復數的三角表示【新教材】2022年人教A版高中數學必修講義

復數的三角表示復數的三角表示1、了解復數的三角表示式2、掌握復數相等的充要條件探索新知3、理解復數乘、除運算的三角表示及其幾何意義探索新知一、復數的三角表示式

記向量的模==r,由圖可以得到，

所以，=rcos=r（cos+sin），

其中r=，

cos=，

sin=.

這樣，我們就用刻畫向量大小的模r和刻畫向量方向的角表示復數z.

（1）一般地，任何一個復數z=a+bi,都可以表示為r=（cos+icos）的形式

其中，r是復數z的模；是以x軸的非負半軸為始，向量所在射線（射線OZ)為終邊的角，叫做復數z=a+bi的輻角．r(cos+isin)叫做復數z=a+bi的三角表示式，簡稱三角形式。為了與三角形式區(qū)分開來，a+bi叫做復數的代數表示式，簡稱代數形式。

（2)規(guī)定：在0≤<2π范圍內的輻角的值為輻角的主值．通常記作argz,即0≤argz<2π.3π例如，,,=π,=二、復數乘、除運算的三角表示及其幾何意義概念辨析根據復數的乘法法則以及兩角和的正弦、余弦公式，可以得到，

=（cos+isin）·（cos+isin）

=（cos+isin）（cos+isin）

=[(coscos-sinsin)]

=[cos（+）+isin（+）

則

(cos+isin)·(cos+isin)

=[cos(+)+isin(+)]

這就是說，兩個復數相乘，積的模等于各復數的模的積，積的輻角等于各復數的輻角的和.

1、復數除法運算的三角表示

設=(cos+isin),=(cos,+isin),且≠.因為

(cos+isin)·[cos(-)+isin(-)]=(cos+isin)，

所以根據復數除法的定義，有，

[cos(-)+isin(-]

這就是說，兩個復數相除，商的模等于被除數的模除以除數的模所得的商，商的輻角等于被除數的輻角減去除數的輻角所得的差.

概念辨析思考思考11.已知正六棱錐S-ABCDEF的底面邊長為2，高為1．現從該棱錐的7個頂點中隨機選取3個點構成三角形，設隨機變量X（1）求概率P(X=（2）求X的分布列，并求其數學期望E(X)【答案】（1）解：從7個頂點中隨機選取3個點構成三角形，共有C73=35種取法，其中X=3這類三角形共有6個因此P=(（2）解：由題意，X的可能取值為3,2,其中X=3的三角形如ΔABF，這類三角形共有6其中X=2的三角形有兩類，，如ΔPAD（3個），ΔPAB（6個），共有9其中X=6的三角形如ΔPBD，這類三角形共有6其中X=23的三角形如ΔCDF，這類三角形共有12其中X=33的三角形如ΔBDF，這類三角形共有2因此P=(P=(所以隨機變量的概率分布列為：X3262333P(6359356351235235所求數學期望E(【考點】古典概型及其概率計算公式，離散型隨機變量及其分布列，離散型隨機變量的期望與方差【解析】（1）先求出共有C73=35種取法，再得到滿足X=3的三角形共有6個，即可求出概率P(X=3)的值；

（2）由題意寫出思考思考22.已知復數z=（m2﹣8m+15）+（m2﹣9m+18）i在復平面內表示的點為A，實數m取什么值時：（1）z為實數？（2）z為純虛數？（3）A位于第三象限？【答案】（1）解：∵z為實數，∴m2﹣9m+18=0，解得m=3或6．∴當m=3或6時，z=0，3為實數（2）解：∵z為純虛數，∴{m2-8m+15=0m2-9m+18≠0∴{m解得3＜m＜5．∴當3＜m＜5時，A位于第三象限【考點】復數的代數表示法及其幾何意義思考3【解析】思考33.已知復數z=m（m﹣1）+（m2+2m﹣3）i，當實數m取什么值時，復數z是：（1）零；（2）純虛數；（3）z=2+5i；（4）表示復數z對應的點在第四象限．【答案】解：（1）由mm-1=0m2+2m-3=0可得m=1；（2）由mm-1=0m2+2m-3≠0可得m=0；（3）由【考點】復數的基本概念【解析】（1）實部與虛部同時為零，求解即可；

（2）實部為0，虛部不為0，復數是純虛數，求出m即可；

（3）實部為2，虛部為5求解即可得到m的值，使得z=2+5i思考4

（4）表示復數z對應的點在第四象限．實部大于0，虛部小于哦，求出m思考44.將甲、乙兩顆骰子先后各拋一次，a、b分別表示拋擲甲、乙兩顆骰子所出現的點數.圖中三角形陰影部分的三個頂點為(0,0)、(4,0)）和（1）若點Q(a,b)落在如圖陰影所表示的平面區(qū)域（包括邊界）的事件記為A，求事件（2）若點Q(a,b)落在直線x+y=m（m【答案】（1）解：基本事件總數為6×6=36,如圖滿足在陰影三角形內的有：當a=1時，b=1，2，3當a=2時，b=1，2當a=3時，b=1共有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1）6個點落在條件區(qū)域內，∴P（2）解：點Q(a,b)落在x+y=m由x,y∈[1,6]，將直線x+y=m即當m=7時，（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）基本事件最多，共有6此時P=636【考點】二元一次不等式的幾何意義，古典概型及其概率計算公式【解析】（1）由題意知，本題是一個古典概型，試驗發(fā)生包含的基本事件總數為6×6，畫出圖形，滿足條件的事件A可以列舉出有6個整點，根據古典概型概率公式得到結果．（2）點Q(a,b)落在x+y=m（m為常數）的直線上，且使此事件的概率最大，只需基本事件最多，由x,y∈[1,6]，畫出圖形，直線x1.已知復數z滿足iz=-2+i，則在復平面內復數zA.

第一象限

B.

第二象限

C.

第三象限

D.

第四象限2.已知復數z=3+4i，z表示復數z的共軛復數，則復數iz的模是（A.

5

B.

25

C.

5

D.

63.歐拉公式為eix=cosx+isinx,(i虛數單位)是由瑞士著名數學家歐拉發(fā)現的，它將指數函數的定義域擴大到復數，建立了三角函數和指數函數的關系，它在復變函數論里非常重要，被譽為“數學中的天橋”A.

第一象限

B.

第二象限

C.

第三象限

D.

第四象限4.已知i是虛數單位，復數z滿足z(3+4i)=1+i，則zA.

第一象限

B.

第二象限

C.

第三象限

D.

第四象限參考答案1.【答案】D【解析】設z=a+bi（a，b∈R），其共軛復數為：由條件可得：i(a-bi)=