函數(shù)的概念及其表示教案（Word）

《函數(shù)的概念及其表示（第一課時）》教學(xué)設(shè)計教學(xué)目標1．在初中用變量之間的依賴關(guān)系描述函數(shù)的基礎(chǔ)上，用集合語言和對應(yīng)關(guān)系刻畫函數(shù)，建立完整的函數(shù)概念，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．2．體會函數(shù)表示方式的多樣性，理解符號“f：A→B，y＝f(x)”，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．3．了解構(gòu)成函數(shù)的三要素．教學(xué)重難點教學(xué)重點：體會函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型，正確理解函數(shù)的概念．教學(xué)難點：函數(shù)概念及符號“y＝f(x)，x∈A”的理解．課前準備PPT課件．教學(xué)過程整體概覽問題1：閱讀課本第60頁，回答下列問題：（1）本章將要研究哪類問題？（2）本章要研究的對象在高中的地位是怎樣的？（3）本章研究的起點是什么？目標是什么？師生活動：學(xué)生帶著問題閱讀課本，老師指導(dǎo)學(xué)生概括總結(jié)章引言的內(nèi)容．預(yù)設(shè)的答案：（1）本章將要研究函數(shù)的概念、性質(zhì)及其應(yīng)用；（2）函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，也是學(xué)習(xí)其他學(xué)科的重要基礎(chǔ)；（3）起點是函數(shù)的概念，目標是通過研究函數(shù)的性質(zhì)把握客觀世界中各種各樣的運動變化規(guī)律．設(shè)計意圖：通過章引言的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生明晰下一階段的學(xué)習(xí)目標，初步搭建學(xué)習(xí)內(nèi)容的框架．二、問題導(dǎo)入問題2：在初中我們已經(jīng)接觸過函數(shù)的概念，知道函數(shù)是刻畫變量之間對應(yīng)關(guān)系的數(shù)學(xué)模型和工具．例如，正方形的周長l與邊長x的對應(yīng)關(guān)系是l＝4x．（1）l是x的函數(shù)嗎？（2）這個函數(shù)與正比例函數(shù)y＝4x是同一個函數(shù)嗎？師生活動：學(xué)生先回憶初中所學(xué)的函數(shù)概念，分析：在這個變化過程中，有兩個變量x與l，并且對于x的每一個確定的值，l都有唯一確定的值與其對應(yīng)，那么l是x的函數(shù)．預(yù)設(shè)的答案：問題（1）的答案是肯定的．問題（2）的爭議較大，答案懸而未決．設(shè)計意圖：用學(xué)生熟悉的例子導(dǎo)入，喚醒學(xué)生已有的知識經(jīng)驗—基于變量關(guān)系的函數(shù)定義，但是用初中的定義又不能清晰地解決問題（2），制造一種熟悉又陌生的感覺，激起學(xué)生的疑惑，激發(fā)學(xué)生的興趣．引語：要解決這個問題，就需要進一步學(xué)習(xí)函數(shù)概念．（板書：函數(shù)的概念）三、新知探究1．分析實際問題，感知函數(shù)的共同特征，逐步發(fā)現(xiàn)構(gòu)成函數(shù)的要素問題3：閱讀材料，回答問題：某“復(fù)興號”高速列車加速到350km/h后保持勻速運行半小時．這段時間內(nèi)，列車行進的路程S（單位：h）的關(guān)系可以表示為S＝350t．（1）S＝350t是函數(shù)嗎？為什么？（2）有人說：“根據(jù)對應(yīng)關(guān)系S＝350t，這趟列車加速到350km/h后，運行1h就前進了350km．”你認為這個說法正確嗎？師生活動：問題（1），學(xué)生判斷并說明理由，因為t和S是兩個變量，而且對于t的每一個確定的值，S都有唯一確定的值與之對應(yīng)，所以S是t的函數(shù)；問題（2），學(xué)生可能會出錯，老師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注時間t的變化范圍．追問1：能否根據(jù)現(xiàn)有條件回答“24h時對應(yīng)的距離是多少？”為什么？