第一篇數(shù)學(xué)是什么

第一篇數(shù)學(xué)是什么數(shù)學(xué)是什么，對(duì)于一個(gè)學(xué)數(shù)學(xué)的大學(xué)生、一個(gè)未來(lái)的數(shù)學(xué)教師來(lái)說(shuō)是一個(gè)很重要的問(wèn)題，它涉及到你對(duì)數(shù)學(xué)的基本看法、信念與態(tài)度，即數(shù)學(xué)觀的問(wèn)題。而數(shù)學(xué)觀又在自覺(jué)或不自覺(jué)地影響著你的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和你將來(lái)的數(shù)學(xué)教學(xué)工作。第一章數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程

數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生于遙遠(yuǎn)的古代，來(lái)源于人類的生產(chǎn)實(shí)踐活動(dòng)，隨著人類社會(huì)生產(chǎn)力的發(fā)展而發(fā)展。數(shù)學(xué)的萌芽時(shí)期；常量數(shù)學(xué)時(shí)期；變量數(shù)學(xué)時(shí)期；近代數(shù)學(xué)時(shí)期；現(xiàn)代數(shù)學(xué)時(shí)期一、數(shù)學(xué)的萌芽時(shí)期（史前——公元前6世紀(jì)）1．?dāng)?shù)學(xué)知識(shí)起源于人們的實(shí)際需要。⑴數(shù)的概念的起源。數(shù)的概念的起源于原始人的生產(chǎn)和生活《周易系辭下》：“上古結(jié)繩而治，后世圣人，易知以書契”。根據(jù)一一對(duì)應(yīng)的原則進(jìn)行計(jì)算，這樣使人們逐漸脫離了實(shí)物的具體屬性，抽象出純粹的數(shù)的概念奠定了意義深遠(yuǎn)的一步。⑵形的概念的起源人們最初的幾何概念基本上不是靠對(duì)周圍物體的簡(jiǎn)單的直接觀察得來(lái)的，而是在為滿足自身最必須的生活要求的生產(chǎn)活動(dòng)中經(jīng)過(guò)抽象產(chǎn)生的。總之，原始人對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)主要是圍繞“數(shù)”和“形”這兩個(gè)基本概念逐步發(fā)展起來(lái)的，當(dāng)然“數(shù)”作為表示事物量的屬性的一個(gè)抽象概念、“形”作為表示事物空間屬性的一個(gè)抽象概念，是人類經(jīng)過(guò)上百萬(wàn)年的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)才得到的概念。2．河谷文明與早期數(shù)學(xué)。興起于埃及、美索不達(dá)米亞、中國(guó)和印度的古代文明叫做“河谷文明”。萌芽時(shí)期的數(shù)學(xué)并不能成為一門獨(dú)立的學(xué)科，它只是一種工具，形式上是些無(wú)聯(lián)系的簡(jiǎn)單法則，用于解決人們?nèi)粘Ｉ钪兴龅降膯?wèn)題。⑴古埃及的數(shù)學(xué)胡夫金字塔《蘭德紙草》和《莫斯科紙草》記載了古埃及的數(shù)學(xué)成就。

根據(jù)紙草書上文字的含義，使人們窺視到古埃及人公元前1650年前就已經(jīng)學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)來(lái)管理國(guó)家和宗教事物，確定付給勞役者的報(bào)酬，求谷倉(cāng)的容積和田地的面積，計(jì)算建造房屋所需要的磚塊數(shù)等等。⑵巴比倫的數(shù)學(xué)（美索不達(dá)米亞的數(shù)學(xué)）①大多數(shù)古代文明普遍采用十進(jìn)制，但古巴比倫人卻采用六十進(jìn)位制。②現(xiàn)在的“星期”來(lái)自古巴比倫。太陽(yáng)、月亮、金星、木星、水星、火星、土星⑶中國(guó)數(shù)學(xué)的萌芽時(shí)期。①約在公元前2500年左右，我國(guó)已有了圓、方、平、直等形的概念。②我國(guó)是世界上最早使用十進(jìn)位值制記數(shù)法的國(guó)家。③算籌與籌算。④古書中記載的數(shù)學(xué)知識(shí)?！吨芤住贰赌印罚?/p>

