計(jì)算機(jī)組成原理第六章計(jì)算機(jī)的運(yùn)算方法

第六章計(jì)算機(jī)的運(yùn)算方法6.1無符號數(shù)和有符號數(shù)6.3定點(diǎn)運(yùn)算6.2數(shù)的定點(diǎn)表示和浮點(diǎn)表示6.4浮點(diǎn)四則運(yùn)算6.5算術(shù)邏輯單元6.6

時(shí)序邏輯電路6.6

數(shù)據(jù)校驗(yàn)碼2一、考試范圍（一）數(shù)制和編碼進(jìn)位計(jì)數(shù)制及其轉(zhuǎn)換、真值和機(jī)器數(shù)、BCD碼、字符和字符串、校驗(yàn)碼。（二）定點(diǎn)數(shù)的表示和運(yùn)算1、定點(diǎn)數(shù)的表示（有符號、無符號）2、定點(diǎn)數(shù)的運(yùn)算移位運(yùn)算；加減運(yùn)算（原碼、補(bǔ)碼）；乘/除運(yùn)算；溢出概念和判別方法。3一、考試范圍（三）浮點(diǎn)數(shù)的表示和運(yùn)算1、浮點(diǎn)數(shù)的表示范圍；IEEE754標(biāo)準(zhǔn)2、浮點(diǎn)數(shù)的加/減運(yùn)算（單選題）（四）算術(shù)邏輯單元ALU1、串行加法器和并行加法器2、算術(shù)邏輯單元的功能和結(jié)構(gòu)4二、復(fù)習(xí)要點(diǎn)

了解進(jìn)位數(shù)制及其相互轉(zhuǎn)換、字符（包括漢字）、字符串和BCD數(shù)在計(jì)算機(jī)中的表示了解校驗(yàn)碼引入的目的、原理及其應(yīng)用理解本章的基本概念，如機(jī)器數(shù)、真值、最小碼距、并行進(jìn)位。理解定點(diǎn)數(shù)的表示原理，掌握定點(diǎn)數(shù)的運(yùn)算、溢出的概念與判別方法，了解陣列乘法器。理解浮點(diǎn)數(shù)的表示，掌握浮點(diǎn)數(shù)的加減運(yùn)算方法。理解算術(shù)邏輯單元相關(guān)術(shù)語的定義、ALU的基本功能、組成和結(jié)構(gòu)。一、無符號數(shù)寄存器的位數(shù)反映無符號數(shù)的表示范圍8位0~25516位0~655356.1無符號數(shù)和有符號數(shù)帶符號的數(shù)符號數(shù)字化的數(shù)+0.10110

1011小數(shù)點(diǎn)的位置+11000

1100小數(shù)點(diǎn)的位置–11001

1100小數(shù)點(diǎn)的位置–0.10111

1011小數(shù)點(diǎn)的位置真值機(jī)器數(shù)1.機(jī)器數(shù)與真值二、有符號數(shù)6.1無符號數(shù)和有符號數(shù)2.原碼表示法帶符號的絕對值表示(1)定義整數(shù)x

為真值n

為整數(shù)的位數(shù)如x=+1110[x]原

=0,1110[x]原

=24+1110=1,1110x=

1110[x]原=0，x2n

＞

x

≥02n

x0≥

x

＞2n用逗號將符號位和數(shù)值位隔開6.1無符號數(shù)和有符號數(shù)小數(shù)x

為真值如x=+0.1101[x]原

=0.1101x=0.1101[x]原

=1(0.1101)=1.1101x1＞

x

≥0[x]原=1–x0≥

x

＞1x=0.1000000[x]原

=1(0.1000000)=1.1000000x=

+0.1000000[x]原

=0.1000000用小數(shù)點(diǎn)將符號位和數(shù)值位隔開用小數(shù)點(diǎn)將符號位和數(shù)值位隔開6.1無符號數(shù)和有符號數(shù)(2)舉例例6.1已知[x]原=1.0011求x解:例6.2已知[x]原=1,1100求x解:x=1

[x]原=1

1.0011=0.0011x=24

[x]原=100001,1100=1100–

–0.00111100由定義得由定義得6.1無符號數(shù)和有符號數(shù)例6.4

求x=0的原碼解:設(shè)x=+0.0000例6.3已知[x]原=0.1101求x解：∴

x

=+0.1101同理，對于整數(shù)[+0]原=0,0000[+0.0000]原=0.0000x=

0.0000[0.0000]原=1.0000[0]原=1,0000∴[+

0]原

≠

[

0]原

根據(jù)定義∵[x]原=0.11016.1無符號數(shù)和有符號數(shù)但是用原碼做加法時(shí)，會出現(xiàn)如下問題：能否只做加法?

找到一個(gè)與負(fù)數(shù)等價(jià)的正數(shù)來代替這個(gè)負(fù)數(shù)就可使減加加法正正加加法正負(fù)加法負(fù)正加法負(fù)負(fù)減減加

要求

數(shù)1數(shù)2

實(shí)際操作結(jié)果符號正可正可負(fù)可正可負(fù)負(fù)6.1無符號數(shù)和有符號數(shù)(1)補(bǔ)的概念時(shí)鐘逆時(shí)針-363順時(shí)針+9615-1233.補(bǔ)碼表示法可見3可用+9代替記作3≡+9（mod12）同理4≡+8（mod12）5≡+7（mod12）

時(shí)鐘以

12為模減法加法稱+9是–3以12為模的補(bǔ)數(shù)6.1無符號數(shù)和有符號數(shù)結(jié)論一個(gè)負(fù)數(shù)加上“模”即得該負(fù)數(shù)的補(bǔ)數(shù)兩個(gè)互為補(bǔ)數(shù)的數(shù)它們絕對值之和即為模數(shù)計(jì)數(shù)器（模16）–101110110000+010110111000010110000？可見1011可用+0101代替記作1011≡+0101（mod24）同理011≡+101（mod23）0.1001≡+1.0111（mod2）自然去掉6.1無符號數(shù)和有符號數(shù)+

