對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)同步練習(xí)（含答案）

對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)課時1對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)1．判斷下列說法是否正確(正確的打“√”，錯誤的打“×”)．(1)logax>0的解集為{x|x>1}．(×)(2)log23>log32.(√)(3)y＝log2x的值域為[0，＋∞)．(×)(4)指數(shù)函數(shù)y＝log2(x－1)的圖象恒過定點(diǎn)(1,0)．(×)題型1對數(shù)函數(shù)的圖象問題2．已知函數(shù)y＝loga(x＋c)(a，c為常數(shù)，且a>0，a≠1)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論成立的是(D)A．a(chǎn)>1，c>1 B．a(chǎn)>1,0<c<1C．0<a<1，c>1 D．0<a<1,0<c<1解析：由題意可知y＝loga(x＋c)的圖象是由y＝logax的圖象向左平移c個單位長度得到的，結(jié)合題圖知0<c<1.根據(jù)單調(diào)性易知0<a<1.故選D.3．函數(shù)y＝|lg(x＋1)|的圖象是(A)解析：因為y＝|lg(x＋1)|≥0，且當(dāng)x＝0時，y＝0，所以選A.4．函數(shù)y＝ln(1－x)的圖象大致為(C)解析：由函數(shù)的解析式可得函數(shù)的定義域為(－∞，1)，且函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減．故選C.5．任意冪函數(shù)都過定點(diǎn)A(m，n)，則函數(shù)f(x)＝n＋loga(x－m)(a>0且a≠1)經(jīng)過的定點(diǎn)是__(2,1)__．解析：因為任意冪函數(shù)都過定點(diǎn)(1,1)，所以m＝1，n＝1，則函數(shù)f(x)＝1＋loga(x－1)，令x－1＝1得x＝2，此時f(2)＝1＋loga1＝1，即函數(shù)f(x)經(jīng)過的定點(diǎn)是(2,1)．題型2比較值的大小6．設(shè)a＝log4π，b＝logeq\f(1,4)π，c＝π4，則a，b，c的大小關(guān)系是(D)A．a(chǎn)>c>b B．b>c>aC．c>b>a D．c>a>b解析：因為log42<log4π<log44，所以eq\f(1,2)<a<1；因為logeq\f(1,4)π＝－log4π<0，所以b<0；因為π4>π0＝1，所以c>1.故c>a>b.7．已知a＝log35，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2，c＝logeq\f(1,2)eq\f(1,9)，則它們的大小關(guān)系是(C)A．a(chǎn)>b>c B．a(chǎn)>c>bC．c>a>b D．b>c>a解析：因為log33<log35<log39，所以1<a<2.又b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＝eq\f(1,9)，c＝logeq\f(1,2)eq\f(1,9)>logeq\f(1,2)eq\f(1,8)＝3，所以c>a>b.8．若>>0，則(D)A．0<m<n<1 B．1<m<nC．1<n<m D．0<n<m<1解析：因為>>0，所以0<m<1,0<n<1，所以lgm<0，lgn<0，即lgm·lgn>0.由換底公式將>>0化為eq\f(lg,lgm)>eq\f(lg,lgn)，不等式兩邊同時乘lgm·lgn，可得lgn·lg>lgm·lg.因為lg<0，所以不等式兩邊同時除以lg，可得lgn<lgm，由對數(shù)單調(diào)性可得n<m.綜上可知m，n的關(guān)系為0<n<m<1.題型3與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的值域與最值問題9．函數(shù)f(x)＝ax(a>0且a≠1)在區(qū)間[－2,2]上的值不大于2，則函數(shù)g(a)＝log2a的值域是(A)\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))解析：由于f(x)是指數(shù)函數(shù)，當(dāng)a>1時，f(x)在[－2,2]上遞增，f(2)＝a2≤2，解得1<a≤eq\r(2)；當(dāng)0<a<1時，f(x)在[－2,2]上遞減，f(－2)＝a－2≤2，解得eq\f(\r(2),2)≤a<1.所以a∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\r(2))).