等式與不等式性質基本不等式習題課教案（Word版）

《等式與不等式性質、基本不等式習題課》教學設計教學目標1．梳理等式的性質，理解不等式的概念，掌握不等式的性質；2．掌握基本不等式，結合具體實例，能用基本不等式解決簡單的最大值或最小值問題．教學重難點教學重點：1．不等式基本性質及應用；2．基本不等式及變形公式的應用．教學難點：利用基本不等式求最值時對照已知和欲求的式子運用適當?shù)摹安痦?、添項、配湊、變形”等方法?chuàng)設應用基本不等式的條件．課前準備PPT課件教學過程一、復習回顧問題1：前面我們學習了不等式的基本性質和基本不等式，不等式有哪些性質？基本不等式能解決哪些問題？使用時需注意哪些條件？師生活動：兩個學生在黑板上默寫，其余同學紙上默寫，以精準把握他們對基本知識的掌握程度．易錯的，易混的用彩色粉筆標注．教師總結：在類比等式的基本性質研究不等式的基本性質時，應注意：①由于不等號具有方向性，注意在性質1“自反性”和性質4“兩邊同乘負數(shù)”時，不等號要變號．②性質6、性質7、性質8中都有a，b＞0的條件．③性質1和性質3是可逆的．④性質5給出的是一個充分不必要條件：即條件“a＞b，c＞d”，是條件“a+c＞b+d”的充分不必要條件，后者推不出前者．對于基本不等式使用時，要注意：解決最值問題時的三個限制條件：“一正、二定、三相等”．設計意圖：通過梳理、歸納幫助學生將頭腦中零散的數(shù)學知識相互連接起來，構成系統(tǒng)的知識鏈．把涉及的有關概念或知識點鞏固和深化，為例題分析做好充分的準備．典例研究（一）基礎知識檢測例1（1）若，，則一定有（）A．B．C．D．（2）已知，下列說法中正確的是（）A．的最小值是2B．，的最小值是2C．D．函數(shù)的最小值2（3）已知函數(shù)在時取得最小值，則______．問題2：每個題對應的知識點和方法分別是什么？師生活動：學生獨立思考，之后小組討論，整個過程老師檢查學生的做題情況，掌握情況．最后根據(jù)學生的問題針對性的講解．預設答案：（1）D；（2）C；（3）36．設計意圖：本題組緊扣不等式的基本性質和基本不等式的簡單應用，根據(jù)概念的核心和易錯點設計問題，一方面檢測學生對基本知識的掌握情況，另一方面使學生進一步理解知識的內涵，為后面的綜合應用掃清障礙．知識的綜合應用例2已知，求的取值范圍．問題3：如何求上式的范圍？用到哪些不等式性質？師生活動：引導學生利用不等式的性質求范圍，注意等價性．預設答案：，，．變式：已知，求的取值范圍．追問1：上式如何求范圍？和例2比較，在方法上有什么異同？需要注意什么？師生活動：引導學生利用不等式的性質求范圍，注意等價性．把學生中的正解和錯解分別在展臺上展示．學生受求解二元一次方程組解法的影響，可能會出現(xiàn)如下錯解：由，得，，所以．師生共同分析錯解的原因在于將不等式多次使用有時會擴大取值范圍．其根本原因是，不等式的性質5本質上是一個充分不必要條件．因此不能由a+b，a-3b的范圍求a，b的范圍，再由a，b的范圍求的取值范圍．預設答案：將a+b，a-3b看作性質5中的條件，用他們表示，再聯(lián)合運用性質4和5求解．解：設，則，解得，所以，由以上兩式相加，得．追問2：通過例2及變式，你能說說在利用不等式求范圍問題時，應怎樣求解才能使得所求范圍正確？師生活動：學生反思后，師生總結得到：利用幾個不等式的范圍來確定某個不等式的范圍要注意：同向（異向）不等式的兩邊可以相加（相減），但是這種轉化不是等價轉化，如果在解題中多次使用，就有可能擴大取值范圍．