0101（mod24）≡1011（mod24）(2)正數(shù)的補(bǔ)數(shù)即為其本身+10000+10000兩個(gè)互為補(bǔ)數(shù)的數(shù)+0101+10101≡分別加上模結(jié)果仍互為補(bǔ)數(shù)∴+0101≡+0101+010124+1–10111,0101用逗號將符號位和數(shù)值位隔開丟掉10110,1,??1011（mod24）可見?+01010101010110110101+（mod24+1）100000=6.1無符號數(shù)和有符號數(shù)(3)補(bǔ)碼定義整數(shù)x

為真值n

為整數(shù)的位數(shù)[x]補(bǔ)=0，x2n

＞

x

≥02n+1+x0

＞

x

≥2n（mod2n+1）如x=+1010[x]補(bǔ)=27+1+(1011000)=1000000001011000[x]補(bǔ)=0,1010x=10110001,0101000用逗號將符號位和數(shù)值位隔開6.1無符號數(shù)和有符號數(shù)小數(shù)x

為真值x=+0.1110[x]補(bǔ)=x1＞

x

≥02+

x

0＞

x

≥1（mod2）如[x]補(bǔ)=0.1110x=0.11000001.0100000[x]補(bǔ)=2+(0.1100000)=10.00000000.1100000用小數(shù)點(diǎn)將符號位和數(shù)值位隔開6.1無符號數(shù)和有符號數(shù)(4)求補(bǔ)碼的快捷方式=100000=1,011010101+1=1,0110又[x]原=1,1010則[x]補(bǔ)=24+11010=11111+11010=1111110101010當(dāng)真值為負(fù)時(shí)，補(bǔ)碼可用原碼除符號位外每位取反，末位加1求得+1設(shè)x=1010時(shí)6.1無符號數(shù)和有符號數(shù)(5)舉例解：x=+0.0001解：由定義得x=[x]補(bǔ)–2=1.0001–10.0000[x]原=1.1111例6.6已知[x]補(bǔ)=1.0001求x[x]補(bǔ)

[x]原

？由定義得例6.5已知[x]補(bǔ)=0.0001求x∴x=0.1111

–=0.1111

–6.1無符號數(shù)和有符號數(shù)例6.7解：x=[x]補(bǔ)–24+1

=1,1110–100000[x]原=1,0010當(dāng)真值為負(fù)時(shí)，原碼可用補(bǔ)碼除符號位外每位取反，末位加1求得[x]補(bǔ)

[x]原

？∴x=0010=0010求x已知[x]補(bǔ)=1,1110由定義得6.1無符號數(shù)和有符號數(shù)真值0,10001101,01110100.11101.00100.00000.00001.00000,10001101,10001100.11101.11100.00001.0000不能表示練習(xí)求下列真值的補(bǔ)碼x=+70x=0.1110x=0.0000x=–70x=0.1110x=0.0000x=1.0000[1]補(bǔ)=2+x=10.00001.0000=1.0000[+0]補(bǔ)=[0]補(bǔ)由小數(shù)補(bǔ)碼定義[x]補(bǔ)=x1＞

x

≥02+

x0＞

x

≥

–1（mod2）=1000110=–1000110[x]補(bǔ)[x]原6.1無符號數(shù)和有符號數(shù)4.反碼表示法(1)定義整數(shù)[x]反=0，x2n＞x≥0(2n+1–1)+x0≥x＞2n（mod2n+1

1）如x

=+1101[x]反=0,1101=1,0010x=1101[x]反=(24+11)1101=111111101用逗號將符號位和數(shù)值位隔開x

為真值n

為整數(shù)的位數(shù)6.1無符號數(shù)和有符號數(shù)小數(shù)x=+0.1101[x]反=0.1101x=0.1010[x]反=(22-4)0.1010=1.11110.1010=1.0101如[x]反=x1＞x≥0(2–2-n)+x0≥x＞1（mod22-n）用小數(shù)點(diǎn)將符號位和數(shù)值位隔開x

為真值6.1無符號數(shù)和有符號數(shù)(2)舉例例6.10

求0的反碼設(shè)x=+0.0000x=–0.0000[+0.0000]反=0.0000[–

0.0000]反=1.1111∴[+0]反≠[–0]反

解：同理，對于整數(shù)[+0]反=0,0000[–0]反=1,1111例6.9已知[x]反=1,1110求x由定義得x=[x]反–(24+1–1)=1,1110–11111=–0001例6.8已知[x]反=0,1110求x解：由定義得x=+1110解：6.1無符號數(shù)和有符號數(shù)三種機(jī)器數(shù)的小結(jié)

對于正數(shù)，原碼=補(bǔ)碼=反碼

對于負(fù)數(shù)，符號位為1，其數(shù)值部分原碼除符號位外每位取反末位加1

補(bǔ)碼原碼除符號位外每位取反反碼最高位為符號位，書寫上用“,”（整數(shù)）或“.”（小數(shù)）將數(shù)值部分和符號位隔開6.1無符號數(shù)和有符號數(shù)例6.11000000000000000100000010…011111111000000010000001111111011111111011111111…128129-0-1-128-127-127-126二進(jìn)制代碼無符號數(shù)對應(yīng)的真值原碼對應(yīng)的真值補(bǔ)碼對應(yīng)的真值反碼對應(yīng)的真值012127…253254255…-125-126-127…-3-2-1…-2-1-0…+0+1+2+127…+0+1+2+127…+0+1+2+127…+0

設(shè)機(jī)器數(shù)字長為8位（其中一位為符號位）對于整數(shù)，當(dāng)其分別代表無符號數(shù)、原碼、補(bǔ)碼和反碼時(shí)，對應(yīng)的真值范圍各為多少？6.1無符號數(shù)和有符號數(shù)例6.12解：已知[y]補(bǔ)求[y]補(bǔ)<Ⅰ>[y]補(bǔ)=0.y1y2

yn…y

=0.

