對(duì)數(shù)函數(shù)的概念同步練習(xí)（含答案）

對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的概念1．判斷下列說(shuō)法是否正確(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)．(1)y＝log2x2與y＝logx3都不是對(duì)數(shù)函數(shù)．(√)(2)函數(shù)y＝loga(x＋1)的定義域?yàn)?0，＋∞)．(×)(3)若對(duì)數(shù)函數(shù)滿(mǎn)足f(2)＝1，則f(x)＝log2x.(√)(4)函數(shù)f(x)＝log2xeq\f(1,3)＋5是對(duì)數(shù)函數(shù)．(×)題型1對(duì)數(shù)函數(shù)的概念2．下列給出的函數(shù)：①y＝log5x＋1；②y＝logax2(a>0，且a≠1)；③y＝log(eq\r(3)－1)x；④y＝eq\f(1,3)＋log3x；⑤y＝logxeq\r(3)(x>0，且x≠1)；⑥y＝logeq\f(2,π)x.其中是對(duì)數(shù)函數(shù)的為(D)A．③④⑤ B．②④⑥C．①③⑤⑥ D．③⑥解析：①②④不滿(mǎn)足對(duì)數(shù)函數(shù)解析式的特征，⑤中真數(shù)是常數(shù)，故只有③⑥是對(duì)數(shù)函數(shù)．3．(多選題)下列函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)的是(CD)A．y＝log3(x＋1)B．y＝loga(2x)(a>0且a≠1)C．y＝lnxD．y＝logeq\r(2)x解析：形如y＝logax(a>0且a≠1)的函數(shù)為對(duì)數(shù)函數(shù)，C，D滿(mǎn)足條件．4．若函數(shù)y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是對(duì)數(shù)函數(shù)，則a＝__4__.解析：因?yàn)楹瘮?shù)y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是對(duì)數(shù)函數(shù)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－1>0，,2a－1≠1，,a2－5a＋4＝0，))解得a＝4.題型2對(duì)數(shù)函數(shù)的解析式及應(yīng)用5．對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(16,4)，則此對(duì)數(shù)函數(shù)的解析式為(D)A．y＝log4x B．y＝logeq\f(1,4)xC．y＝logeq\f(1,2)x D．y＝log2x解析：設(shè)對(duì)數(shù)函數(shù)的解析式為y＝logax(a>0，且a≠1)．因?yàn)楹瘮?shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(16,4)，所以4＝loga16，所以a4＝16，解得a＝2，所以此對(duì)數(shù)函數(shù)的解析式為y＝log2x.6．對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)的圖象過(guò)P(8,3)，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝__－1__.解析：設(shè)對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)＝logax(a>0且a≠1)．因?yàn)楹瘮?shù)圖象過(guò)P(8,3)，所以f(8)＝loga8＝3，解得a＝2，所以f(x)＝log2x，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝log2eq\f(1,2)＝－1.7．若對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)與冪函數(shù)g(x)的圖象相交于一點(diǎn)(2,4)，則f(4)＋g(4)＝__24__.解析：設(shè)f(x)＝logax，g(x)＝xα.因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)f(x)與冪函數(shù)g(x)的圖象相交于一點(diǎn)(2,4)，所以f(2)＝loga2＝4，g(2)＝2α＝4，所以f(4)＝loga4＝2loga2＝2×4＝8，g(4)＝4α＝(2α)2＝42＝16，所以f(4)＋g(4)＝8＋16＝24.題型3對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域8．(多選題)函數(shù)y＝lg(x－1)＋lg(x－2)的定義域?yàn)镸，函數(shù)y＝lg(x2－3x＋2)的定義域?yàn)镹，則(AD)A．M?N B．N?MC．M∪N＝M D．M∩N＝M解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1>0，,x－2>0，))解得x>2，所以M＝{x|x>2}．