平，同高也；圜，一中同長(zhǎng)也《莊子》至大無(wú)外，謂之大一，至小無(wú)內(nèi)，謂之小一一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭斗馬術(shù)（田忌賽馬）今從君之下駟與彼上駟，取君上駟與彼中駟，取君中駟與彼下駟萌芽時(shí)期的數(shù)學(xué)知識(shí)，都是因?yàn)樯罨蛏a(chǎn)實(shí)踐的需要而積累起來(lái)的用于解決生產(chǎn)、生活中的問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，往往是把個(gè)別的性質(zhì)用來(lái)解答獨(dú)立的題目，文獻(xiàn)中幾乎沒(méi)有任何一般的結(jié)論或法則。二、初等數(shù)學(xué)（常量數(shù)學(xué)）時(shí)期（公元前6世紀(jì)——公元17世紀(jì)中葉）

初等數(shù)學(xué)期間，數(shù)學(xué)研究的主要對(duì)象是常數(shù)、常量和不變的圖形，故將初等數(shù)學(xué)稱之為常量數(shù)學(xué)。

這一時(shí)期的主要成就是系統(tǒng)地創(chuàng)立了初等數(shù)學(xué)的幾何、算術(shù)、代數(shù)、三角等獨(dú)立學(xué)科。㈠希臘數(shù)學(xué)時(shí)期（公元前6世紀(jì)—公元5世紀(jì)）。1.最早的希臘數(shù)學(xué)家是泰勒斯(約公元前624～前547年)泰勒斯證明了下列五條定理：⑴圓的直徑將圓分成兩個(gè)相等的部分；⑵等腰三角形兩底角相等；⑶兩相交直線形成的對(duì)頂角相等；⑷如果一個(gè)三角形有兩角一邊分別與另一個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)角邊相等，那么這兩個(gè)三角形全等；⑸半圓上的圓周角是直角。2.畢達(dá)哥拉斯學(xué)派。畢達(dá)哥拉斯(公元前572～497年)出生于愛琴海的薩摩斯島。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的主要數(shù)學(xué)成就：⑴幾何方面。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對(duì)于平面幾何的最大貢獻(xiàn)是關(guān)于直角三角形的斜邊和直角邊關(guān)系的定理，國(guó)際上稱為畢達(dá)哥拉斯定理(中國(guó)人稱為勾股定理)⑵理論算術(shù)。萬(wàn)物皆數(shù)他們認(rèn)為，人們所知道的一切事物都包含著數(shù)；因此，沒(méi)有數(shù)就既不可能表達(dá)也不可能理解任何事物；任何一種東西之所以被認(rèn)識(shí)，是因?yàn)樗环N數(shù)，沒(méi)有這種數(shù)，心靈什么東西也不能思考，什么東西也不認(rèn)識(shí)。因此，數(shù)是先于種種自然的事物的。形數(shù)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的“形數(shù)”體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法.現(xiàn)在的數(shù)學(xué)新教材中應(yīng)用了“形數(shù)”的例子來(lái)滲透不完全歸納法的思想.歐幾里得（約公元前330年—前275年）對(duì)數(shù)學(xué)的最大的貢獻(xiàn)是他撰寫了千古流芳的著作《幾何原本》.《幾何原本》共13卷，一～六卷主要討論平面幾何，七～九卷主要討論初等數(shù)論，十卷主要討論可公度和不可公度的問(wèn)題.十一～十三卷主要討論立體幾何.《幾何原本》全書共有5條公設(shè),5條公理,119個(gè)定義,推出了465個(gè)定理.3.歐幾里得《幾何原本》的問(wèn)世,標(biāo)志著數(shù)學(xué)公理化演繹體系的正式建立《幾何原本》成了數(shù)學(xué)史乃至思想史上一部劃時(shí)代的名著．4．阿基米德(約公元前287～212)生于西西里島的敘拉古城.阿基米德的數(shù)學(xué)著作有《論球和圓柱》、《圓的度量》、《拋物線求積》、《論螺線》、《論錐體和球體》、《沙的計(jì)算》等十多種著作。阿基米德以他富有獨(dú)創(chuàng)性的數(shù)學(xué)成就和在諸多科學(xué)領(lǐng)域獨(dú)具匠心的發(fā)明，被人們稱之為“數(shù)學(xué)之神”，無(wú)可爭(zhēng)議的成為古希臘時(shí)期最偉大的數(shù)學(xué)家及科學(xué)家。5．古希臘數(shù)學(xué)的偉大成就：①使數(shù)學(xué)成為抽象性的一門學(xué)科；②創(chuàng)立了演繹證明；③創(chuàng)立了幾何學(xué)、三角學(xué)，奠定了數(shù)論基礎(chǔ)等數(shù)學(xué)學(xué)科；④包含了一些高等數(shù)學(xué)的萌芽；⑤希臘人發(fā)現(xiàn)定理及證明，邏輯結(jié)構(gòu)嚴(yán)密，論證認(rèn)真細(xì)致，為后世樹立了樣板．從公元前30年到公元5世紀(jì)希臘數(shù)學(xué)逐漸衰落了．㈡東方數(shù)學(xué)時(shí)期（公元6世紀(jì)－15世紀(jì)）中國(guó)古代數(shù)學(xué)⑴中國(guó)古代的第一部數(shù)學(xué)著作．《算數(shù)書》——戰(zhàn)國(guó)時(shí)期（公元前475－前221年）《周髀算經(jīng)》——西漢時(shí)期（公元前235－前145年）第一次提出了勾股定理的特例——