y1y2

yn…y=0.y1

y2

yn…[y]補(bǔ)=1.y1

y2

yn+2-n…<Ⅱ>[y]補(bǔ)=1.y1

y2

yn…[y]原=1.y1y2

yn+2-n…

y=（0.y1y2

yn

+2-n）…

y=0.y1y2

yn+2-n……[y]補(bǔ)=0.y1

y2

yn+2-n設(shè)[y]補(bǔ)=y0.y1y2

yn…每位取反，即得[y]補(bǔ)[y]補(bǔ)連同符號位在內(nèi)，末位加1每位取反，即得[y]補(bǔ)[y]補(bǔ)連同符號位在內(nèi)，末位加16.1無符號數(shù)和有符號數(shù)5.移碼表示法補(bǔ)碼表示很難直接判斷其真值大小如十進(jìn)制x=+21x=–21x=

+31x=–31x+25+10101+100000+11111+10000010101+10000011111+100000大大錯錯大大正確正確0,101011,010110,111111,00001+10101–

10101+11111–

11111=110101=001011=111111=000001二進(jìn)制補(bǔ)碼6.1無符號數(shù)和有符號數(shù)(1)移碼定義x

為真值，n

為整數(shù)的位數(shù)移碼在數(shù)軸上的表示[x]移碼2n+1–12n2n

–1–2n00真值如x=10100[x]移=25+10100用逗號將符號位和數(shù)值位隔開x=–10100[x]移=25

–10100[x]移=2n+x（2n＞x≥2n）=1,10100=0,011006.1無符號數(shù)和有符號數(shù)(2)移碼和補(bǔ)碼的比較設(shè)x=+1100100[x]移=27+1100100[x]補(bǔ)=0,1100100設(shè)x=–1100100[x]移=27

–1100100[x]補(bǔ)=1,0011100補(bǔ)碼與移碼只差一個(gè)符號位=1,1100100=0,001110010016.1無符號數(shù)和有符號數(shù)-100000-11111-11110-00001±00000+00001+00010+11110+11111……真值x(n

=

5)[x]補(bǔ)[x]移[x]移對應(yīng)的十進(jìn)制整數(shù)(3)真值、補(bǔ)碼和移碼的對照表……012313233346263……000000000010000001011111100000100001100010111110111111……011111011110000010000001000000111111100010100001100000-100000±00000+111110000001111110000001000006.1無符號數(shù)和有符號數(shù)

當(dāng)x=0時(shí)[+0]移=25+0[–0]移=25

–0∴[+0]移=[–0]移

當(dāng)n=5時(shí)最小的真值為–25[–100000]移可見，最小真值的移碼為全0(4)移碼的特點(diǎn)用移碼表示浮點(diǎn)數(shù)的階碼能方便地判斷浮點(diǎn)數(shù)的階碼大小=1,00000=1,00000=–100000=000000=25–1000006.1無符號數(shù)和有符號數(shù)小數(shù)點(diǎn)按約定方式標(biāo)出一、定點(diǎn)表示Sf

S1S2

Sn…數(shù)符數(shù)值部分小數(shù)點(diǎn)位置Sf

S1S2

Sn…數(shù)符數(shù)值部分小數(shù)點(diǎn)位置或定點(diǎn)機(jī)小數(shù)定點(diǎn)機(jī)整數(shù)定點(diǎn)機(jī)原碼補(bǔ)碼反碼–(1–2-n)~+(1–2-n)–(2n

–1)~+(2n

–1)–1~+(1–2-n)–2n~+(2n

–1)–(1–2-n)~+(1–2-n)–(2n

–

1)~+(2n

–1)6.2數(shù)的定點(diǎn)表示和浮點(diǎn)表示二、浮點(diǎn)表示N=S×rj浮點(diǎn)數(shù)的一般形式S

尾數(shù)j

階碼r

基數(shù)（基值）計(jì)算機(jī)中r

取2、4、8、16等當(dāng)r=2N=11.0101=0.110101×210=1.10101×21=1101.01×2-10

=0.00110101×2100

計(jì)算機(jī)中S

小數(shù)、可正可負(fù)j

整數(shù)、可正可負(fù)

規(guī)格化數(shù)二進(jìn)制表示6.2數(shù)的定點(diǎn)表示和浮點(diǎn)表示1.浮點(diǎn)數(shù)的表示形式j(luò)f

j1

j2

jm

Sf

S1S2

Sn

……j

階碼S

尾數(shù)階符數(shù)符階碼的數(shù)值部分尾數(shù)的數(shù)值部分Sf

代表浮點(diǎn)數(shù)的符號n

其位數(shù)反映浮點(diǎn)數(shù)的精度m

其位數(shù)反映浮點(diǎn)數(shù)的表示范圍jf

和m

共同表示小數(shù)點(diǎn)的實(shí)際位置6.2數(shù)的定點(diǎn)表示和浮點(diǎn)表示2.浮點(diǎn)數(shù)的表示范圍–2(2m–1)×(1

–

2–n)–2–(2m–1)×2–n2(2m–1)×(1

–

2–n)2–(2m–1)×2–n最小負(fù)數(shù)最大負(fù)數(shù)最大正數(shù)最小正數(shù)負(fù)數(shù)區(qū)正數(shù)區(qū)下溢0上溢上溢–215

×(1

–

2-10)

–2-15

×2-10

2-15

×2-10

215

×(1

–

2-10)

設(shè)m=4

n=10上溢階碼>最大階瑪下溢階碼<最小階碼按機(jī)器零處理6.2數(shù)的定點(diǎn)表示和浮點(diǎn)表示練習(xí)

設(shè)機(jī)器數(shù)字長為24位，欲表示±3萬的十進(jìn)制數(shù)，試問在保證數(shù)的最大精度的前提下，除階符、數(shù)符各取1位外，階碼、尾數(shù)各取幾位？滿足最大精度可取

m=4，n=18解：215×0.×××…

…××15位…m=4、5、615位二進(jìn)制數(shù)可反映±3萬之間的十進(jìn)制數(shù)∴215

=32768214

=16384∵6.2數(shù)的定點(diǎn)表示和浮點(diǎn)表示3.浮點(diǎn)數(shù)的規(guī)格化形式r=2尾數(shù)最高位為1r=4尾數(shù)最高2位不全為0r=8尾數(shù)最高3位不全為04.浮點(diǎn)數(shù)的規(guī)格化基數(shù)不同，浮點(diǎn)數(shù)的規(guī)格化形式不同r=2左規(guī)尾數(shù)左移1位，階碼減1右規(guī)尾數(shù)右移1位，階碼加1r=4左規(guī)尾數(shù)左移2位，階碼減1右規(guī)尾數(shù)右移2位，階碼加1r=8左規(guī)尾數(shù)左移3位，階碼減1右規(guī)尾數(shù)右移3位，階碼加1基數(shù)r

