第一章波函數(shù)與Schr

第一章波函數(shù)與Schr?dinger方程§1波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋§2力學(xué)量的平均值和算符的引進(jìn)§3Schr?dinger方程§4量子態(tài)疊加原理§1

波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋

一.實(shí)物粒子的波粒二象性（Wave-particleduality）

1923年，在愛(ài)因斯坦光子理論的啟發(fā)下，德布羅意提出一切實(shí)物粒子（如電子等）均具有波粒二象性，即實(shí)物粒子都伴隨著一種波，稱為德布羅意波或物質(zhì)波（matterwave）：等價(jià)（德布羅意-愛(ài)因斯坦公式）粒子的物質(zhì)波波長(zhǎng)p、E

粒子的動(dòng)量和能量50布拉格公式：

微粒波動(dòng)性的實(shí)驗(yàn)證實(shí)1—戴維孫-革末實(shí)驗(yàn)（1927）當(dāng)自由粒子速度較小時(shí)Ek<<E0，按牛頓力學(xué)處理如果電子經(jīng)過(guò)加速電場(chǎng)獲得動(dòng)能當(dāng)U＝54V時(shí)

可見(jiàn)，由德布羅意關(guān)系給出的電子波波長(zhǎng)的理論值與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合。

微粒波動(dòng)性的實(shí)驗(yàn)證實(shí)2—C60分子束光柵衍射實(shí)驗(yàn)（1999）（a）C60分子束光柵衍射實(shí)驗(yàn)裝置(M.Arndt,etal.,Nature,Vol.401,P680,1999)每秒計(jì)數(shù)每50秒計(jì)數(shù)(b)實(shí)驗(yàn)結(jié)果圖，圓圈代表C60分子的計(jì)數(shù)，其中b圖是無(wú)光柵時(shí)的結(jié)果。（c）簡(jiǎn)化分析：C60分子的雙縫衍射示意圖

粒子性和波動(dòng)性是一對(duì)矛盾的屬性，微觀粒子的性質(zhì)由這對(duì)彼此對(duì)立，但又相互補(bǔ)充的矛盾屬性完全描述—互補(bǔ)原理（Complementarityprinciple）“波粒二象性是輻射（radiation）和實(shí)物粒子（materialparticle）都具有的內(nèi)稟的和不可避免的性質(zhì)。波動(dòng)和粒子描述是兩個(gè)理想的經(jīng)典概念，各自有其適用范圍。在特定的物理現(xiàn)象中，輻射和實(shí)物粒子均可展現(xiàn)其波動(dòng)性或粒子性。但這兩種理想的描繪中的任何單獨(dú)一方，都不能對(duì)所研究的現(xiàn)象給出完整的說(shuō)明?！?/p>

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N.玻爾1927直線運(yùn)動(dòng)的自由粒子波包二.粒子波動(dòng)性的兩種錯(cuò)誤看法觀點(diǎn)：波包即粒子

薛定諤將德布羅意的位相波理解為像電磁場(chǎng)E和B那樣的“物質(zhì)波”，代表一種真實(shí)的物理波動(dòng)。波動(dòng)就是一切，粒子不過(guò)是波的聚集，稱之為“波群”，也即后來(lái)所說(shuō)的“波包”，波包的大小即粒子大小，群速度即粒子速度。

什么是波包？單色平面波通常不存在，而實(shí)際的波可則展開(kāi)為各種波長(zhǎng)平面波的迭加，稱為波包。(1)粒子由波組成—“波包論”(薛定諤)

困難之處

理論分析表明，隨傳播時(shí)間的推移，自由粒子的物質(zhì)波波包會(huì)不斷的擴(kuò)散，粒子將變得越來(lái)越“胖”，因此粒子的結(jié)構(gòu)是不穩(wěn)定的。

實(shí)驗(yàn)上觀測(cè)到的電子，總是處于一個(gè)小區(qū)域內(nèi)。例如在一個(gè)原子內(nèi)，其廣延不會(huì)超過(guò)原子大小≈1?

與實(shí)驗(yàn)事實(shí)相矛盾！物質(zhì)波包的觀點(diǎn)夸大了波動(dòng)性，抹殺了粒子性，帶有片面性。其核心是將量子的波看成經(jīng)典的波(2)波由粒子組成如聲波，是介質(zhì)分子（粒子）密度疏密變化而形成的一種分布。觀點(diǎn)：電子的波動(dòng)性是由于大量的電子分布于空間而形成的疏密波。

波由粒子組成的看法夸大了粒子性的一面，而抹殺了粒子的波動(dòng)性的一面，具有片面性。其核心仍是將量子的粒子看成經(jīng)典的粒子。這種看法是與實(shí)驗(yàn)矛盾的，它不能解釋長(zhǎng)時(shí)間單個(gè)電子衍射實(shí)驗(yàn)。電子雙縫實(shí)驗(yàn)—單個(gè)電子多次重復(fù)性行為單個(gè)電子顯示出波動(dòng)性！電子究竟是什么東西呢？是粒子？還是波？“電子既不是粒子也不是波”，既不是經(jīng)典的粒子也不是經(jīng)典的波.