（不能，因為半小時之后列車的運行狀況未知．）追問2：這個說法犯了什么錯誤？（忽略了時間t的變化范圍．）追問3：你認為如何描述才能準確反映實際問題？（在S＝350t的基礎(chǔ)上，給時間t備注上范圍．）教師點撥：學(xué)生的回答可能不夠嚴謹，老師用精確的語言描述問題2中S與t的對應(yīng)關(guān)系．為學(xué)生做示范：列車行進的路程S與運行時間t的對應(yīng)關(guān)系是S＝350t．①其中，t的變化范圍是數(shù)集A1＝{t|0≤t≤}，S的變化范圍是數(shù)集B1＝{S|0≤S≤175}．對于數(shù)集A1中的任一時刻t，按照對應(yīng)關(guān)系①，在數(shù)集B1中都有唯一確定的路程S和它對應(yīng)．設(shè)計意圖：通過創(chuàng)設(shè)問題情境，讓學(xué)生意識到除了關(guān)注對應(yīng)關(guān)系之外，還必須明確自變量的取值范圍也是函數(shù)的一個重要構(gòu)成要素，提升了對函數(shù)概念的認識．問題4：閱讀材料，回答問題：某電器維修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超過6天．如果公司確定的工資標準是每人每天350元，而且每周付一次工資．（1）你認為該怎樣確定一個工人每周的工資？一個工人的工資w（單位：元）是他工作天數(shù)d的函數(shù)嗎？（2）問題3與問題4中函數(shù)有相同的對應(yīng)關(guān)系，你認為它們是同一個函數(shù)嗎？為什么？（3）請同學(xué)們模仿問題3給出的精確描述，準確地反映實際問題．師生活動：（1）學(xué)生直接回答：w＝350d，w是工作天數(shù)d的函數(shù)．（2）學(xué)生判斷并說明理由．不是同一個函數(shù)．因為在函數(shù)S＝350t中，0≤t≤；在函數(shù)w＝350d中，d∈{1，2，3，4，5，6}，雖然兩個函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系相同，但是自變量的取值范圍不同．（3）學(xué)生描述：工資w與一周工作天數(shù)d的對應(yīng)關(guān)系：w＝350d．②其中，d的變化范圍是數(shù)集A2＝{1，2，3，4，5，6}，w的變化范圍是數(shù)集B2＝{350，700，1050，1400，1750，2100}．對于數(shù)集A2中的任一個工作天數(shù)d，按照對應(yīng)關(guān)系②，在數(shù)集B2中都有唯一確定的工資w與它對應(yīng)．設(shè)計意圖：問題4與問題3的解析式相同但是定義域不同，是離散型函數(shù)．讓學(xué)生模仿問題3給出描述，并且對兩者進行比較，使學(xué)生進一步體會關(guān)注自變量的取值范圍的重要性．問題5：閱讀材料，回答問題：圖圖1圖1是北京市2016年11月23日空氣質(zhì)量指數(shù)（AirQualityIndex，簡稱AQI）變化圖．（1）I是t的函數(shù)嗎？為什么？（2）模仿前兩個問題，用精確的集合語言和對應(yīng)關(guān)系描述這個實際問題．師生活動：學(xué)生獨立完成有困難，教師通過追問幫助學(xué)生思考．追問1：①通過圖形能確定唯一的I與之對應(yīng)，怎么找？（在橫軸上，過t0作垂線交曲線與點（t0，I0），I0就是與t0對應(yīng)的值．）②從所給的圖中確定11月24日12：00的AQI的值嗎？為什么？（不能，因為時間不在圖象覆蓋的范圍內(nèi)．）預(yù)設(shè)的答案：從圖1中的曲線可知，t的變化范圍是數(shù)集A3＝{t|0≤t≤24}，AQI的值都在數(shù)集B3＝{I|0＜I＜150}．對于數(shù)集A3中的任一時刻t，按照圖1中曲線所給的對應(yīng)關(guān)系，在數(shù)集B3中都有唯一確定的AQI的值I與之對應(yīng)．因此，這里的I是t的函數(shù)．設(shè)計意圖：問題5是用圖象表示的函數(shù)關(guān)系，通過這個例子強化學(xué)生對圖象類型的對應(yīng)關(guān)系的認識，并認識到不是所有的函數(shù)都能用解析式表示，為引入抽象符號表示函數(shù)做鋪墊．