函數(shù)的概念及其表示教案（Word）3

《函數(shù)的概念及其表示（第二課時）》教學設計教學目標1．能求簡單函數(shù)的定義域，會求函數(shù)值，提升學生的數(shù)學運算素養(yǎng)．2．在理解函數(shù)概念的基礎上，理解相同函數(shù)的含義，掌握相同函數(shù)的判定步驟，提升學生的數(shù)學抽象素養(yǎng)．3．了解區(qū)間的含義，能進行區(qū)間、不等式與數(shù)軸表示的相互轉化，提升學生的直觀想象素養(yǎng)．教學重難點教學重點：在理解函數(shù)概念的基礎上，理解相同函數(shù)的含義，掌握相同函數(shù)的判定步驟．教學難點：體會函數(shù)記號的含義．課前準備PPT課件．教學過程一、復習引入問題1：在上一小節(jié)里，我們重新學習了函數(shù)的概念，請你默寫這個概念．師生活動：學生可能并不能逐字逐句默寫，但是只要抓住它的三個要素就予以肯定．預設的答案：對于數(shù)集A中的任意一個數(shù)x，按照某種確定的對應關系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y＝f(x)，x∈A．其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．設計意圖：通過默寫為本節(jié)課的學習奠定基礎．引語：函數(shù)是本章乃至整個高中數(shù)學的核心內容，概念就是它的基石，穩(wěn)定的基石是搭建知識大廈的前提，我們這節(jié)課繼續(xù)深入研究函數(shù)的概念．（板書：函數(shù)的概念）二、新知探究1．研讀課本，理解區(qū)間的概念問題2：研究函數(shù)時我們經(jīng)常會用到區(qū)間的概念，請同學們閱讀課本第64頁的相關內容，試著完成下列兩個表格：定義名稱符號數(shù)軸表示{x|a≤x≤b}{x|a＜x＜b}{x|a≤x＜b}{x|a＜x≤b}定義符號數(shù)軸表示{x|x≥a}{x|x＞a}{x|x≤b}{x|x＜b}師生活動：學生閱讀教材，獨立完成表格，老師巡視指導并強調一些共性問題．預設的答案：定義名稱符號數(shù)軸表示{x|a≤x≤b}閉區(qū)間[a，b]{x|a＜x＜b}開區(qū)間(a，b){x|a≤x＜b}半開半閉區(qū)間[a，b){x|a＜x≤b}半開半閉區(qū)間(a，b]定義符號數(shù)軸表示{x|x≥a}[a，＋∞){x|x＞a}(a，＋∞){x|x≤b}(－∞，b]{x|x＜b}(－∞，b)追問1：區(qū)間的左端點a與右端點b的關系是什么？（a＜b）追問2：區(qū)間與數(shù)軸之間的關系是什么？（任何區(qū)間均可在數(shù)軸上表示出來，區(qū)間中的每個元素對應數(shù)軸上的一個點．）追問3：學習區(qū)間的意義是什么？（區(qū)間表示連續(xù)性的數(shù)集，為我們研究函數(shù)的定義域、值域提供方便．）設計意圖：學習新知識，為后續(xù)簡潔地表示定義域、值域等作鋪墊．2．應用新知，深化對函數(shù)概念的理解例1已知函數(shù)f(x)＝eq\r(x＋3)＋eq\f(1,x＋2)，（1）求函數(shù)f(x)的定義域；（2）求f(－3)，f(eq\f(2,3))的值；（3）當a＞0時，求f(a)，f(a－1)的值．師生活動：學生獨立完成，老師挑選有代表性的解答進行投影點評，最后用PPT演示規(guī)范的書寫過程．預設的答案：解：（1）使根式eq\r(x＋3)有意義的實數(shù)x的集合是{x|x≥－3}，使分式eq\f(1,x＋2)有意義的實數(shù)實數(shù)x的集合是{x|x≠－2}．所以，這個函數(shù)的定義域是{x|x≥－3}∩{x|x≠－2}＝{x|x≥－3且x≠－2}，即：[－3，－2)∪(－2，＋∞)．