我們也可以說(shuō)，“電子既是粒子也是波，它是粒子和波動(dòng)二重性矛盾的統(tǒng)一?！边@個(gè)波不再是經(jīng)典概念的波，粒子也不是經(jīng)典概念中的粒子。經(jīng)典粒子和量子論中的粒子的差別？經(jīng)典的波和量子的波(物質(zhì)波)的區(qū)別？核心問(wèn)題：經(jīng)典概念中粒子意味著：1.有一定質(zhì)量、電荷等“顆粒性”或“原子性”的屬性;2．有確定的運(yùn)動(dòng)軌道，可以準(zhǔn)確預(yù)言每一時(shí)刻的位置和速度（動(dòng)量），是決定性的描述。經(jīng)典概念中波意味著：1.實(shí)在物理量的空間分布作周期性的變化;2.干涉、衍射現(xiàn)象，其本質(zhì)在于相干疊加性。量子世界中的粒子：1.有一定質(zhì)量、電荷等“顆粒性”或“原子性”的屬性;2．有確定的運(yùn)動(dòng)軌道，可以準(zhǔn)確預(yù)言每一時(shí)刻的位置和速度（動(dòng)量），是決定性的描述。（）量子世界中的波（物質(zhì)波）：1.實(shí)在物理量的空間分布作周期性的變化;()2.干涉、衍射現(xiàn)象，其本質(zhì)在于相干疊加性。（微粒的“軌道”是不可觀測(cè)量，因而應(yīng)摒棄；微粒的位置和動(dòng)量亦不能同時(shí)確定**）（波做概率解釋，是幾率波，其絕對(duì)值平方代表粒子出現(xiàn)幾率）三.波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋（1）波函數(shù)

為了方便對(duì)物質(zhì)波進(jìn)行數(shù)學(xué)描述，薛定諤引入了函數(shù)，稱為波函數(shù)（復(fù)函數(shù)），來(lái)表示物質(zhì)波，并建立了波函數(shù)的偏微分方程—薛定諤方程。

自由粒子的波函數(shù)單色平面波（利用了德布羅意公式）k

波矢量；p、E

自由粒子的動(dòng)量和能量

力場(chǎng)中的粒子波函數(shù)

實(shí)際的粒子通常受力場(chǎng)的作用（例如原子中的電子），其物質(zhì)波波函數(shù)(r,t)不能再用單色平面波描寫，具體形式視情況而定，但是都可展開(kāi)為不同波長(zhǎng)（波數(shù)）的單色平面波的疊加：或單色平面波（自由粒子波函數(shù)）自由粒子波函數(shù)的歸一化因子其中從數(shù)學(xué)上看，這相當(dāng)于將波函數(shù)(r,t)做傅里葉展開(kāi)，C是展開(kāi)系數(shù)，且有明確的物理意義。傅里葉逆變換其中問(wèn)題：c(p，t)的物理意義是什么呢？波函數(shù)的物理含義？

如果說(shuō)粒子的波函數(shù)代表粒子的空間分布，那么自由粒子的波函數(shù)在空間上是無(wú)限展延的，而作為一個(gè)實(shí)物粒子，因其“原子性”，占有的空間體積是十分有限的，顯然彼此矛盾！

玻爾曾經(jīng)說(shuō)：“量子理論詮釋的關(guān)鍵在于，必須把彼此矛盾的波動(dòng)和粒子這兩種描述協(xié)調(diào)起來(lái)”。因此上述對(duì)波函數(shù)的解釋行不通！

因此對(duì)波函數(shù)的物理詮釋必須要求把波動(dòng)和粒子性融合在一起。1926年，玻恩對(duì)波函數(shù)的物理解釋做到了這一點(diǎn)！（2）概率波（Probabilitywave）

波函數(shù)在空間某點(diǎn)的強(qiáng)度（i.e.振幅絕對(duì)值的平方|Ψ(r,t)|2

）和在這點(diǎn)找到粒子的概率成正比。

該點(diǎn)附近感光點(diǎn)的數(shù)目

該點(diǎn)附近出現(xiàn)的電子數(shù)目電子出現(xiàn)在r點(diǎn)附近的概率在電子衍射實(shí)驗(yàn)中，照相底片上r點(diǎn)附近衍射花樣的強(qiáng)度（|Ψ|2

）以電子的單縫衍射為例。因此，量子力學(xué)中的波函數(shù)所描述的，并不像經(jīng)典波那樣代表什么實(shí)在物理量的空間波動(dòng)，只不過(guò)是刻畫粒子在空間的概率分布的概率波而已?？紤]自由粒子的波函數(shù)即自由粒子在空間各點(diǎn)出現(xiàn)的概率均等，符合自由粒子的物理描述，前面所述的矛盾也不存在了！

由于|Ψ(r,t)|2

代表粒子出現(xiàn)的概率，因此玻恩對(duì)波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋，把彼此矛盾的波和粒子性統(tǒng)一在了一起。換言之，波函數(shù)的概率解釋，是實(shí)物粒子波粒二象性的內(nèi)在要求。

另一方面，微觀粒子的性質(zhì)由彼此對(duì)立，但又相互補(bǔ)充的矛盾屬性，即波動(dòng)性和粒子性，完全描述（互補(bǔ)原理）。微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)（量子態(tài)）由波函數(shù)Ψ完全描述，只要給出了波函數(shù)就可得到體系所有性質(zhì)（如位置、動(dòng)量、角動(dòng)量、動(dòng)能、勢(shì)能、電場(chǎng)、磁場(chǎng)等）—