問題6：閱讀材料，回答問題：表1我國某省城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)變化情況表1我國某省城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)變化情況國際上常用恩格爾系數(shù)r（r＝）反應(yīng)一個地區(qū)人民生活質(zhì)量的高低，恩格爾系數(shù)越低，生活質(zhì)量越高．表1是我國某省城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)變化情況，從中可以看出，該省城鎮(zhèn)居民的生活質(zhì)量越來越高．（1）你認為按表1給出的對應(yīng)關(guān)系，恩格爾系數(shù)r是年份y的函數(shù)嗎？為什么？（2）如果是，這個函數(shù)有解析式嗎？如何描述這個函數(shù)？師生活動：學(xué)生在回答問題時可能會把年份y的范圍寫成：{y|2006≤y≤2015}，這個素材正好可以幫助學(xué)生理解函數(shù)定義中的“值域是集合B的子集”．預(yù)設(shè)的答案：（1）r是y的函數(shù)．因為對于2006到2015年中任一個年份y，根據(jù)表1，都有唯一確定的恩格爾系數(shù)r與之對應(yīng)．（2）這個函數(shù)沒有解析式．從表格1可知，y的取值范圍是數(shù)集A4＝{2006，2007，2008，2009，2010，2011，2012，2013，2014，2015}，恩格爾系數(shù)r的取值范圍是數(shù)集B4＝{r|0＜r≤1}．對于數(shù)集A4中的任一個年份y，根據(jù)表1所給的對應(yīng)關(guān)系，在數(shù)集B4中都有唯一確定的恩格爾系數(shù)r與之對應(yīng)．設(shè)計意圖：問題6是用表格表示的函數(shù)關(guān)系，通過這個例子強化學(xué)生對表格類型的對應(yīng)關(guān)系的認識，并認識到不是所有的函數(shù)都能用解析式表示，為引入抽象符號表示函數(shù)做鋪墊．2．在大量實例感知的基礎(chǔ)上，抽象出函數(shù)概念問題7：上述問題3~問題6中的函數(shù)有哪些共同特征？由此你能抽象出函數(shù)概念的本質(zhì)特征嗎？師生活動：學(xué)生先獨立思考，之后組內(nèi)討論，找到構(gòu)成要素，老師指導(dǎo)總結(jié)，給出準確的概念．上述問題的共同特征有：（1）都包含兩個非空數(shù)集，用A，B來表示；（2）都有一個對應(yīng)關(guān)系；（3）盡管對應(yīng)關(guān)系的表示方法不同，但它們都有如下特性：對于數(shù)集A中的任意一個數(shù)x，按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y＝f(x)，x∈A．其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．函數(shù)的定義域，對應(yīng)關(guān)系和值域也叫函數(shù)的三要素．教師點撥：至此已經(jīng)形成了函數(shù)的概念，請你閱讀課本第63頁，并背會函數(shù)的定義．追問：值域和集合B相等嗎？它們的關(guān)系是什么？預(yù)設(shè)的答案：值域與集合B不一定相等，值域是集合B的子集，具體例子見問題6．3．辨析概念問題7：你能用新的定義描述一次函數(shù)y＝ax＋b（a≠0）、二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）和反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)（k≠0）嗎？從哪幾個角度描述？師生活動：學(xué)生先獨立完成，最后填表匯總，教師有針對性地指導(dǎo)糾正．函數(shù)一次函數(shù)二次函數(shù)反比例函數(shù)a＞0a＜0對應(yīng)關(guān)系定義域值域設(shè)計意圖：用新的方式闡述熟悉的函數(shù)，使學(xué)生熟悉新的語言，進一步體會集合—對應(yīng)說函數(shù)定義的精確性和普適性．例1函數(shù)的解析式是舍棄問題的實際背景而抽象出來的，它所反映的兩個量之間的對應(yīng)關(guān)系，可以廣泛地用于刻畫一類事物中的變量關(guān)系和規(guī)律．例如，正比例函數(shù)y＝kx（k≠0）可以用來刻畫勻速運動中路程與時間的關(guān)系、一定密度的物體的質(zhì)量與體積的關(guān)系、圓的周長與半徑的關(guān)系等．