通常，求定義域的過程可以適當簡化，過程如下：解：（1）要使該函數(shù)有意義，則需eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋3≥0，,x＋2≠0．))解得：x≥－3且x≠－2．所以函數(shù)f(x)的定義域為[－3，－2)∪(－2，＋∞)．（2）將－3與eq\f(2,3)代入解析式，有f(－3)＝eq\r(－3＋3)＋eq\f(1,－3＋2)＝－1；f(eq\f(2,3))＝eq\r(eq\f(2,3)＋3)＋eq\f(1,eq\f(2,3)＋2)＝eq\r(eq\f(11,3))＋eq\f(3,8)＝eq\f(3,8)＋eq\f(\r(33),3)．（3）因為a＞0時，所以f(a)，f(a－1)有意義．f(a)＝eq\r(a＋3)＋eq\f(1,a＋2)；f(a－1)＝eq\r(a－1＋3)＋eq\f(1,a－1＋2)＝eq\r(a＋2)＋eq\f(1,a＋1)．追問1：如何求解函數(shù)的定義域？（如果給出解析式y(tǒng)＝f(x)，那么函數(shù)的定義域就是指能使這個式子有意義的實數(shù)的集合．比如：①偶次方根中被開方數(shù)非負；②分式中分母不能為0；③0次冪式中底數(shù)不能為0；④在實際問題中，還必須考慮自變量所代表的具體量的允許值范圍．）追問2：f(x)＝eq\r(x＋3)＋eq\f(1,x＋2)與y＝eq\r(x＋3)＋eq\f(1,x＋2)的含義相同，都是給出了一個函數(shù)的解析式，用f(x)替換y之后有什么優(yōu)勢？（在y＝eq\r(x＋3)＋eq\f(1,x＋2)中，要表示－3對應的函數(shù)值，我們一般都需要這樣描述：當x＝－3時，y＝－1；而在f(x)＝eq\r(x＋3)＋eq\f(1,x＋2)中，我們只需要用f(－3)＝－1表示即可．）追問3：f(x)與f(a)有何區(qū)別與聯(lián)系？（f(a)表示當自變量x＝a時的函數(shù)值，是一個確定的數(shù)，而f(x)表示變量，f(a)是f(x)的一個特殊值．）追問4：能說說你對記號“y＝f(x)”的理解嗎？（首先它不能理解為“y等于f與x的乘積”，它是“y是x的函數(shù)”的符號表示，具體而言是：變量x在對應關系f的作用下對應到y(tǒng)．）教師點撥：在同時研究兩個或多個函數(shù)時，常用不同符號表示不同的函數(shù)，除用符號f(x)外，還常用g(x)、F(x)、G(x)等符號來表示．設計意圖：通過例1的學習，讓學生對函數(shù)的定義域、對應關系、以及符號“y＝f(x)”有具體的感受，能更透徹的理解，并且在求解定義域過程中，熟悉區(qū)間的使用．例2下列函數(shù)中哪個與函數(shù)y＝x是同一個函數(shù)？（1）y＝(eq\r(x))2；（2）u＝eq\r(3,v3)；（3）y＝eq\r(x2)；（4）m＝eq\f(n2,n)．師生活動：老師先引導學生思考同一個函數(shù)的含義，然后讓學生嘗試判斷，在判斷中發(fā)現(xiàn)問題：正確化簡解析式，定義域優(yōu)先原則的應用以及函數(shù)記號的理解等，老師應該給予及時的解答與幫助．預設的答案：解：（1）y＝(eq\r(x))2＝x（x∈[0，＋∞)），它與函數(shù)y＝x（x∈R）雖然對應關系相同，但是定義域不相同，所以這個函數(shù)與函數(shù)y＝x（x∈R）不是同一個函數(shù)．（2）u＝eq\r(3,v3)＝v（v∈R），它與函數(shù)y＝x（x∈R）不僅對應關系相同，而且定義域也相同，所以這個函數(shù)與函數(shù)y＝x（x∈R）是同一個函數(shù)．