初中數(shù)學競賽：怎樣求最值(附練習題及答案)

2aaca2aaca222C．初中數(shù)學賽：怎樣求值在生活實踐中，人們經(jīng)常面對帶有“最”字的問題，如在一定的方案中，花費最低、消耗最少、產(chǎn)值最高利最大等；解數(shù)學題時，我們也常常碰到求某個變量的最大值或最小值之類的問題，這就是我們要討論的最值問題，求最值問題的方法歸納起來有如下幾點：1．運用配方法求最值；．構(gòu)造一元二次方程，在方程有解的條件下，利用判別式求最值；．建立函數(shù)模型求最值；．利用基本不等式或不等分析法求最值．注：數(shù)學中最大值小值問題，運用到社會實踐、生活實際中所體現(xiàn)出來的就是最優(yōu)化思想，所謂最優(yōu)，就是我們所期望的目標量能達到最大或最?。淮魏瘮?shù)反例函數(shù)并無最值當自變量取值范圍有條件限制的最值在圖象的端點處取得；定義在全體實數(shù)上的二次函數(shù)最值在拋物線的頂點處-得．即：對于y（）(1)若a>0，則當x

b2a

時，y；最小值(2)若a<0，則當x

b2a

時，y．最大值【題解【例1】設(shè)a、b為數(shù)，那aab的小值是．思路點撥

將原式整理成關(guān)于a

的二次多項式從配方法入手；亦可引入?yún)?shù)設(shè)

，將等式整理成關(guān)于a的次方程

2

b

2

b，用判別式求最小值．【例2】若

yz2

，則x可得的最小值()A．3B．

599142

D．思點設(shè)x

y2

則

2

2

2

可用只含k

的代數(shù)式表示通過配方求最小值．1221221【例3】設(shè)

、12

是方程x

mxm

0的個實根當為值時，x12

2有最小值，并求這個最小值．思點由韋達定理知x1

是關(guān)于m

的二次函數(shù)否在拋物線的點處取得最小值，就要看自變量

的取值范圍，從判別式入手．注：定義在某一區(qū)間的條件限制的二次函數(shù)最值問題，有下兩種情形：當拋物線的頂點在該區(qū)間內(nèi)，頂點的縱坐標就是函數(shù)的最值；當拋物線的頂點不在該區(qū)間內(nèi)，二次函數(shù)的最值在區(qū)間內(nèi)兩端點處取得．【例】甲、兩個蔬菜基地，分別向A、C三個農(nóng)貿(mào)市場提供同品種蔬菜，按簽訂的合同規(guī)定向A提45噸向B提75噸向C提40噸甲地可安排60噸乙基地可安排100噸．甲、乙與ABC的離千米數(shù)如表，設(shè)運費為元／千·)．問如何安排使總運費最低?求出最小的總費值．思點設(shè)乙基地向A提供x

噸，向B提y噸這樣總運費就可用含x

，y代數(shù)式表示；因為01000，x，所以問題轉(zhuǎn)化為在約束條件下求多元函數(shù)的最值．AB

C104

58

615【例5】某位花50萬買回一臺高科技設(shè)備，根據(jù)對這種型號設(shè)備的跟蹤調(diào)查顯示，該設(shè)備投入使用后，若將養(yǎng)護和維修的費用均攤到每一天，則有結(jié)論：修費為(x500]元．42

天應(yīng)付的養(yǎng)護與維ax222xxax222xx(1)如果將該設(shè)備從開始投入使用到報廢共付的養(yǎng)護與維修費及購買該設(shè)備費用的和均攤到每一天做每天的平均損耗將每天的平均損耗

(元)表示為使用天數(shù)

(天的函數(shù)；(2)按照此行業(yè)的技術(shù)和安全管理要求，當此設(shè)備的平均損耗達到最小值時，就應(yīng)當報廢，問該設(shè)備投入使用多少天應(yīng)當報?思點在解本題時可能要用到以下數(shù)學知識點：對于確定的正常數(shù)、b及在正實數(shù)范圍內(nèi)取值的變量x，一定有