量子力學(xué)的基本假定之一

量子力學(xué)中這種狀態(tài)的描寫方式與經(jīng)典力學(xué)中描寫質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的方式完全不同。在經(jīng)典力學(xué)中，質(zhì)點(diǎn)的狀態(tài)用（r，p）完全描述，只要給出質(zhì)點(diǎn)的位置和動(dòng)量，其他力學(xué)量（如能量等）均可表示為r和p的函數(shù)，因而也隨之確定。但在量子力學(xué)中，由于波粒二象性，r和p不能同時(shí)有確定值（海森堡的不確定原理），而波粒二象性現(xiàn)在被統(tǒng)一到波函數(shù)Ψ中，所以量子力學(xué)中用波函數(shù)Ψ描述量子態(tài)。顯然，正是波粒二象性決定了量子的和經(jīng)典的描述方式本質(zhì)的差別。

總之，由于波粒二象性，微觀粒子服從統(tǒng)計(jì)性規(guī)律，用不確定的語(yǔ)言（如概率）描述；經(jīng)典粒子服從決定性規(guī)律，用確定性語(yǔ)言（如軌道）描述。

概率解釋對(duì)波函數(shù)的要求

根據(jù)波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋，在空間r點(diǎn)附近的體積元ΔxΔyΔz中找到粒子的概率是|Ψ|2ΔxΔyΔz

。

概率密度

概率波幅則在任意體積空間中，找到粒子的概率：①真實(shí)的波函數(shù)應(yīng)滿足歸一化條件（平方可積）在全體積空間中，找到粒子的概率應(yīng)等于1：?jiǎn)栴}：自由粒子的波函數(shù)滿足歸一化條件嗎？②標(biāo)準(zhǔn)化條件

粒子在某時(shí)刻在空間某點(diǎn)出現(xiàn)的概率應(yīng)該單值、有限，因此波函數(shù)應(yīng)該是坐標(biāo)r的單值、有限函數(shù)，且波函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)也要連續(xù)。波函數(shù)滿足單值、有限、連續(xù)性要求，稱為標(biāo)準(zhǔn)化條件。③

統(tǒng)計(jì)解釋中只涉及波函數(shù)的振幅，因此波函數(shù)還存在下述不確定性：

常數(shù)因子的不確定性

若Ψ(r,t)

歸一，C為常數(shù)，則Ψ(r,t)和CΨ(r,t)

描述同一個(gè)物理狀態(tài)，因?yàn)樗鼈兊南鄬?duì)概率相同即，Ψ和CΨ表示同一個(gè)概率波，因此對(duì)于概率分布來(lái)說(shuō)，重要的是相對(duì)概率。

相位的不確定性Ψ(r,t)和Ψ(r,t)ei（為實(shí)常數(shù)）代表同一個(gè)概率波，因兩者的?！獜亩怕拭芏取嗤?。（3）多粒子體系的波函數(shù)設(shè)體系由N個(gè)粒子組成，則粒子1出現(xiàn)在()中同時(shí)粒子2出現(xiàn)在()中…………同時(shí)粒子N出現(xiàn)在()中的幾率體系的波函數(shù)(態(tài)函數(shù))歸一化條件本節(jié)例題例1設(shè)粒子波函數(shù)為，求在(x,x+dx)范圍中找到粒子的幾率。

解：根據(jù)波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋，在空間r點(diǎn)附近的體積元dxdydz中找到粒子的概率是|Ψ|2dxdydz

。則在(x,x+dx)范圍內(nèi)，找到粒子的概率：例2設(shè)二粒子體系的波函數(shù)為，求測(cè)得粒子1在中的幾率。

解：由于代表粒子1出現(xiàn)在()中，同時(shí)粒子2出現(xiàn)在()中的幾率，故所求為例3設(shè)，為常數(shù)，求歸一化常數(shù)A。解：由波函數(shù)歸一化條件知道：利用積分公式四.動(dòng)量空間（表象）的波函數(shù)

描述微觀粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的波函數(shù)不僅可以是坐標(biāo)r和時(shí)間t的函數(shù)，即Ψ(r,t)；也可以是動(dòng)量p和時(shí)間t的函數(shù)，即(p，t)。（那么可以是r和p的函數(shù)？）Ψ(r,t)以坐標(biāo)為自變量—坐標(biāo)表象(re-

presentation)中的波函數(shù)表示(p,t)以動(dòng)量為自變量—?jiǎng)恿勘硐笾械牟ê瘮?shù)表示同一個(gè)狀態(tài)不同的描述方式表象=“坐標(biāo)系”問(wèn)題：波函數(shù)Ψ(r,t)和(p，t)之間的聯(lián)系？

波函數(shù)Ψ(r,t)可以展開(kāi)為各種波長(zhǎng)（波數(shù)）的平面波的疊加，按照德布羅意關(guān)系，也可展開(kāi)為具有不同動(dòng)量的單色平面波的疊加，即將付氏展開(kāi)系數(shù)C(p,t)(p,t)付氏分波（1）

按(1)式，任意粒子波函數(shù)Ψ(r,t)包含各種動(dòng)量成分的傅里葉分波，故在波函數(shù)Ψ所描寫的狀態(tài)下測(cè)量粒子的動(dòng)量，不會(huì)有確定值，展開(kāi)式中的每一種動(dòng)量值都有可能出現(xiàn)，換言之，每一個(gè)傅里葉分波所對(duì)應(yīng)的動(dòng)量值是以某一概率出現(xiàn)在測(cè)量中！問(wèn)題：測(cè)到粒子動(dòng)量為p的概率是多少？傅里葉逆變換（2）將波函數(shù)Ψ歸一化：其中使用了積分若已歸一化，則也是歸一化的