設計意圖：通過對例2和變式，及學生產生錯解的原因分析，進一步理解不等式的意義及邏輯關系，提高學生邏輯推理能力．例3（1）已知，求函數(shù)的最大值．（2）已知，且，求的最大值．問題：觀察以上題目，如何轉化為基本不等式的形式？用基本不等式求最值時需滿足什么條件？師生活動：學生獨立思考后，回答解題思路，教師引導學生將已知條件及所求的結論與基本不等式的條件和結論進行對比，尋找解題的突破口，并強調不等式成立的條件．在（2）中引導學生創(chuàng)造使用基本不等式的條件，要求學生寫出規(guī)范步驟，并注意變量的取值范圍．預設答案：解：（1）．．，當且僅當，即時取等號．，，即故當時，取最大值1．（2）法1：由x+y=1，得y=1-x，且0＜x＜1，則．當且僅當，即時等號成立，即的最大值為．法2：由x+y=1，得y=1-x，且0＜x＜1，則．當且僅當，即時等號成立，即的最大值為．法3：．則，當且僅當，即時等號成立，即的最大值為．變式1：已知，且，求的最小值．追問1：上面變式和例3比較，在解題思路上什么相同之處，你還有什么發(fā)現(xiàn)？師生活動：教師引導學生觀察變式1和例3之間的區(qū)別，啟發(fā)學生構造的思維，提示沒有定值時，要創(chuàng)造定值，要將表達式變形，讓學生發(fā)現(xiàn)如何創(chuàng)造性的用“1”在解答過程中進行過渡，并總結“1”的代換方法．也應學會將二元問題轉化為一元問題進行解決，同時讓學生說出自己的思路，師生共同對每一種思路可行或不可行的原因進行分析．學生可能出現(xiàn)的錯解：由，及，得xy≥36，當且僅當即x=2，y=18時取等號，所以，取得最小值12．這時引導學生從基本不等式求最值需滿足的三個條件入手分析錯誤原因在于等號取不到．預設答案：解：法1：由得，且x＞1，則．當且僅當，即x=4時取等號，時，取得最小值16．法2：．，則，當且僅當，又，時，取得最小值16．變式2：已知，且，求的最小值．追問2：上式和變式1式子不同，如何求解？師生活動：教師引導學生從變式1的思路出發(fā)，尋求變式2的解題思路，同時指出表象不同的問題，有時本質是相同的．預設答案：∵，∴，當且僅當時取等號，又，取得最小值8．變式3：已知，，求的最小值．追問3：根據(jù)上式形式特征，如何構造基本不等式的形式進行求解？師生活動：學生思考并進行解答，教師提醒學生應注意所求式子和已知條件的關系，將分母看成一個整體變量，將已知代數(shù)式構造成分母的形式．預設答案：解：由，得(2x+2)+(y+1)=4，2x+2＞0，y+1＞0．則．當且僅當，即時取等號，所以所求式子的最小值為2．*變式4：已知，且，求的最小值．追問4：觀察上面問題，和變式1，2對比，你發(fā)現(xiàn)了它們的共同點了嗎？和例3比較，你還有其他想法嗎？師生活動：教師引導學生先觀察式子特征，和變式1的式子比較，發(fā)現(xiàn)已知條件可以轉化為變式1的條件形式，因此可以用變式1的方法求最值．和例3（1）比較，可以將已知條件進行因式分解成乘積形式，利用不等式求解．預設答案：解：法1：由，可得，，當且僅當時取等號，又，∴的最小值是5．法2：由，可得，當且僅當時取等號，即∴的最小值是5．法3：由，可得，即，．，當且僅當時取等號，即等號成立，∴的最小值是5．設計意圖：讓學生體會在應用基本不等式解決問題時，要學會觀察，學會變形．若“一正、二定、三相等”的條件不滿足時，則需要對條件作出調整和轉化，使其滿足上述條件，方可利用基本不等式．轉化的方法有拆項、添項、湊項、變號等．