復(fù)數(shù)的三角表示【新教材】2022年人教A版高中數(shù)學(xué)必修講義

復(fù)數(shù)的三角表示復(fù)數(shù)的三角表示1、了解復(fù)數(shù)的三角表示式2、掌握復(fù)數(shù)相等的充要條件探索新知3、理解復(fù)數(shù)乘、除運算的三角表示及其幾何意義探索新知一、復(fù)數(shù)的三角表示式

記向量的模==r,由圖可以得到，

所以，=rcos=r（cos+sin），

其中r=，

cos=，

sin=.

這樣，我們就用刻畫向量大小的模r和刻畫向量方向的角表示復(fù)數(shù)z.

（1）一般地，任何一個復(fù)數(shù)z=a+bi,都可以表示為r=（cos+icos）的形式

其中，r是復(fù)數(shù)z的模；是以x軸的非負半軸為始，向量所在射線（射線OZ)為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的輻角．r(cos+isin)叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的三角表示式，簡稱三角形式。為了與三角形式區(qū)分開來，a+bi叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)表示式，簡稱代數(shù)形式。

（2)規(guī)定：在0≤<2π范圍內(nèi)的輻角的值為輻角的主值．通常記作argz,即0≤argz<2π.3π例如，,,=π,=二、復(fù)數(shù)乘、除運算的三角表示及其幾何意義概念辨析根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法法則以及兩角和的正弦、余弦公式，可以得到，

=（cos+isin）·（cos+isin）

=（cos+isin）（cos+isin）

=[(coscos-sinsin)]

=[cos（+）+isin（+）

則

(cos+isin)·(cos+isin)

=[cos(+)+isin(+)]

這就是說，兩個復(fù)數(shù)相乘，積的模等于各復(fù)數(shù)的模的積，積的輻角等于各復(fù)數(shù)的輻角的和.

1、復(fù)數(shù)除法運算的三角表示

設(shè)=(cos+isin),=(cos,+isin),且≠.因為

(cos+isin)·[cos(-)+isin(-)]=(cos+isin)，

所以根據(jù)復(fù)數(shù)除法的定義，有，

[cos(-)+isin(-]

這就是說，兩個復(fù)數(shù)相除，商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商，商的輻角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)的輻角所得的差.

概念辨析思考思考11.已知正六棱錐S-ABCDEF的底面邊長為2，高為1．現(xiàn)從該棱錐的7個頂點中隨機選取3個點構(gòu)成三角形，設(shè)隨機變量X（1）求概率P(X=（2）求X的分布列，并求其數(shù)學(xué)期望E(X)【答案】（1）解：從7個頂點中隨機選取3個點構(gòu)成三角形，共有C73=35種取法，其中X=3這類三角形共有6個因此P=(（2）解：由題意，X的可能取值為3,2,其中X=3的三角形如ΔABF，這類三角形共有6其中X=2的三角形有兩類，，如ΔPAD（3個），ΔPAB（6個），共有9其中X=6的三角形如ΔPBD，這類三角形共有6其中X=23的三角形如ΔCDF，這類三角形共有12其中X=33的三角形如ΔBDF，這類三角形共有2因此P=(P=(所以隨機變量的概率分布列為：X3262333P(6359356351235235所求數(shù)學(xué)期望E(【考點】古典概型及其概率計算公式，離散型隨機變量及其分布列，離散型隨機變量的期望與方差【解析】（1）先求出共有C73=35種取法，再得到滿足X=3的三角形共有6個，即可求出概率P(X=3)的值；

（2）由題意寫出思考思考22.已知復(fù)數(shù)z=（m2﹣8m+15）+（m2﹣9m+18）i在復(fù)平面內(nèi)表示的點為A，實數(shù)m取什么值時：（1）z為實數(shù)？（2）z為純虛數(shù)？（3）A位于第三象限？【答案】（1）解：∵z為實數(shù)，∴m2﹣9m+18=0，解得m=3或6．∴當(dāng)m=3或6時，z=0，3為實數(shù)（2）解：∵z為純虛數(shù)，∴{m2-8m+15=0m2-9m+18≠0∴{m解得3＜m＜5．∴當(dāng)3＜m＜5時，A位于第三象限【考點】復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義思考3【解析】思考33.已知復(fù)數(shù)z=m（m﹣1）+（m2+2m﹣3）i，當(dāng)實數(shù)m取什么值時，復(fù)數(shù)z是：（1）零；（2）純虛數(shù)；（3）z=2+5i；（4）表示復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在第四象限．【答案】解：（1）由mm-1=0m2+2m-3=0可得m=1；（2）由mm-1=0m2+2m-3≠0可得m=0；（3）由【考點】復(fù)數(shù)的基本概念【解析】（1）實部與虛部同時為零，求解即可；

（2）實部為0，虛部不為0，復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，求出m即可；

（3）實部為2，虛部為5求解即可得到m的值，使得z=2+5i思考4

（4）表示復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在第四象限．實部大于0，虛部小于哦，求出m思考44.將甲、乙兩顆骰子先后各拋一次，a、b分別表示拋擲甲、乙兩顆骰子所出現(xiàn)的點數(shù).圖中三角形陰影部分的三個頂點為(0,0)、(4,0)）和（1）若點Q(a,b)落在如圖陰影所表示的平面區(qū)域（包括邊界）的事件記為A，求事件（2）若點Q(a,b)落在直線x+y=m（m【答案】（1）解：基本事件總數(shù)為6×6=36,如圖滿足在陰影三角形內(nèi)的有：當(dāng)a=1時，b=1，2，3當(dāng)a=2時，b=1，2當(dāng)a=3時，b=1共有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1）6個點落在條件區(qū)域內(nèi)，∴P（2）解：點Q(a,b)落在x+y=m由x,y∈[1,6]，將直線x+y=m即當(dāng)m=7時，（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）基本事件最多，共有6此時P=636【考點】二元一次不等式的幾何意義，古典概型及其概率計算公式【解析】（1）由題意知，本題是一個古典概型，試驗發(fā)生包含的基本事件總數(shù)為6×6，畫出圖形，滿足條件的事件A可以列舉出有6個整點，根據(jù)古典概型概率公式得到結(jié)果．（2）點Q(a,b)落在x+y=m（m為常數(shù)）的直線上，且使此事件的概率最大，只需基本事件最多，由x,y∈[1,6]，畫出圖形，直線x1.已知復(fù)數(shù)z滿足iz=-2+i，則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)zA.

第一象限

B.

第二象限

C.

第三象限

D.

第四象限2.已知復(fù)數(shù)z=3+4i，z表示復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)iz的模是（A.

5

B.

25

C.

5

D.

63.歐拉公式為eix=cosx+isinx,(i虛數(shù)單位)是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里非常重要，被譽為“數(shù)學(xué)中的天橋”A.

第一象限

B.

第二象限

C.

第三象限

D.

第四象限4.已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足z(3+4i)=1+i，則zA.

第一象限

B.

第二象限

C.

第三象限

D.

第四象限參考答案1.【答案】D【解析】設(shè)z=a+bi（a，b∈R），其共軛復(fù)數(shù)為：由條件可得：i(a-bi)=