勾廣三，股修四，徑隅五以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，并而開方除之得邪至日邪至日（弦）=我國(guó)對(duì)勾股定理的證明直到公元3世紀(jì)三國(guó)時(shí)期的吳國(guó)人趙爽對(duì)《周髀算經(jīng)》做注釋時(shí)才給出證明的．趙爽把勾股定理寫成：“勾股各自乘，并之為弦實(shí)，開方除之即弦”．案：弦圖又可以勾股相乘為朱實(shí)二，倍之，為朱實(shí)四，以勾股之差自乘為中黃實(shí)，加差實(shí)亦成弦實(shí)”

⑵《九章算術(shù)》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)理論體系形成的標(biāo)志．《九章算術(shù)》是中國(guó)古代重要的一部數(shù)學(xué)經(jīng)典著作，它總結(jié)了我國(guó)先秦至西漢的數(shù)學(xué)成果，以《九章算術(shù)》為標(biāo)志，中國(guó)古代數(shù)學(xué)初步形成了以問(wèn)題為中心的算法體系.《九章算術(shù)》是一部問(wèn)題集形式的算書，共有246個(gè)與生產(chǎn)、生活實(shí)踐有聯(lián)系的應(yīng)用問(wèn)題，按不同算法類型分為九章：第一章“方田”．第二章“粟米”.第三章“衰分”．第四章“少?gòu)V”．第五章“商功”．第六章“均輸”．第七章“盈不足”．第八章“方程”．第九章“勾股”．《九章算術(shù)》的內(nèi)容豐富，就問(wèn)題而言，它包括了當(dāng)時(shí)社會(huì)的生產(chǎn)、工程、分配、交換、行政管理等方面的問(wèn)題；《九章算術(shù)》體例統(tǒng)一，結(jié)構(gòu)合理．書中每題均由題目、答案和術(shù)三部分組成，其中“題目”都是用文字?jǐn)⑹龅膽?yīng)用題；“答案”都是用具體的數(shù)字給出；“術(shù)”是解題的方法和計(jì)算步驟，其中包含著一般的數(shù)學(xué)原理、定理和公式．自它問(wèn)世以后，就成為中國(guó)古代數(shù)學(xué)的經(jīng)典著作和范本．⑶劉徽的數(shù)學(xué)成就．劉徽是公元3世紀(jì)時(shí)的魏晉人，籍貫山東，生卒年不詳．《九章算術(shù)注》是劉徽留給后世十分珍貴的數(shù)學(xué)遺產(chǎn)，是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)理論研究的奠基之作．劉徽在幾何方面的貢獻(xiàn)是他首創(chuàng)了割圓術(shù)：割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無(wú)所失矣．π≈3．14，化為分?jǐn)?shù)為

