《走向清華北大》高考總復(fù)習(xí) 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示課件

第二十四講平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示回歸課本1.平面向量基本定理及坐標(biāo)表示(1)平面向量基本定理定理:如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線(xiàn)向量,那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1、λ2,使a=λ1e1+λ2e2.其中,不共線(xiàn)的向量e1,e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.(2)平面向量的正交分解把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.(3)平面向量的坐標(biāo)表示①在平面直角坐標(biāo)系中,分別取與x軸?y軸方向相同的兩個(gè)單位向量e1,e2作為基底.對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)a1、a2,使a=a1e1+a2e2.把有序數(shù)對(duì)(a1,a2)叫做向量a的坐標(biāo),記作a=(a1,a2),其中a1叫a在x軸上的坐標(biāo),a2叫a在y軸上的坐標(biāo).②設(shè)=a1e1+a2e2,則向量的坐標(biāo)(a1,a2)就是終點(diǎn)A的坐標(biāo),即若 =(a1,a2),則A點(diǎn)坐標(biāo)為(a1,a2),反之亦成立(O是坐標(biāo)原點(diǎn)).2.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)加法?減法?數(shù)乘運(yùn)算向量aba+ba-bλa坐標(biāo)(x1,y1)(x2,y2) (x1+x2,y1+y2)(x1-x2,y1-y2)(λx1,λy1)(2)向量坐標(biāo)的求法已知A(x1,y1),B(x2,y2),則=(x2-x1,y2-y1),即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于該向量終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo).(3)平面向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,則a與b共線(xiàn)a=λbx1y2-x2y1=0.考點(diǎn)陪練1.下列各組向量中,可以作為基底的是()A.e1=(0,0),e2=(1,-2)B.e1=(-1,2),e2=(5,7)C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(2,-3),e2=解析:根據(jù)基底的定義知,非零且不共線(xiàn)的兩個(gè)向量才可以作為平面內(nèi)的一組基底.A中顯然e1∥e2;C中e2=2e1,所以e1∥e2;D中e1=4e2,所以e1∥e2.答案:B2.已知知a=(-2,3),b=(1,5),則3a+b等于于()A.(-5,14)B.(5,14)C.(7,4)D.(5,9)解析析:3a+b=3(-2,3)+(1,5)=(-6,9)+(1,5)=(-5,14).答案案:A3.設(shè)a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),則(a+2b)·c=()A.(-15,12)B.0解析析:a+2b=(1,-2)+2(-3,4)=(-5,6),∴(a+2b)·c=-3.答案案:C答案案:2類(lèi)型型一一平平面面向向量量基基本本定定理理的的應(yīng)應(yīng)用用解題題準(zhǔn)準(zhǔn)備備:已知知e1,e2是平平面面的的一一組組基基底底,如果果向向量量a,e1,e2共面面,那么么有有且且只只有有一一對(duì)對(duì)實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)λ1,λλ2,使a=λλ1e1+λλ2e2.反之之,如果果有有且且只只有有一一對(duì)對(duì)實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)λ1,λλ2,使a=λλ1e1+λλ2e2,那么么a,e1,e2共面面.