向量的加減法【新教材】2022年蘇教版高中數(shù)學(xué)必修同步教案（學(xué)生版教師版）

編號(hào)：002課題:§向量的加減法目標(biāo)要求1、理解并掌握向量的概念．2、理解并掌握零向量與單位向量．3、理解并掌握相等向量與共線向量．4、理解并掌握向量的應(yīng)用.學(xué)科素養(yǎng)目標(biāo)向量注重“形”，是幾何學(xué)的基礎(chǔ)，廣泛應(yīng)用于實(shí)際生活和生產(chǎn)中.通過數(shù)形結(jié)合，了解向量知識(shí)在高中階段的作用．重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：相等向量與共線向量；難點(diǎn)：向量的應(yīng)用．教學(xué)過程基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)1.向量加法的定義求____________________的運(yùn)算,叫作向量的加法.2.求向量和的方法(1)三角形法則與平行四邊形法則三角形法則作法已知向量和,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,作,則向量叫作與的和,記作,即.圖示平行四邊形法則作法對(duì)于任意兩個(gè)不共線的非零向量,分別作,以O(shè)A,OC為鄰邊作?OABC,則以O(shè)為起點(diǎn)的對(duì)角線表示的向量就是向量與的和.圖示規(guī)定(2)本質(zhì):向量加法運(yùn)算結(jié)果仍是向量,此向量的方向和大小可以用三角形法則和平行四邊形法則作出.三角形法則的物理模型是位移的合成.平行四邊形法則的物理模型是力的合成.(3)應(yīng)用:①兩個(gè)非零向量的和;②為學(xué)習(xí)向量的其他運(yùn)算奠定基礎(chǔ).【思考】向量加法的三角形法則和平行四邊形法則的使用條件有什么不同?兩者有何聯(lián)系?3.|a+b|,|a|,|b|之間的關(guān)系一般地,我們有,當(dāng)且僅當(dāng)________________時(shí)等號(hào)成立.4.向量加法的運(yùn)算律交換律結(jié)合律5.向量的減法(1)本質(zhì):向量的減法是向量加法的逆運(yùn)算.(2)定義:若,則向量叫作與的差,記為.求兩個(gè)向量差的運(yùn)算,叫作向量的減法.(3)應(yīng)用:①求兩個(gè)向量的差;②為向量的綜合運(yùn)算奠定基礎(chǔ).6.向量減法的幾何意義作法已知向量,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,作,則圖示(1)已知是不共線的向量,如何在同一個(gè)平行四邊形中作出和?(2)在代數(shù)運(yùn)算中的移項(xiàng)法則,在向量中是否仍然成立?【課前基礎(chǔ)演練】題1.（多選）下列命題正確的是()A.存在向量,使得是一個(gè)實(shí)數(shù). B.在平行四邊形ABCD中，.C..D.相反向量不一定是平行向量,平行向量一定是相反向量.題2.在平行四邊形ABCD中,下列結(jié)論錯(cuò)誤的是 ()A.B.C. D.題3.若表示“向東走8km”,表示“向北走8km”,則________,的方向是________.關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類型一三角形法則、平行四邊形法則的應(yīng)用(直觀想象)【題組訓(xùn)練】題4.下列等式錯(cuò)誤的是 ()A.B.C.D.在?ABCD中,題5.如圖所示的方格紙中有定點(diǎn)O,P,Q,E,F,G,H,則 ()A. B. C. D.題6.如圖,已知向量.(1)用平行四邊形法則作出向量;(2)用三角形法則作出向量.【補(bǔ)償訓(xùn)練】題7.向量等于 ()A. B. C. D.題8.如圖,已知?ABCD,O是兩條對(duì)角線的交點(diǎn),E是CD的一個(gè)三等分點(diǎn),求作:(1);(2).題9.已知,則___________.【補(bǔ)償訓(xùn)練】題10.如圖,已知三個(gè)向量,試用三角形法則和平行四邊形法則分別作向量.類型二向量減法的幾何意義(直觀想象)【典例】題11.如圖,已知向量不共線,求作向量.【變式探究】題12.如圖,已知向量不共線,求作向量:.【跟蹤訓(xùn)練】題13.