湛江市2020屆高三數(shù)學模擬測試試題一理含解析

廣東省湛江市2020屆高三數(shù)學模擬測試試題一理含解析廣東省湛江市2020屆高三數(shù)學模擬測試試題一理含解析PAGE29-廣東省湛江市2020屆高三數(shù)學模擬測試試題一理含解析廣東省湛江市2020屆高三數(shù)學模擬測試試題（一)理（含解析)注意事項:1．答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上．2．回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動,用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1。設集合，,則（）A。 B。 C. D.【答案】D【解析】【分析】解出集合，再求出，根據(jù)交集定義即可求得.【詳解】由,解得或,或．由，解得，．．．故選:D．【點睛】本題主要考查的是集合的交集，補集的運算，以及分式、絕對值不等式，以及對數(shù)不等式的求解，是基礎題。2。已知復數(shù)滿足(是虛數(shù)單位），則的最大值為(）A。2 B。3 C。4 D.5【答案】B【解析】【分析】由復數(shù)的幾何意義可知對應的軌跡,從而得到的最大值.【詳解】由復數(shù)的模的幾何意義可知，復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點的軌跡為：以為圓心，以2為半徑的圓的內(nèi)部（包括圓周）．而表示點到點的距離，所以當點為時,最大,故的最大值是。故選:B．【點睛】本題主要考查的是復數(shù)模的求法,考查了復數(shù)模的幾何意義，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是基礎題。3.已知,，，則，，的大小關(guān)系是（）．A. B。 C。 D?！敬鸢浮緾【解析】【分析】由對數(shù)運算，指數(shù)運算，即可容易判斷.【詳解】∵，，，∴．∵，∴．故選：C．【點睛】本題考查指數(shù)運算和對數(shù)運算，屬綜合基礎題。4.已知直線，平面，則是的（）A.充分但不必要條件 B.必要但不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】因為直線時不一定平行,而時平面內(nèi)任意直線都平行平面,即,因此是的必要但不充分條件,選B。5。已知，，則向量在方向上的投影為(）．A. B. C. D。【答案】D【解析】【分析】求得的坐標，利用向量的坐標即可求得結(jié)果。【詳解】∵，，∴．∴，．∴向量在方向上的投影為．故選:D．【點睛】本題考查向量的坐標運算，涉及數(shù)量積的坐標運算，屬綜合基礎題.6.已知，，則（）A。 B。 C. D?！敬鸢浮緿【解析】【分析】根據(jù)已知條件以及,解得，再利用二倍角公式即可化簡求得結(jié)果?！驹斀狻?，且,，解得．又，．，，．故選：D．【點睛】本題主要考查的是同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，二倍角公式在三角函數(shù)化簡求值中的應用,是基礎題。7.已知函數(shù)，若在為增函數(shù),則實數(shù)的取值范圍是（)A。 B。 C. D?！敬鸢浮緾【解析】【分析】根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性可知在在上為增函數(shù),且，從而列出不等式組，即可得實數(shù)的取值范圍?！驹斀狻吭谏蠟樵龊瘮?shù),且函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為增函數(shù)，且．當時，在上為減函數(shù),不符合題意，故。當時,，解得．故選：C．【點睛】本題主要考查的是對數(shù)函數(shù)，二次函數(shù)的單調(diào)性以及復合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，要注意先考慮函數(shù)的定義域，是中檔題.8.“豈曰無衣，與子同袍”，“山川異域，風月同天”．自新冠肺炎疫情爆發(fā)以來，全國各省爭相施援湖北．截至3月初,山西省共派出13批抗疫醫(yī)療隊前往湖北，支援抗擊新型冠狀病毒感染的肺炎疫情．某醫(yī)院組建的由7位專家組成的醫(yī)療隊，按照3人、2人、2人分成了三個小組，負責三個不同病房的醫(yī)療工作,則不同的安排方案共有（)A.105種 B.210種 C。630種 D。