“徽率”:《中國(guó)大百科全書》數(shù)學(xué)卷這樣寫道“割圓術(shù)是劉徽創(chuàng)造的運(yùn)用極限思想證明圓面積及計(jì)算圓周率的方法．”⑷祖沖之、祖暅的數(shù)學(xué)成就．祖沖之（公元429—500年），字文遠(yuǎn)，范陽(yáng)遒縣（今河北省淶水縣）人.3．1415926（肭數(shù)）＜π＜3．1415927（盈數(shù)）圓周率是最常見、常用的數(shù)學(xué)常量，自古以來(lái)為什么世界上各民族、各著名數(shù)學(xué)家都為之作過(guò)不少研究，是因?yàn)榈贸鰣A周率什么樣的近似值，標(biāo)志著數(shù)學(xué)水平得到的程度．祖暅原理——冪勢(shì)既同，則體不容異如果二等高的立體在同高處截二立體的面積恒等，則這兩個(gè)物體的體積相等。劉徽和祖沖之父子的工作，思想是深刻的，它們反映了魏晉南北朝時(shí)代中國(guó)數(shù)學(xué)出現(xiàn)的論證傾向，以及這種傾向所達(dá)到的高度．⑸“算經(jīng)十書”．《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《張邱建算經(jīng)》、《五曹算經(jīng)》、《夏侯陽(yáng)算經(jīng)》、《五經(jīng)算術(shù)》、《綴術(shù)》、《緝古算經(jīng)》．①《海島算經(jīng)》是劉徽在注《九章算術(shù)》的“勾股”章時(shí)，利用重差術(shù)增加了九個(gè)測(cè)量海島等不可倒達(dá)的地方高和遠(yuǎn)的距離的專著。②《孫子算經(jīng)》．“雉兔同籠”問(wèn)題：今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問(wèn)雉兔各幾何”

“物不知數(shù)”問(wèn)題：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問(wèn)物幾何．答曰：二十三．術(shù)曰：三三數(shù)之剩二，置一百四十；五五數(shù)之剩三，置六十三；七七數(shù)之剩二，置三十．并之得二百三十三，以二百十減之，即得．凡三三數(shù)之剩一則置七十，五五數(shù)之剩一則置二十一，七七數(shù)之剩一則置十五．一百六以上，以一百五減之，即得”

N＝70×2＋21×3＋15×2－2×105三人同行七十稀，五樹梅花二十一枝，起子團(tuán)圓正半月，除百零五變得知N≡2（mod3）≡3（mod5）≡2(mod7)③《綴術(shù)》．④《張邱建算經(jīng)》．“百雞問(wèn)題”：今有雞翁一，直錢五；雞母一，直錢三；雞雛三，直錢一，凡百錢買百雞，問(wèn)雞翁、母、雛各幾何．⑤《輯古算經(jīng)》．⑹宋元時(shí)期的中國(guó)數(shù)學(xué)．宋元兩朝的400多年，即公元960年～公元1368年是中國(guó)古代數(shù)學(xué)發(fā)展的鼎盛時(shí)期．“宋元四大家”：秦九韶、楊輝、李冶、朱世杰就是宋元時(shí)期最卓越的代表，也是當(dāng)時(shí)世界級(jí)的大數(shù)學(xué)家．這個(gè)時(shí)期中國(guó)古代數(shù)學(xué)取得了一系列世界一流的成果，達(dá)到了世界數(shù)學(xué)的最高水平，有足夠的史料證實(shí)，那時(shí)的中國(guó)是世界上的第一數(shù)學(xué)強(qiáng)國(guó)．①高次方程的數(shù)值解法．南宋數(shù)學(xué)家秦九韶(公元1202~1261年)，在賈憲“增乘開方法”的基礎(chǔ)上得到了求高次方程正根的一般方法――正負(fù)開方術(shù)，徹底解決了在解方程過(guò)程中的隨乘隨加問(wèn)題，獲得了解高次方程的一般方法．西方國(guó)家到了1819年的霍納才得到了相同的結(jié)果，比秦九韶的結(jié)果晚了700多年．②賈憲三角（楊輝三角）．賈憲三角在歐洲稱為“帕斯卡三角”