aa2xxb

，即當且僅當時有小值xbx2

．注：不等式也是求最值的有效方法，常用的不等式有：(1)；(2)aabaaxa．x，x

，b

則ab；(4)若a

，

，以上各式等號當且僅當

(或

axxb

)時成立．1．當

專訓變化時，分式的最小為．2．如圖，用1米長木方，做一個有一條橫檔的矩形窗子，為使透進的光線最多，選擇窗子的長、寬各為、

米．3．已知實數(shù)、、滿a0，，最大值為．4．已知x

、、z

為三個非負實數(shù)，且滿足3y，xy2，2y，則s

的最大值與最小值的和為()3A．

B．

58

C．D．5．已知四邊形ABCD的對角線AC與BD交于點，若S=4，S，四邊形ABCD的面積S的小值為)A．2l．25．26．366．正實數(shù)x

、y

滿足，么

1x

14

的最小值為)A．

B．

58

C．．

54

E．7．啟明公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每產(chǎn)品成本3元，售價是4元年銷售量為10萬．為了獲得更好的效益，公司準備拿出一定的資金做廣告．根據(jù)經(jīng)驗，每年投入的廣告費是x(萬元時產(chǎn)品的年銷售量將是原銷售量的y倍且售總額減去成本費和廣告費：

27，如果把利潤看作是銷1010(1)試寫出年利潤S萬)與廣告費

(萬元的數(shù)關(guān)系式，并計算廣費是多少萬元時，公司獲得的年利潤最大，最大年利潤是多少萬?(2)把1)中的最大利潤留出3萬元廣告，其余的資金投資新項目，現(xiàn)有個目可供選擇，各項目每股投資金額和預(yù)計年收益如下表：項目

AB

C

D

E

F每股(萬5

2

6

4

6

8元收益(萬0．55

0．40．60．509l元如果每個項目只能投一股，且要求所有投資項目的，收益總額不得低于1．6萬，問有幾種符合要求的投資方?寫出每種投資方式所選的項目．8．某市位下崗職工在近郊承土地辦農(nóng)場，這些地可種蔬菜、煙葉或小麥，種這幾種農(nóng)作物每畝地所需職工數(shù)和產(chǎn)值預(yù)測如下表：作物品種蔬菜煙葉小麥

每畝地所需職工數(shù)134

每畝地預(yù)計產(chǎn)值1100元750元600元222222請你設(shè)計一個種植方案，使每畝地都種上農(nóng)作物20位職都有工作，且使農(nóng)作物預(yù)計總產(chǎn)值最多．9．如圖，有長為24m的籬，面利用墻墻的最大可用長度a道籬笆的長方形花圃，設(shè)花圃的寬為xm面積為sm．(1)求s與x的數(shù)關(guān)系式；

為l0m)，圍成中間隔有一(2)如果要圍成面積為45m

的花圃，AB的是多少?(3)能圍成面積比大的花圃如果能，請求出最大面積，并說明圍法；如果不能，請說明理由．10

1

是關(guān)于

的一元二次方程的兩個實數(shù)根(xx11

的最大值為．11．拋物線為

kxx軸交點為、，頂點為，ABC面積最小值12．知實數(shù)a

、

滿足a，tab，t的最大值為，小值為．13．圖B船A船西偏北45處，兩船相距10

km，若A船西航行B船時南航行，且B船速度為A船度倍，么AB兩船最近距離為．的值應(yīng)該確定為．14．售某種商品，如果單價上m％，則售出的數(shù)量就將減少金額最大，那么m

150

，為了使該商品的銷售15．租賃公司擁有汽車輛，每輛車的月租金為3000元時可全部租出；當每輛車的月租金每增加元時未租出的車將會增加一輛．租出的車每輛每月要維護費150元，未租出的車每輛每月需要維護費50元．(1)當每輛車的月租金定為3600元時能租出

輛車(直接填寫答案)；(2)設(shè)每輛車的月租金為x(x≥元，用含x的數(shù)式填空：5p，qp，qx3未租出的車數(shù)所有未租出車輛每月的維費

租出的車輛租出的車每輛的月收益(3)當每輛車的月租金定為多少時，租賃公司的月收益最?最大月收益是多少?16．、乙兩種商品，經(jīng)營銷售兩種商品所能獲得的利潤依次是(萬元和(萬元，它們與投入資金(萬元)的關(guān)系有驗公式p

13x55

．今有3萬元資金投入經(jīng)營甲、乙種商品，為獲得最大利潤，對甲、乙兩種商品的資金投入分別應(yīng)為多?能獲得多大的利?鏈接17．圖，