1260種【答案】C【解析】【分析】利用分步計數(shù)原理，先將7人按照3人、2人、2人分成了三個小組，再安排到不同的病房，【詳解】7人分成三個小組并安排到不同病房工作，有種方法.故選：C．【點睛】本題主要考查的是分步計數(shù)原理的應用,以及平均分組的問題，考查學生的分析問題解決問題的能力，是中檔題.9.點的坐標滿足直線經(jīng)過點，則實數(shù)的最大值為(）A。 B。 C. D.【答案】B【解析】【分析】作出不等式組對應平面區(qū)域，利用實數(shù)的幾何意義即可得到實數(shù)的最大值.【詳解】根據(jù)線性約束條件畫出可行域，得到如圖所示的三角形區(qū)域．直線的方程可化為，當直線在軸上的截距最小時,實數(shù)取得最大值．在圖中作出直線并平移，使它與圖中的陰影區(qū)域有公共點，且在軸上的截距最小．由圖可知，當直線過點時，截距最?。?，求得,代入到中，解得，即．故選：B．【點睛】本題主要考查的是線性規(guī)劃的應用,解題的關(guān)鍵是畫出不等式組對應可行域,以及實數(shù)的幾何意義,是基礎題。10.如圖，，是雙曲線的左、右焦點,過的直線與雙曲線左、右兩支分別交于點,．若，為的中點,且，則雙曲線的離心率為（）．A. B。 C. D。2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的定義，結(jié)合幾何關(guān)系，用表示出三角形的三條邊,由余弦定理即可求得結(jié)果.【詳解】連接,,設，則由已知可得．∵，為雙曲線上的點，∴,．∵為的中點,且，∴．∴．∴．∴，，．∵在直角中，．∴．∴．∴．故選：A．【點睛】本題考查雙曲線離心率的求解，涉及雙曲線的定義，屬中檔題。11。在三棱柱中，平面，，則三棱柱的外接球的體積與三棱柱的體積之比為（)A。 B。 C。 D?！敬鸢浮緾【解析】【分析】根據(jù)題意求出三棱柱的外接球半徑，從而得出球的體積，再求出三棱柱的體積，即可得出它們的比?！驹斀狻咳鐖D，為三棱柱上、下底面的中心，為的中點，連接，則為三棱柱外接球的球心，為外接球半徑．在直角中，易求得，，．．又，．故選：C．【點睛】本題主要考查的是空間幾何體的結(jié)構(gòu)和空間幾何體的體積，解題的關(guān)鍵是根據(jù)外接球性質(zhì)找到外接球的球心，是中檔題。12。已知函數(shù)的圖象與軸的兩個相鄰交點的橫坐標為，下面4個有關(guān)函數(shù)的結(jié)論：①函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱；②在區(qū)間上，的最大值為；③是的一條對稱軸；④將的圖象向左平移個單位,得到的圖象，若為兩個函數(shù)圖象的交點,則面積的最小值為．其中正確的結(jié)論個數(shù)為()A.1 B.2 C。3 D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意求出函數(shù)的表達式，再根據(jù)選項要求一一判斷即可?！驹斀狻浚畬⒋?，得．又,．．不是奇函數(shù)．的圖象不關(guān)于原點對稱，①錯；當時，，由的單調(diào)性可知：，即的最大值為，②對；由，得的對稱軸方程為，不是的對稱軸，③錯；,由,得，,相鄰兩個交點的橫坐標之差為，將代入，得到交點的縱坐標為，面積的最小值為，④對．故選：B．【點睛】本題主要考查的是三角函數(shù)模型的性質(zhì)和應用,以及三角函數(shù)圖像平移問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角函數(shù)模型的性質(zhì)，是中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分,共20分．13。一組樣本數(shù)據(jù)10,23，12，5,9,，21，，22平均數(shù)為16，中位數(shù)為21，則________．【答案】0【解析】【分析】由平均數(shù)的求解，即可求得的關(guān)系式，根據(jù)中位數(shù)的大小，即可容易求得,則問題得解.【詳解】∵數(shù)據(jù)的平均數(shù)為16，∴．∴．∵，且數(shù)據(jù)的中位數(shù)為21，∴，．∴．∴．故答案為:?！军c睛】本題考查一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)的求解，屬基礎題.14.2019國際乒聯(lián)世界巡回賽男子單打決賽在甲、乙兩位選手間進行，比賽實行七局四勝制(先獲得四局勝利的選手獲勝），已知每局比賽甲選手獲勝的概率是,且前五局比賽甲領(lǐng)先，則甲獲得冠軍的概率是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意甲要獲得冠軍，則甲要么以奪冠,要么以奪冠，分別求出，即可得甲獲得冠軍的概率?！