③高階等差數(shù)列求和．高階等差數(shù)列求和問(wèn)題來(lái)源于北宋時(shí)期的沈括（1031－1095）的堆垛問(wèn)題．有一個(gè)頂層寬有a個(gè)壇，長(zhǎng)b個(gè)壇底層寬有c個(gè)壇，長(zhǎng)d個(gè)壇，高為n層的四棱臺(tái)形垛積，求酒壇個(gè)數(shù)的總和．沈括認(rèn)為堆垛的總和:④中國(guó)剩余定理．德國(guó)的高斯于1801年在《算術(shù)探究》一書中提出了解決這類問(wèn)題的方法——剩余定理，并給出了嚴(yán)格的證明．1876年德國(guó)數(shù)學(xué)史家馬蒂生指出孫子定理及大衍求一術(shù)與高斯的理論一致，孫子定理才被西方人稱為“中國(guó)剩余定理．”

⑤高次方程的布列方法――天元術(shù)．李冶明確地用天元來(lái)代表未知數(shù)，和現(xiàn)今代數(shù)中的列一元方程解應(yīng)用題的方法基本上一致．⑥高次方程組布列方法――四元術(shù)．朱世杰不僅提出了多元（最多到四元）高次聯(lián)立方程組的算籌擺置記述方法，而且把《九章算術(shù)》等書中四元一次聯(lián)立方程解法推廣到四元高次聯(lián)立方程．在歐洲，解聯(lián)立一次方程開始于十六世紀(jì)，關(guān)于多元高次聯(lián)立方程的研究還是十八、十九世紀(jì)的事．⑦高次內(nèi)插公式（招差法）．隨著歷法的進(jìn)步對(duì)數(shù)學(xué)工具也提出了更高的要求，到了宋元時(shí)代便出現(xiàn)了高次內(nèi)插法.比歐洲牛頓的同樣成就要早300多年．⑺中國(guó)古代數(shù)學(xué)的衰落．令人遺憾的是朱世杰的《四元玉鑒》成了數(shù)學(xué)鼎盛時(shí)期的絕唱，從14世紀(jì)初進(jìn)入明代以后，中國(guó)古代數(shù)學(xué)驟然衰落，整個(gè)明清兩代不僅沒(méi)有能與《四元玉鑒》相媲美的數(shù)學(xué)杰作，而且在很長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)，像“天元術(shù)”、“四元術(shù)”這樣一些宋元數(shù)學(xué)的精粹竟然長(zhǎng)期失傳，無(wú)人知曉．⑻西方數(shù)學(xué)的傳入．16世紀(jì)末第一批傳教士進(jìn)入我國(guó)①西方數(shù)學(xué)的第一次傳入．利瑪竇與徐光啟兩人開始了緊的翻譯工作，直到1606年秋天由利瑪竇口譯，徐光啟執(zhí)筆合作譯完歐幾里得《幾何原本》前6卷，1607年在北京雕版刊行．利瑪竇與徐光啟“此書為益，能令學(xué)理者祛其浮氣，練其精心；學(xué)事者資其定法，發(fā)其巧思，故舉世無(wú)一人不當(dāng)學(xué)”．徐光啟是翻譯引進(jìn)西方數(shù)學(xué)到中國(guó)的第一人，《幾何原本》使中國(guó)數(shù)學(xué)界第一次見識(shí)到了數(shù)學(xué)的公理系統(tǒng)與嚴(yán)格的邏輯推理方式．《幾何原本》的翻譯是中國(guó)數(shù)學(xué)史上的大事，功德無(wú)量．②西方數(shù)學(xué)的第二次傳入．