簡單的三角恒等變換教案(word)3

《簡單的三角恒等變換（第二課時）》教學(xué)設(shè)計教學(xué)目標(biāo)經(jīng)歷以和角、差角、倍角公式為依據(jù)對函數(shù)進(jìn)行恒等變換，最終研究其函數(shù)性質(zhì)的過程，體會三角恒等變換的內(nèi)容、思路和方法，并能解決簡單的三角變換應(yīng)用問題，發(fā)展邏輯推理素養(yǎng)與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．教學(xué)重難點教學(xué)重點：以研究函數(shù)的性質(zhì)為載體，體會三角變換的內(nèi)容、思路和方法．教學(xué)難點：將函數(shù)化為一個角的一種三角函數(shù)的形式．課前準(zhǔn)備PPT課件．教學(xué)過程（一）整體感知引導(dǎo)語：上一課時我們運(yùn)用已學(xué)過的三角公式完成了部分三角恒等變換的題目，這一節(jié)課我們將會繼續(xù)沿用同樣的思路和方法，解決一些應(yīng)用性較強(qiáng)的問題．（二）新知探究例1求下列函數(shù)的周期，最大值和最小值：（1）y＝sin3x（2）y＝3sinx＋4cosx．追問1：什么樣結(jié)構(gòu)的函數(shù)便于求周期，最大值和最小值等性質(zhì)？預(yù)設(shè)答案：一個角的一種三角函數(shù)的形式，如、等形式．追問2：前面學(xué)過的哪個公式可以實現(xiàn)和差的形式化為的形式？預(yù)設(shè)答案：和差角公式逆用即可實現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化．追問3：在已知的函數(shù)式中如何出現(xiàn)兩個角的正、余弦？預(yù)設(shè)答案：通過對系數(shù)變形，只要構(gòu)造出兩個系數(shù)的平方和為1就可以解決問題．預(yù)設(shè)答案：（1）y＝2(12sin3x＋32因此，所求周期為2π3（2）解法一：設(shè)3sinx＋4cosx＝Asin(x＋φ)，則3sinx＋4cosx=Asinxcosφ+Acosxsinφ，于是Acosφ=3，Asinφ=4．于是A2cos2φ+A2cos2φ=25，所以A2=25．取A=5，則cosφ＝35，sinφ＝4由y=5sin(x＋φ)可知，所求周期為2π，最大值為5，最小值為－5．解法二：3sinx＋4cosx＝A3A令3A2+4A2=1，解得A2=25，不妨取則3sinx＋4cosx＝53令cosφ＝35，sinφ＝4則y=5sinxcosφ＋cosx故所求周期為2π，最大值為5，最小值為－5．圖1設(shè)計意圖：由例1可以看到，通過三角恒等變換，我們可以把y＝asinx＋bcosx轉(zhuǎn)化為y＝Asin(x＋φ)的形式，這個形式更有利于我們研究該函數(shù)的周期、單調(diào)區(qū)間、最值等性質(zhì)，這個過程中蘊(yùn)含了化歸思想．因為這個變換過程引進(jìn)了輔助角，因此有時候被稱為輔助角公式，其中，輔助角滿足：．當(dāng)我們運(yùn)用這種方法變形，且不是特殊角(即角無法解出)時，應(yīng)標(biāo)注的正弦值、余弦值或正切值以使表達(dá)更嚴(yán)謹(jǐn)．圖1例2如圖1，已知OPQ是半徑為1，圓心角為π3的扇形，C是扇形弧上的動點，ABCD是扇形的內(nèi)接矩形．記∠POC＝α，求當(dāng)角α取何值時，矩形ABCD追問1：要求最大面積，首先需要根據(jù)已知條件將矩形的面積表示出來，它的長和寬與角α有怎樣的關(guān)系呢？怎樣思考？預(yù)設(shè)答案：寬可以在直角中用表示出來，，而還是在直角中用表示出來，在直角中用可以求出，因此，可得．