空間距離的運算問題2(答案)

向量法求空間距離（配套練習的答案）1.已知在直三棱柱ABC A1B1C1中，AB

4，AC

BC

3，D

為AB

的中點.（1）求點

C到平面

A1ABB1的距離；（2)若AB AC，求二面角A CD C的平面角1 1 1 1的余弦值.解：（1）記A1B1的中點為M，分別以DB，DC，DM為x,y,z軸，（如圖）建立坐標系：可設AA1m，則A(2,0,0),B(2,0,0),C(0,5,0),A1(2,0,m),B1(2,0,m)顯而易見：平面A1ABB1的法向量為n(0,1,0)，CA(2,5,0)，所以,點C到面A1ABB1的距離為h|nCA||5|5|n|1（2）cos6.（過程略）32.如圖，四棱錐

P

ABCD

中，

ABC

BAD

90，BC

2AD,PAB與

都是邊長為

2的等邊三角形

.（1）證明：PB CD（2）求點A到平面PCD解：（1）取BC的中點E連結是正方形

的距離.DE，則

ABED過P

作PO

平面

ABCD

，垂足為

O.連結OA,OB,OD,OE

.由

PAB

和

PAD

都是等邊三角形知

PA

PB

PD

，所以OA

OB

OD

，即點

O為正方形

ABED

對角線的交點，故

OE

BD

，從而

PB

OE

.

因為

O是BD

的中點，

E是BC

的中點，所以

OE//CD

，因此

PB

CD

.(2).

如圖建立空間直角坐標系：

D(0,0,0),C(2,

2,0),P(1,1,

2),A(0,2,0)設n(x,y,z)為平面PCD的法向量，DC(2,2,0),DP(1,1,2),DA(0,2,0)，則nDC得nDC(x,y,z)(2,2,0)2x2y0，令x1，nDPnDP(x,y,z)(1,1,2)xy2z0則n(1,1,2)，即h|nDA21.||||n|4所有：A到平面PCD的距離為1.3．如圖，在多面體ABCDE中，ABDE是平行四邊形，AB、AC、AD兩兩垂直．（1）求證：平面ACD平面ECD；（2）若BCCDDB2，求點B到平面ECD的距離．解：（1）證明：∵ABAC，ABAD，ACADA，∴AB平面ACD，∵ABDE是平行四邊形，∴AB//DE，∴DE平面ACD，∵DE平面CDE，∴平面ACD平面ECD．(2).解：如圖，以A為坐標原點，建立空間直角坐標系：由已知條件可得：A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,0,1),D(0,1,0),E(1,1,0)，設n(x,y,z)為平面ECD的法向量，EC(1,1,1),ED(1,0,0),BC(1,0,1)，則nEC得nEC(x,y,z)(1,1,1)xyz0，令y1，nEDnED(x,y,z)(1,0,0)x0則n(0,1,1)，即h|nBC||1|2|n|22.即B到平面CDE的距離為2．24.正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長為8，對角線B1C10，D是AC的中點.1）求點B1到直線AC的距離；（2）求直線AB1到平面C1BD的距離．解：（1）連結 BD，B1D，由三垂線 定理可得：B1DAC，所以B1D就是B1點到直線AC的距離。在RtBBD中BB1B1C2BC2102826,BD43．1BDBD2BB2221．11（2）解：直線AB到平面CBD的距離即為點A到平面CBD的距離.111如圖，建立空間直角坐標系：由已知條件可得：A(0,4,0),B(43,0,0),C(0,4,0),D(0,0,0),C1(0,4,6),B1(43,0,6)，設n(x,y,z)為平面C1BD的法向量，BC1(43,4,6),BD(43,0,0),AB(43,4,0)，則nBC1得nBC1(x,y,z)(43,4,6)43x4y6z0，令y3，nB