所以，粒子波函數(shù)Ψ(r,t)的傅里葉展開(kāi)系數(shù)(p,t)也做概率波解釋，描述的是每一個(gè)可能的動(dòng)量值出現(xiàn)的概率

?！?/p>

動(dòng)量表象下的波函數(shù)|(p,t)|2dp

測(cè)得粒子動(dòng)量在p附近，即

pp+dp內(nèi)的概率；|(p,t)|2

粒子動(dòng)量分布的概率密度

很明顯，波函數(shù)Ψ(r,t)和(p,t)不過(guò)是在不同的表象空間描述同一個(gè)量子態(tài)而已！只是前者刻畫的是粒子的位置分布概率，而后者刻畫的是粒子的動(dòng)量分布概率。數(shù)學(xué)上，Ψ和互為傅里葉變換。

若給出粒子狀態(tài)的波函數(shù)Ψ(r,t)解薛定諤方程相應(yīng)的測(cè)量概率

在此態(tài)下測(cè)量粒子的位置，結(jié)果是一系列可能值：

在此態(tài)下測(cè)量粒子動(dòng)量，結(jié)果也是一系列可能值：相應(yīng)的測(cè)量概率由(2)式計(jì)算

實(shí)際上，不僅位置和動(dòng)量，粒子的其它力學(xué)量如角動(dòng)量、能量等也都可以根據(jù)波函數(shù)計(jì)算出各自的測(cè)量概率。因此，只要給出了粒子的波函數(shù)，粒子的所有力學(xué)量的測(cè)量概率都可以知道，也就是粒子的所有物理性質(zhì)統(tǒng)統(tǒng)可以知道。因此，量子力學(xué)中粒子的狀態(tài)由一個(gè)波函數(shù)完全描述！坐標(biāo)表象：

位置概率密度（分布）粒子位置在rr+dr內(nèi)的概率歸一化條件動(dòng)量表象：

動(dòng)量概率密度（分布）粒子動(dòng)量在pp+dp內(nèi)的概率歸一化條件同一個(gè)量子態(tài)在不同表象中的描述！§2

力學(xué)量的平均值和算符的引進(jìn)

一般來(lái)說(shuō)，當(dāng)微觀粒子處于某種狀態(tài)時(shí)，它的力學(xué)量，如坐標(biāo)、動(dòng)量、角動(dòng)量、能量等，具有一系列的可能值，每一可能值均以一定的概率出現(xiàn)，當(dāng)給定描述該狀態(tài)的波函數(shù)Ψ后，力學(xué)量各種可能值的相應(yīng)概率就完全確定，利用統(tǒng)計(jì)平均的方法，就可以算出該力學(xué)量的平均值，進(jìn)而與實(shí)驗(yàn)的觀測(cè)值相比較。換言之，力學(xué)量平均值就是在Ψ所描述的量子態(tài)下，相應(yīng)力學(xué)量的觀測(cè)結(jié)果。一.力學(xué)量的平均值在統(tǒng)計(jì)物理中知道當(dāng)可能值為離散值時(shí):一個(gè)物理量的統(tǒng)計(jì)平均值等于物理量的各種可能值乘上相應(yīng)的概率求和；（加權(quán)平均）當(dāng)可能值為連續(xù)取值時(shí)：一個(gè)物理量出現(xiàn)的各種可能值乘上相應(yīng)的概率密度求積分。

如，氣體分子速率在（0，+）內(nèi)取值，則氣體分子速率的算術(shù)平均：f(v)

速率分布函數(shù)，亦做概率解釋（概率密度）給定粒子的波函數(shù)Ψ(r,t)：

若波函數(shù)已歸一化，則力學(xué)量F的平均值

若波函數(shù)未歸一化，則力學(xué)量F的平均值(相對(duì)概率密度)力學(xué)量平均值的計(jì)算公式注：這實(shí)際上是在坐標(biāo)表象中計(jì)算F的平均值，故要求F要能表示成r的函數(shù)（1）坐標(biāo)平均值

一維情況設(shè)Ψ(x)是歸一化波函數(shù)，|Ψ(x)|2

是粒子出現(xiàn)在x點(diǎn)的概率密度，則

三維情況設(shè)Ψ(r)是歸一化，|Ψ(r)|2

是粒子出現(xiàn)在r點(diǎn)的概率密度，則注:

為了方便，這里暫不考慮時(shí)間t

給定歸一化波函數(shù)Ψ(r)，此量子態(tài)下粒子動(dòng)量平均值為（2）動(dòng)量平均值

要計(jì)算右邊積分，必須給出動(dòng)量p與坐標(biāo)r的函數(shù)關(guān)系。但是由于波粒二象性，粒子的坐標(biāo)r和動(dòng)量p不同時(shí)確定，因此“粒子在空間某點(diǎn)r處的動(dòng)量”是無(wú)意義的，即動(dòng)量p不能表示成坐標(biāo)r的函數(shù)，pp(r)。故上式積分在坐標(biāo)表象中無(wú)法計(jì)算！如何計(jì)算粒子動(dòng)量的平均值呢？二.力學(xué)量用算符表示

