春新版人教版高中物理同步測評萬有引力理論的成果

第3節(jié)萬有引力理論的成就1．“稱量”地球的質(zhì)量(1)若不考慮eq\o(□,\s\up4(01))地球自轉(zhuǎn)的影響，地面上質(zhì)量為m的物體所受的重力mg等于地球?qū)ξ矬w的引力，即mg＝eq\o(□,\s\up4(02))Geq\f(mm地,R2)。(2)地球質(zhì)量m地＝eq\o(□,\s\up4(03))eq\f(gR2,G)，即只要知道引力常量G、eq\o(□,\s\up4(04))地球半徑R、地球表面的重力加速度g的值就能計(jì)算地球的質(zhì)量。2．計(jì)算天體的質(zhì)量(1)計(jì)算太陽的質(zhì)量：行星繞太陽做勻速圓周運(yùn)動，向心力由它們之間的eq\o(□,\s\up4(05))萬有引力提供，Geq\f(m太m,r2)＝eq\o(□,\s\up4(06))meq\f(4π2,T2)r，得m太＝eq\o(□,\s\up4(07))eq\f(4π2r3,GT2)，只要測出行星的eq\o(□,\s\up4(08))公轉(zhuǎn)周期T和eq\o(□,\s\up4(09))它與太陽的距離r，就能計(jì)算太陽的質(zhì)量。(2)計(jì)算其他天體的質(zhì)量：只要測得衛(wèi)星繞行星運(yùn)動的eq\o(□,\s\up4(10))周期和eq\o(□,\s\up4(11))衛(wèi)星與行星之間的距離，就可以計(jì)算行星的質(zhì)量。3．發(fā)現(xiàn)未知天體(1)海王星的發(fā)現(xiàn)：18世紀(jì)，人們觀測到太陽系第七個行星——天王星的軌道和用eq\o(□,\s\up4(12))萬有引力定律計(jì)算出來的軌道總有一些偏差。英國劍橋大學(xué)的學(xué)生eq\o(□,\s\up4(13))亞當(dāng)斯和法國年輕的天文學(xué)家勒維耶根據(jù)天王星的觀測資料，各自獨(dú)立地利用萬有引力定律計(jì)算出“新”行星的軌道。1846年，德國的eq\o(□,\s\up4(14))伽勒在勒維耶預(yù)言的位置附近發(fā)現(xiàn)了這顆行星——eq\o(□,\s\up4(15))海王星，人們稱其為“筆尖下發(fā)現(xiàn)的行星”。(2)其他未知天體的發(fā)現(xiàn)：近100年來，人們在海王星的軌道之外發(fā)現(xiàn)了eq\o(□,\s\up4(16))冥王星、eq\o(□,\s\up4(17))鬩神星等幾個較大的天體。4．預(yù)言哈雷彗星回歸(1)英國天文學(xué)家eq\o(□,\s\up4(18))哈雷預(yù)言哈雷彗星回歸的周期為eq\o(□,\s\up4(19))76年。海王星的發(fā)現(xiàn)和哈雷彗星的“按時回歸”確立了萬有引力定律的地位。(2)牛頓還用月球和太陽的萬有引力解釋了eq\o(□,\s\up4(20))潮汐現(xiàn)象，用萬有引力定律和其他力學(xué)定律，推測地球呈eq\o(□,\s\up4(21))赤道處略為隆起的扁平形狀。萬有引力定律還可以用于分析地面重力加速度微小差異的原因，以及指導(dǎo)重力探礦。典型考點(diǎn)一萬有引力與重力的關(guān)系1．(多選)下列關(guān)于地球表面上萬有引力與重力的關(guān)系，說法正確的是()A．在任何地方重力等于萬有引力，方向都指向地心B．地球兩極處萬有引力等于重力，即mg＝F＝Geq\f(Mm,R2)C．在地球除兩極的其他位置，重力是萬有引力的一個分力，重力的大小mg>Geq\f(Mm,R2)D．赤道上萬有引力等于重力和向心力之和，即Geq\f(Mm,R2)＝mω2R＋mg答案BD解析在赤道上：重力和向心力在一條直線上，F(xiàn)＝Fn＋mg，即Geq\f(Mm,R2)＝mω2R＋mg，故D正確；在地球兩極處：向心力為零，所以重力等于萬有引力，即mg＝F＝Geq\f(Mm,R2)，故B正確；在除兩極的其他位置：重力是萬有引力的一個分力，重力的大小mg<Geq\f(Mm,R2)，重力的方向偏離地心，故A、C錯誤。