如圖所示,O為△ABC內(nèi)一點(diǎn),,求作:.【補(bǔ)償訓(xùn)練】題14.如圖,已知向量,求作.類型三向量加減法的運(yùn)算(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】題15.化簡(jiǎn):(1);(2).2.化簡(jiǎn):(1);(2);(3);(4);(5);(6).【跟蹤訓(xùn)練】題16.設(shè)E是平行四邊形ABCD外一點(diǎn),如圖所示,化簡(jiǎn)下列各式:(1)________;(2)________;(3)________;(4)________.【補(bǔ)償訓(xùn)練】題17.在平行四邊形ABCD中(如圖),對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O,則①________.②________.③________.④________.題18.化簡(jiǎn)下列各式:(1);(2).【補(bǔ)償訓(xùn)練】題19.下列各式中不能化簡(jiǎn)為的是 ()A.B.C.D.類型四向量加減法的綜合應(yīng)用(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)角度1與平面幾何知識(shí)綜合應(yīng)用【典例】題20.已知四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,且.求證:四邊形ABCD是平行四邊形.【變式探究】題21.四邊形ABCD中,,且,求證四邊形ABCD為矩形.角度2與物理知識(shí)綜合【典例】題22.一艘船以5km/h的速度向垂直于對(duì)岸方向行駛,航船實(shí)際航行方向與水流方向成30°角,求水流速度和船實(shí)際速度.【思路導(dǎo)引】畫出示意圖,根據(jù)向量加法的幾何意義分析水流速度、船垂直于對(duì)岸的方向行駛的速度和船實(shí)際航行的速度之間的關(guān)系,解直角三角形求有關(guān)線段和角的大小.【題組訓(xùn)練】題23.已知點(diǎn)G是△ABC的重心,則________.題24.一架直升飛機(jī)從A地沿北偏東60°方向飛行了40km到B地,再由B地沿正北方向飛行40km到達(dá)C地,求此時(shí)直升飛機(jī)與A地的相對(duì)位置.【補(bǔ)償訓(xùn)練】題25.如圖所示,P,Q是△ABC的邊BC上兩點(diǎn),且.求證:.題26.如圖所示,在正八邊形ABCDEFGH中,,(1)試用已知向量表示;(2)試用已知向量表示.課堂檢測(cè)·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)題27.若C是線段AB的中點(diǎn),則等于 ()A. B.C. D.以上均不正確題28.下列運(yùn)算中正確的是 ()A. B.C. D.題29.化簡(jiǎn):(1)________;(2)________.題30.根據(jù)下圖填空:.題31.河水從東向西流,流速為2m/s,一小船以2m/s垂直水流方向向北橫渡,求小船實(shí)際航行的方向和航速(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位).編號(hào)：002課題:§向量的加減法目標(biāo)要求1、理解并掌握向量的概念．2、理解并掌握零向量與單位向量．3、理解并掌握相等向量與共線向量．4、理解并掌握向量的應(yīng)用.學(xué)科素養(yǎng)目標(biāo)向量注重“形”，是幾何學(xué)的基礎(chǔ)，廣泛應(yīng)用于實(shí)際生活和生產(chǎn)中.通過數(shù)形結(jié)合，了解向量知識(shí)在高中階段的作用．重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：相等向量與共線向量；難點(diǎn)：向量的應(yīng)用．教學(xué)過程基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)1.向量加法的定義求___兩個(gè)向量和__的運(yùn)算,叫作向量的加法.2.求向量和的方法(1)三角形法則與平行四邊形法則三角形法則作法已知向量和,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,作,則向量叫作與的和,記作,即.