直到公元1840年鴉片戰(zhàn)爭(zhēng)，西方列強(qiáng)用洋槍洋炮轟開了中國(guó)閉關(guān)自守的打門后，西方數(shù)學(xué)又第二次傳入中國(guó)．在西方數(shù)學(xué)第二次傳入過(guò)程中，李善蘭作出了巨大貢獻(xiàn)．1857年李善蘭與英國(guó)傳教士偉烈亞力合譯了利瑪竇與徐光啟尚未完成的《幾何原本》后九卷，時(shí)隔《幾何原本》前六卷中譯本250年后我國(guó)才有了完整的《幾何原本》中譯本．李善蘭與偉烈亞力還合譯了《代微積拾級(jí)》十八卷、《代數(shù)學(xué)》十三卷；與英國(guó)傳教士艾約瑟合譯《圓錐曲線說(shuō)》三卷，其中《代微積拾級(jí)》是中國(guó)第一部微積分學(xué)的譯本．⑼中國(guó)古代的數(shù)學(xué)教育．隋朝統(tǒng)一全國(guó)以后，創(chuàng)立了科舉制度，科舉制度把讀書、應(yīng)考和做官三件事聯(lián)系起來(lái).隋朝建立了官辦的全國(guó)最高學(xué)府——國(guó)子寺，并在國(guó)子寺里設(shè)立了明算學(xué)．明算學(xué)內(nèi)設(shè)算學(xué)博士(教師)兩人，助教兩人，從事數(shù)學(xué)教學(xué)工作，有學(xué)生80人，可以說(shuō)這是我國(guó)專門的數(shù)學(xué)教育的開始．唐朝的最高學(xué)府——國(guó)子監(jiān)里設(shè)有明經(jīng)、進(jìn)士、秀才、明法、明書、明算六科．唐朝已形成了一套比較完善的數(shù)學(xué)教育制度，后來(lái)隨著貿(mào)易和文化交流的開展，中國(guó)的數(shù)學(xué)和教育制度傳入朝鮮、日本等鄰國(guó)．因此，朝、日兩國(guó)的數(shù)學(xué)深受中國(guó)的影響，他們的數(shù)學(xué)教育制度和教科書原來(lái)基本上是采用中國(guó)的．到宋元時(shí)代，官辦的數(shù)學(xué)教育日漸衰落，而民間的數(shù)學(xué)教育卻比較盛行．2．印度數(shù)學(xué)印度是一個(gè)宗教盛行的國(guó)家，公元前就有了婆羅門教（今天的印度教）、佛教和耆（讀pie撇）那教．印度是一個(gè)屢次遭受其他民族入侵的國(guó)家，歷史上曾被馬其頓人、匈奴人、阿拉伯人、突厥人、蒙古人、英國(guó)人等交替入侵．印度數(shù)學(xué)曾有一段輝煌的歷史，公元3世紀(jì)到公元12世紀(jì)是印度數(shù)學(xué)的全盛時(shí)期，許多數(shù)學(xué)成果達(dá)到了世界先進(jìn)水平．⑴印度—阿拉伯?dāng)?shù)碼（阿拉伯?dāng)?shù)字）．⑵國(guó)際象棋的故事．傳說(shuō)國(guó)際象棋是印度舍罕王的宰相西薩·班·達(dá)依爾發(fā)明的.“陛下，就請(qǐng)您賞給我一些麥粒吧，它們只要這樣放在棋盤里就行了：第一個(gè)格里放一粒，第二個(gè)格里放兩粒，第三個(gè)格里放四粒，以后每一個(gè)格里都比前一個(gè)格里的麥粒增加一倍．圣明的王啊，只要把這樣擺滿棋盤上全部六十四格的麥粒都賞給你的仆人，他就心滿意足了”，＝18,446,744,073,709,551,615①如果1000粒麥子重為40g，這些麥粒大約合多少噸？宰相所要求的麥?？倲?shù)，實(shí)際上是等比數(shù)列的前六十四項(xiàng)和