由x2－3x＋2>0，即(x－1)(x－2)>0，解得x<1或x>2，所以N＝{x|x<1或x>2}，故M?N，M∩N＝M.9．函數(shù)f(x)＝log2(3x－1)的定義域?yàn)閑q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞)).解析：由3x－1>0，解得x>eq\f(1,3)，所以定義域?yàn)閑q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞)).10．函數(shù)f(x)＝eq\f(\r(3－x),lgx－1)的定義域?yàn)開(kāi)_(1,2)∪(2,3]__．解析：由二次根式及分式有意義條件，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－x≥0，,x－1>0，,lgx－1≠0，))解得1<x<2或2<x≤3，所以函數(shù)的定義域?yàn)?1,2)∪(2,3]．易錯(cuò)點(diǎn)1忽視對(duì)數(shù)函數(shù)底數(shù)的取值范圍致錯(cuò)11．函數(shù)y＝log(x－3)(x＋1)的定義域?yàn)?B)A．(－∞，3] B．(3,4)∪(4，＋∞)C．(4，＋∞) D．(3,4)解析：由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1>0，,x－3>0，,x－3≠1，))解得3<x<4或x>4.故選B.[誤區(qū)警示]對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)滿(mǎn)足a>0且a≠1，所以本題不要忽視x－3>0且x－3≠1.易錯(cuò)點(diǎn)2忽視對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)的討論致錯(cuò)12．已知函數(shù)f(x)＝lg(mx2－mx－m＋3)的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解：函數(shù)f(x)＝lg(mx2－mx－m＋3)的定義域?yàn)镽等價(jià)于對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x∈R，mx2－mx－m＋3>0恒成立．當(dāng)m＝0時(shí)，不等式成立；當(dāng)m≠0時(shí)，等價(jià)于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0，,Δ＝－m2－4m－m＋3<0，))解得0<m<eq\f(12,5).綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(12,5))).[誤區(qū)警示]當(dāng)二次式的二次項(xiàng)系數(shù)含有字母時(shí)，若用判別式解題，一定要討論二次項(xiàng)系數(shù)等于0和不等于0兩種情況．(限時(shí)30分鐘)一、選擇題1．若某對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(4,2)，則該對(duì)數(shù)函數(shù)的解析式為(A)A．y＝log2x B．y＝log4xC．y＝logeq\f(1,2)x D．不確定解析：設(shè)對(duì)數(shù)函數(shù)的解析式為y＝logax(a>0，且a≠1)，由題意可知loga4＝2，所以a2＝4，所以a＝2.所以該對(duì)數(shù)函數(shù)的解析式為y＝log2x.2．已知函數(shù)f(x)＝log2(x2＋a)．若f(3)＝1，則a的值為(A)A．－7 B．7C．－8 D．－9解析：由f(3)＝1得log2(32＋a)＝1，所以9＋a＝2，解得a＝－7.3．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2ex－1，x<2，,log3x2－1，x≥2，))則f(f(2))的值為(C)A．0 B．1C．2 D．3解析：由題意得f(2)＝log3(22－1)＝log33＝1，則f(f(2))＝f(1)＝2e1－1＝2e0＝2.4．函數(shù)y＝eq\f(1,log\s\do5(\f(1,2))4x－3)的定義域?yàn)?B)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,4))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1))∪(1，＋∞)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，＋∞))解析：由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log\s\do5(\f(1,2))4x－3≠0，,4x－3>0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠1，,x>\f(3,4)，))故x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1))∪(1，＋∞)．