圖示平行四邊形法則作法對(duì)于任意兩個(gè)不共線的非零向量,分別作,以O(shè)A,OC為鄰邊作?OABC,則以O(shè)為起點(diǎn)的對(duì)角線表示的向量就是向量與的和.圖示規(guī)定(2)本質(zhì):向量加法運(yùn)算結(jié)果仍是向量,此向量的方向和大小可以用三角形法則和平行四邊形法則作出.三角形法則的物理模型是位移的合成.平行四邊形法則的物理模型是力的合成.(3)應(yīng)用:①兩個(gè)非零向量的和;②為學(xué)習(xí)向量的其他運(yùn)算奠定基礎(chǔ).【思考】向量加法的三角形法則和平行四邊形法則的使用條件有什么不同?兩者有何聯(lián)系?提示:(1)三角形法則適用于任意兩個(gè)非零向量求和,平行四邊形法則只適用于兩個(gè)不共線的向量求和.(2)當(dāng)兩個(gè)向量不共線時(shí),兩個(gè)法則是一致的.如圖所示,(平行四邊形法則),又因?yàn)?所以(三角形法則).3.|a+b|,|a|,|b|之間的關(guān)系一般地,我們有,當(dāng)且僅當(dāng)__方向相同__時(shí)等號(hào)成立.4.向量加法的運(yùn)算律交換律結(jié)合律5.向量的減法(1)本質(zhì):向量的減法是向量加法的逆運(yùn)算.(2)定義:若,則向量叫作與的差,記為.求兩個(gè)向量差的運(yùn)算,叫作向量的減法.(3)應(yīng)用:①求兩個(gè)向量的差;②為向量的綜合運(yùn)算奠定基礎(chǔ).6.向量減法的幾何意義作法已知向量,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,作,則圖示(1)已知是不共線的向量,如何在同一個(gè)平行四邊形中作出和?提示:如圖所示,作平行四邊形OACB,設(shè),根據(jù)向量加法的平行四邊形法則和向量減法的三角形法則,有.(2)在代數(shù)運(yùn)算中的移項(xiàng)法則,在向量中是否仍然成立?提示:成立.在向量等式的兩邊都加上或減去同一個(gè)向量仍得到向量等式,因此移項(xiàng)法則對(duì)向量等式也是適用的.【課前基礎(chǔ)演練】題1.（多選）下列命題正確的是()A.存在向量,使得是一個(gè)實(shí)數(shù). B.在平行四邊形ABCD中，.C..D.相反向量不一定是平行向量,平行向量一定是相反向量.【答案】選BC提示:A×.兩個(gè)向量的和仍是一個(gè)向量.B√.由向量加法的平行四邊形法則可知.C√.由向量加法的交換律、結(jié)合律知,a+(b+c)=(a+b)+c=c+(a+b).D×.由平行向量與相反向量的定義可知,相反向量必為平行向量,平行向量不一定是相反向量.故選BC.題2.在平行四邊形ABCD中,下列結(jié)論錯(cuò)誤的是 ()A.B.C. D.【解析】選C.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形,所以,所以,A正確;,由向量加法的平行四邊形法則可知,,B正確;,C錯(cuò)誤;因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形,所以與互為相反向量,所以,D正確.題3.若表示“向東走8km”,表示“向北走8km”,則________,的方向是________.【解析】如圖所示,作,則.所以(km),因?yàn)椤螦OB=45°,所以的方向是東北方向.答案:km東北方向關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類型一三角形法則、平行四邊形法則的應(yīng)用(直觀想象)【題組訓(xùn)練】題4.下列等式錯(cuò)誤的是 ()A.B.C.D.在?ABCD中,【解析】選A.由向量加法可知.題5.如圖所示的方格紙中有定點(diǎn)O,P,Q,E,F,G,H,則 ()A. B. C. D.【解析】選C.設(shè),利用平行四邊形法則作出向量,再平移即發(fā)現(xiàn).題6.如圖,已知向量.(1)用平行四邊形法則作出向量;(2)用三角形法則作出向量.【解析】(1)如圖,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,作,以O(shè)A,OB為鄰邊作?OACB,連接OC,則.