越大，可表示的浮點(diǎn)數(shù)的范圍越大基數(shù)r

越大，浮點(diǎn)數(shù)的精度降低6.2數(shù)的定點(diǎn)表示和浮點(diǎn)表示例如：最大正數(shù)=215×(1–2–10)

2+1111×0.111111111110個(gè)1最小正數(shù)最大負(fù)數(shù)最小負(fù)數(shù)=2–15×2–1

=–215×(1–2–10)=2–16=–2–15×2–1

=–2–162-1111×0.10000000009個(gè)02-1111×(–0.1000000000)9個(gè)02+1111×(–0.1111111111)10個(gè)1設(shè)m=4，n=10尾數(shù)規(guī)格化后的浮點(diǎn)數(shù)表示范圍6.2數(shù)的定點(diǎn)表示和浮點(diǎn)表示例6.13將+寫成二進(jìn)制定點(diǎn)數(shù)、浮點(diǎn)數(shù)及在定點(diǎn)機(jī)和浮點(diǎn)機(jī)中的機(jī)器數(shù)形式。其中數(shù)值部分均取10位，數(shù)符取1位，浮點(diǎn)數(shù)階碼取5位（含1位階符）。19128解：設(shè)

x=+19128二進(jìn)制形式定點(diǎn)表示浮點(diǎn)規(guī)格化形式[x]原=1,0010;0.1001100000[x]補(bǔ)=1,1110;0.1001100000[x]反=1,1101;0.1001100000定點(diǎn)機(jī)中浮點(diǎn)機(jī)中000x=0.0010011x=0.0010011x=0.1001100000×2-10[x]原=[x]補(bǔ)=[x]反=0.00100110006.2數(shù)的定點(diǎn)表示和浮點(diǎn)表示x=–1110100000例6.14將–58表示成二進(jìn)制定點(diǎn)數(shù)和浮點(diǎn)數(shù)，并寫出它在定點(diǎn)機(jī)和浮點(diǎn)機(jī)中的三種機(jī)器數(shù)及階碼為移碼，尾數(shù)為補(bǔ)碼的形式（其他要求同上例）。解：設(shè)

x=–58二進(jìn)制形式定點(diǎn)表示浮點(diǎn)規(guī)格化形式[x]原=1,0000111010[x]補(bǔ)=1,1111000110[x]反=1,1111000101[x]原=0,0110;1.1110100000[x]補(bǔ)=0,0110;1.0001100000[x]反=0,0110;1.0001011111定點(diǎn)機(jī)中浮點(diǎn)機(jī)中[x]階移、尾補(bǔ)=1,0110;1.0001100000x=–111010x=–(0.1110100000)×21106.2數(shù)的定點(diǎn)表示和浮點(diǎn)表示例6.15

寫出對應(yīng)下圖所示的浮點(diǎn)數(shù)的補(bǔ)碼形式。設(shè)n=10，m=4，階符、數(shù)符各取1位。負(fù)數(shù)區(qū)正數(shù)區(qū)下溢0上溢上溢–2(2m–1)×(1

–

2–n)2(2m–1)×(1

–

2–n)2–(2m–1)×2–n最小負(fù)數(shù)最大正數(shù)最小正數(shù)–2–(2m–1)×2–n最大負(fù)數(shù)解：真值最大正數(shù)最小正數(shù)最大負(fù)數(shù)最小負(fù)數(shù)215×(1

–

2–10)2–15×2–10–2–15×2–10–215×(1

–

2–10)0,1111;0.11111111111,0001;0.00000000011,0001;1.11111111110,1111;1.0000000001補(bǔ)碼6.2數(shù)的定點(diǎn)表示和浮點(diǎn)表示

當(dāng)浮點(diǎn)數(shù)尾數(shù)為0時(shí)，不論其階碼為何值

按機(jī)器零處理機(jī)器零

當(dāng)浮點(diǎn)數(shù)階碼等于或小于它所表示的最小數(shù)時(shí)，不論尾數(shù)為何值，按機(jī)器零處理如m=4n=10當(dāng)階碼用移碼，尾數(shù)用補(bǔ)碼表示時(shí)，機(jī)器零為0,0000；0.000……

1,0000；×.×××……×,××××；0.000……有利于機(jī)器中“判0”電路的實(shí)現(xiàn)當(dāng)階碼和尾數(shù)都用補(bǔ)碼表示時(shí)，機(jī)器零為（階碼=16）6.2數(shù)的定點(diǎn)表示和浮點(diǎn)表示四、IEEE754標(biāo)準(zhǔn)短實(shí)數(shù)長實(shí)數(shù)臨時(shí)實(shí)數(shù)符號位S