典型考點(diǎn)二天體質(zhì)量和密度的計(jì)算2．(多選)要計(jì)算地球的質(zhì)量，除已知的一些常數(shù)外還需知道某些數(shù)據(jù)，現(xiàn)給出下列各組數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出地球質(zhì)量的有()A．已知地球半徑RB．已知衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動的軌道半徑r和線速度vC．已知衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動的線速度v和周期TD．已知地球公轉(zhuǎn)的周期T′及運(yùn)動半徑r′答案ABC解析設(shè)相對于地面靜止的某一物體質(zhì)量為m，地球的質(zhì)量為M，根據(jù)地面上的物體所受萬有引力和重力近似相等的關(guān)系得Geq\f(Mm,R2)＝mg，解得M＝eq\f(gR2,G)，所以A正確；設(shè)衛(wèi)星的質(zhì)量為m，根據(jù)萬有引力提供衛(wèi)星運(yùn)動的向心力，可得eq\f(GMm,r2)＝meq\f(v2,r)，即M＝eq\f(v2r,G)，所以B正確；再根據(jù)T＝eq\f(2πr,v)，得M＝eq\f(v2r,G)＝eq\f(v2\f(vT,2π),G)＝eq\f(v3T,2πG)，所以C正確；若已知地球公轉(zhuǎn)的周期T′及運(yùn)動半徑r′，只能求出地球所圍繞的中心天體——太陽的質(zhì)量，不能求出地球的質(zhì)量，所以D錯誤。3．“嫦娥二號”是我國月球探測第二期工程的先導(dǎo)星。若測得“嫦娥二號”在月球(可視為密度均勻的球體)表面附近圓形軌道運(yùn)行的周期為T，已知引力常量為G，則可估算月球的eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(半徑為R的球體體積公式V＝\f(4,3)πR3))()A．密度B．質(zhì)量C．半徑D．自轉(zhuǎn)周期答案A解析由萬有引力提供向心力有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，由于在月球表面附近軌道有r＝R，則月球質(zhì)量M＝eq\f(4π2r3,GT2)＝eq\f(4π2R3,GT2)，由球體體積公式V＝eq\f(4,3)πR3以及M＝ρV，聯(lián)立解得月球的密度ρ＝eq\f(3π,GT2)，故A正確。4．(多選)若宇航員在月球表面附近自高h(yuǎn)處以初速度v0水平拋出一個小球，測出小球的水平射程為L。已知月球半徑為R，萬有引力常量為G。則下列說法正確的是()A．月球表面的重力加速度g月＝eq\f(2hv\o\al(2,0),L2)B．月球的質(zhì)量m月＝eq\f(2hR2v\o\al(2,0),GL2)C．月球的自轉(zhuǎn)周期T＝eq\f(2πR,v0)D．月球的平均密度ρ＝eq\f(3hv\o\al(2,0),2πGL2)答案AB解析根據(jù)平拋運(yùn)動規(guī)律，L＝v0t，h＝eq\f(1,2)g月t2，聯(lián)立解得g月＝eq\f(2hv\o\al(2,0),L2)，A正確；由mg月＝Geq\f(mm月,R2)解得m月＝eq\f(2hR2v\o\al(2,0),GL2)，B正確；根據(jù)題目條件無法求出月球的自轉(zhuǎn)周期，C錯誤；月球的平均密度ρ＝eq\f(m月,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3hv\o\al(2,0),2πGL2R)，D錯誤。