事件的相互獨立性【新教材】2022年人教A版高中數(shù)學(xué)必修講義

事件的相互獨立性事件的相互獨立性1、了解相互獨立事件的應(yīng)用2、掌握互斥事件、相互獨立事件的綜合運用3、理解事件的概率計算探索新知探索新知一、事件的相互獨立性1.事件的相互獨立性(1)定義:對任意兩個事件A與B.如果P(AB)=P(A)P(B)成立,則稱事件A與事件B相互獨立,簡稱為獨立.(2)性質(zhì):如果事件A與事件B相互獨立,那么A與,不與B,與B也相互獨立(3)"A與B相互獨立"是“P(AB)=P(A)P(B)"的充要條件(4)兩個事件相互獨立的概念也可以推廣到有限個事件，即“相互獨立”的充要條件是“其中任意有限個事件同時發(fā)生的概率都等于它們的概率之積”2.相互獨立事件與互斥事件的概率計算已知兩個事件A,B,它們的概率為P(A),P(B),將A,B中至少有一個發(fā)生記為事件AB,都發(fā)生記為事件AB,都不發(fā)生記為事件,恰有一個發(fā)生記為事件,至多有一個發(fā)生記為事件概率A,B互斥A,B相互獨立P(A)+P(B)1-P()P()P(AB)0P(A)P(B)P()l-[P(A)+P(B)]P()P()P()P(A)+P(B)P(A)P()+P()P(B)PABUABUAB)11-P(A)P(B)概念辨析概念辨析思考1思考11.隨著人民生活水平的提高，人們對牛奶品質(zhì)要求越來越高，某牛奶企業(yè)針對生產(chǎn)的鮮奶和酸奶，在一地區(qū)進(jìn)行了質(zhì)量滿意調(diào)查，現(xiàn)從消費者人群中隨機(jī)抽取500人次作為樣本，得到下表（單位：人次）：滿意度老年人中年人青年人酸奶鮮奶酸奶鮮奶酸奶鮮奶滿意100120120100150120不滿意503030505080（1）從樣本中任取1個人，求這個人恰好對生產(chǎn)的酸奶質(zhì)量滿意的概率；（2）從該地區(qū)的老年人中抽取2人，青年人中隨機(jī)選取1人，估計這三人中恰有2人對生產(chǎn)的鮮奶質(zhì)量滿意的概率；（3）依據(jù)表中三個年齡段的數(shù)據(jù)，你認(rèn)為哪一個消費群體鮮奶的滿意度提升，使得整體對鮮奶的滿意度提升最大？（直接寫結(jié)果）．【答案】（1）解：設(shè)這個人恰好對生產(chǎn)的酸奶滿意人數(shù)事件為A，總?cè)舜螢?00人，共抽取了100+120+150=370人次對酸奶滿意，所以P(A)=370（2）解：由頻率估計概率，由已知抽取老年人滿意度的概率為P(B)=45，抽取青年人滿意度的概率為P(C)=3P(D)=C所以這三人中恰有2人對生產(chǎn)的鮮奶質(zhì)量滿意的概率為56125（3）解：青年人.【考點】簡單隨機(jī)抽樣，相互獨立事件的概率乘法公式，古典概型及其概率計算公式【解析】（1）用頻率估計概率直接計算；先分別求出老年人和青年人滿意度的概率，然后對“抽取這三人中恰有兩人對生產(chǎn)的鮮奶質(zhì)量滿意”分成一老年人，一青年人滿意和兩老年人滿意討論進(jìn)行計算即可；

（3）直接判斷出青年人。思考2思考22.學(xué)校趣味運動會上增加了一項射擊比賽，比賽規(guī)則如下：向A、B兩個靶子進(jìn)行射擊，先向A靶射擊一次，命中得1分，沒有命中得0分；再向B靶連續(xù)射擊兩次，如果只命中一次得2分，一次也沒有命中得0分，如果連續(xù)命中兩次則得5分．甲同學(xué)準(zhǔn)備參賽，經(jīng)過一定的訓(xùn)練，甲同學(xué)的射擊水平顯著提高，目前的水平是：向A靶射擊，命中的概率是23；向B靶射擊，命中的概率為3（1）求甲同學(xué)恰好命中一次的概率；（2）求甲同學(xué)獲得的總分X的分布列及數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）解：記“甲同學(xué)恰好命中一次”為事件C，“甲射擊命中A靶”為事件D，“甲第一次射擊B靶命中”為事件E，“甲第二次射擊B靶命中”為事件F，由題意可知P(D)=23，由于C=DEP(C)=P(DE