因為y＝log2x在(0，＋∞)上遞增，所以函數(shù)g(a)＝log2a的值域是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2\f(\r(2),2)，log21))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(log21，log2\r(2)))，即eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).10．設(shè)a>1，函數(shù)f(x)＝logax在區(qū)間[a,2a]上的最大值與最小值之差為eq\f(1,2)，則實數(shù)a＝__4__.解析：因為a>1，所以f(x)＝logax在(0，＋∞)上是增函數(shù)．所以f(x)在[a,2a]上的最大值為f(2a)，最小值為f(a)．所以f(2a)－f(a)＝loga2a－logaa＝eq\f(1,2)，即loga2＝eq\f(1,2).所以a＝4.11．設(shè)函數(shù)f(x)＝log3(ax＋b)，且f(1)＝0，f(2)＝1.(1)求a，b的值；(2)當(dāng)x∈[2,14]時，求f(x)的值域．解：(1)由f(1)＝0，f(2)＝1可得，f(1)＝log3(a＋b)＝0，f(2)＝log3(2a＋b)＝1，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝1，,2a＋b＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－1.,))(2)由(1)可得，函數(shù)f(x)＝log3(2x－1)．令g(x)＝2x－1，則函數(shù)g(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，又由函數(shù)f(x)＝log3x為單調(diào)遞增函數(shù)，可得函數(shù)f(x)＝log3(2x－1)在x∈[2,14]上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x＝2時，函數(shù)f(x)取得最小值，最小值為f(2)＝log33＝1；當(dāng)x＝14時，函數(shù)f(x)取得最大值，最大值為f(14)＝log327＝3.所以函數(shù)f(x)的值域為[1,3]．易錯點(diǎn)1忽略分段函數(shù)的定義域分界點(diǎn)致錯12．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2x－1，x≤1，,logax，x>1，))若f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍為(C)A．(1,2) B．(2,3)C．(2,3] D．(2，＋∞)解析：因為f(x)在R上單調(diào)遞增，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2>0，,a>1，,a－2×1－1≤loga1，))解得2<a≤3.故選C.[誤區(qū)警示]分段函數(shù)在R上的單調(diào)性問題要注意每段都具有相同的單調(diào)性，同時還要注意在定義域的分界點(diǎn)處函數(shù)值的大小．易錯點(diǎn)2忽略了對底數(shù)的討論致錯13．已知a>0且a≠1，則滿足logaeq\f(3,5)<1的a的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,5)))∪(1，＋∞).解析：因為logaeq\f(3,5)<1，所以logaeq\f(3,5)<logaa.當(dāng)0<a<1時，a<eq\f(3,5)，所以0<a<eq\f(3,5).當(dāng)a>1時，a>eq\f(3,5)，所以a>1.綜上，a的取值范圍是a∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,5)))∪(1，＋∞)．[誤區(qū)警示]對數(shù)函數(shù)的底數(shù)影響函數(shù)的單調(diào)性，所以與單調(diào)性有關(guān)的問題要注意對底數(shù)的討論．(限時30分鐘)一、選擇題1．若函數(shù)y＝f(x)是函數(shù)y＝3x的反函數(shù)，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))的值為(B)A．－log23 B．－log32C．eq\f(1,9) D．eq\r(3)解析：由題意可知f(x)＝log3x，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝log3eq\f(1,2)＝－log32.2．如圖，若C1，C2分別為函數(shù)y＝logax和y＝logbx的圖象，則(B)A．0<a<b<1 B．0<b<a<1C．