兩角和與差的正切【新教材】2022年蘇教版高中數(shù)學必修同步教案（學生版教師版）

編號：013課題:§兩角和與差的正切目標要求1、理解并掌握兩角和與差的正切公式．2、理解并掌握給角求值問題．3、理解并掌握給值求角問題．4、理解并掌握給值求值問題.學科素養(yǎng)目標三角恒等變換公式是聯(lián)系三角函數(shù)與平面向量，物理應(yīng)用知識的橋梁.三角恒等變換公式中的“拆與添”、方程組思想等技巧都是數(shù)學常用思想方法.突出計算能力，邏輯推理能力，分析問題和解決實際應(yīng)用問題的能力．重點難點重點：給值求角問題；難點：給值求值問題．教學過程基礎(chǔ)知識點兩角和與差的正切公式(1)公式名稱簡記符號公式使用條件兩角和的正切且兩角差的正切且(2)本質(zhì):揭示了兩角和與差的正切值與兩角的正切值之間的關(guān)系.(3)應(yīng)用:①求值;②化簡.【思考】(1)由同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系知(2)兩角和與差的正切公式中為什么限制都不等于?【課前基礎(chǔ)演練】題1.（多選）下列命題正確的是()A.存在,使成立.B.對任意,都成立.C.對任意,都成立.D.等價于.題2.()A.B.C.D.題3.若,且為第三象限角,則的值等于 ()A. B. 關(guān)鍵能力·合作學習類型一給角求值問題(數(shù)學運算)【題組訓練】題4.計算:________.題10°+tan50°+tan10°tan50°=________.【解題策略】公式應(yīng)用的解題策略(1)公式有(或),(或),三者知二可求出第三個.(2)化簡過程中注意“1”與“”,“”與“”等特殊數(shù)與特殊角的函數(shù)值之間的轉(zhuǎn)化.【補償訓練】題.類型二給值求角問題(數(shù)學運算)【典例】題7.已知.(1)求的值;(2)求的值.【解題策略】給值求角問題的步驟及選取函數(shù)的原則(1)給值求角問題的步驟.①求所求角的某個三角函數(shù)值.②確定所求角的范圍(范圍過大或過小,會使求出的角不合題意或漏解),根據(jù)范圍找出角.(2)選取函數(shù)的原則.①已知正切函數(shù)值,選正切函數(shù).②已知正余弦函數(shù)值,選正弦或余弦函數(shù),若角的范圍是,選正弦或余弦函數(shù)均可;若角的范圍是,選余弦較好;若角的范圍是,選正弦較好.【跟蹤訓練】題8.已知,且為銳角,求的值.【補償訓練】題9.已知都是銳角,且,則________.類型三給值求值問題(數(shù)學運算)角度1式子變換【典例】題10.已知,則的值為 ()A.B.C.D.【變式探究】題11.已知,求的值.角度2拆角變換【典例】題12.已知,那么的值為()A.B.C.D.【解題策略】給值求值問題的兩種變換(1)式子的變換:分析已知式子的結(jié)構(gòu)特點,結(jié)合兩角和與差的三角函數(shù)公式,通過變形,建立與待求式子間的聯(lián)系以實現(xiàn)求值.(2)角的變換:首先從已知角間的關(guān)系入手,分析已知角與待求角間的關(guān)系,如用等關(guān)系,把待求的三角函數(shù)與已知三角函數(shù)巧妙地建立等量關(guān)系,從而求值.【題組訓練】題13.已知,則() 題14.已知為銳角,,則的值為________.課堂檢測·素養(yǎng)達標題15.設(shè)角的終邊過點(2,3),則()A.B. 題16.等于 ()A.C.D.題17.在△ABC中,,則的值為()A.B.C.D.題18.計算________.題19.已知,求的值.編號：013課題:§兩角和與差的正切目標要求1、理解并掌握兩角和與差的正切公式．2、理解并掌握給角求值問題．3、理解并掌握給值求角問題．4、理解并掌握給值求值問題.學科素養(yǎng)目標三角恒等變換公式是聯(lián)系三角函數(shù)與平面向量，物理應(yīng)用知識的橋梁.三角恒等變換公式中的“拆與添”、方程組思想等技巧都是數(shù)學常用思想方法.突出計算能力，邏輯推理能力，分析問題和解決實際應(yīng)用問題的能力．重點難點重點：給值求角問題；難點：給值求值問題．