初中數(shù)學(xué)競賽講義：第24講-幾何的定值與最值

222222第二十講

幾何的值與最值幾何中的定值問題是指變動的圖形中某些幾何元素的幾何量保持不變幾元素間的某些幾何性質(zhì)或位置關(guān)系不變的一類問題幾何定值問題的基本方法是清題的定量及變量，運用特殊位置、極端位置，直接計算等方法，先探求出定值，再給出證明．幾何中的最值問題是指在一定的條件下面幾何圖形中某個確定的(如線段長度、角度大小、圖形面積)等的最大值或最小值，幾何最值問題的基本方法有：．特殊位置與極端位置法；．幾何定理(理法；．?dāng)?shù)形結(jié)合法等．注幾中的定值與最值近年廣泛出現(xiàn)于中考競賽中冷點變?yōu)闊狳c這是由于這類問題具有很強(qiáng)的探索(目標(biāo)不明確)解時需要運用動態(tài)思維形結(jié)合殊與一般相結(jié)合、邏輯推理與合情想象相結(jié)合等思想方法．【題解【例】如，已知AB=10，是段上任意一點，在的側(cè)分別以和為邊作等邊△APC和邊△，CD長的最小為．思點如圖CC⊥于C′⊥AB于DDQ⊥CCCD

=DQ

+CQ

一常數(shù)，當(dāng)小CD越，本例也可設(shè)最小值．

，則10x

，從代數(shù)角度探求CD注從殊位置與極端位置的研究中易得到啟示能找到解題突破口特殊位置與極端位置是指：中點處、垂直位置關(guān)系等；端點處、臨界位置等．【例】如圖圓的半徑等正三角形ABC的，此圓在沿底邊滾，切點為T，圓⌒交AC于M、，則對于所有可能的圓的位置而言，為度數(shù)（）A從°到60變動B．從60到90變動C．持°不變．保持60不變思點先考慮當(dāng)圓心在正三角形的頂點C時其弧的度數(shù)，再證明一般情形，從而作出判斷．注：幾何定值與最值問題，一般都是置于動態(tài)背景下，動與靜是相對的，我們可以研究問題2⌒2⌒中的變量考當(dāng)變化的元素運到特定的位置圖形變化為特殊圖形時研究的量取得定值與最值．【例】如，已知平行四邊形ABCDAB=a，(>b)，為AB邊的一動點，直線交CB的長于，AP+BQ最小值．思點設(shè)x

，把、BQ分用x

的代數(shù)式表示，運用不等式a2

(當(dāng)且僅當(dāng)

時取等號)求最小值．【例】如圖已知等邊△ABC接于圓，在劣弧AB上異于AB的M，設(shè)直線AC與交于K直線CB與AM交于點，證明：線段AK和BN的積與M點選擇無關(guān)．思點即要證AK是個定值圖形中ABC的長是一個定值明AK與AB有從知△ABM與△的共邊作一個大膽猜想BN=AB，從而我們的證明目標(biāo)更加明確．注：只要探求出定值，那么解題目標(biāo)明確，定值問題就轉(zhuǎn)化為一般的幾何證明問題．【例】已△是角邊長為1等腰直角三角(∠°它的三個頂點分別在等腰eq\o\ac(△,Rt)ABC(°)的三邊上，eq\o\ac(△,求)ABC直邊長的最大可能值．思點點在邊上或直角邊CA(或CB)上點Z在邊AB上時xy的點，通過幾何不等關(guān)系求出直角邊的最大值，當(dāng)頂點Z在(AC或CB)上時，設(shè)CX=x，，建立x