階碼尾數(shù)總位數(shù)1

8233211152641156480S

階碼（含階符）尾數(shù)數(shù)符小數(shù)點(diǎn)位置尾數(shù)為規(guī)格化原碼表示，階碼用移碼表示非“0”的有效位最高位為“1”（隱含）6.2數(shù)的定點(diǎn)表示和浮點(diǎn)表示6.2數(shù)的定點(diǎn)表示和浮點(diǎn)表示①浮點(diǎn)數(shù)尾數(shù)不為0時(shí)的最高位稱隱藏位，在寫入內(nèi)存或磁盤時(shí)，此位不保存，可左移尾數(shù)隱藏掉，這種處理技術(shù)稱隱藏位技術(shù)，目的多保存一個(gè)二進(jìn)制位隱藏位與隱藏技術(shù)②為了保持浮點(diǎn)數(shù)的值不變，還要把原來的階碼值減1.③對臨時(shí)浮點(diǎn)數(shù)不使用隱藏位技術(shù)短浮點(diǎn)數(shù)規(guī)格化實(shí)際值：（-1）s×1.M×2e-127E的取值為1~2546.3定點(diǎn)運(yùn)算一、移位運(yùn)算1.移位的意義15米=1500厘米小數(shù)點(diǎn)右移2位機(jī)器用語15相對于小數(shù)點(diǎn)左移2位（小數(shù)點(diǎn)不動）..左移絕對值擴(kuò)大右移絕對值縮小在計(jì)算機(jī)中，移位與加減配合，能夠?qū)崿F(xiàn)乘除運(yùn)算2.算術(shù)移位規(guī)則1右移添1左移添00反碼補(bǔ)碼原碼負(fù)數(shù)0原碼、補(bǔ)碼、反碼正數(shù)添補(bǔ)代碼碼制符號位不變6.3定點(diǎn)運(yùn)算例6.16設(shè)機(jī)器數(shù)字長為8位（含一位符號位），寫出A=+26時(shí)，三種機(jī)器數(shù)左、右移一位和兩位后的表示形式及對應(yīng)的真值，并分析結(jié)果的正確性。解：A=+26則[A]原=[A]補(bǔ)=[A]反=0,0011010+

60,0000110+130,0001101+1040,1101000+

520,0110100+260,0011010移位前[A]原=[A]補(bǔ)=[A]反對應(yīng)的真值機(jī)器數(shù)移位操作1212=+110106.3定點(diǎn)運(yùn)算例6.17設(shè)機(jī)器數(shù)字長為8位（含一位符號位），寫出A=–26時(shí)，三種機(jī)器數(shù)左、右移一位和兩位后的表示形式及對應(yīng)的真值，并分析結(jié)果的正確性。解：A=–26–61,0000110–131,0001101–1041,1101000–521,0110100–261,0011010移位前對應(yīng)的真值機(jī)器數(shù)移位操作1212原碼=–110106.3定點(diǎn)運(yùn)算–61,1111001–131,1110010–1041,0010111–521,1001011–261,1100101移位前對應(yīng)的真值機(jī)器數(shù)移位操作1212–71,1111001–131,1110011–1041,0011000–521,1001100–261,1100110移位前對應(yīng)的真值機(jī)器數(shù)移位操作1212補(bǔ)碼反碼6.3定點(diǎn)運(yùn)算3.算術(shù)移位的硬件實(shí)現(xiàn)（a）真值為正（b）負(fù)數(shù)的原碼（c）負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼（d）負(fù)數(shù)的反碼000100丟1丟1出錯影響精度出錯影響精度正確影響精度正確正確6.3定點(diǎn)運(yùn)算4.算術(shù)移位和邏輯移位的區(qū)別算術(shù)移位有符號數(shù)的移位邏輯左移邏輯右移低位添0，高位移丟高位添0，低位移丟例如01010011邏輯左移10100110邏輯右移01011001算術(shù)左移算術(shù)右移0010011011011001（補(bǔ)碼）高位1移丟010100110Cy010100110010110010邏輯移位無符號數(shù)的移位6.3定點(diǎn)運(yùn)算二、加減法運(yùn)算1.補(bǔ)碼加減運(yùn)算公式(1)加法(2)減法整數(shù)[A]補(bǔ)+[B]補(bǔ)=[A+B]補(bǔ)（mod2n+1）小數(shù)[A]補(bǔ)+[B]補(bǔ)=[A+B]補(bǔ)（mod2）A–B=A+(–B)整數(shù)[A

–B]補(bǔ)=[A+(–B)]補(bǔ)=[A]補(bǔ)+[

–

B]補(bǔ)(mod2n+1)小數(shù)[A

–B]補(bǔ)=[A+(–B)]補(bǔ)(mod2)連同符號位一起相加，符號位產(chǎn)生的進(jìn)位自然丟掉=[A]補(bǔ)+[

–

B]補(bǔ)6.3定點(diǎn)運(yùn)算2.舉例解：[A]補(bǔ)[B]補(bǔ)[A]補(bǔ)+[B]補(bǔ)+=0.1011=1.1011=10.0110=[A+B]補(bǔ)驗(yàn)證例6.18設(shè)A=0.1011，B=–0.0101求[A+B]補(bǔ)0.1011–0.01010.0110∴A+B

=0.0110[A]補(bǔ)[B]補(bǔ)[A]補(bǔ)+[B]補(bǔ)+=1,0111=1,1011=11,0010=[A+B]補(bǔ)驗(yàn)證–1001–1110–0101+例6.19設(shè)A=–9，B=–5求[A+B]補(bǔ)解：∴A+B

=–11106.3定點(diǎn)運(yùn)算例6.20設(shè)機(jī)器數(shù)字長為8位（含1位符號位）且A=15，B=24，用補(bǔ)碼求A

–B解：A=15=0001111B=24=0011000[A]補(bǔ)+[–

B]補(bǔ)+[A]補(bǔ)=0,0001111[–

B]補(bǔ)=1,1101000=1,1110111=[A

–

B]補(bǔ)[B]補(bǔ)=0,0011000練習(xí)1設(shè)x=y=用補(bǔ)碼求x+y9161116x+y=–0.1100=1216–∴A

–B=–1001=–9錯6.3定點(diǎn)運(yùn)算3.溢出判斷（1）對于無符號數(shù)6.3定點(diǎn)運(yùn)算C=1，則必溢出，C=0，則不溢出。（2）對于帶符號數(shù)1>雙進(jìn)位判斷法X7X6X5X4X3X2X1X0+Y7Y6Y5Y4Y3Y2Y1Y0C7C6

2>雙符號判斷法變型補(bǔ)碼：雙符號位的補(bǔ)碼6.3定點(diǎn)運(yùn)算變型補(bǔ)碼求法：在補(bǔ)碼的前邊再添上一個(gè)相同的符號值。例如：[x]補(bǔ)=11111111B，則[x]變補(bǔ)=11111111B對八位機(jī)，f7f6(符號位)，若運(yùn)算后，

f7f6=00或11，不溢出01，上溢10，下溢例：已知x=-63，y=-2，[x-y]補(bǔ)=？判斷溢出？解：[-63]變補(bǔ)=11000001B+[-2]變補(bǔ)=11111110B10111111B下溢4.補(bǔ)碼加減法的硬件配置V0