(2)如圖,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O',作,連接O'E,則.【解題策略】1.應(yīng)用三角形法則應(yīng)注意的問題使用三角形法則求兩個(gè)向量的和時(shí),應(yīng)注意“首尾相連,起點(diǎn)指終點(diǎn)”,即首尾相連的兩個(gè)向量的和對(duì)應(yīng)的向量是第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向第二個(gè)向量的終點(diǎn).2.應(yīng)用平行四邊形法則應(yīng)注意的問題(1)平行四邊形法則只適用于求不共線的兩個(gè)向量的和.(2)基本步驟可簡(jiǎn)述為:共起點(diǎn)兩向量所在線段為鄰邊作平行四邊形,找共起點(diǎn)的對(duì)角線對(duì)應(yīng)的向量.【補(bǔ)償訓(xùn)練】題7.向量等于 ()A. B. C. D.【解析】選C..題8.如圖,已知?ABCD,O是兩條對(duì)角線的交點(diǎn),E是CD的一個(gè)三等分點(diǎn),求作:(1);(2).【解析】(1)延長(zhǎng)AC,在延長(zhǎng)線上截取CF=AO,則向量即為所求.(2)在AB上取點(diǎn)G,使AG=AB,則向量即為所求.【拓展延伸】向量加法的多邊形法則向量加法的三角形法則可以推廣為多個(gè)向量求和的多邊形法則,即把每個(gè)向量平移,使這些向量首尾相連,則由第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量終點(diǎn)的向量就是這些向量的和向量.即:.或.這是一個(gè)極其簡(jiǎn)單卻非常有用的結(jié)論(如圖).利用向量加法的多邊形法則化簡(jiǎn)多個(gè)向量的和有時(shí)非常有效.【拓展訓(xùn)練】題9.已知,則___________.【解析】.答案:【補(bǔ)償訓(xùn)練】題10.如圖,已知三個(gè)向量,試用三角形法則和平行四邊形法則分別作向量.【解析】利用三角形法則作a+b+c,如圖①所示,作,以A為起點(diǎn),作,再以B為起點(diǎn),作,則.利用平行四邊形法則作,如圖②所示,作,以為鄰邊作?OADB,則,再以為鄰邊作?ODEC,則.類型二向量減法的幾何意義(直觀想象)【典例】題11.如圖,已知向量不共線,求作向量.【思路導(dǎo)引】先作,再作.作向量的差時(shí),可以依據(jù)定義也可以依據(jù)向量減法的三角形法則.【解析】方法一:如圖所示,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,作,則,再作,則.方法二:如圖所示,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,作,則,再作,連接OC,則.【變式探究】題12.如圖,已知向量不共線,求作向量:.【解析】如圖所示:【解題策略】作兩個(gè)向量的差的兩種方法(1)用向量減法的三角形法則①步驟②口訣:共起點(diǎn),連終點(diǎn),指向被減.(2)用向量減法的定義根據(jù)轉(zhuǎn)化為向量加法運(yùn)算,再作圖.【跟蹤訓(xùn)練】題13.如圖所示,O為△ABC內(nèi)一點(diǎn),,求作:.【解析】方法一:以為鄰邊作平行四邊形OBDC,連接OD,AD,則.方法二:作,連接AD,則.【補(bǔ)償訓(xùn)練】題14.如圖,已知向量,求作.【解析】如圖,以A為起點(diǎn)分別作向量和,使.連接CB,得向量,再以C為起點(diǎn)作向量,使.連接DB,得向量.則向量即為所求作的向量.類型三向量加減法的運(yùn)算(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】題15.化簡(jiǎn):(1);(2).【解析】(1).(2).2.化簡(jiǎn):(1);(2);(3);(4);(5);(6).【思路導(dǎo)引】1.綜合利用向量加法的運(yùn)算律和三角形法則解答.2.首先用向量加法的運(yùn)算律或向量減法的定義進(jìn)行恰當(dāng)轉(zhuǎn)化,然后用向量加法(或減法)的三角形法則化簡(jiǎn).【解析】(1);(2);(3);(4);(5);(6)方法一:.方法二:.【解題策略】1.向量與非零向量的模及方向的聯(lián)系(1)當(dāng)向量與不共線時(shí),向量的方向與都不相同,且,幾何意義是三角形兩邊之和大于第三邊.