追問2：得到這個函數(shù)解析式之后，根據(jù)我們已有的研究經(jīng)驗，將這個解析式轉(zhuǎn)化為什么樣的形式利于求出最值？預(yù)設(shè)答案：先化為函數(shù)化為的形式，再參照例1的解決方法變換為的形式，就可以解決最值了．預(yù)設(shè)答案：在Rt△OBC中，OB＝cosα，BC＝sinα．在Rt△OAD中，DAOA＝tan60°＝3所以O(shè)A＝33DA＝33BC＝33sinα，AB＝OB－OA＝cosα－3設(shè)矩形ABCD的面積為S，則S＝AB·BC＝cosα-＝sinαcosα－33sin2α＝12sin2α－36＝12sin2α＋36cos2α－3＝13sin2由0＜α＜π3，得π6＜2α當(dāng)2α＋π6＝π2，即α＝π6時，因此，當(dāng)α＝π6時，矩形ABCD的面積最大，最大面積為3設(shè)計意圖：本題為三角函數(shù)的實際應(yīng)用問題，為了降低難度，題目條件中直接給出了自變量，另外，如果不給出自變量，學(xué)生很有可能得到與三角函數(shù)無關(guān)的函數(shù)解析式，這樣方法可能會偏離三角函數(shù)；即使得到上面的三角函數(shù)式，如何轉(zhuǎn)化也是一個難點，可以引導(dǎo)學(xué)生從“差異”入手，進(jìn)行三角恒等變換；在變換過程中，化歸與轉(zhuǎn)化思想起到了至關(guān)重要的作用，化陌生為熟悉，化高次為一次，化多項為一項等等，教師可以以此為契機(jī)，滲透化歸思想．變式：計算下列式子的值：．預(yù)設(shè)答案：設(shè)計意圖：通過追問簡要介紹以“次數(shù)差異”為突破口設(shè)計三角變換過程．示例中，三個角顯然有著密切聯(lián)系，如，，，那么我們應(yīng)該將哪一個角化成另外兩個角的和或差呢？這時就可以以“次數(shù)”作為決策依據(jù)，因為分子和分母中的三角函數(shù)值次數(shù)較低，將它替換成之后，分子分母各項均可化為二次，這樣有利于變形化簡．因此關(guān)注“次數(shù)差異”可以更精準(zhǔn)地把握三角變換的方向．（三）歸納小結(jié)問題：本課時我們借助和角公式、差角公式及二倍角公式研究了形如或可化為形如的函數(shù)的性質(zhì)，解決方法是進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為函數(shù)的形式，那么，為什么要化成這種形式？變形依據(jù)是什么？你對三角恒等變換有什么新的體會？預(yù)設(shè)的師生活動：學(xué)生進(jìn)行歸納、思考并回答．預(yù)設(shè)答案：變換后的形式可以更加方便地求出函數(shù)的性質(zhì)．變形依據(jù)主要是和、差角公式、二倍角公式等等．三角恒等變換需要仔細(xì)研究變換對象與變換目標(biāo)之間的差異，除角度差異、結(jié)構(gòu)差異、名稱差異之外，還需關(guān)注次數(shù)差異．遇到求最值的問題，可以考慮選擇合適的自變量與因變量，并構(gòu)造函數(shù)加以解決．設(shè)計意圖：回顧反思，使學(xué)生歸納解決三角恒等變換問題的通用思路和常規(guī)方法．（四）作業(yè)布置教科書習(xí)題第12，14，17題．（五）目標(biāo)檢測設(shè)計1．求下列函數(shù)的周期，最大值和最小值：（1）y=5cosx－12sinx；（2）y=cosx＋2sinx．2．要在半徑為R的圓形場地內(nèi)建一個矩形的花壇，應(yīng)怎樣截取，才能使花壇的面積最大？預(yù)設(shè)答案：1．（1）2π，13，－13．（2）2π，5，－5．2．當(dāng)矩形為正方形時，花