何為算符？

量子力學(xué)中的力學(xué)量為何要用算符表示？

如何得到力學(xué)量算符表達(dá)式？

算符的運(yùn)算規(guī)則？（見(jiàn)第三章）（1）什么是算符

數(shù)學(xué)上的算符（Operator）代表一種運(yùn)算，如加、減、乘、除、微分、積分等；在量子力學(xué)中，算符代表對(duì)波函數(shù)（量子態(tài)）的一種運(yùn)算，例如經(jīng)典力學(xué)

力學(xué)量是一個(gè)數(shù)，如坐標(biāo)r、動(dòng)量p、能量E、角動(dòng)量l等；量子力學(xué)

力學(xué)量是一個(gè)算符，用其經(jīng)典力學(xué)量符號(hào)上方加“”表示，如：坐標(biāo)算符動(dòng)量算符返回（2）力學(xué)量為何要用算符表示

先回到上一個(gè)問(wèn)題：“如何計(jì)算動(dòng)量平均值”？在坐標(biāo)表象中，動(dòng)量平均值該式無(wú)法計(jì)算。現(xiàn)改用動(dòng)量表象，動(dòng)量平均值**：代入波函數(shù)(p)的傅里葉變換式：得到結(jié)果又回到了坐標(biāo)表象！對(duì)比(3)式：原來(lái)在坐標(biāo)表象中由于動(dòng)量p不能寫成r的函數(shù)形式，導(dǎo)致(3）式不能計(jì)算?，F(xiàn)在只要將動(dòng)量p改造成算符形式，就能直接使用坐標(biāo)表象中的波函數(shù)Ψ(r)計(jì)算平均值！

力學(xué)量改造成與經(jīng)典力學(xué)不同的算符形式稱為第一次量子化，其根源在于微觀粒子的波粒二象性。波粒二象性波函數(shù)做幾率解釋測(cè)量力學(xué)量出現(xiàn)一系列可能值計(jì)算力學(xué)量平均值須引入算符一般地返回（3）力學(xué)量算符表達(dá)式那么，如何得到(4)式中算符的具體形式？

坐標(biāo)算符

動(dòng)量算符坐標(biāo)表象對(duì)比(4)式即得動(dòng)量算符在直角坐標(biāo)系的分量形式？其它力學(xué)量算符可按下述規(guī)則寫出：如果量子力學(xué)中的力學(xué)量F在經(jīng)典力學(xué)中有對(duì)應(yīng)的力學(xué)量，則表示這個(gè)力學(xué)量的算符由經(jīng)典表示式F(r,p)中將p換成算符而得出，即

角動(dòng)量算符經(jīng)典式三個(gè)直角分量

勢(shì)能算符即勢(shì)能算符等于勢(shì)能自身！為什么？你能寫出動(dòng)能算符？

動(dòng)能算符

能量算符（哈密頓算符）粒子的能量在經(jīng)典力學(xué)中稱之為哈密頓（Hamilton）函數(shù)，故相應(yīng)的算符又稱哈密頓算符，用表示注：以上給出的都是坐標(biāo)表象中算符的具體形式在不同的表象中，算符的表示式會(huì)不同！在自身表象中，算符的形式最簡(jiǎn)單(等于自身)！例如坐標(biāo)表象動(dòng)量表象(自身表象)坐標(biāo)表象(自身表象)動(dòng)量表象(見(jiàn)教程p14思考題)為什么？本節(jié)例題例題1：一維諧振子處在基態(tài)（為諧振子折合質(zhì)量）

求：(1)勢(shì)能的平均值；

(2)動(dòng)能的平均值；

(3)動(dòng)量的概率分布函數(shù)。解：（1）一維諧振子的勢(shì)能勢(shì)能的平均值利用積分公式（I）（2）動(dòng)能平均值力學(xué)量算符須夾在ψ*和ψ之間利用積分公式及(I)式（3）動(dòng)量的概率分布函數(shù)（概率密度）

動(dòng)量的概率分布函數(shù):例題2：證明在一維情況下，動(dòng)量表象中的坐標(biāo)算符本節(jié)例題證明：在動(dòng)量表象下，坐標(biāo)x的平均值而在坐標(biāo)表象下，坐標(biāo)x的平均值使用波函數(shù)(x)的傅里葉變換式：代人上面第二式，得到其中利用了附錄A2（23）式因此坐標(biāo)表象下，x平均值應(yīng)該和動(dòng)量表象下，坐標(biāo)x的平均值相等:對(duì)比兩式，得到動(dòng)量表象下，坐標(biāo)x的算符形式：推廣到三維情況：得證！§3Schr?dinger方程

（一）引言（二）自由粒子滿足的方程（三）勢(shì)場(chǎng)V(r)中運(yùn)動(dòng)的粒子（四）定域的幾率守恒（五）定態(tài)和非定態(tài)（六）多粒子體系的Schr?dinger方程

在各種具體情況下，找出描述體系狀態(tài)的各種可能的波函數(shù)；(2)波函數(shù)如何隨時(shí)間演化。(據(jù)此可知體系任意時(shí)刻的狀態(tài))

微觀粒子量子狀態(tài)用波函數(shù)完全描述，波函數(shù)確定之后，粒子的任何一個(gè)力學(xué)量的平均值及其測(cè)量的可能值和相應(yīng)的幾率分布也都被完全確定。因此量子力學(xué)最核心的問(wèn)題就是要解決以下兩個(gè)問(wèn)題：（一）引言目標(biāo)：