5．為了研究太陽演化進(jìn)程，需知道目前太陽的質(zhì)量M。已知地球半徑R＝×106m，地球質(zhì)量m＝×1024kg，日地中心距離r＝×1011m，地球表面處的重力加速度g＝10m/s2,1年約為×107s，但引力常量G未知。試估算目前太陽的質(zhì)量M。(結(jié)果保留兩位有效數(shù)字)答案×1030kg解析設(shè)地球繞太陽運(yùn)動的周期為T，則由太陽對地球的引力提供地球圍繞太陽做圓周運(yùn)動的向心力得Geq\f(Mm,r2)＝mreq\f(4π2,T2)設(shè)在地球表面附近有質(zhì)量為m′物體，則Geq\f(mm′,R2)＝m′g聯(lián)立解得M＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2eq\f(r3,R2g)＝×1024×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2×,×107)))2×eq\f(×10113,×1062×10)kg≈×1030kg。典型考點(diǎn)三發(fā)現(xiàn)未知天體6．關(guān)于萬有引力定律應(yīng)用于天文學(xué)研究的歷史事實(shí)，下列說法中正確的是()A．天王星和海王星，都是運(yùn)用萬有引力定律，經(jīng)過大量計(jì)算以后而發(fā)現(xiàn)的B．在18世紀(jì)已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的七顆行星中，人們發(fā)現(xiàn)第七顆行星——天王星的運(yùn)動軌道總是同根據(jù)萬有引力定律計(jì)算出來的結(jié)果有比較大的偏差，于是有人推測，在天王星軌道外還有一顆行星，是它的存在引起了上述偏差C．第八顆行星，是牛頓運(yùn)用自己發(fā)現(xiàn)的萬有引力定律，經(jīng)過大量計(jì)算而發(fā)現(xiàn)的D．天王星是英國劍橋大學(xué)的學(xué)生亞當(dāng)斯和法國年輕的天文學(xué)家勒維耶合作研究后共同發(fā)現(xiàn)的答案B解析天王星是在1781年發(fā)現(xiàn)的，而卡文迪許測出引力常量是在1789年，在此之前人們還不能用萬有引力定律做有實(shí)際意義的計(jì)算，故A錯誤，B正確；太陽系的第八顆行星即海王星是英國劍橋大學(xué)的學(xué)生亞當(dāng)斯和法國年輕的天文學(xué)家勒維耶各自獨(dú)立地利用萬有引力定律計(jì)算出軌道和位置，由德國的伽勒首先發(fā)現(xiàn)的，故C、D錯誤。典型考點(diǎn)四雙星問題7．天文學(xué)家將相距較近、僅在彼此的引力作用下運(yùn)行的兩顆恒星稱為雙星。如圖所示，某雙星系統(tǒng)中A、B兩顆恒星圍繞它們連線上的固定點(diǎn)O分別做勻速圓周運(yùn)動，在運(yùn)動中恒星A、B的中心和O三點(diǎn)始終共線，下列說法正確的是()A．恒星A的角速度比恒星B的角速度小B．恒星A的線速度比恒星B的線速度小C．恒星A受到的向心力比恒星B受到的向心力小D．恒星A的質(zhì)量比恒星B的質(zhì)量小答案D解析由于二者具有相同的周期，故二者角速度ωA＝ωB，故A錯誤；根據(jù)公式v＝ωr，由于二者角速度相同，A的軌道半徑大，則恒星A的線速度比恒星B的線速度大，故B錯誤；恒星A受到的向心力和恒星B受到的向心力均由二者之間的萬有引力提供，而萬有引力大小相等，故二者受到的向心力大小相等，故C錯誤；根據(jù)上面的分析可知：mAω2rA＝mBω2rB，由于rA>rB，故mA<mB，故D正確。1．(多選)假如地球自轉(zhuǎn)速度增大，關(guān)于物體所受的重力，下列說法正確的是()A．放在赤道地面上物體的萬有引力不變B．