:問(wèn)題：②根據(jù)國(guó)家糧油信息中心的統(tǒng)計(jì)數(shù)字顯示：2015年度我國(guó)小麥總產(chǎn)量為1．27億噸，2015年世界小麥產(chǎn)量約為7．28億噸，試問(wèn)這個(gè)大數(shù)表示的數(shù)量大約是我國(guó)幾年的小麥產(chǎn)量？世界幾年的小麥產(chǎn)量？③小麥平均出面率為85%，一個(gè)人每天要吃0．5kg面粉，試問(wèn)西莎所要的小麥能夠13億中國(guó)人吃幾年？夠全世界65億人吃幾年？漢諾塔問(wèn)題。傳說(shuō)開天辟地神勃拉瑪在印度的一座神廟里留下了三根金剛石柱，并在其中一根柱上從下到上穿好了由大到小的64個(gè)圓環(huán)，開天辟地神要僧侶們按下列規(guī)則把圓環(huán)從一根柱上全部移到另一根柱上：⑴每次只能移動(dòng)一個(gè)圓環(huán)；⑵任何時(shí)候，較大的圓環(huán)不能放在較小的圓環(huán)上面。而且預(yù)言，當(dāng)64個(gè)圓環(huán)按上述規(guī)則移動(dòng)到另一根柱上時(shí)，世界就將在一聲霹靂中毀滅。3．阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)無(wú)論是東部王國(guó)還是西部王國(guó)，阿拉伯人在保存和傳播希臘、印度和中國(guó)的文化，最終為近代歐洲的文藝復(fù)興準(zhǔn)備學(xué)術(shù)前提方面做出了巨大貢獻(xiàn)．⑴起源于翻譯的阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)．公元830年，崇尚理性的阿巴斯朝的哈里發(fā)馬蒙（哈里發(fā)－國(guó)王的意思），在巴格達(dá)創(chuàng)立了“智慧館”．需要說(shuō)明的是，今天所說(shuō)的“阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)”并非單指阿拉伯國(guó)家發(fā)明的數(shù)學(xué)，而是泛指用阿拉伯文字寫成的數(shù)學(xué)著作，而且從事數(shù)學(xué)翻譯和研究的學(xué)者大多數(shù)是波斯人、希臘人、摩爾人、猶太人和歐洲的基督教徒．出生于波斯北部城市花拉子模（今烏茲別克境內(nèi)）的阿爾?花拉子米（約780～850），其著作通過(guò)后來(lái)的拉丁文譯本，對(duì)歐洲近代科學(xué)的誕生產(chǎn)生過(guò)積極影響．總的說(shuō)來(lái)，雖然阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)的創(chuàng)造性與深刻性遠(yuǎn)不如希臘數(shù)學(xué)，但在世界數(shù)學(xué)史上處于承前啟后、繼往開來(lái)的重要地位，可以說(shuō)阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)擔(dān)負(fù)起了精神財(cái)富的保存者和傳輸者的使命，對(duì)世界數(shù)學(xué)的發(fā)展做出了巨大貢獻(xiàn)．“代數(shù)”一詞“algebra”，來(lái)源于花拉子米的一本數(shù)學(xué)著作《還原與對(duì)消的計(jì)算概要》．花拉子米的《代數(shù)學(xué)》無(wú)論在內(nèi)容上，還是風(fēng)格上都是一個(gè)新的起點(diǎn)花拉子米的著作《印度數(shù)字的計(jì)算法》也是數(shù)學(xué)史上十分有價(jià)值的數(shù)學(xué)著作，他用阿拉伯文系統(tǒng)介紹了印度數(shù)碼、十進(jìn)位值制記數(shù)法及其運(yùn)算法則．4．阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)傳入歐洲在傳播東方文明并對(duì)中世紀(jì)歐洲數(shù)學(xué)做出重要貢獻(xiàn)的學(xué)者中首推意大利數(shù)學(xué)家斐波那契．到了公元11、12世紀(jì)，阿拉伯的學(xué)術(shù)著作陸續(xù)傳入歐洲，激起了歐洲人學(xué)習(xí)東方科學(xué)文化的興趣和熱情，新的思潮開始影響歐洲當(dāng)時(shí)的學(xué)術(shù)氣氛．《算盤書》不僅包含新的印度—阿拉伯?dāng)?shù)系的計(jì)算法則，而且還包含各種實(shí)用課題中的大量題目，是中世紀(jì)歐洲最重要的數(shù)學(xué)著作，被歐洲各民族當(dāng)作學(xué)校的標(biāo)準(zhǔn)教材達(dá)200年之久．

