空間直線平面的垂直【新教材】2022年人教A版高中數(shù)學(xué)必修同步講義

第八章立體幾何初步8§空間直線、平面的垂直8知識(shí)索引索引1：異面直線所成的角知識(shí)索引索引1：異面直線所成的角定義（1）做法：經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b（2）結(jié)論：我們把a(bǔ)′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)范圍：記異面直線a與b所成的角為θ，則0°<θ≤90°特殊情況當(dāng)θ＝90°時(shí)，a與b互相垂直，記作a⊥b索引2：直線與平面垂直直線與平面垂直的定義（記法----------l⊥α）如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說(shuō)直線l與平面α互相垂直有關(guān)概念直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面，它們唯一的公共點(diǎn)P叫做垂足畫(huà)法畫(huà)直線與平面垂直時(shí)，通常把直線畫(huà)成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直，如下圖索引3：直線與平面所成的角一條直線1與一個(gè)平面相交,但不與這個(gè)平面垂直,這條直線叫做這個(gè)平面的斜線,斜線和平面的交點(diǎn)A叫做斜足.過(guò)斜線上斜足以外的一點(diǎn)P向平面引垂線PO,過(guò)垂足O和斜足A的直線A0叫做斜線在這個(gè)平面上的射影.平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角,叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角索引4：直線與平面垂直的性質(zhì)定理定義：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行

aa⊥αb⊥α2.符號(hào)?a∥b3.圖形演示索引5：二面角定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面2.二面角的度量(1)二面角的大小可以用它的平面角來(lái)度量,二面角的平面角是多少度,就說(shuō)這個(gè)二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.(2)二面角的平面角的取值范圍是8精例探究精例探究精例1.已知m，n表示兩條不同直線，α，β表示兩個(gè)不同平面．設(shè)有四個(gè)命題：p1：若m//α，m⊥n，則n⊥α；p2：若m//α，n⊥α，則m⊥n；p3：若m//α，α⊥β，則m

p1∧p2

B.

?p1【答案】C【考點(diǎn)】直線與平面平行的性質(zhì)，直線與平面垂直的性質(zhì)【解析】【解答】p1：若m//α，m⊥n，則n⊥α是假命題，例如np2：若m//α，n⊥αp3：若m//α，α⊥β，則mp4：若m//α，m//β所以p1∧p2，?p故答案為：C

【分析】p1：m與n相交、平行或異面；p2：由線面垂直的性質(zhì)定理得m⊥n；p3精例2已知a，b為不同直線，α，β為不同平面，則下列結(jié)論正確的是（

）

若a⊥α，b⊥a，則b//

B.

若a，b?α，a//β，b//β，則α//β

C.

若a//

D.

若α∩β=b，a?α，a⊥b【答案】C【考點(diǎn)】直線與平面平行的判定，平面與平面平行的判定，平面與平面垂直的判定【解析】【解答】A選項(xiàng)，若a⊥α，b⊥a，則b//α或B選項(xiàng)，若a，b?α，a//β，b//β，當(dāng)a//C選項(xiàng)，若a//b，b⊥β，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，可得a⊥β，又a//D選項(xiàng)，若α∩β=b，a?α，a⊥b，垂直于交線，并不能推出垂直于另一平面，因此不能得出a⊥β，即不能推出故答案為：C.【分析】利用已知條件結(jié)合線面平行的判定定理、，面面平行判定定理、面面垂直的判定定理，從而找出正確結(jié)論的選項(xiàng)。精例3如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AB=5（Ⅰ）求證：BC⊥AM；（Ⅱ）若N是AB上的點(diǎn)，且CN//平面AB1M【答案】解：（Ⅰ）證明：∵CC1⊥平面ABC，BC?平面平面ABC，∴又AB=5，AC=3，BC=4，∴AC2+B又AC∩CC1=C，∴BC⊥平面AA1C1C，又（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)N作NE//BB1交AB由三棱柱ABC-A1B1C1可得BB又CN//平面AB1M，CN?平面NEMC，且平面NEMC∩平面∴CN//ME，∴四邊形∴NE=CM，且NE//又點(diǎn)M為CC1中點(diǎn)，∴CM=12BB1，且CM∴BN=1【考點(diǎn)】直線與平面平行的性質(zhì)，直線與平面垂直的判定，直線與平面垂直的性質(zhì)【解析】【分析】（Ⅰ）首先由線面垂直的性質(zhì)定理即可得出線線垂直，再由勾股定理即可計(jì)算出線線垂直，結(jié)合線面垂直的判定定理以及性質(zhì)定理即可得證出結(jié)論。