(2)當(dāng)向量與同向時(shí),向量,方向相同,且.(3)當(dāng)向量與反向時(shí),若時(shí),則的方向與相同,且;若時(shí),則;若時(shí),則\的方向與相同,且.2.向量加法運(yùn)算律的意義和應(yīng)用原則(1)意義:向量加法的運(yùn)算律為向量加法提供了變形的依據(jù),實(shí)現(xiàn)恰當(dāng)利用向量加法法則運(yùn)算的目的.實(shí)際上,由于向量的加法滿足交換律和結(jié)合律,故多個(gè)向量的加法運(yùn)算可以按照任意的次序、任意的組合來(lái)進(jìn)行.(2)應(yīng)用原則:利用代數(shù)方法通過向量加法的交換律,使各向量“首尾相連”,通過向量加法的結(jié)合律調(diào)整向量相加的順序.3.向量減法運(yùn)算的常用方法(1)可以通過相反向量,把向量減法的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算.(2)運(yùn)用向量減法的三角形法則,此時(shí)要注意兩個(gè)向量要有共同的起點(diǎn).(3)引入點(diǎn)O,逆用向量減法的三角形法則,將各向量起點(diǎn)統(tǒng)一.【跟蹤訓(xùn)練】題16.設(shè)E是平行四邊形ABCD外一點(diǎn),如圖所示,化簡(jiǎn)下列各式:(1)________;(2)________;(3)________;(4)________.答案:(1)；(2)；(3);(4)【補(bǔ)償訓(xùn)練】題17.在平行四邊形ABCD中(如圖),對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O,則①________.②________.③________.④________.【解析】①.②.③.④.答案:①;②;③;④題18.化簡(jiǎn)下列各式:(1);(2).【解析】(1).(2).【補(bǔ)償訓(xùn)練】題19.下列各式中不能化簡(jiǎn)為的是 ()A.B.C.D.【解析】選D.選項(xiàng)A中,;選項(xiàng)B中,;選項(xiàng)C中,.選項(xiàng)D中,.類型四向量加減法的綜合應(yīng)用(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)角度1與平面幾何知識(shí)綜合應(yīng)用【典例】題20.已知四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,且.求證:四邊形ABCD是平行四邊形.【思路導(dǎo)引】利用向量加法結(jié)合題目條件推證.【證明】如圖,，又因?yàn)?所以.所以AB=DC且AB∥DC.所以四邊形ABCD為平行四邊形.【變式探究】題21.四邊形ABCD中,,且,求證四邊形ABCD為矩形.【證明】因?yàn)樗倪呅蜛BCD中,,所以四邊形ABCD為平行四邊形,如圖.所以,因?yàn)?所以,即平行四邊形對(duì)角線相等,故四邊形ABCD為矩形.角度2與物理知識(shí)綜合【典例】題22.一艘船以5km/h的速度向垂直于對(duì)岸方向行駛,航船實(shí)際航行方向與水流方向成30°角,求水流速度和船實(shí)際速度.【思路導(dǎo)引】畫出示意圖,根據(jù)向量加法的幾何意義分析水流速度、船垂直于對(duì)岸的方向行駛的速度和船實(shí)際航行的速度之間的關(guān)系,解直角三角形求有關(guān)線段和角的大小.【解析】如圖所示,表示水流速度,表示船垂直于對(duì)岸的方向行駛的速度,表示船實(shí)際航行的速度,∠AOC=30°,.因?yàn)樗倪呅蜲ACB為矩形,所以.所以水流速度大小為km/h,船實(shí)際速度為10km/h.【解題策略】1.利用向量解決幾何問題的方法用向量法證明幾何問題的關(guān)鍵是把幾何中的線段轉(zhuǎn)化為向量,通過向量的運(yùn)算得到結(jié)論,然后把向量問題還原為幾何問題.2.利用向量的加法解決實(shí)際應(yīng)用題的三個(gè)步驟【題組訓(xùn)練】題23.已知點(diǎn)G是△ABC的重心,則________.【解析】如圖所示,連接AG并延長(zhǎng)交BC于E點(diǎn),點(diǎn)E為BC的中點(diǎn),延長(zhǎng)AE到D點(diǎn),使GE=ED