（3）y＝eq\r(x2)＝|x|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x，x<0，,x，x≥0，))，它與函數(shù)y＝x（x∈R）雖然定義域都是實數(shù)集R，但是當x＜0時，它的對應關系與y＝x（x∈R）不相同，所以這個函數(shù)與函數(shù)y＝x（x∈R）不是同一個函數(shù)．（4）m＝eq\f(n2,n)＝n（n∈(－∞，0)∪(0，＋∞)），它與函數(shù)y＝x（x∈R）的對應關系相同但定義域不相同，所以這個函數(shù)與函數(shù)y＝x（x∈R）不是同一個函數(shù)．追問1：兩個函數(shù)相等的含義是什么？（函數(shù)的三要素都相等．值域是由定義域和對應關系決定的，所以只要兩個函數(shù)的定義域和對應關系一致，這兩個函數(shù)就相等．）追問2：你能總結判斷兩個函數(shù)是否相同的步驟嗎？（先求函數(shù)的定義域，如果定義域不相同，則不是相同函數(shù)，結束判斷；如果相等，則判斷對應關系是否相同，定義域和對應關系均相等才能得出相等的結論．高中階段對應關系一般都是以解析式的形式給出，我們一般需要先考慮化簡解析式再判斷，若解析式也相等，則是相同函數(shù)，若否，則不是相同函數(shù)．）追問3：你如何理解函數(shù)u＝eq\r(3,v3)的對應關系？（因為u＝＝v（v∈R），所以對于R中的任一實數(shù)v，通過對應關系u＝v，在R中都有唯一的一個實數(shù)u與之對應，因為u＝v，所以就是任一實數(shù)與它本身的對應．）追問4：你能結合函數(shù)的圖象驗證你的判斷嗎？（能．老師PPT投影圖象，讓學生論述．比如在（1）中，y＝(eq\r(x))2的圖象為一條射線，對應定義域為[0，＋∞)，對比y＝x的圖象，缺少第三象限的部分．）（1）（1）y＝(eq\r(x))2（2）u＝eq\r(3,v3)vu（3）（3）y＝eq\r(x2)（4）m＝eq\f(n2,n)mn教師點撥：對于同一個自變量，對應的函數(shù)值相同，就是對應關系一致，這與用什么符號表示無關，再比如：y＝x2(x∈R)，y＝u2(u∈R)是同一個函數(shù)．設計意圖：通過判斷函數(shù)是否相同來認識函數(shù)的整體性，進一步加深對函數(shù)概念的理解．借助信息技術從圖象角度體會函數(shù)的三要素，提高學生解析式與圖象表示間的轉化能力．三、歸納小結，布置作業(yè)問題3：請同學們回顧本節(jié)課的內容，回答下列問題：（1）區(qū)間是表示什么的符號？（2）在判斷兩個函數(shù)是否相同時，我們需要注意什么？師生活動：學生先獨立思考，再由學生代表回答，其他學生依次補充，老師最后總結．預設的答案：（1）區(qū)間是用于表示連續(xù)數(shù)集的符號；（2）定義域相同是函數(shù)相等的先決條件，需要優(yōu)先判斷；對應關系相等與否不在于解析式用什么字母符號表示，而在于同一自變量對應的函數(shù)值是否相等．設計意圖：引導學生對關鍵內容進行小結，進一步加深對函數(shù)概念的理解．作業(yè)布置：教科書習題3．1第2，4，5，17題．四、目標檢測設計1．求下列函數(shù)的定義域：（1）f(x)＝eq\f(1,4x＋7)；（2）f(x)＝eq\r(1－x)＋eq\r(x＋3)－1．設計意圖：考查函數(shù)定義域的求解．2．已知函數(shù)f(x)＝3x3＋2x，（1）求f（2），f(－2)，f（2）＋f(－2)的值；（2）求f(a)，f(－a)，f(a)＋f(－a)的值．設計意圖：通過函數(shù)求值問題發(fā)現(xiàn)函數(shù)的一些性質，可為后面學習函數(shù)性質積累素材．3．判斷下列各組中的函數(shù)是否為同一個函數(shù)，并說明理由：（1）表示炮彈飛行高度h與時間t關系的函數(shù)h＝130t－5t2和二次函數(shù)y＝130x－5x2；（2）f(x)＝1和g(x)＝x0．設計意圖：加深對