5．下列四類(lèi)函數(shù)中，具有性質(zhì)“對(duì)任意的x>0，y>0，函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(xy)＝f(x)＋f(y)”的是(B)A．冪函數(shù) B．對(duì)數(shù)函數(shù)C．指數(shù)函數(shù) D．一次函數(shù)解析：在選項(xiàng)A中，取f(x)＝xα，則f(xy)＝(xy)α＝xayα，而f(x)＋f(y)＝xα＋yα，顯然不滿(mǎn)足題意；在選項(xiàng)B中，取f(x)＝logαx，則f(xy)＝loga(xy)＝logαx＋logαy，而f(x)＋f(y)＝logαx＋logαy，顯然滿(mǎn)足題意；選項(xiàng)C中，取f(x)＝ax，則f(xy)＝axy，而f(x)＋f(y)＝ax＋ay，顯然不滿(mǎn)足題意；選項(xiàng)D中，取f(x)＝kx＋b，則f(xy)＝kxy＋b，而f(x)＋f(y)＝k(x＋y)＋2b，顯然不滿(mǎn)足題意．二、填空題6．若函數(shù)f(x)＝(3x－a)的定義域是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞))，則a＝__2__.解析：依題意知，關(guān)于x的不等式3x－a＞0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(即x>\f(a,3)))的解是x>eq\f(2,3)，所以eq\f(a,3)＝eq\f(2,3)，解得a＝2.7．大西洋鮭魚(yú)每年都要逆流而上，游回產(chǎn)地產(chǎn)卵．研究鮭魚(yú)的科學(xué)家發(fā)現(xiàn)鮭魚(yú)的游速可以表示為函數(shù)v＝eq\f(1,2)log3eq\f(O,100)，單位是m/s，其中O表示魚(yú)的耗氧量的單位數(shù)．當(dāng)一條鮭魚(yú)的游速為m/s時(shí)，這條鮭魚(yú)的耗氧量是__2_700__個(gè)單位．解析：當(dāng)v＝時(shí)，＝eq\f(1,2)log3eq\f(O,100)，即3＝log3eq\f(O,100)，eq\f(O,100)＝33＝27，所以O(shè)＝2700.8．已知a>0，b>0，函數(shù)f(x)＝alog2x＋b的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,2)))，則eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)的最小值為_(kāi)_16__.解析：函數(shù)f(x)＝alog2x＋b的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,2)))，可得alog24＋b＝eq\f(1,2)，即4a＋2b＝1，所以eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(2,b)))(4a＋2b)＝4＋4＋eq\f(2b,a)＋eq\f(8a,b)≥8＋2eq\r(\f(2b,a)·\f(8a,b))＝16，當(dāng)且僅當(dāng)b＝2a＝eq\f(1,4)時(shí)，取得等號(hào)，故eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)的最小值為16.三、解答題9．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,2x，x≤0，))若f(a)＝eq\f(1,2)，求a的值．解：當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝log2x，由f(a)＝eq\f(1,2)得log2a＝eq\f(1,2)，即a＝eq\r(2).當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)＝2x，由f(a)＝eq\f(1,2)得2a＝eq\f(1,2)，a＝－1.綜上a＝－1或eq\r(2).10．已知M＝{x|y＝lg(6x－x2－5)}，N＝{y|y＝eq\r(16－2x)}，求M∩N.解：由M＝{x|y＝lg(6x－x2－5)}，得6x－x2－5>0，即x2－6x＋5<0，則(x－1)(x－5)<0，解得1<x<5，所以M＝{x|1<x<5}．由N＝{y|y＝eq\r(16－2x)}，得16－2x≥0,2x≤16＝24.因?yàn)楹瘮?shù)y＝2x單調(diào)遞增，所以x≤4，所以0<2x≤16?0≤16－2x<16，所以0≤eq\r(16－2x)<4，所以0≤y<4，所以N＝{y|0≤y<4}．故M∩N＝(1,4)．11．已知函數(shù)f(x)＝loga(3＋2x)，g(x)＝loga(3－2x)(a＞0，且a≠1)．(1)求函數(shù)y＝f(x)－g(x)的定義域；(2)判斷函數(shù)y＝f(x)－g(x)的奇偶性，并予以證明．解：(1)要使函數(shù)y＝f(x)－g(x)有意義，必須有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＋2x＞0，,3－2x＞0，))解得－eq\f(3,2