（Ⅱ）根據(jù)題意作出輔助線結(jié)合三棱柱的性質(zhì)以及線面平行的性質(zhì)定理即可得出線線平行，再由平行四邊形的定義即可得出線線平行，結(jié)合中位線的性質(zhì)以及平行的傳遞性即可求出結(jié)果。

8課堂反饋課堂反饋練習(xí)1.如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=5，BB（Ⅰ）證明：DE⊥平面BB（Ⅱ）求三棱錐D-EBC的體積與三棱柱ABC-A練習(xí)2.如圖所示，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，AD⊥平面ABC，AE⊥BD于E，AF⊥CD于F.求證：BD⊥平面AEF.練習(xí)3.已知m，n為兩條不同的直線，α和β是兩個(gè)不同的平面，下列為真命題的是（

）

m⊥n,m//α?n⊥α

B.

n//β,β⊥α?n⊥αC.

m//n,m⊥β?n⊥β

D.

m//α,n?α?m//n練習(xí)4.如圖所示，平面α⊥平面β,A∈α,B∈β,AB與兩平面α,β所成的角分別為45°、30°，過(guò)A，B分別作兩平面交線的垂線，垂足分別為A',B

2:1

B.

3:1

C.

3:2

D.

4:38參考答案.參考答案練習(xí)1.【答案】解：（Ⅰ）取BC的中點(diǎn)為F，連結(jié)AF、EF，∵BB1⊥平面ABC，AF?∴BB∵AB=AC=5，∴AF⊥BC，∵BB∴AF⊥平面BB∵AD//BB1,AD=∴四邊形DEFA為平行四邊形，∴DE//∴DE⊥平面BB（Ⅱ）由題可得DE=AF=4，三棱錐D-EBC的體積為13VD-EBC直三棱柱的體積為底面積乘以高，所以VABC-所以三棱錐D-EBC的體積與三棱柱ABC-A1B【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積，直線與平面垂直的判定【解析】【分析】（Ⅰ）首先作出輔助線再由中點(diǎn)的性質(zhì)即可得出線線平行，再由平行性質(zhì)的傳遞性結(jié)合已知條件即可得出結(jié)論。

（Ⅱ）根據(jù)題意由三棱錐的體積公式代入數(shù)據(jù)計(jì)算出即可得出結(jié)論。練習(xí)2.【答案】證明：AB為⊙O的直徑，C為⊙O上點(diǎn)，所以BC⊥AC因?yàn)镈A⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以DA⊥BC又DA∩AC=A,所以BC⊥面DAC又AF?平面DAC，則BC⊥AF又AF⊥DC，DC∩BC=C，所以AF⊥平面BCD又BD?平面BCD，所以AF⊥BD又因?yàn)锳E⊥BD，AE∩AF=A所以BD⊥平面AEF【考點(diǎn)】直線與平面垂直的判定【解析】【分析】運(yùn)用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理即可得證。練習(xí)3.【答案】C【考點(diǎn)】空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，直線與平面垂直的判定【解析】【解答】A.m⊥n,m//α，則n也可在平面α內(nèi)，故答案為：項(xiàng)A不正確.B.n//β,β⊥α，則n也可在平面α內(nèi)，故答案為：項(xiàng)B不正確.C.m//n,m⊥β?n⊥β成立兩平行線m,n，m⊥平面β，m必垂直于β內(nèi)的兩條相交直線，則n必定垂直于β內(nèi)那兩條相交直線，故n⊥β，C符合題意.D.m//α,n?α，則m,n也可是異面直線的關(guān)系.

故答案為：項(xiàng)D不正確.故答案為：C

【分析】利用已知條件結(jié)合線面垂直的判定定理、線線平行的