通過一系列的問題，讓學生明白數(shù)學的學習不只是學習解題的套路，更要通過不斷地思考變換的問題，讓自己思維更廣闊，增強自己的思維能力，培養(yǎng)將未知轉化為已知的能力．例4某公司一年購買某種貨物600噸，每次都購買x噸，運費為6萬元/次，一年的總存儲費用為4x萬元，要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則x=________噸．問題5：如何將實際問題轉化為代數(shù)問題？師生活動：學生獨立閱讀題目，理解題意，嘗試解決．教師可以提出問題，幫助學生分析：（1）一年的總運費與總存儲費用之和如何用表示？（答案：）（2）要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，此問題可以用基本不等式來求最值嗎？設計意圖：通過本例的教學，可以幫助學生理解如何用基本不等式模型理解和識別生活中的最值問題，也就是最優(yōu)化問題，從而用基本不等式解決問題，進一步發(fā)展學生的模型思想，從而能體現(xiàn)數(shù)學應用價值．預設答案：解：設一年的總費用為萬元，由題知，而，當且僅當，即噸時取等號．故一年的總運費與總存儲費用之和最小時x的值是30．三、歸納總結問題6：回顧本節(jié)學習過程，回答以下問題：（1）如何利用作差（商）法比較兩個實數(shù)的大??？（2）不等式的基本性質有哪些？需要注意哪些條件？（3）基本不等式是什么？能夠解決什么問題？在解決問題時應注意什么？設計意圖：通過梳理本節(jié)課的內容，能讓學生更加明確研究兩個實數(shù)大小關系的基本事實是為了研究不等式的性質．而不等式性質是解決不等式問題的理論依據(jù)．基本不等式是解決最值的有力工具．并掌握利用這些基本知識求解問題時的易錯點及轉化辦法．四、布置作業(yè)：教科書復習參考題2第1，2，3，4題．五、目標檢測設計1．設，且，則下列不等式成立的是（）A．B．C．D．設計意圖：考查學生對不等式性質的綜合應用能力，特別是的大小關系．2．已知，則的最小值是（）A．2B．C．4D．5設計意圖：考查在多次使用基本不等式求最值時等號成立的條件要一致．3．（1）若a＞0，b＞0，ab=2a+b，則a+b的最小值為______，ab的最小值為_______．（2）若0＜x＜1，則的最小值為_______．4．已知，試比較與的大?。O計意圖：考查學生用作差（商）法比較兩個代數(shù)式（實數(shù)）大小的能力及分類討論思想的應用．5．設求的最大值．設計意圖：考查學生面對沒有定值的情況，如何對表達式恒等變形，創(chuàng)造定值．*6．已知為不全相等的正實數(shù)，且．求證：．設計意圖：考查利用基本不等式證明不等式及“1”的代換．*7．某農場有一廢棄的豬圈，留有一面舊墻長12m，現(xiàn)準備在該地區(qū)重新建一個豬圈．平面圖為矩形，面積為56m2，預計：①修復1m舊墻的費用是建造1m新墻費用的25%，②拆去1m舊墻所得材料用以建成1m新墻的費用是建1m新墻費用的50%，③為安裝圈門，要在圍墻的適當處留出1m的空缺．試問：這里建造豬圈的圍墻應當怎樣利用舊墻，才能使所需的總費用最??？設計意圖：考查解決實際問題的能力．參考答案：1．A利用不等式的性質或者舉反例判斷．取a=1，b=-1，B，C選項都錯了．對于D，取a=-1，b=-2，D也錯了．由不等式的性質4可乘性知，再根據(jù)可加性得選項正確，故選A．2．C解析：因為當且僅當，且，即時，取“=”號．3．（1），8，（2）94．解當時，，即；當時，，即；當時，，即．5．解：，，當且僅當時取等號，又，，的最大值是．