大學課程近世代數(shù)阿貝爾群和循環(huán)群陪集與拉格朗日定理同態(tài)同構(gòu)學習講義

大學課程近世代數(shù)阿貝爾群和循環(huán)群陪集與拉格朗日定理同態(tài)同構(gòu)學習講義定理1設(shè)<G,*>是一個群，<G,*>是阿貝爾群的充要條件是對任意的a,b∈G，有(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)。證明1）充分性設(shè)對任意的a,b∈G，有(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)因為a*(a*b)*b=(a*a)*(b*b)=(a*b)*(a*b)=a*(b*a)*b

所以a-1*(a*(a*b)*b)*b-1=a-1*(a*(b*a)*b)*b-1

即(a-1*a)*(a*b)*(b*b-1)=(a-1*a)*(b*a)*(b*b-1)即得a*b=b*a，因此<G,*>是阿貝爾群。2）必要性=>設(shè)<G,*>是阿貝爾群，則對任意的a,b∈G，有

a*b=b*a

因此(a*a)*(b*b)=a*(a*b)*b=a*(b*a)*b=(a*b)*(a*b)循環(huán)群定義

設(shè)<G，*>是群，若在G中存在一個元素a，使得G中的

任意元素都由a的冪組成，則稱該群為循環(huán)群，元素a

稱為循環(huán)群<G，*>的生成元。循環(huán)群的生成元可以不唯一ａｂｅｂｅａｅａｂａｂｅａｂｅ*a*a=ba*a*a=eb*b=ab*b*b=e定理2任何一個循環(huán)群必定是阿貝爾群。證明設(shè)<G，*>是一個循環(huán)群，生成元為a，那么對于任意的x,y∈G，必有r,s∈I，使得x=ar和y=as

且x*y=ar*

as=

ar+s=

as+r=

as*

ar

=y*x

因此<G,*>是一個阿貝爾群。定理3設(shè)<G,*>是一個由元素a∈G生成的有限循環(huán)群。如果G的階數(shù)是n，即|G|=n，則an=e，且G={a，a2，a3，…，an-1，an=e}，其中e是<G,*>中的幺元，n是使an=e的最小正整數(shù)。證明假設(shè)對于某個正整數(shù)m，m<n，有am=e。那么，由于<G,*>是一個循環(huán)群，所以G中的任何元素都能寫為ak

(k∈I)，設(shè)k=mq+r，其中，q是某個整數(shù)，0≤r＜m。這就有ak=amq+r=(am)q*

ar=ar這就導致G中的每一個元素都可以表示成ar(0≤r＜m

)，這樣，G中最多有m個不同的元素，與|G|=n矛盾。

所以am=e(m<n)是不可能的。稱ｎ為元素ａ的階進一步證明a，a2，a3，…，an-1，an都不相同。(反證)假設(shè)ai=aj，其中1≤i＜j≤n，就有aｉ=aｉ*

aj-i=

aｉ*e，即aj-i為幺元，而且1≤j-i＜n，這已經(jīng)由上面證明是不可能的。所以，a，a2，a3，…，an-1，an都不相同，因此G={a，a2，a3，…，an-1，an=e}作業(yè)P200(1)(5)5.7陪集與拉格朗日定理一.A、B的積，A的逆定義

設(shè)<G，*>是一個群，A,B∈P(G)且A≠，B≠，

記AB={a*b|a∈A,b∈B}和A-1={a-1|a∈A}

分別稱為A,B的積和A的逆。二.陪集定義

設(shè)<H，*>是群<G,*>的一個子群，a∈G，則集合

{a}H(H{a})稱為由a所確定的H在G中的左陪集（右陪集），簡稱為H關(guān)于a的左陪集（右陪集），記為

aH(Ha)。元素a稱為陪集aH(Ha)的代表元素。拉格朗日定理設(shè)<H，*>是群<G,*>的一個子群，那么R={<a,b>|a∈G,b∈G且a-1*b∈H}是G中的一個等價關(guān)系。

對于a∈G，若記[a]R={x|x∈G且<a,x>∈R}則[a]R=aH2)如果G是有限集，|G|=n，|H|=m，則m|n.（即ｍ整除ｎ）證明1)Ｉ：對于任一a∈G，必有a-1∈G，使a-1*a=e∈H，所以<a,a>∈R，即Ｒ是自反的。

II：對于任意a,ｂ∈G，若<a,b>∈R，則a-1*b∈H，因為H是G的子群，故(a-1*b)-1=b-1*a∈H，所以<b,a>∈R，即Ｒ是對稱的。

III：對于任意a,ｂ,c∈G，若<a,b>∈R，<b,c>∈R，則a-1*b∈H，b-1*c∈H，所以a-1*b*b-1*c=a-1*c∈H，故<a,c>∈R，即Ｒ是傳遞的。對于a∈G，我們有：b∈[a]R

