第1節(jié)利息計(jì)算等值計(jì)算

第一篇工程經(jīng)濟(jì)學(xué)基礎(chǔ)

第一章資金的時(shí)間價(jià)值

與投資方案評(píng)價(jià)

利息與利率的概念利息就是資金時(shí)間價(jià)值的一種重要表現(xiàn)形式。（一）利息：債務(wù)人支付給債權(quán)人超過(guò)原借貸金額的部分就是利息。指占用資金所付的代價(jià)或者是放棄使用資金所得的補(bǔ)償。

I=F-PI—利息；F—目前債務(wù)人應(yīng)付總金額；即還本付息總額。P—原借貸款金額，常稱為本金。

第一節(jié)利息計(jì)算一、利息的種類及計(jì)算1、單利計(jì)息指每期僅按本金（原金額）計(jì)算利息，而本金的利息不再計(jì)算利息的一種計(jì)息方式，其利息金額與借款時(shí)間成正比I=PniF=P+I=P+Pni=P(1+ni)

2、復(fù)利計(jì)息(利生利)指借款人在每期末不支付利息，而將利息轉(zhuǎn)為下期的本金，下期再按本利和的總額計(jì)算，即不但本金產(chǎn)生利息，而利息部分也產(chǎn)生利息F=P(1+i)n

I=F-P=P(1+i)n-P=P[(1+i)n-1][例]借款1000元，合同規(guī)定借期3年，年利率為6%。分別用單利法計(jì)息與復(fù)利法計(jì)息計(jì)算，問(wèn)3年后，本金、利息與本利和是多少？【解】:(1)單利法計(jì)息計(jì)算本金:P=1000元利息:I=Pni=1000×3×6%=180元本利和:F=P＋I(xiàn)=1000＋180=1180元(2)復(fù)利法計(jì)息計(jì)算利息:I=P(1+i)n-P=P[(1+i)n-1]=1000[(1+6%)3-1]=191.02元本利和:F=P＋I(xiàn)=1000＋191.02=1191.02元3、資金的時(shí)間價(jià)值靜態(tài)評(píng)價(jià)與動(dòng)態(tài)評(píng)價(jià)二、名義利率與實(shí)際利率一般名義利率r：年利率名義利率r，周期利率i’,每年的計(jì)息期m次名義利率r=周期利率i’×每年的計(jì)息周期數(shù)m即:r=i’×m或i’=r/mF=P(1+r/m)nm

名義利率：r是指計(jì)息周期利率i乘以一年內(nèi)的計(jì)息周期數(shù)m所得的年利率。

若計(jì)息周期月利率為１％，則年名義利率為１２％有效利率：是指資金在計(jì)息中所發(fā)生的實(shí)際利率，包括計(jì)息周期有效利率和年有效利率兩種情況r=i×m1.計(jì)息周期有效利率，即計(jì)息周期利率i2.年有效利率，即年實(shí)際利率．根據(jù)利率的定義可得年的實(shí)際利率，即有效利率ieff為有效利率和名義利率的關(guān)系實(shí)質(zhì)上與復(fù)利和單利的關(guān)系一樣[例]某廠擬向兩個(gè)銀行貸款以擴(kuò)大生產(chǎn)，甲銀行年利率為16%，計(jì)息每年一次。乙銀行年利率為15%，但每月計(jì)息一次。試比較哪家銀行貸款條件優(yōu)惠？解：因?yàn)閕乙>i甲，所以甲銀行貸款條件優(yōu)惠些?！纠拷杩?000元，合同規(guī)定借期6年，年利率為12%。試按：1）一年1次復(fù)利計(jì)息;2）一年2次復(fù)利計(jì)息;3）一年4次復(fù)利計(jì)息;4）一年12次復(fù)利計(jì)息;5）二年1次復(fù)利計(jì)息;6）三年1次復(fù)利計(jì)息;求六種情況下的本利和是多少？【解】(1)一年1次復(fù)利計(jì)息F=P(1+i)n=1000(1+12%)6=1973.82元(2)一年2次復(fù)利計(jì)息i’=r/m=12%/2=6%F=P(1+r/m)nm=1000(1+6%)12=2012.20元(多38.38元)(3)一年4次復(fù)利計(jì)息i’=r/m=12%/4=3%F=P(1+r/m)nm=1000(1+3%)24=2032.79元(多58.97元)(4)一年12次復(fù)利計(jì)息i’=r/m=12%/12=1%F=P(1+r/m)nm=1000(1+1%)72=2047.10元(多73.28元)(5)二年1次復(fù)利計(jì)息i’=r/m=12%/(1/2)=24%F=P(1+r/m)nm=1000(1+24%)3=1906.62元(少67.20元)(6)三年1次復(fù)利計(jì)息i’=r/m=12%/(1/3)=36%F=P(1+r/m)nm=1000(1+36%)2=1849.60元(少124.22元)