建立一個(gè)關(guān)于波函數(shù)的含時(shí)的微分方程——

薛定諤方程(1926)。

下面從最簡(jiǎn)單的情況—自由粒子著手，建立上述方程，然后再推廣到一般的情況，即力場(chǎng)中的粒子情形。（二）自由粒子滿足的方程

描寫自由粒子的波函數(shù)應(yīng)是所要建立的方程的解。將上式對(duì)時(shí)間微商，得(5)這不是所要尋找的方程，因?yàn)樗瑺顟B(tài)參量E，方程(5)只能被粒子特定的狀態(tài)所滿足，而不能為各種可能的狀態(tài)所滿足。將Ψ對(duì)坐標(biāo)二次微商，得(5)–(6)式自由粒子故自由粒子滿足的波動(dòng)方程：（7）討論：

⑴根據(jù)(5)式，粒子能量E和作用在波函數(shù)上的算符相當(dāng)，即（能量算符的另一種表示式）。⑵根據(jù)經(jīng)典的能量關(guān)系E=p2/2m，將其寫成如下方程形式：

（8）做下列算符替換，即可得方程(7)式。（三）勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子（自由粒子的推廣）若粒子處于勢(shì)場(chǎng)V(r)中運(yùn)動(dòng)，則能量關(guān)系變?yōu)椋簩?duì)其做（8）式的算符替換，并作用于波函數(shù)后有（9）式中，體系的兩個(gè)能量算符和完全相當(dāng)，因其對(duì)波函數(shù)作用結(jié)果相同。方程(9)稱為含時(shí)Schr?dinger方程，也稱波動(dòng)方程。（V=0即自由粒子）薛定諤方程的幾點(diǎn)說(shuō)明：（1）薛定諤方程是量子力學(xué)的一個(gè)基本假定，它不能從其他更基本的理論來(lái)獲得證明（前面只是通過(guò)導(dǎo)引來(lái)建立方程的），其正確性只能通過(guò)在具體情況下由方程得出的結(jié)論和實(shí)驗(yàn)結(jié)果相比較來(lái)驗(yàn)證。（2）求解薛定諤方程，可以得到任何情況下體系的波函數(shù)，以及波函數(shù)隨時(shí)間的演化規(guī)律。只要給定初值條件(r0,t0)，即初態(tài)，就可以得到體系在任意時(shí)刻的狀態(tài)。所以，薛定諤方程反映了微觀粒子運(yùn)動(dòng)規(guī)律，是量子力學(xué)中最基本的方程，其地位和經(jīng)典力學(xué)中的牛頓方程相當(dāng)。（3）薛定諤方程是復(fù)數(shù)方程，其解(r,t)顯然是復(fù)數(shù)。因此在量子力學(xué)中體系的波函數(shù)只能是復(fù)數(shù)表示。而且波函數(shù)本身不是可觀測(cè)量，從這個(gè)角度說(shuō)波函數(shù)也不能是實(shí)數(shù)，因?yàn)槲锢砩系目捎^測(cè)量一定是實(shí)數(shù)。（5）薛定諤方程是非相對(duì)論的，在相對(duì)論情況下由狄拉克方程取代。（6）在極限的情況下，薛定諤方程滿足對(duì)應(yīng)原理：當(dāng)時(shí)，它能過(guò)渡到經(jīng)典力學(xué)的運(yùn)動(dòng)方程。（進(jìn)入運(yùn)動(dòng)方程是量子化的基本特征）（4）薛定諤方程的解（波函數(shù)）要滿足歸一化和標(biāo)準(zhǔn)化條件。返回（四）定域的幾率守恒

在討論了狀態(tài)或波函數(shù)隨時(shí)間變化的規(guī)律后，我們進(jìn)一步討論粒子在一定空間區(qū)域（定域）內(nèi)出現(xiàn)的幾率將怎樣隨時(shí)間變化。粒子在t

時(shí)刻r

點(diǎn)周圍單位體積內(nèi)粒子出現(xiàn)的幾率即幾率密度是：在非相對(duì)論情況下，因沒(méi)有粒子的產(chǎn)生和湮滅問(wèn)題，粒子數(shù)保持不變。對(duì)一個(gè)粒子而言，在全空間找到它的幾率總和應(yīng)不隨時(shí)間改變，即(10)總幾率守恒

證明：考慮Schr?dinger方程及其共軛形式：將*×（11）－×（12）式得在空間閉區(qū)域τ中將上式積分，則有：令概率密度J是什么呢？S使用Gauss定理(散度定理)—（13）（13）閉區(qū)域τ上找到粒子的幾率(粒子數(shù))在單位時(shí)間內(nèi)的增量單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)τ的封閉表面S流入（積分前的負(fù)號(hào)）τ內(nèi)的幾率(粒子數(shù))所以(13)式是定域的幾率(粒子數(shù))守恒的積分表示式。J是幾率流(粒子流)密度，是一矢量。量子力學(xué)的連續(xù)性方程幾率(粒子數(shù))守恒的微分表示式：

