì)同一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象用不同方式表示時(shí)，它們之間的內(nèi)在聯(lián)系．認(rèn)識(shí)這種聯(lián)系性是數(shù)學(xué)研究的重要內(nèi)容之一．例1按照下列要求，把67°30′化成弧度：（1）精確值；（2）精確到的近似值．預(yù)設(shè)的師生活動(dòng)：學(xué)生自行完成并回答問題．預(yù)設(shè)答案：（1）因?yàn)?7°30′=，所以67°30′=×rad=πrad．（2）利用計(jì)算器有．因此，67°30′≈rad．設(shè)計(jì)意圖：在換算中學(xué)會(huì)根據(jù)要求的精度不同，選擇不同的計(jì)算方式．例2將rad換算成角度（用度數(shù)表示，精確到）．預(yù)設(shè)的師生活動(dòng)：使用計(jì)算器完成．預(yù)設(shè)答案：利用計(jì)算器有．因此，rad≈°．設(shè)計(jì)意圖：學(xué)會(huì)利用計(jì)算器完成這種繁雜的計(jì)算問題．追問：（1）67°30′能直接化成弧度嗎？你是怎么做的？應(yīng)該注意什么問題？（2）相互交流一下，如何使用計(jì)算機(jī)完成弧度制與角度制的換算？預(yù)設(shè)的師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立完成角度制與弧度制的換算的精確值，之后交流展示用計(jì)算機(jī)完成弧度制與角度制換算的近似值．設(shè)計(jì)意圖：通過簡單應(yīng)用，熟悉弧度制、熟悉弧度制與角度制的換算．學(xué)生可能出現(xiàn)的問題：第一，進(jìn)行角度制與弧度制的換算不夠熟練；第二，角度轉(zhuǎn)化弧度時(shí)需要把含分或秒的角度統(tǒng)一為度的單位；第三，計(jì)算機(jī)完成弧度制與角度制換算的近似值時(shí)，操作需要一個(gè)熟悉的過程．練習(xí)填寫特殊角的角度數(shù)與弧度數(shù)的對(duì)應(yīng)表（課本174頁）．度0°30°45°120°135°150°360°弧度π預(yù)設(shè)的師生活動(dòng)：快問快答，進(jìn)行訓(xùn)練．預(yù)設(shè)答案：度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度0π2π設(shè)計(jì)意圖：這些角是今后常用的特殊角，不僅要求學(xué)生會(huì)換算，而且要讓學(xué)生記住這些特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對(duì)應(yīng)值．另外，熟練角度和弧度的換算，進(jìn)一步加深對(duì)180°=πrad的理解和掌握．同時(shí)進(jìn)一步體會(huì)角的概念推廣后，無論用角度制還是弧度制，都能在角的集合與實(shí)數(shù)集R之間建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系．例3利用弧度制證明下列關(guān)于扇形的公式：（1）l=αR；（2）S=αR2；（3）S=lR．其中R是圓的半徑，α（0＜α＜π）為圓心角，l是扇形的弧長，S是扇形的面積．預(yù)設(shè)的師生活動(dòng)：學(xué)生學(xué)生利用弧度制證明關(guān)于扇形的公式，教師進(jìn)行點(diǎn)評(píng)及板書．預(yù)設(shè)答案：（1）由公式|α|=可得l=αR．下面證明（2）（3）．由于半徑為R，圓心角為n°的扇形的弧長公式和面積公式分別是l=，S=，將n°轉(zhuǎn)換為弧度，得α=，于是S=αR2．將l=αR代入上式，即得S=lR．設(shè)計(jì)意圖：體會(huì)弧度制下的扇形弧長、面積公式的簡潔美，這是引入弧度制的一個(gè)理由．（三）歸納小結(jié)問題4通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你學(xué)會(huì)用弧度制度量角了嗎？追問：你覺得這樣定義弧度制合理嗎？在度量角的時(shí)候你覺得需要注意哪些問題？你現(xiàn)在覺得用弧度制度量角有什么好處？為什么會(huì)出現(xiàn)這種情況？你能畫一個(gè)知識(shí)結(jié)構(gòu)圖來反映本節(jié)課的研究內(nèi)容與路徑嗎？預(yù)設(shè)的師生活動(dòng)：學(xué)生自主總結(jié)，并作出回答．預(yù)設(shè)答案：圓心角α所對(duì)的弧長與半徑的比值隨α的確定而唯一確定，因此，利用圓的弧長與半徑的關(guān)系度量圓心角的是合理的；在度量角的時(shí)候需要注意：聯(lián)系兩種度量制的橋梁是360°=2rad；要注意防止出現(xiàn)角的兩種度量制混用的現(xiàn)象，等等；用弧度制度量角的好處：弧度制下的扇形弧長、面積公式非常簡單，這是引入弧度制帶來的一個(gè)便利．實(shí)際上，角度制下角的度量制是六十進(jìn)制，與長度、面積的度量進(jìn)位制不一樣，于是在公式中要有“換算因子”．而弧度制下角度與長度、面積一樣，都是十進(jìn)制，就可以去掉這個(gè)“換算因子”了．背景背景引入弧度制的必要性定義的合理性弧度制定義表示關(guān)系應(yīng)用設(shè)計(jì)意圖：幫助學(xué)生梳理所學(xué)知識(shí)，并讓學(xué)生清楚引入弧度制的必要性，以及這樣定義的合理性，逐步提升學(xué)生邏輯推理的核心素養(yǎng)．（四）布置作業(yè)：1．第175頁練習(xí)；2．第175頁習(xí)題組1—9題．（五）目標(biāo)檢測設(shè)計(jì)1．把下列角度化成弧度：（1）22°3