四.現(xiàn)金流量圖（cashflowdiagram)描述現(xiàn)金流量作為時(shí)間函數(shù)的圖形，它能表示資金在不同時(shí)間點(diǎn)流入與流出的情況。是資金時(shí)間價(jià)值計(jì)算中常用的工具。

現(xiàn)金流量圖的三大要素：大小、流向、時(shí)間點(diǎn)

作圖方法和規(guī)則：1）以橫軸為時(shí)間軸，軸上每一刻度表示一個(gè)時(shí)間單位：年月，零為起點(diǎn)。向右延伸表示時(shí)間的延續(xù)，2）垂直箭線代表不同時(shí)點(diǎn)的現(xiàn)金流量情況，橫軸上方的箭線表現(xiàn)金流入，即收益，下方的箭線表現(xiàn)金流出，即費(fèi)用3）在各箭線上方（或下方）注明現(xiàn)金流量的數(shù)值。4）箭線與時(shí)間軸的交點(diǎn)即為現(xiàn)金流量發(fā)生的時(shí)間單位（年、季、月）

必須把握好現(xiàn)金流量的三要素，即：現(xiàn)金流量的大小流量（現(xiàn)金數(shù)額）、方向（現(xiàn)金流入或流出）和作用點(diǎn)（現(xiàn)金發(fā)生的時(shí)間點(diǎn)）第二節(jié)等值計(jì)算一等值的含義作用效果相同—等值工程經(jīng)濟(jì)分析中，等值三個(gè)因素：金額的大小、金額發(fā)生的時(shí)間、利率大小注：貨幣等值是考慮了資金的時(shí)間的等值其含義是由于利息的存在，因而使不同時(shí)點(diǎn)上的不同金額的貨幣可以具有相同的經(jīng)濟(jì)價(jià)值

二、等值計(jì)算公式等值計(jì)算——可以把一個(gè)時(shí)點(diǎn)發(fā)生的資金額折算成另一個(gè)時(shí)點(diǎn)的等值金額，（1）常用符號(hào)P—現(xiàn)值F—終值A(chǔ)—連續(xù)出現(xiàn)在各計(jì)息期末的等額支付金額；i—每個(gè)計(jì)息周期的利率；n—計(jì)息周期數(shù)。1.一次支付nn-13210F=？Pnn-13210FP=?等值公式nn-13210F=？P

F=P(1+i)n=P（F/P，i，n）（F/P，i，n）=(1+i)n_____一次支付終值系數(shù)一次支付終值公式【例】在第一年年初，以年利率6%投資1000元，則到第四年年末可得之本利和？

F=P(1+i)n

=1000(1+6%)4

=1262.50元[例]某投資者購(gòu)買了1000元的債券，限期3年，

年利率10%，到期一次還本付息，按照復(fù)利計(jì)算法，

則3年后該投資者可獲得的利息是多少？I=P[(1+i)n－1]=1000[(1+10%)3－1]=331元解：0123年F=?i=10%1000P=F(1+i)-n=F（P/F，i，n）（P/F，i，n）=(1+i)-n—

一次支付現(xiàn)值系數(shù)nn-13210FP=?一次支付現(xiàn)值公式【例】某公司計(jì)劃兩年以后購(gòu)買一臺(tái)100萬(wàn)元的機(jī)械設(shè)備，擬從銀行存款中提取，銀行存款年利率2.25%,問(wèn)現(xiàn)應(yīng)存入銀行的資金為多少？解：已知F=100萬(wàn)元，n=2年，i=2.25%P=F(1+i)-n