驹斀狻棵烤直荣惣走x手獲勝概率是,且前五局比賽甲領(lǐng)先，甲以奪冠的概率為,甲以奪冠的概率為．甲最終奪冠的概率為．故答案為:?！军c睛】本題主要考查的是相互獨立事件的概率乘法公式的應用,體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，是基礎題.15。已知分別為三個內(nèi)角的對邊，，且．若分別為邊的中點，且為的重心，則面積的最大值為______．【答案】【解析】【分析】利用正弦定理，余弦定理求得，可得面積的最大值,再根據(jù)題意及平面幾何知識可得，從而得到面積的最大值.【詳解】由,根據(jù)正弦定理，可得，．由余弦定理可知，，分別為邊的中點，且為的重心,由平面幾何知識可知，．面積的最大值為．故答案為：.【點睛】本題主要考查的是解三角形中的正余弦定理，三角形面積公式，牢記三角形面積公式以及在實際中的應用，是中檔題。16.在平面直角坐標系中，為坐標原點,是拋物線的焦點，過的直線與拋物線交于，兩點，若，則的面積為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意,設出直線的方程，聯(lián)立拋物線方程,由焦點弦公式即可容易求得，結(jié)合點到直線的距離公式，即可容易求得結(jié)果.【詳解】由已知，不妨設，,，．若直線斜率不存在,，與已知矛盾；則直線斜率存在，設,與拋物線聯(lián)立，得，則，．由拋物線的定義，焦點弦長．∴，∴點到直線的距離為,∴．故答案為:?！军c睛】本題考查由拋物線焦點弦求直線方程，以及求拋物線中三角形面積，屬中檔題。三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一)必考題：共60分．17.已知為數(shù)列的前項和，且．（1）求數(shù)列的通項公式；(2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和．【答案】（1）．（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)，,,求得；（2）由（1）可得，再利用錯位相減法求得數(shù)列的前項和．【詳解】（1)，．．數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列．．（2），．．①．②，得．【點睛】本題主要考查是數(shù)列通項公式的求法以及數(shù)列求和的常用方法,錯位相減法求和的方法的應用，考查學生的分析和計算能力，是中檔題。18.如圖1,在中，，，為的中點，將沿折起，得到如圖2所示的三棱錐，二面角為直二面角．(1)求證：平面平面;（2）設分別為的中點,求二面角的余弦值．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）通過計算證明出二面角為直二面角，即可證明平面平面;（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量法求平面的法向量和平面的法向量，利用向量數(shù)量積可得二面角的余弦值.【詳解】(1）證明：在中，,為的中點，．又，．．，．二面角為直二面角，平面平面．平面．又平面，平面平面．（2）以為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，過點且垂直于平面的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．可求得，，，．分別為的中點，，．，，設平面的法向量為，由得令，則．設平面的法向量為，由得令,則．，二面角的余弦值為．【點睛】本題主要考查的是面面垂直的判定，利用向量法求二面角的余弦值，解題時要認真審題,注意向量法的合理運用，考查學生的計算能力，是中檔題。19.我國全面二孩政策已于2016年1月1日起正式實施．國家統(tǒng)計局發(fā)布的數(shù)據(jù)顯示，從2012年到2017年，中國的人口自然增長率變化始終不大，在5‰上下波動（如圖)．