教學過程基礎(chǔ)知識點兩角和與差的正切公式(1)公式名稱簡記符號公式使用條件兩角和的正切且兩角差的正切且(2)本質(zhì):揭示了兩角和與差的正切值與兩角的正切值之間的關(guān)系.(3)應(yīng)用:①求值;②化簡.【思考】(1)由同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系知由此能否推導出兩角和的正切公式?若能,寫出推導過程.提示:能.，分子分母同除以,可得.(2)兩角和與差的正切公式中為什么限制都不等于?提示:這是由正切函數(shù)的定義域決定的.【課前基礎(chǔ)演練】題1.（多選）下列命題正確的是()A.存在,使成立.B.對任意,都成立.C.對任意,都成立.D.等價于.【答案】選AD提示:A√.當時,,但一般情況下不成立.B×.兩角和的正切公式的適用范圍是且.C×.兩角和的正切公式的適用范圍是且.D√.當時,由前一個式子兩邊同乘以可得后一個式子.題2.()A.B.C.D.【解析】選255°=tan(180°+75°)=tan75°=tan(45°+30°).題3.若,且為第三象限角,則的值等于 ()A. B. 【解析】選D.,且為第三象限角,則，所以.關(guān)鍵能力·合作學習類型一給角求值問題(數(shù)學運算)【題組訓練】題4.計算:________.【解析】原式=.答案:1題10°+tan50°+tan10°tan50°=________.【解析】因為tan60°=tan(10°+50°)=所以tan10°+tan50°=tan60°(1-tan10°tan50°)=,所以原式=.答案:【解題策略】公式應(yīng)用的解題策略(1)公式有(或),(或),三者知二可求出第三個.(2)化簡過程中注意“1”與“”,“”與“”等特殊數(shù)與特殊角的函數(shù)值之間的轉(zhuǎn)化.【補償訓練】題.【解析】原式.答案:類型二給值求角問題(數(shù)學運算)【典例】題7.已知.(1)求的值;(2)求的值.【解題策略】給值求角問題的步驟及選取函數(shù)的原則(1)給值求角問題的步驟.①求所求角的某個三角函數(shù)值.②確定所求角的范圍(范圍過大或過小,會使求出的角不合題意或漏解),根據(jù)范圍找出角.(2)選取函數(shù)的原則.①已知正切函數(shù)值,選正切函數(shù).②已知正余弦函數(shù)值,選正弦或余弦函數(shù),若角的范圍是,選正弦或余弦函數(shù)均可;若角的范圍是,選余弦較好;若角的范圍是,選正弦較好.【跟蹤訓練】題8.已知,且為銳角,求的值.【解析】因為，且為銳角,所以.又因為，且為銳角.所以,所以.①由為銳角,得,所以.所以，所以由①②可得.【補償訓練】題9.已知都是銳角,且,則________.【解析】因為，，因為,且為銳角,所以,同理,所以,所以.答案:類型三給值求值問題(數(shù)學運算)角度1式子變換【典例】題10.已知,則的值為 ()A.B.C.D.【思路導引】由條件得出與的值,代入兩角差的正切公式可求值.【解析】選A.因為,所以,,又，所以.【變式探究】題11.已知,求的值.【解析】因為,所以,,又，所以.角度2拆角變換【典例】題12.已知,那么的值為()A.B.C.D.【思路導引】【解析】選B..【解題策略】給值求值問題的兩種變換(1)式子的變換:分析已知式子的結(jié)構(gòu)特點,結(jié)合兩角和與差的三角函數(shù)公式,通過變形,建立與待求式子間的聯(lián)系以實現(xiàn)求值.(2)角的變換:首先從已知角間的關(guān)系入手,分析已知角與待求角間的關(guān)系,如用等關(guān)系,把待求的三角函數(shù)與已知三角函數(shù)巧妙地建立等量關(guān)系,從而求值.【題組訓練】題13.已知,則() 【解析】選D.由題意可知,化簡得:,解得.題14.已知為銳角,,則的值為________.【解析】因為為銳角,,所以.所以.答案:課堂檢測·素養(yǎng)達標題15.設(shè)角的終邊過點(2,3),則()A.B. 【解析】選A.由于角的終邊過點(2,3),因此,故.題16.等于 ()A.C.D.【解析】選B.原式=tan10°tan20°+tan30°(1-tan10°tan20