放在兩極地面上物體的重力不變C．放在赤道地面上物體的重力減小D．放在兩極地面上物體的重力增加答案ABC解析地球自轉(zhuǎn)角速度增大，地面上物體受到的萬有引力不變，A正確；在兩極，物體受到的萬有引力等于其重力，則其重力不變，B正確，D錯誤；而對放在赤道地面上的物體，F(xiàn)萬＝mg＋mω2r，物體受到的萬有引力不變，ω增大，mg減小，C正確。2．已知金星和地球的半徑分別為R1、R2，金星和地球表面的重力加速度分別為g1、g2，則金星與地球的質(zhì)量之比為()\f(g1R\o\al(2,1),g2R\o\al(2,2))\f(g1R\o\al(2,2),g2R\o\al(2,1))\f(g2R\o\al(2,1),g1R\o\al(2,2))\f(g2R\o\al(2,2),g1R\o\al(2,1))答案A解析根據(jù)星球表面物體重力等于萬有引力，即mg＝Geq\f(Mm,R2)，得M＝eq\f(gR2,G)，所以有eq\f(M金,M地)＝eq\f(g1R\o\al(2,1),g2R\o\al(2,2))，故A正確，B、C、D錯誤。3．假設(shè)地球可視為質(zhì)量均勻分布的球體。已知地球表面重力加速度在兩極的大小為g0，在赤道的大小為g；地球自轉(zhuǎn)的周期為T，引力常量為G。地球的密度為()\f(3πg(shù)0－g,GT2g0) \f(3πg(shù)0,GT2g0－g)\f(3π,GT2) \f(3πg(shù)0,GT2g)答案B解析在地球兩極處：Geq\f(Mm,R2)＝mg0，在地球的赤道上：Geq\f(Mm,R2)－mg＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2R，地球的質(zhì)量：M＝eq\f(4,3)πR3ρ，聯(lián)立三式可得：ρ＝eq\f(3πg(shù)0,GT2g0－g)，B正確。4．(多選)一行星繞恒星做圓周運(yùn)動，由天文觀測可得，其運(yùn)行周期為T，速度為v，引力常量為G，則()A．恒星的質(zhì)量為eq\f(v3T,2πG)B．行星的質(zhì)量為eq\f(4π2v3,GT2)C．行星運(yùn)動的軌道半徑為eq\f(vT,π)D．行星運(yùn)動的加速度為eq\f(2πv,T)答案AD解析根據(jù)圓周運(yùn)動知識，由v＝eq\f(2πr,T)得到行星運(yùn)動的軌道半徑為r＝eq\f(vT,2π)①，根據(jù)萬有引力提供向心力，列出等式：eq\f(GMm,r2)＝meq\f(4π2r,T2)②，由①②得M＝eq\f(v3T,2πG)，故A正確；根據(jù)題給條件無法求出行星的質(zhì)量，故B錯誤；通過以上分析得r＝eq\f(vT,2π)，故C錯誤；根據(jù)a＝eq\f(v2,r)③，由①③得：行星運(yùn)動的加速度為eq\f(2πv,T)，故D正確。5．宇航員來到某星球表面作了如下實(shí)驗(yàn)：將一小鋼球以v0的初速度豎直向上拋出，測得小鋼球上升離拋出點(diǎn)的最大高度為h(h遠(yuǎn)小于星球半徑)，該星球?yàn)槊芏染鶆虻那蝮w，引力常量為G，求：(1)該星球表面的重力加速度；(2)若該星球的半徑為R，忽略星球的自轉(zhuǎn)，求該星球的密度。答案(1)eq\f(v\o\al(2,0),2h)(2)eq\f(3v\o\al(2,0),8πGRh)解析(1)根據(jù)速度位移公式得：0－veq\o\al(2,0)＝－2gh得g＝eq\f(v\o\al(2,0),2h)。(2)根據(jù)Geq\f(Mm,R2)＝mg及M＝ρ·eq\f(4,3)πR3聯(lián)立解得星球密度ρ＝eq\f(3v\o\al(2,0),8πGRh)。6．兩個星球組成雙星，它們在相互之間的萬有引力作用下，繞連線上某點(diǎn)做周期相同的勻速圓周運(yùn)動，現(xiàn)測