（2）解：隨機(jī)變量X的可能取值為：0，1，2，3，5，6．P(X=0)=P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=5)=P(X=6)=X012356P111133E(X)=203【考點】相互獨立事件的概率乘法公式，離散型隨機(jī)變量及其分布列，離散型隨機(jī)變量的期望與方差【解析】（1）記“甲同學(xué)恰好命中一次”為事件C，“甲射擊命中A靶”為事件D，“甲第一次射擊B靶命中”為事件E，“甲第二次射擊B靶命中”為事件F，然后利用互斥事件概率的求解方法求解即可；

（2）隨機(jī)變量X的可能取值為：0，1，2，3，5，6，求出概率，得到分布列，然后求解數(shù)學(xué)期望值即可。思考3思考33.甲、乙兩隊進(jìn)行排球比賽，直到某隊贏3局為止.假設(shè)每局比賽獨立，且每局甲勝的概率為.（每局比賽均要分出勝負(fù)）（1）求比賽在第4局結(jié)束的概率；（2）若比賽在第4局結(jié)束，求甲獲勝的概率.【答案】（1）解：設(shè)比賽在第4局結(jié)束的概率為P，則P=C3（2）解：設(shè)比賽在第4局結(jié)束為事件A，甲獲勝為事件B，則P(B|A)=P(AB)【考點】互斥事件的概率加法公式，相互獨立事件的概率乘法公式思考4【解析】（1）比賽在第4局結(jié)束，包括兩種情況，第一種甲獲勝，則前三局甲勝兩次，乙勝一次，第四次甲勝，第二種乙獲勝，則前三局乙勝兩次，甲勝一次，第四次乙勝，兩種情況相加即可；

（2）設(shè)比賽在第4局結(jié)束為事件A，甲獲勝為事件B，P(B|A)=P(AB)思考44.有4名學(xué)生參加體育達(dá)標(biāo)測驗，4個各自合格的概率分別是13、14、15（1）4人中至少有2人合格的概率；（2）4人中恰好只有2人合格的概率.【答案】（1）解：4人中至少有2人合格：所有基本事件中排除{沒有合格，只有1人合格}，由題意，⒈沒有合格的概率為23⒉只有1人合格的概率為13∴4人中至少有2人合格的概率為1-1（2）解：4人中恰好只有2人合格，則其概率為：13【考點】相互獨立事件的概率乘法公式【解析】根據(jù)對立事件的概率求解方法求解即可。1.陳鏡開(1935~2010)，新中國舉重運動員，1956年在上海舉行的“中蘇舉重友誼賽”中，他以133公斤的成績，打破美國運動員C.溫奇保特的56公斤級挺舉世界紀(jì)錄，這是中國運動員創(chuàng)造的第一個世界紀(jì)錄1956~1964年期間，在上海?北京?莫斯科?萊比錫等國內(nèi)外的重大舉重比賽中，陳鏡開先后9次打破最輕量級和次輕量級挺舉世界紀(jì)錄，舉重比賽挺舉項目中，運動員對所要重量有3次試舉次數(shù)，只要一次試舉成功即為完成本次所要重量的比賽，才有資格進(jìn)入下輪所要更大重量的比賽，結(jié)合平時訓(xùn)練數(shù)據(jù)，某運動員挺舉130公斤成功的概率為(每次試舉之間互不影響)，則在挺舉比賽中，他有資格進(jìn)入下輪比賽的概率是（

）A.

B.

C.

D.

2.甲、乙二人爭奪一場圍棋比賽的冠軍，若比賽為“三局兩勝”制，甲在每局比賽中獲勝的概率均為34A.

13

B.

25

C.

233.某居民小區(qū)有兩個相互獨立的安全防范系統(tǒng)A和B，系統(tǒng)A和系統(tǒng)B在任意時刻發(fā)生故障的概率分別為15和p，若在任意時刻恰有一個系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為730，則A.

110

B.

118

C.

14.投擲一枚均勻硬幣和一枚均勻骰子各一次，記“硬幣正面向上”為事件A,“骰子向上的點數(shù)是3”為事件B,則事件A，B中至少有一件發(fā)生的概率是(

)A.

512

B.

12

C.

712參考答案【答案】D【解析】解：設(shè)“該運動員進(jìn)入下輪比賽”為事件A，其對立事件A為“該運動員沒有進(jìn)入下輪比賽”，事件A即該運動員3次試舉都失敗，則p(A則p(A)=1-p(A2.【答案】A【解析】記事件A:甲獲得冠軍，事件B:比賽進(jìn)行三局，事件AB:甲獲得冠軍，且比賽進(jìn)行了三局，則