A

nGAGS

加法器（n+1）溢出判斷求補(bǔ)控制邏輯0

X

nA、X均n+1位用減法標(biāo)記GS

控制求補(bǔ)邏輯6.3定點(diǎn)運(yùn)算三、乘法運(yùn)算1.分析筆算乘法A=–0.1101B=0.1011A×B=–0.100011110.11010.101111011101000011010.10001111符號位單獨(dú)處理乘數(shù)的某一位決定是否加被乘數(shù)4個(gè)位積一起相加乘積的位數(shù)擴(kuò)大一倍×乘積的符號心算求得

？6.3定點(diǎn)運(yùn)算2.筆算乘法改進(jìn)A

?B=A

?0.1011=0.1A+0.00A+0.001A+0.0001A=0.1A+0.00A+0.001(A+0.1A)=0.1A+0.01[0?

A+0.1(A+0.1A)]=0.1{A+0.1[0?

A+0.1(A+0.1A)]}=2-1{A

+2-1[0?

A+2-1(A

+

2-1(A+0))]}①②⑧第一步被乘數(shù)A

+0第二步1，得新的部分積第八步1，得結(jié)果③第三步部分積

+

被乘數(shù)…右移一位6.3定點(diǎn)運(yùn)算3.改進(jìn)后的筆算乘法過程（豎式）0.00000.11010.11010.11010.00000.1101初態(tài)，部分積=0乘數(shù)為1，加被乘數(shù)乘數(shù)為1，加被乘數(shù)乘數(shù)為0，加01.001110.1001111.0001111乘數(shù)為1，加被乘數(shù)0.100011111，得結(jié)果1011=0.01101，形成新的部分積1101=0.10011，形成新的部分積1110=0.01001，形成新的部分積1111=部分積乘數(shù)說明6.3定點(diǎn)運(yùn)算小結(jié)被乘數(shù)只與部分積的高位相加

由乘數(shù)的末位決定被乘數(shù)是否與原部分積相加，然后1形成新的部分積，同時(shí)乘數(shù)

1（末位移丟），空出高位存放部分積的低位。硬件3個(gè)寄存器，具有移位功能一個(gè)全加器乘法運(yùn)算加和移位。n=4，加4次，移4次6.3定點(diǎn)運(yùn)算4.原碼乘法(1)原碼一位乘運(yùn)算規(guī)則以小數(shù)為例設(shè)[x]原=x0.x1x2

xn…[y]原=y0.y1y2

yn…=(x0

y0).x*y*[x

?y]原=(x0

y0).(0.x1x2

xn)(0.y1y2

yn)……式中x*=0.x1x2

xn

為x

的絕對值…y*=0.y1y2

yn

為y

的絕對值…乘積的符號位單獨(dú)處理x0

y0數(shù)值部分為絕對值相乘x*?

y*6.3定點(diǎn)運(yùn)算(2)原碼一位乘遞推公式x*?

y*=x*(0.y1y2

yn)…=x*(y12-1+y22-2++yn2-n)…=2-1(y1x*+2-1(y2x*+2-1(ynx*+0)))……z1znz0=0z1=2-1(ynx*+z0)z2=2-1(yn-1x*+z1)zn=2-1(y1x*+zn-1)………z06.3定點(diǎn)運(yùn)算例6.21已知x=–0.1110y=0.1101求[x?y]原解：0.00000.11100.00000.11100.1110部分積初態(tài)z0=0部分積乘數(shù)說明0.011101.0001101.01101100.101101101，得z4邏輯右移邏輯右移1101=0.01111，得z10110=0.00111，得z21011=0.10001，得z31101=6.3定點(diǎn)運(yùn)算②數(shù)值部分按絕對值相乘①乘積的符號位

x0

y0=10=1x*?

y*=0.10110110則[x

?

y]原

=1.10110110特點(diǎn)絕對值運(yùn)算邏輯移位例6.21結(jié)果用移位的次數(shù)判斷乘法是否結(jié)束6.3定點(diǎn)運(yùn)算(3)原碼一位乘的硬件配置A、X、Q均n+1位移位和加受末位乘數(shù)控制0

An加法器控制門0

Xn

移位和加控制計(jì)數(shù)器CSGM0Qn右移6.3定點(diǎn)運(yùn)算(4)原碼兩位乘原碼乘符號位和數(shù)值位部分分開運(yùn)算兩位乘每次用乘數(shù)的2位判斷原部分積是否加和如何加被乘數(shù)11100100新的部分積乘數(shù)yn-1

yn加“0”2加1倍的被乘數(shù)2加2倍的被乘數(shù)2加3倍的被乘數(shù)23？先減1倍的被乘數(shù)再加4倍的被乘數(shù)4–13100–01116.3定點(diǎn)運(yùn)算(5)原碼兩位乘運(yùn)算規(guī)則111110101100011010001000操作內(nèi)容標(biāo)志位Cj乘數(shù)判斷位yn-1yn

z2,y*2,Cj

保持“0”

z2,y*2,Cj

保持“1”z–x*2,y*2,Cj

保持“1”

z+2x*2,y*2,Cj

保持“0”z+x*2,y*2,Cj

保持“0”共有操作+x*+2x*–x*2實(shí)際操作

+[x*]補(bǔ)+[2x*]補(bǔ)+[–x*]補(bǔ)

2補(bǔ)碼移

z–x*2,y*2,置“1”Cjz+2x*2,y*2,置“0”Cj

z+x*2,y*2,置“0”Cj6.3定點(diǎn)運(yùn)算例6.22已知x=0.111111y=–0.111001求[x·y]原000.000000000.111111000.11111100.1110010初態(tài)

z0=0+x*，Cj=0010.00110111000.111000000111111.1001000111001.111110+2x*，Cj=0111.000001–x*，Cj=1000.111111+x*，Cj=00000.001111110011

1020000.100011011100

1121111.111001000111002Cj部分積乘數(shù)說明補(bǔ)碼右移補(bǔ)碼右移解：6.3定點(diǎn)運(yùn)算②數(shù)值部分的運(yùn)算①乘積的符號位

x0

y0=01=1x*?