=100×(1+2.25%)-5

=95.648(萬(wàn)元)2.等額系列終值公式和積累基金公式

等額支付系列現(xiàn)金流量圖

（1）等額系列終值公式——記為（F/A，i,n）

A1累計(jì)本利和（終值）等額支付值年末……23AAnAA…A+A(1+i)A+A(1+i)+A(1+i)2A[1+(1+i)+(1+i)2+…+(1+i)n-1]=F

0123n–1n

F=？

…A(已知）F=A+A(1+i)+A(1+i)2+…+A(1+i)n-1(1)

以(1+i)乘(1)式,得

F(1+i)=A(1+i)+A(1+i)2+…+A(1+i)n-1

+A(1+i)n(2)

(2)-(1)，得F(1+i)–F=A(1+i)n–A【例】連續(xù)5年每年年末借款1000元，按年利率6%計(jì)算，第5年年末積累的借款為多少？【例】如果從1月份開始，每月月末存入銀行200元，月利率1.43‰，問(wèn)年底累積的儲(chǔ)蓄額（復(fù)本利和）為多少？解：已知A=200元，i=1.43‰，n=12

=200×12.0948=2419.96(元)

（2）等額支付系列積累基金公式記為-（A/F，i,n）[例]某公司在第五年末應(yīng)償還一筆50萬(wàn)元的債務(wù)，按年利率2.79%計(jì)算,該公司從現(xiàn)在起連續(xù)5年每年末應(yīng)向銀行存入資金為多少，才能是其復(fù)本利和正好償清這筆債務(wù)？解：已知F=50萬(wàn)元，n=5年，i=2.79%3.等額系列資金恢復(fù)公式和現(xiàn)值公式

（1）等額系列資金恢復(fù)公式根據(jù)F=P(1+i)n=P(F/P,i,n)F=A[(1+i)n－1i]P(1+i)n=A[(1+i)n－1i]【例】如果以年利率10%投資某項(xiàng)目100萬(wàn)元，擬在今后5年中把復(fù)本利和在每年年末按相等的數(shù)額提取，每年可回收的資金為多少？解：已知F=100萬(wàn)元，n=5年，i=10%

=26.38（萬(wàn)元）（2）等額支付系列現(xiàn)值公式—記為（P/A，i,n）【例】某公司擬投資建設(shè)一工業(yè)項(xiàng)目，希望建成后在6年內(nèi)收回全部貸款的復(fù)本利和，預(yù)計(jì)項(xiàng)目每年能獲利100萬(wàn)元，銀行貸款的年利率為5.76%，問(wèn)該項(xiàng)目的總投資應(yīng)控制在多少范圍以內(nèi)？解：已知A=100萬(wàn)元，n=6年，i=5.76%

=495.46（萬(wàn)元）等值計(jì)算公式表:4.等值公式使用注意事項(xiàng)：1）計(jì)息期數(shù)為時(shí)點(diǎn)或時(shí)標(biāo)，本期末即等于下期初。2）P是在第一計(jì)息期開始時(shí)（0期）發(fā)生。3）F發(fā)生在考察期期末，即n期末。4）各期的等額支付A，發(fā)生在各期期末。5）當(dāng)問(wèn)題包括P與A時(shí)，系列的第一個(gè)A與P隔一期。6）當(dāng)問(wèn)題包括A與F時(shí)，系列的最后一個(gè)A是與F同時(shí)發(fā)生。不能把A定在每期期初。注意：實(shí)施方案建設(shè)投資假定發(fā)生在每個(gè)計(jì)息期（年）初，經(jīng)常性支出假定發(fā)生在每個(gè)計(jì)息期（年）末【例】寫出下圖的復(fù)利現(xiàn)值和復(fù)利終值，若年利率為i。0123n-1nA0123n-1nA’=A（1+i）解：三、計(jì)息期與支付期相同的計(jì)算相同有效利率名義利率直接計(jì)算1.計(jì)息期為一年的等值計(jì)算