為了了解年齡介于24歲至50歲之間的適孕夫妻對生育二孩的態(tài)度如何,統(tǒng)計部門按年齡分為9組,每組選取150對夫妻進行調(diào)查統(tǒng)計有生育二孩意愿的夫妻數(shù)，得到下表：年齡區(qū)間有意愿數(shù)808187868483837066（1)設每個年齡區(qū)間的中間值為，有意愿數(shù)為，求樣本數(shù)據(jù)的線性回歸直線方程，并求該模型的相關(guān)系數(shù)(結(jié)果保留兩位小數(shù)）;（2)從,，，，這五個年齡段中各選出一對夫妻(能代表該年齡段超過半數(shù)夫妻的意愿)進一步調(diào)研，再從這5對夫妻中任選2對夫妻．求其中恰有一對不愿意生育二孩的夫妻的概率．（參考數(shù)據(jù)和公式：，，，，，）【答案】（1)．—0。63（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意,結(jié)合參考數(shù)據(jù)和公式，代值計算即可求得結(jié)果;（2）列舉出所有選取的結(jié)果，找出滿足題意的選取結(jié)果，根據(jù)古典概型的概率計算公式即可求得.【詳解】解：（1)由題意可求得：，，，，，∴．又∵,,∴．∴．∴．∴回歸直線方程為．∴．（2）由題意可知，在，,年齡段中，超過半數(shù)的夫要有生育二孩意愿，在,年齡段中,超過半數(shù)的夫妻沒有生育二孩意愿．設從，，年齡段中選出的夫妻分別為,，,從，年齡段中選出的夫妻分別為，．則從中選出2對夫妻的所有可能結(jié)果為，，，,，，，，，，共10種情況．其中恰有一對不愿意生育二孩的夫妻的情況有，，，，，，共6種．∴恰有一對不愿意生育二孩的夫妻的概率．【點睛】本題考查線性回歸方程、回歸系數(shù)的計算，涉及古典概型的概率求解，計算量相對較大，需認真計算即可.20.已知原點到動直線的距離為2，點到,的距離分別與到直線的距離相等．（1）證明為定值，并求點的軌跡方程；（2)是否存在過點的直線，與點的軌跡交于兩點,為線段的中點，且?若存在，請求出直線的方程；若不存在，請說明理由．【答案】(1)見解析，．（2）見解析,或．【解析】【分析】（1）根據(jù)題意易證為定值,由，判定的軌跡為中心在原點，以為焦點的橢圓，根據(jù)橢圓定義可得橢圓方程；（2）根據(jù)題意知直線的斜率存在，設出直線方程，與橢圓聯(lián)立，由得出的取值范圍，再由推得，有韋達定理即可得出直線的方程?！驹斀狻浚?）設點到直線的距離分別為．由已知,，，又為的中點，．由橢圓定義可知,點的軌跡為中心在原點，以為焦點的橢圓．，．．點的軌跡方程為．（2）假設直線存在，當?shù)男甭什淮嬖跁r，顯然不成立設，，．由得，或．，．，．．．．解得或．，且，存在直線滿足條件，直線的方程為或，即或．【點睛】本題主要考查的是橢圓的標準方程,考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查向量知識的運用，直線與橢圓聯(lián)立,利用韋達定理是解題的關(guān)鍵,是中檔題。21.已知函數(shù)．（1）設,當時，求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間及極大值；（2）設函數(shù)有兩個極值點,①求實數(shù)的取值范圍;②求證：．【答案】(1)單調(diào)減區(qū)間為，,．（2）①．②見解析【解析】【分析】（1）求出函數(shù)，再求出其導函數(shù),令，解出，根據(jù)單調(diào)性和極值求法即可求解。(2）①函數(shù)有兩個極值點,即方程有兩個不等實根．分離參數(shù),轉(zhuǎn)化成圖像有兩個交點，利用導數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性，即可得到實數(shù)的取值范圍；②不妨設，由①知，且有，可得，將可化．再構(gòu)造函數(shù),利用導數(shù)證出,即可證明.【詳解】(1)，．當時,．令，解得，當時，，為單調(diào)減函數(shù);當時，，為單調(diào)增函數(shù);當時，，為單調(diào)減函數(shù),函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，,．(2)①函數(shù)有兩個極值點，方程有兩個不等實根．由，顯然時方程無根，．設,則．令，得．當時，,為單調(diào)遞增函數(shù);當時,,單調(diào)遞減函數(shù)．且當時，；當時，,．．實數(shù)的取值范圍是．②證明：不妨設，由①知，且有可化為．又．即證,即證，即．設，即證當時成立．設，,在上為增函數(shù)．，即成立．成立．【點睛】本題主要考查的是利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)極值點問題，構(gòu)造函數(shù)是解決本題的