y*=0.111000000111則[x

?

y]原=1.111000000111例6.22結(jié)果特點(diǎn)絕對值的補(bǔ)碼運(yùn)算算術(shù)移位用移位的次數(shù)判斷乘法是否結(jié)束6.3定點(diǎn)運(yùn)算(6)原碼兩位乘和原碼一位乘比較符號位操作數(shù)移位移位次數(shù)最多加法次數(shù)x0

y0x0

y0絕對值絕對值的補(bǔ)碼邏輯右移算術(shù)右移nnn2（n為偶數(shù)）n2+1（n為偶數(shù)）思考

n

為奇數(shù)時(shí)，原碼兩位乘移？次最多加？次原碼一位乘原碼兩位乘6.3定點(diǎn)運(yùn)算5.補(bǔ)碼乘法設(shè)被乘數(shù)乘數(shù)[x]補(bǔ)=x0.x1x2

xn…[y]補(bǔ)=y0.y1y2

yn…①被乘數(shù)任意，乘數(shù)為正同原碼乘但加和移位按補(bǔ)碼規(guī)則運(yùn)算乘積的符號自然形成②被乘數(shù)任意，乘數(shù)為負(fù)乘數(shù)[y]補(bǔ)，去掉符號位，操作同①

最后加[–x]補(bǔ)，校正(1)補(bǔ)碼一位乘運(yùn)算規(guī)則以小數(shù)為例6.3定點(diǎn)運(yùn)算③Booth算法（被乘數(shù)、乘數(shù)符號任意）設(shè)[x]補(bǔ)=x0.x1x2

xn[y]補(bǔ)=y0.y1y2

yn……[x

·y]補(bǔ)=[x]補(bǔ)(0.y1

yn)–[x]補(bǔ)·y0…=[x]補(bǔ)(y12-1+y22-2++yn2-n)–[x]補(bǔ)·y0…=[x]補(bǔ)(–y0+y1

2-1+y22-2++yn2-n)…=[x]補(bǔ)[–y0+(y1–

y12-1)+(y22-1–y22-2)++(yn2-(n-1)–yn2-n)]…=[x]補(bǔ)[(y1–y0)+(y2–y1)2-1++(yn–yn-1)2-(n-1)+(0

–yn)2-n)]…y12-1++…yn

2-n–[x]補(bǔ)=+[–x]補(bǔ)

2-1=20

–2-12-2=2-1

–2-22-12-2=[x]補(bǔ)[(y1–y0)+(y2–y1)2-1++(yn+1–yn)2-n]…附加位

yn+16.3定點(diǎn)運(yùn)算④Booth算法遞推公式[z0]補(bǔ)=0[z1]補(bǔ)=2-1{(yn+1–yn)[x]補(bǔ)+[z0]補(bǔ)}yn+1=0[zn]補(bǔ)=2-1{(y2–y1)[x]補(bǔ)+[zn-1]補(bǔ)}…[x

·

y]補(bǔ)=[zn]補(bǔ)+(y1–y0)[x]補(bǔ)最后一步不移位如何實(shí)現(xiàn)

yi+1–yi

?000110111+[x]補(bǔ)

1+[–x]補(bǔ)

11yi

yi+1操作yi+1–yi01-106.3定點(diǎn)運(yùn)算例6.23已知x=+0.0011y=–0.1011求[x·y]補(bǔ)解：00.000011.110111.110100.001111.110100.001111.11011.0101000.0001111.11011100.000111111.11011111[x]補(bǔ)=0.0011[y]補(bǔ)=1.0101[–x]補(bǔ)=1.1101+[–x]補(bǔ)11.111011010

11+[x]補(bǔ)00.00001110101+[–x]補(bǔ)11.1110111101100.00001111101+[–x]補(bǔ)+[x]補(bǔ)∴

[x·y]補(bǔ)=1.11011111最后一步不移位6.3定點(diǎn)運(yùn)算(2)Booth算法的硬件配置A、X、Q均n+2位移位和加受末兩位乘數(shù)控制0An+1n+2位加法器控制門0Xn+10Qn

n+1移位和加控制邏輯計(jì)數(shù)器CGM00,110110右移6.3定點(diǎn)運(yùn)算乘法小結(jié)原碼乘符號位單獨(dú)處理補(bǔ)碼乘符號位自然形成原碼乘去掉符號位運(yùn)算即為無符號數(shù)乘法不同的乘法運(yùn)算需有不同的硬件支持整數(shù)乘法與小數(shù)乘法完全相同可用逗號代替小數(shù)點(diǎn)6.3定點(diǎn)運(yùn)算四、除法運(yùn)算1.分析筆算除法x=–0.1011y=0.1101求x÷y0.10110.1101⌒0.011010.010010.0011010.0001010.000011010.000001111商符單獨(dú)處理心算上商余數(shù)不動低位補(bǔ)“0”減右移一位的除數(shù)上商位置不固定x÷y=–0.1101余數(shù)–0.00000111商符心算求得00.101000

？？？6.3定點(diǎn)運(yùn)算2.筆算除法和機(jī)器除法的比較筆算除法機(jī)器除法商符單獨(dú)處理心算上商符號位異或形成|x|–|y|＞0上商1|x|–|y|＜0上商0余數(shù)不動低位補(bǔ)“0”減右移一位的除數(shù)2倍字長加法器上商位置不固定余數(shù)左移一位低位補(bǔ)“0”減除數(shù)1倍字長加法器在寄存器最末位上商6.3定點(diǎn)運(yùn)算3.原碼除法以小數(shù)為例[x0]原=x0.x1x2

xn…[y0]原=y0.y1y2

yn…式中x*=0.x1x2

xn

為x

的絕對值

y*=0.y1y2

yn

為y

的絕對值……數(shù)值部分為絕對值相除x*y*被除數(shù)不等于0除數(shù)不能為0小數(shù)定點(diǎn)除法x*＜y*商的符號位單獨(dú)處理

x0

y0[]原=(x0

y0).xyx*y*約定6.3定點(diǎn)運(yùn)算(1)恢復(fù)余數(shù)法0.10111.00111.00111.00110.0000+[–y*]補(bǔ)01.1110余數(shù)為負(fù)，上商00.1101恢復(fù)余數(shù)00.1001余數(shù)為正，上商1+[–y*]補(bǔ)1.0110011.0010011+[–y*]補(bǔ)解：被除數(shù)（余數(shù)）商說明[x]原=1.1011[y]原