<a,b>∈R

a-1*b∈H

b∈aH。

因此[a]R=aH

2)由于R是G中的一個等價關(guān)系，所以必定將G劃分成不同的等價類[a1]R，[a2]R，…，[ak]R，使得又因為，H中任意兩個不同的元素h1，h2，必有a*h1≠a*h2(a∈G)，所以|aiH|=|H|=m，i=1,2,…,k。因此n=|G|===mk推論1任何質(zhì)數(shù)階的群不可能有非平凡子群。推論2

設(shè)<G,*>是n階有限群，那末對于任意的a∈G，a的階必是n的因子且必有an=e，這里e是群<G,*>中的幺元。如果n為質(zhì)數(shù)，則<G,*>必是循環(huán)群。證明見書Ｐ210

例：見書Ｐ210

例題１作業(yè)P211(３)(６)5.8同態(tài)與同構(gòu)1同態(tài)映射同態(tài)象定義設(shè)<A，★>和<Ｂ，*>是兩個代數(shù)系統(tǒng)，★和*分別是Ａ和Ｂ上的二元(n元)運算，設(shè)ｆ是從Ａ到Ｂ的映射，使得對任意a１，a2∈A，有ｆ(a１★a2)=ｆ(a１)*ｆ(a2)則稱ｆ為由<A，★>到<Ｂ，*>的一個同態(tài)映射，稱<A，★>同態(tài)于<Ｂ，*>，記作Ａ～Ｂ。把<ｆ(Ａ)，*>稱為<A，★>的一個同態(tài)象。其中ｆ(Ａ)＝｛ｘ｜ｘ＝ｆ(ａ)，ａ∈A｝?Ｂ例1、A=I,B={-1,0,1},f是A到B的映射，f(x)=sign(x)，

則sign是從<A,*>到<B,*>的一個同態(tài)映射

例2、<I,+>

和,x,y∈,則φ是從<I,+>到的一個同態(tài)映射例3、<R,+>到<R+,*>上定義

則φ是從<R,+>到<R+,*>上的同態(tài)映射。

2滿同態(tài)單同態(tài)同構(gòu)定義

設(shè)ｆ是由<A，★>到<Ｂ，*>的一個同態(tài)，如果ｆ是從Ａ到Ｂ的一個滿射，則ｆ稱為滿同態(tài)；如果ｆ是從Ａ到Ｂ的一個入射，則ｆ稱為單一同態(tài)；如果ｆ是從Ａ到Ｂ的一個雙射，則ｆ稱為同構(gòu)映射，并稱<A，★>和<Ｂ，*>是同構(gòu)的，記作ＡＢ?！缴侠?，例2都是滿同態(tài)，例3是同構(gòu)例4，<I,+>和<I,+>兩個代數(shù)系統(tǒng)，f(x)=ax,

f:<I,+>到<I,+>的一個同態(tài)映射1)a∈I,f(I)I,因此f是<I,+>到<I,+>的同態(tài)映射，自同態(tài)2)a=1,-1,f(I)=I,因此f是<I,+>到<I,+>的同構(gòu)映射，自同構(gòu)3)a∈I,a≠0,f是<I,+>到<I,+>單一同態(tài)。定理1：f是從代數(shù)系統(tǒng)<A,#>到<B,*>的同態(tài)映射，若<A,#>是群，<f(A),*>也是群。證明：1）f(A)B,f是從<A,#>到<f(A),*>的同態(tài)映射。2）<f(A),*>封閉，b1,b2∈f(A),b1*b2∈f(A)3）<f(A),*>可結(jié)合4）f(e)是<f(A),*>的幺元5）<f(A),*>中每個元素有逆元定理2：G是代數(shù)系統(tǒng)的集合，則G中代數(shù)系統(tǒng)中的同構(gòu)關(guān)系是等價關(guān)系。證明見書Ｐ2163同余關(guān)系同余類定義

<A,*>是代數(shù)系統(tǒng)，R是A上的一個等價關(guān)系，1）如果當<a1,a2>∈R,<b1,b2>∈R,就有<a1*b1，a2*b2>∈R,則稱R是A上關(guān)于*的同余關(guān)系。2）由這個同余關(guān)系R將A劃分成的等價類稱為同余類。例5，代數(shù)系統(tǒng)<I，+>，I上的關(guān)系R={<x,y>|x≡y(mod3)}，驗證R是I上關(guān)于+的同余關(guān)系，求R的同余類。定理：設(shè)f是從<