a(chǎn)>b>1 D．b>a>1解析：作直線y＝1(圖略)，則直線與C1，C2的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為a，b，易知0<b<a<1.3．函數(shù)f(x)＝loga(x－1)＋2的圖象恒過定點(diǎn)(A)A．(2,2) B．(2,1)C．(3,2) D．(2,0)解析：函數(shù)y＝logax恒過點(diǎn)(1,0)，即a在它的范圍內(nèi)不論取什么值，x＝1，y＝0恒成立．類似令x－1＝1，即x＝2，則f(2)＝2，所以恒過定點(diǎn)(2,2)．4．已知lga＋lgb＝0，則函數(shù)f(x)＝ax與函數(shù)g(x)＝－logbx的圖象可能是(B)解析：由lga＋lgb＝0，得lg(ab)＝0，所以ab＝1，故a＝eq\f(1,b)，所以當(dāng)0＜b＜1時，a＞1；當(dāng)b＞1時，0＜a＜1.又因為函數(shù)y＝－logbx與函數(shù)y＝logbx的圖象關(guān)于x軸對稱．利用這些信息可知選項B符合0＜b＜1且a＞1的情況．5．函數(shù)f(x)＝log2x在區(qū)間[a,2a]上的最大值是最小值的2倍，則a等于(D)\f(1,2) B．eq\f(\r(2),2)C．eq\r(2) D．2解析：因為2＞1，所以f(x)＝log2x是增函數(shù)．所以2f(a)＝f(2a)，即2log2a＝log22a，所以a2＝2a，所以a＝2.6．對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1)與二次函數(shù)y＝(a－1)x2－x在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可能是(A)解析：由題意，若0<a<1，則y＝logax在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，函數(shù)y＝(a－1)x2－x圖象開口向下，且對稱軸x＝eq\f(1,2a－1)在y軸左側(cè)，排除C，D.若a>1，則y＝logax在(0，＋∞)上是增函數(shù)，函數(shù)y＝(a－1)x2－x圖象開口向上，且對稱軸x＝eq\f(1,2a－1)在y軸右側(cè)，因此B項不正確，只有選項A滿足．故選A.二、填空題7．a(chǎn)＝，b＝logeq\r(2)，c＝logeq\r(3)eq\r(5)，則a，b，c的大小關(guān)系為__b<a<c__.解析：因為0＜，logeq\r(2)<logeq\r(2)1＝0，logeq\r(3)eq\r(5)>logeq\r(3)eq\r(3)＝1，所以b＜0＜a＜1＜c，即b<a<c.8．函數(shù)y＝loga(2x－3)＋eq\f(\r(2),2)過定點(diǎn)(m，n)，則函數(shù)y＝lognx的反函數(shù)是y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))x.解析：令2x－3＝1得x＝2，此時y＝eq\f(\r(2),2)，所以函數(shù)y＝loga(2x－3)＋eq\f(\r(2),2)過定點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(\r(2),2)))，所以n＝eq\f(\r(2),2)，則函數(shù)y＝lognx的反函數(shù)是y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))x.9．已知函數(shù)f(x)＝5－log3x，x∈(3,27]，則f(x)的值域為__[2,4)__．解析：因為3<x≤27，所以1<log3x≤3，所以－3≤－log3x<－1，則2≤5－log3x<4.即f(x)的值域為[2,4)．三、解答題10．畫出下列函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象寫出函數(shù)的定義域及值域．(1)y＝log3(x－2)；(2)y＝|logeq\f(1,3)x|.解：(1)函數(shù)y＝log3(x－2)的圖象如圖1.其定義域為(2，＋∞)，值域為R.圖1圖2(2)y＝|logeq\f(1,3)x|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log\f(1,3)x，0<x≤1，,log3x，x>1，))其圖象如圖2.其定義域為(0，＋∞)，值域為[0，＋∞)．11．已知函數(shù)y＝(log2x－2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log4x－\f(1,2)))，2≤x≤8.(1)令t＝log2x，求y關(guān)于t的解析式，并寫出t的范圍；(2)求該函數(shù)的值域．解：(1)y＝eq\f(1,2)(t－2)(t－1)＝eq\f(