令Eq.(13)τ趨于∞，即讓積分對(duì)全空間進(jìn)行，考慮到任何真實(shí)的波函數(shù)應(yīng)該是平方可積的，波函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)處為零，則式右面積分趨于零，于是Eq.(13)變?yōu)镋q.(10)：表明，波函數(shù)歸一化不隨時(shí)間改變，其物理意義是粒子既未產(chǎn)生也未消滅。討論：(1)這里的幾率守恒具有定域性質(zhì)，當(dāng)空間某處幾率減少了，必然另外一些地方幾率增加，使總幾率不變，并伴隨著某種“流”來(lái)實(shí)現(xiàn)這種變化。(2)連續(xù)性意味著某種流的存在?！俺榈稊嗨鳌盝:幾率流密度,單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)單位橫截面積的幾率(3)以粒子質(zhì)量m乘連續(xù)性方程等號(hào)兩邊，得到：量子力學(xué)的質(zhì)量守恒定律—時(shí)刻t在點(diǎn)的質(zhì)量密度—質(zhì)量流密度其中（4）以粒子電荷e乘連續(xù)性方程等號(hào)兩邊，得到：量子力學(xué)的電荷守恒定律,表明電荷總量不隨時(shí)間改變—電荷密度—電流密度返回（五）定態(tài)薛定諤方程

現(xiàn)在討論薛定諤方程的解。一般來(lái)說(shuō)，粒子勢(shì)能V(r)可以是時(shí)間t的顯函數(shù)，這種情況將在微擾論中討論；這里僅討論V(r)不顯含時(shí)間t的情形。含時(shí)薛定諤方程(9)V(r)與t無(wú)關(guān)，可以分離變量考慮特解：

什么是定態(tài)（Stationarystate）兩邊同時(shí)除以(r)f(t)等式兩邊是相互無(wú)關(guān)的物理量，故應(yīng)等于與t,r無(wú)關(guān)的常數(shù),設(shè)為E于是：(14)式(16)此波函數(shù)與時(shí)間t的關(guān)系是正弦型的，其角頻率

。由deBroglie關(guān)系可知：E

就是體系處于波函數(shù)Ψ(r,t)所描寫的狀態(tài)時(shí)的能量。也就是說(shuō)，此時(shí)體系能量有確定的值，所以這種狀態(tài)稱為定態(tài)，形如(16)式的波函數(shù)Ψ(r,t)稱為定態(tài)波函數(shù)。方程式(15)稱為定態(tài)Schr?dinger方程（不含時(shí)Schr?dinger方程），(r)也可稱為定態(tài)波函數(shù)。和波函數(shù)應(yīng)滿足的物理?xiàng)l件得出?？臻g波函數(shù)可由方程式（15）（15）

能量本征值方程

使用哈密頓算符，改寫定態(tài)薛定諤方程(15):(1)一個(gè)算符作用于一個(gè)函數(shù)上得到一個(gè)常數(shù)乘以該函數(shù),此類方程稱為本征值方程。故方程(17)也稱能量本征值方程?！芰勘菊髦捣匠?17)(2)常量E

稱為算符的本征值(即能量本征值)；稱為算符的本征函數(shù)（即能量本征函數(shù)）。(3)數(shù)學(xué)上，對(duì)于任何的E值方程(17)都有解，但并非所有E值的解都滿足物理上的要求（如波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化條件、束縛態(tài)邊界條件）。通常只有某些離散E值所對(duì)應(yīng)的解才滿足物理要求。故能量本征值和本征函數(shù)一般取分立值：En和n（n=1,2,…）(4)當(dāng)體系處于能量本征函數(shù)(r)

所描寫的狀態(tài)（簡(jiǎn)稱能量本征態(tài)）時(shí)，粒子能量有確定的數(shù)值，這個(gè)數(shù)值就是與該本征函數(shù)相應(yīng)的能量算符的本征值En。(5)Hamilton算符一方面在Schr?dinger方程里負(fù)責(zé)描寫態(tài)的演化，另一方面其本征值又代表著系統(tǒng)的能量。（6）對(duì)于任何體系，關(guān)鍵是給出體系的哈密頓算符的具體形式，如此就能求解能量本征值方程（定態(tài)薛定諤方程）。

求解定態(tài)問(wèn)題的步驟（1）列出定態(tài)Schr?dinger方程(主要是寫出勢(shì)能函數(shù)的具體形式)討論定態(tài)問(wèn)題就是要求出體系可能有的定態(tài)波函數(shù)Ψn(r,t)

和在這些態(tài)中的能量En。其具體步驟如下：（2）根據(jù)波函數(shù)應(yīng)滿足的標(biāo)準(zhǔn)化條件以及具體問(wèn)題的邊界條件求解能量E

的本征值方程，得：（4）含時(shí)Schr?dinger方程(9)的一般解，可寫為這些定態(tài)波函數(shù)的線性迭加，并通過(guò)歸一化確定歸一化系數(shù)Cn

（可以證明18式滿足方程9）（3）寫出定態(tài)波函數(shù),即對(duì)應(yīng)第n個(gè)本征值En

的定態(tài)波函數(shù)（含時(shí)Schr?dinger

方程(9)的一個(gè)特解）（18）哈密頓算符作用于非定態(tài)波函數(shù)非定態(tài)下能量平均值

非定態(tài)（Nonstationarystate）

形如（18）式的波函數(shù)代表的是由不同能量本征態(tài)的疊加態(tài)，是體系的一般態(tài)，稱為非定態(tài)。（18）非定態(tài)波函數(shù)：

體系處于非定態(tài)下，能量沒(méi)有確定值，而是一系列的可能值，這些可能值分別是能量本征值E1、E2

、E3

，…En出現(xiàn)概率

定態(tài)的性質(zhì)(1)能量算符的本征值E或En必定是實(shí)數(shù)(可觀測(cè)量)；處于定態(tài)（能量本征態(tài)）下的粒子有如下性質(zhì)：(2)粒子的幾率密度和幾率流密度都與時(shí)間無(wú)關(guān)；不含時(shí)間變量不含t（3）任何不顯含t的力學(xué)量平均值與t無(wú)關(guān)