這是是平平面面向向量量基基本本定定理理的的一一個(gè)個(gè)主主要要考考查查點(diǎn)點(diǎn),也是是高高考考本本部部分分知知識(shí)識(shí)考考查查的的重重點(diǎn)點(diǎn)內(nèi)內(nèi)容容.[反思思感感悟悟](1)本題題先先利利用用平平面面向向量量基基本本定定理理設(shè)設(shè)出出未未知知向向量量,然后后利利用用共共線(xiàn)線(xiàn)向向量量的的條條件件列列出出方方程程組組,通過(guò)過(guò)待待定定系系數(shù)數(shù)法法從從而而確確定定參參數(shù)數(shù)的的值值.(2)由平平面面向向量量基基本本定定理理知知:平面面內(nèi)內(nèi)的的任任一一向向量量都都可可用用兩兩個(gè)個(gè)不不共共線(xiàn)線(xiàn)的的向向量量惟惟一一表表示示,根據(jù)據(jù)向向量量的的加加法法和和減減法法法法則則及及幾幾何何性性質(zhì)質(zhì)即即可可解解題題.類(lèi)型型二二平平面面向向量量的的坐坐標(biāo)標(biāo)運(yùn)運(yùn)算算解題題準(zhǔn)準(zhǔn)備備:向量量的的坐坐標(biāo)標(biāo)運(yùn)運(yùn)算算,使得得向向量量的的線(xiàn)線(xiàn)性性運(yùn)運(yùn)算算都都可可用用坐坐標(biāo)標(biāo)來(lái)來(lái)進(jìn)進(jìn)行行,實(shí)現(xiàn)現(xiàn)了了向向量量運(yùn)運(yùn)算算完完全全代代數(shù)數(shù)化化,將數(shù)數(shù)與與形形緊緊密密結(jié)結(jié)合合起起來(lái)來(lái),就可可以以使使很很多多幾幾何何問(wèn)問(wèn)題題的的解解答答轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化為為我我們們熟熟知知的的數(shù)數(shù)量量運(yùn)運(yùn)算算.[反思思感感悟悟]由A??B??C三點(diǎn)點(diǎn)坐坐標(biāo)標(biāo)易易求求得得坐坐標(biāo)標(biāo),再根根據(jù)據(jù)向向量量坐坐標(biāo)標(biāo)的的定定義義就就可可以以求求出出M??N的坐坐標(biāo)標(biāo).向量量的的坐坐標(biāo)標(biāo)是是向向量量的的另另一一種種表表示示形形式式,它只只與與起起點(diǎn)點(diǎn)?終點(diǎn)點(diǎn)?相對(duì)對(duì)位位置置有有關(guān)關(guān),三者者中中給給出出任任意意兩兩個(gè)個(gè),可求求第第三三個(gè)個(gè).在求求解解時(shí)時(shí),應(yīng)將將向向量量坐坐標(biāo)標(biāo)看看作作一一“整體體”,運(yùn)用用方方程程的的思思想想求求解解.向量量的的坐坐標(biāo)標(biāo)運(yùn)運(yùn)算算是是向向量量中中最最常常用用也也是是最最基基本本的的運(yùn)運(yùn)算算,必須須靈靈活活應(yīng)應(yīng)用用.類(lèi)型型三三平平面面向向量量共共線(xiàn)線(xiàn)的的坐坐標(biāo)標(biāo)表表示示解題題準(zhǔn)準(zhǔn)備備:兩平平面面向向量量共共線(xiàn)線(xiàn)的的充充要要條條件件有有兩兩種種形形式式:①①若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a∥∥b的充充要要條條件件是是x1y2-x2y1=0;②②若a∥∥b(a≠≠0),則b=λλa.【典例例3】】平面面內(nèi)內(nèi)給給定定三三個(gè)個(gè)向向量量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),回答答下下列列問(wèn)問(wèn)題題:(1)求3a+b-2c;(2)求滿(mǎn)滿(mǎn)足足a=mb+nc的實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)m,n;(3)若(a+kc)∥(2b-a),求k;(4)若(d-c)∥∥(a+b),且|d-c|=1,求d.[分析](1)直接用向量加加減法的坐標(biāo)標(biāo)運(yùn)算公式.(2)借助于向量相相等的條件,建立關(guān)于m,n的方程組.(3)利用向量共線(xiàn)線(xiàn)的充要條件件,建立關(guān)于實(shí)數(shù)數(shù)k的充要條件.