，的系，運用代數(shù)的方法求直角邊的最大值．注：數(shù)形結(jié)合法解幾何最值問題，即適當(dāng)?shù)剡x取變量，建立幾何元素間的函數(shù)、方程、不等式等關(guān)系，再運用相應(yīng)的代數(shù)知識方法求解．常見的解題途徑是：利用一元二次方程必定有解的代數(shù)模型，運用判別式求幾何最值；構(gòu)造二次函數(shù)求幾何最值．學(xué)訓(xùn)．如圖，正方形ABCD的長為1，點為BC上意一點（可與點C點合分別過B、、D作射線的線，垂足分別是B、C′、D，則′+CC′的最大值為，小值為．．如圖，∠AOB=45，內(nèi)有一點P，，角的兩邊上有兩點，R(均不同于點O)，則△PQR的長的最小值為．如兩A直線MN的同側(cè)AMN的離B到的距離，，P在線上動則PA的大值等于．．如圖A是半圓上一個三等分點，點弧AN中點點直徑MN上動點，⊙O的徑為1則AP+BP的小值()AB

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C．2

D．如圖，圓柱的軸截面是長為4的正方形，動點從A點發(fā)，沿看圓柱的側(cè)面移動到BC的點S的短距離()A2

2

B2

2

C．4

2

D．2

2．如圖、已知矩形AP戶別是上點EF分是APRP的點，當(dāng)在BC上C移而R不時，那下列結(jié)論成立的()A線段EF的逐漸增大．段長逐漸減小C．段EF的不改變．線段EF的長不能確定．如圖，點C是段AB的任意一(C點與A、B點合，分別以AC、BC為在直線AB的側(cè)作等三角形ACD和邊三角形，AE與CD相于點MBD與CE相交于點N．求證：∥AB；若的長為，當(dāng)點在線段AB上移動時，是否存在這樣的一點C，使線段的長度最長若存在，請確定C點位置并求出的；若不存在，請說明由．(2002年南省中考)．如圖，定長的弦ST一個以AB為徑的半圓上滑動M是ST的點是S對AB作垂線的垂足，求證：不管ST滑到什么位置，∠是一定角．．已知ABC⊙O的接三角，為O的線，B為點為直線上點，過點作的行線交直線BT于，交直線AC于．當(dāng)點P在段時(如圖，求證·PB=PE·PF；當(dāng)點P為段長線上一點時，題的結(jié)論還成立嗎如成立，請證明，如果不成立，請說明理由．10如圖，已知；邊長為4的方形截去一角成為五邊形，其中AF=2，，在上的一點，矩形PNDM有大面積則矩形PNDM的積最大值是()A8B．12C

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D．14圖是圓的直徑段CA上AB于A段DB上AB于AB=2，，是圓上的一個點，則封閉圖形的大面積是)A22

B12

C．3

D．212如圖，在ABC中BC=5，，，邊、AC上分別取點D、，線段DE將ABC分成面積相等的兩部分，試求這樣線段的最小長．．如圖ABCD是一個邊長為的正方形、分是AB、上點AV與相交于點，BV與交于點．四邊形PUQV面的最大值．．利用兩個相同的噴水器，修建一個矩形花壇壇全部都能噴到水已每個噴水器的噴水區(qū)域是半徑為l0米圓問何設(shè)計(求出兩噴水器之間的距離和矩的長才能使矩形花壇的面積最?．某住宅小區(qū)，為美化環(huán)境，提高居民生活質(zhì)量，要建一個八邊形居民廣場平面圖如圖所示．其中，正方形四個相同矩形圖中陰影部)的面積的為800平米．設(shè)矩形的邊AB=

()，(米)用含

的代數(shù)式表示為．現(xiàn)計劃在正方形區(qū)域上建雕塑和花壇，平均每平方米造價為2元在四個相同的矩形區(qū)域上鋪設(shè)花崗巖地坪平每方米造價為105元在個三角形區(qū)域上鋪設(shè)草坪均每平方米造價為40元設(shè)該工程的總造價為元，求關(guān)工的函數(shù)關(guān)系式．若該工程的銀行貸款為235000元，僅靠銀行貸款能否完成該工程的建任