綜上所述，當(dāng)Ψ滿足下列三個(gè)等價(jià)條件中的任何一個(gè)時(shí)，Ψ就是定態(tài)波函數(shù)：1.Ψ描述的狀態(tài)其能量有確定的值；2.Ψ滿足定態(tài)Schr?dinger方程；3.|Ψ|2與t無(wú)關(guān)。換言之，定態(tài)就是統(tǒng)計(jì)分布不隨時(shí)間變化的狀態(tài)。（六）多粒子體系的Schr?dinger方程

設(shè)體系由N個(gè)粒子組成質(zhì)量分別為mi(i=1,2,...,N)

體系波函數(shù)記為(r1,r2,...,rN;t)

第i個(gè)粒子所受到的外勢(shì)場(chǎng)Ui(ri)

粒子間的相互作用勢(shì)V(r1,r2,...,rN)

則多粒子體系的Schr?dinger方程可表示為：體系的哈密頓算符例如：對(duì)有Z個(gè)電子的原子，電子間相互作用為Coulomb

排斥作用：而原子核對(duì)第i個(gè)電子的

Coulomb吸引能為：(假定原子核位于坐標(biāo)原點(diǎn)，無(wú)窮遠(yuǎn)為勢(shì)能零點(diǎn))本節(jié)例題例題：設(shè)一維自由粒子波函數(shù)證明(x)是Hamilton量（能量）本征態(tài)，本征值E=p2/2m。

(b)設(shè)粒子初始(t=0)時(shí)刻，(x,0)=(x)，求(x,t)=？解：(1)一維自由粒子的哈密頓量作用于波函數(shù)(x):即波函數(shù)(x)滿足能量本征值方程，因此代表了自由粒子的能量本征態(tài)，且能量本征值E=p2/2m。(2)由于體系初始時(shí)刻的波函數(shù)為能量本征函數(shù)(x)，表明初態(tài)為定態(tài)，則體系將一直處于定態(tài)，即(x)是動(dòng)量本征態(tài)？§4量子態(tài)疊加原理

微觀體系的狀態(tài),可以由波函數(shù)加以完全的描述,因?yàn)椴ê瘮?shù)給定后,微觀粒子的所有力學(xué)量的觀測(cè)值的分布概率都確定了。(1)量子態(tài)體系的量子態(tài)，可由波函數(shù)(r,t)也可由波函數(shù)(p,t)描述（還可以有其他的描述方式；數(shù)學(xué)上兩者互為傅里葉變換），兩者不過(guò)是同一量子態(tài)在不同表象(i.e.坐標(biāo)表象和動(dòng)量表象)下描述方式的差異。(2)態(tài)疊加原理

量子的態(tài)疊加原理微觀粒子具有波動(dòng)性，會(huì)產(chǎn)生干涉和衍射圖樣。而干涉和衍射的本質(zhì)在于波的相干疊加性，即可相加性，波相干疊加的結(jié)果產(chǎn)生干涉和衍射。因此，量子力學(xué)中也存在波疊加原理。因?yàn)榱孔恿W(xué)中的波，即波函數(shù)，完全描述體系的狀態(tài)，稱波函數(shù)為態(tài)函數(shù),所以量子力學(xué)的波疊加原理稱為態(tài)疊加原理。

經(jīng)典的波疊加原理空間任意一點(diǎn)P的波強(qiáng)可以由前一時(shí)刻波前上所有各點(diǎn)傳播出來(lái)的子波在P點(diǎn)線性迭加起來(lái)而得出。（惠更斯-菲涅耳原理）

態(tài)疊加原理的表述

若Ψ1和Ψ2

是體系的可能狀態(tài)，那末它們的線性疊加Ψ=C1Ψ1+C2Ψ2

也是該體系的一個(gè)可能狀態(tài)，稱線性迭加態(tài)。其中C1和C2

是復(fù)常數(shù)，這就是量子力學(xué)的態(tài)疊加原理。

先考慮最簡(jiǎn)單的情形：兩個(gè)態(tài)的疊加，然后再推廣到多態(tài)疊加?？紤]電子雙縫衍射

PΨ1Ψ2ΨS1S2電子源感光屏電子穿過(guò)狹縫１出現(xiàn)在Ｐ點(diǎn)的概率密度電子穿過(guò)狹縫２出現(xiàn)在Ｐ點(diǎn)的概率密度相干項(xiàng),正是由于相干項(xiàng)的出現(xiàn)，才產(chǎn)生了衍射花紋。一個(gè)電子有Ψ1和Ψ2

兩種可能的狀態(tài)，Ψ是這兩種狀態(tài)的疊加。Ψ=C1Ψ1+C2Ψ2

也是電子的可能狀態(tài);空間（屏上）找到電子的概率則是：|Ψ|2=|C1Ψ1+C2Ψ2|2

=|C1Ψ1|2+|C2Ψ2|2+[C1*C2Ψ1*Ψ2+C1C2*Ψ1Ψ2*]推廣到多態(tài)疊加：若Ψ1

，Ψ2,...,Ψn是體系的一系列可能的狀態(tài)，則這些態(tài)的線性疊加

Ψ=C1Ψ1+C2Ψ2+...