試構(gòu)建一個問題情境，使其中的變量關(guān)系可以用解析式y(tǒng)＝x（10－x）來描述．師生活動：先讓學(xué)生思考，展示其想到的不同情境．預(yù)設(shè)的答案：把y＝x（10－x）看成二次函數(shù)，那么它的定義域是R，值域是B＝{y|y≤25}．對應(yīng)關(guān)系f把R中的任意一個數(shù)x，對應(yīng)到B中唯一的數(shù)x（10－x）．如果對x的取值范圍作出限制，例如x∈{x|0＜x＜10}，那么可以構(gòu)建如下情境：長方形的周長為20，設(shè)其一邊長為x，面積為y，那么y＝x（10－x）．其中，x的取值范圍是A＝{x|0＜x＜10}，y的取值范圍是B＝{y|0＜y≤25}．對應(yīng)關(guān)系f把每一個長方形的周長x，對應(yīng)到唯一確定的面積x（10－x）．設(shè)計意圖：一個解析式對應(yīng)多種問題情境，讓學(xué)生感受函數(shù)能解決一類問題的作用，讓學(xué)生感受函數(shù)是刻畫客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型．四、歸納小結(jié)，布置作業(yè)問題8：本節(jié)課我們主要學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念，為什么要重新學(xué)習(xí)函數(shù)的概念？用“集合—對應(yīng)說”下的函數(shù)概念分析一個函數(shù)要關(guān)注哪幾個要素？這些要素的特點是什么？與初中的函數(shù)概念相比，要特別注意哪個要素？師生活動：學(xué)生嘗試總結(jié)，老師適當補充．預(yù)設(shè)的答案：初中所學(xué)的函數(shù)概念主要關(guān)注的是變量之間的依賴關(guān)系，對自變量的變化范圍缺乏約束，在應(yīng)用中容易產(chǎn)生誤判．采用“集合—對應(yīng)說”之后，同時關(guān)注函數(shù)的定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域．其中對應(yīng)關(guān)系是核心，有如下特征：對于定義域中任意實數(shù)在值域中都能找到唯一的實數(shù)與之對應(yīng)．但對應(yīng)關(guān)系的形式多樣，除了解析式，還可以是圖象，表格，文字語言等．與初中的函數(shù)概念相比，要特別注意定義域必須符合題目要求．設(shè)計意圖：通過梳理本節(jié)課的內(nèi)容，能讓學(xué)生更加明確“集合—對應(yīng)說”的意義，更加深刻地認識到函數(shù)的內(nèi)涵．作業(yè)布置：教科書習(xí)題第1，3題．五、目標檢測設(shè)計1．一枚炮彈發(fā)射后，經(jīng)過26s落到底面擊中目標．炮彈的射高為845m，且炮彈距地面的高度h（單位：m）與時間t（單位：s）的關(guān)系為：h＝130t－5t2．①求①所表示的函數(shù)的定義域與值域，并用函數(shù)的定義描述．設(shè)計意圖：考查函數(shù)的概念．2．2016年11月2日8時至次日8時（次日的時間前加0表示）北京的溫度走勢如圖2所示．圖圖2（1）函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系為圖中曲線，求該函數(shù)的定義域與值域；（2）根據(jù)圖象，求這一天12時所對應(yīng)的溫度．設(shè)計意圖：考查對應(yīng)關(guān)系是圖象的函數(shù)的要素以及圖象與解析式的互相轉(zhuǎn)化．3．集合A，B與對應(yīng)關(guān)系f如下圖3所示：圖圖3f：A→B是否為從集合A到集合B的函數(shù)？如果是，那么定義域、值域與對應(yīng)關(guān)系各是什么？設(shè)計意圖：考查對應(yīng)關(guān)系是venn圖的函數(shù)的要素，讓學(xué)生明確函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系的多樣性．4．構(gòu)建一個問題情境，使其中的變量關(guān)系能用解析式y(tǒng)＝eq\r(x)來描述．設(shè)計意圖：考查用函數(shù)解決實際問題的能力．參考答案：1．定義域為A＝{t|0≤t≤26}，值域為B＝{h|0≤h≤845}．對應(yīng)關(guān)系h＝130t－5t2把集合A中的