=1.1101①x0

y0=1

1=0②x=–0.1011

y=–0.1101求[]原

xy例6.2410.1011恢復(fù)后的余數(shù)0+[y*]補(bǔ)[y*]補(bǔ)=0.1101[–y*]補(bǔ)

=1.0011邏輯左移邏輯左移6.3定點(diǎn)運(yùn)算0.010101余數(shù)為正，上商1被除數(shù)（余數(shù)）商說明1.00110.11011.001110.1010011+[–y*]補(bǔ)1.1101011

余數(shù)為負(fù)，上商0恢復(fù)余數(shù)1.010001101+[–y*]補(bǔ)0.01110110

余數(shù)為正，上商1=0.1101x*y*∴[]原xy=0.1101上商5次第一次上商判溢出余數(shù)為正上商1余數(shù)為負(fù)上商0，恢復(fù)余數(shù)移4次100.1010恢復(fù)后的余數(shù)011

01+[y*]補(bǔ)邏輯左移6.3定點(diǎn)運(yùn)算(2)不恢復(fù)余數(shù)法余數(shù)Ri＞0上商“1”，2Ri

–y*余數(shù)Ri＜0上商“0”，

Ri

+y*恢復(fù)余數(shù)2(Ri+y*)–y*=2Ri

+y*加減交替恢復(fù)余數(shù)法運(yùn)算規(guī)則不恢復(fù)余數(shù)法運(yùn)算規(guī)則上商“1”2Ri–y*

上商“0”2Ri+y*（加減交替法）6.3定點(diǎn)運(yùn)算x=–0.1011y=–0.1101求[]原xy解：例6.250.10111.00110.11011.00111.00110.11010.0000+[–y*]補(bǔ)01.1110余數(shù)為負(fù)，上商01.110001+[y*]補(bǔ)00.1001余數(shù)為正，上商1+[–y*]補(bǔ)1.0010011+[–y*]補(bǔ)+[y*]補(bǔ)0.101001111.1010011010.010101余數(shù)為正，上商10.01110110余數(shù)為正，上商11.1101011余數(shù)為負(fù)，上商0[x]原=1.1011[y*]補(bǔ)=0.1101[–y*]補(bǔ)=1.0011[y]原=1.11011101邏輯左移6.3定點(diǎn)運(yùn)算①x0

y0=1

1=0②x*y*=0.1101∴=0.1101[]原xy上商n+1次例6.25結(jié)果特點(diǎn)用移位的次數(shù)判斷除法是否結(jié)束第一次上商判溢出移n

次，加n+1次6.3定點(diǎn)運(yùn)算(3)原碼加減交替除法硬件配置A、X、Q均n

+1位用Qn控制加減交替

0

A

nn+1位加法器控制門0

X

n0Q

n

計(jì)數(shù)器CGD加減移位和加控制邏輯SV左移6.3定點(diǎn)運(yùn)算[Ri]補(bǔ)=0.1000[x]補(bǔ)=1.1101[y]補(bǔ)=1.01014.補(bǔ)碼除法(1)商值的確定x=0.1011y=0.0011[x]補(bǔ)=0.1011[y]補(bǔ)=0.0011[x]補(bǔ)=0.1011[–y]補(bǔ)=1.1101[Ri]補(bǔ)=0.1000x=–0.0011y=–0.1011[x]補(bǔ)=1.1101[–y]補(bǔ)=0.1011x*＞y*[Ri]補(bǔ)與[y]補(bǔ)同號“夠減”x*＜y*[Ri]補(bǔ)與[y]補(bǔ)異號“不夠減”++①比較被除數(shù)和除數(shù)絕對值的大小x

與y

同號6.3定點(diǎn)運(yùn)算[x]補(bǔ)和[y]補(bǔ)求

[Ri]補(bǔ)[Ri]補(bǔ)與[y]補(bǔ)同號異號[x]補(bǔ)–[y]補(bǔ)[x]補(bǔ)+[y]補(bǔ)同號，“夠減”異號，“夠減”小結(jié)x=0.1011y=–0.0011[x]補(bǔ)=0.1011[y]補(bǔ)=1.1101[x]補(bǔ)=0.1011[y]補(bǔ)=1.1101[Ri]補(bǔ)=0.1000x=–0.0011y=0.1011[x]補(bǔ)=1.1101[y]補(bǔ)=0.1011[x]補(bǔ)=1.1101[y]補(bǔ)=0.1011[Ri]補(bǔ)=0.1000x*＞y*[Ri]補(bǔ)與[y]補(bǔ)異號“夠減”x*＜y*[Ri]補(bǔ)與[y]補(bǔ)同號“不夠減”++x

與y

異號6.3定點(diǎn)運(yùn)算②商值的確定末位恒置“1”法[x]補(bǔ)與[y]補(bǔ)同號正商按原碼上商“夠減”上“1”“不夠減”上“0”[x]補(bǔ)與[y]補(bǔ)異號負(fù)商按反碼上商“夠減”上“0”“不夠減”上“1”[Ri]補(bǔ)與[y]補(bǔ)商值同號異號100.原碼1×.××××

11.反碼1×.××××

1[x]補(bǔ)與[y]補(bǔ)商[Ri]補(bǔ)與[y]補(bǔ)商值夠減不夠減夠減不夠減同號異號正負(fù)1001原碼上商反碼上商小結(jié)簡化為（同號）（異號）（異號）（同號）6.3定點(diǎn)運(yùn)算(2)商符的形成除法過程中自然形成[x]補(bǔ)和[y]補(bǔ)同號[x]補(bǔ)–[y]補(bǔ)比較[Ri]補(bǔ)和[y]補(bǔ)同號