從利息表上查到，當(dāng)n=9，1.750落在6%和7%間例：當(dāng)利率為多大時(shí)，現(xiàn)在的300元等值于第9年年末的525元？6%的表上查到1.6897%的表上查到1.839從用直線內(nèi)插法可得解：F=P(F/P,i,n)525=300(F/P,i,9)(F/P,i,9)=525/300=1.750或：F=P(1+i)n=300(1+i)9=500i=6.41%(一次支付終值公式）例：當(dāng)利率為8%時(shí)，從現(xiàn)在起連續(xù)6年的年末等額支付為多少時(shí)與第6年年末的10000等值？

A=F（A/F,8%,6）=10000(0.1363)=1363元/年解：(等額支付終值系列公式)100000123456年i=8%0123456年A=？i=8%

(等額支付系列終值公式）

F=A[((1+i)n-1)/i]10000=A[((1+8%)6-1)/8%]A=1363元/年例：當(dāng)利率為10%時(shí)，從現(xiàn)在起連續(xù)5年的年末等額支付為600元，問(wèn)與其等值的第0年的現(xiàn)值為多大？

解：（等額支付系列現(xiàn)值公式）P=A(P/A,10%,5)=2774.50元

P=A[((1+i)n-1)]/[i(1+i)n]=600[((1+10%)5-1)]/[i(1+10%)5]=2274.50元計(jì)算表明:當(dāng)利率為10%時(shí)，從現(xiàn)在起連續(xù)5年的600元年末等額支付與第0年的現(xiàn)值2274.50元是等值的。2.計(jì)息期短于一年的等值計(jì)算如計(jì)息期短于一年，仍可利用以上的利息公式進(jìn)行計(jì)算，這種計(jì)算通?？梢猿霈F(xiàn)下列三種情況：[例]年利率12%，每半年計(jì)息一次，從現(xiàn)在起連續(xù)3年，每半年為100元的等額支付，問(wèn)與其等值的第0年的現(xiàn)值為多大？

解：每計(jì)息期的利率（等額支付系列現(xiàn)值公式）

i=12%/2=6%（每半年一期）n=(3年)×(每年2期)=6期P=A（P/A，6%，6）=100×4.9173=491.73元【例】求等值狀況下的利率，假如有人目前借入2000元，在今后兩年中分24次等額償還，每次償還99.80元，復(fù)利按月計(jì)算。試求月有效利率、名義利率和年有效利率。

解：名義利率r=(每月1.5%）×（12個(gè)月）=18%年有效利率：直接代入等額支付系列恢復(fù)公式四、計(jì)息期與支付期不相同的計(jì)算計(jì)息期與支付期不同的等值計(jì)算，通常的辦法是將其轉(zhuǎn)化、使計(jì)息期與支付期相同后再利用等值公式計(jì)算1.計(jì)息期短于支付期

【例】按年利率為12%，每季度計(jì)息一次計(jì)算利息，從現(xiàn)在起連續(xù)3年的等額年末支付借款為1000元，問(wèn)與其等值的第3年年末的借款金額為多大？

解：其現(xiàn)金流量如下圖

0123456789101112季度F=？100010001000

第一種方法：取一個(gè)循環(huán)周期，使這個(gè)周期的年末支付轉(zhuǎn)變成等值的計(jì)息期末的等額支付系列，其現(xiàn)金流量見(jiàn)下圖：012342392392392390123410001000將年度支付轉(zhuǎn)化為計(jì)息期末支付（單位：元）

A=F（A/F，3%，4）=F[i/((1+i)n-1)]=1000×0.2390=239元（A/F，3%，4）

239F=？季度0123456789101112經(jīng)轉(zhuǎn)變后計(jì)息期與支付期重合（單位：元）F=A（F/A，3%，12）

=A[((1+i)n-1)/i]=239×14.192=3392元

第二種方法：把等額支付的每一個(gè)支付看作為一次支付，求出每個(gè)支付的將來(lái)值，然后把將來(lái)值加起來(lái)，這個(gè)和就是等額支付的實(shí)際結(jié)果。F=1000(F/P，3%，8)+1000(F/P，3%，4)+1000