(4)利用(d-c)∥∥(a+b)及|d-c|=1建立關(guān)于x,y的方程組.[解](1)3a+b-2c=3(3,2)+(-1,2)-2(4,1)=(9,6)+(-1,2)-(8,2)=(9-1-8,6+2-2)=(0,6).(2)∵a=mb+nc,∴(3,2)=m(-1,2)+n(4,1)=(-m+4n,2m+n),(3)∵(a+kc)∥∥(2b-a),又a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),∴2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0,∴k=(4)設(shè)d=(x,y),∵d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4).又(d-c)∥∥(a+b)且|d-c|=1,∴[反思感悟]向量的坐標(biāo)表表示實(shí)際上就就是向量的代代數(shù)表示.在引入向量的的坐標(biāo)表示后后,可以使向量的的運(yùn)算完全化化為代數(shù)運(yùn)算算.這樣就可以將將“形”和““數(shù)”緊密結(jié)結(jié)合在一起.因此,很多幾何問(wèn)題題,特別是共線(xiàn)?共點(diǎn)等較難問(wèn)問(wèn)題的證明,通過(guò)建立坐標(biāo)標(biāo)系,設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)標(biāo)就可轉(zhuǎn)化為為坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)來(lái)解決.如:要證平行,只需相關(guān)向量量共線(xiàn),要證垂直,只需相關(guān)向量量數(shù)量積等于于0.錯(cuò)源一 遺漏漏零向量【典例1】若a=(3,2-m)與b=(m,-m)平行,求m的值.[錯(cuò)解]因?yàn)閎=(m,-m)=m(1,-1),令c=(1,-1),b∥∥c,又a∥b,所以a∥c,即3×(-1)-1×(2-m)=0,解得m=5.[剖析]零向量與任一一向量平行,當(dāng)m=0時(shí),b為零向量,也與a平行.[正解]由a∥b,得-3m-m(2-m)=0,即m2-5m=0,解得m=5或m=0,所以m的值為0或5.[評(píng)析]零向量與任一一向量都是平平行(共線(xiàn))向量,這是在解題中中常常容易被被忽視的.錯(cuò)源二 忽視視平面向量基基本定理的使使用條件致誤誤[剖析]本題可以根據(jù)據(jù)向量共線(xiàn)的的充要條件列列出等式解決決,但在得出等式式后根據(jù)平面面向量基本定定理列式解決決時(shí),容易忽視平面面向量基本定定理的使用條條件,出現(xiàn)漏解,漏掉了當(dāng)a,b共線(xiàn)時(shí),t可為任意實(shí)數(shù)數(shù)這個(gè)解.[正解]由題設(shè)知,=d-c=2b-3a,=e-c=(t-3)a+tb,C,D,E三點(diǎn)在一條直直線(xiàn)上的充要要條件是存在在實(shí)數(shù)k,使得即即(t-3)a+tb=-3ka+2kb,整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b.①若a,b共線(xiàn),則t可為任意實(shí)數(shù)數(shù);②若a,b不共線(xiàn),則有解解之得綜上,a,b共線(xiàn)時(shí),t可為任意實(shí)數(shù)數(shù);a,b不共線(xiàn)時(shí)[評(píng)析]平面向量基本本定理如果e1,e2是一平面內(nèi)的的兩個(gè)不共線(xiàn)線(xiàn)向量,那么對(duì)該平面面內(nèi)的任一向向量a,有且只有一對(duì)對(duì)實(shí)數(shù)λ1?λ2,使a=λ1e1+λ2e2,特別地,當(dāng)a=0時(shí),λ1=λ2=0,本題在a,b不共線(xiàn)時(shí),就是根據(jù)這個(gè)個(gè)定理得出的的方程組.在平面向量的的知識(shí)體系里里,平面向量基本本定理是基石石,共線(xiàn)向量定理理是重要工具具,在復(fù)習(xí)這部分分時(shí)要充分注注意這兩個(gè)定定理在解決問(wèn)問(wèn)題中的作用用,在使用平面向向量基本定理理時(shí)要注意其其使用是兩個(gè)個(gè)基向量不共共線(xiàn).技法一 基向向量法【典例1】在下圖中,對(duì)于平行四邊邊形A