后人求出了它的通項(xiàng)公式為1，1，2，3，5，8，13，21，34，……“如果每對(duì)大兔每月能生育一對(duì)小兔，而每對(duì)小兔經(jīng)過(guò)兩個(gè)月能長(zhǎng)成大兔，那么由一對(duì)小兔開始，一年后可繁殖成多少對(duì)兔子？”這個(gè)問(wèn)題的解法引出了著名的斐波那契數(shù)列。斐波那契在《算盤書》中記載了一個(gè)特別有趣的問(wèn)題：㈢文藝復(fù)興時(shí)期（公元15世紀(jì)到17世紀(jì)初）的數(shù)學(xué)．文藝復(fù)興是15世紀(jì)到17世紀(jì)初在歐洲發(fā)生的一場(chǎng)以意大利為發(fā)源地和中心，古典希臘、羅馬文藝和學(xué)術(shù)在歐洲各國(guó)的復(fù)興的運(yùn)動(dòng)．文藝復(fù)興時(shí)期，歐洲數(shù)學(xué)開始走出中世紀(jì)的黑夜，在方程論、代數(shù)、三角學(xué)、商業(yè)數(shù)學(xué)和計(jì)算技術(shù)等方面取得了一些令人矚目的成就．1．畢達(dá)哥拉斯、柏拉圖主義的復(fù)活．畢達(dá)哥拉斯、柏拉圖主義的“萬(wàn)物皆數(shù)”及其數(shù)學(xué)化宇宙觀在新的時(shí)代背景下得到了復(fù)活，歐洲人于是相信自然界是按照數(shù)學(xué)方式設(shè)計(jì)的，因而把數(shù)和數(shù)量關(guān)系作為現(xiàn)實(shí)世界精華的思想逐漸在學(xué)術(shù)界占統(tǒng)治地位．基督教將這種思想接過(guò)去也順應(yīng)提出了“上帝是一個(gè)至高無(wú)上的數(shù)學(xué)家，上帝是按照數(shù)學(xué)方式設(shè)計(jì)了大自然的”的教條藝術(shù)大師達(dá)．芬奇就認(rèn)為大自然按照數(shù)學(xué)規(guī)律運(yùn)轉(zhuǎn)，自然界的力和運(yùn)動(dòng)必須通過(guò)對(duì)數(shù)量的研究來(lái)探討，只有緊緊地依靠數(shù)學(xué)，才能透過(guò)那不可捉摸的思想迷霧．哥白尼和開普勒應(yīng)用數(shù)學(xué)研究天體的運(yùn)動(dòng)，伽利略應(yīng)用數(shù)學(xué)研究地球上的運(yùn)動(dòng)，更是使數(shù)學(xué)成為了解開宇宙間秘密的鑰匙．2．代數(shù)方程論取得了長(zhǎng)足的進(jìn)展卡丹以x3＋6x=20為例，在他的著作《大術(shù)》中給出了形如x3+px=q(p,q＞0)方程的公式解為3．符號(hào)代數(shù)得到長(zhǎng)足發(fā)展．⑴文詞代數(shù)階段．⑵簡(jiǎn)字代數(shù)或半符號(hào)式代數(shù)階段．簡(jiǎn)字代數(shù)是古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖在他的著作《算術(shù)》中首次使用⑶符號(hào)代數(shù)階段．這個(gè)階段的主要特點(diǎn)就是系統(tǒng)地引入字母和符號(hào)表示數(shù)和數(shù)學(xué)概念以及它們的運(yùn)算和關(guān)系．大約至17世紀(jì)中葉系統(tǒng)的符號(hào)代數(shù)基本上形成．在他的著作《分析術(shù)引論》中，第一次有意識(shí)地使用系統(tǒng)的代數(shù)字母和符號(hào)，用元音字母a，e，i，o，u，y表示未知數(shù)，用輔音字母b，c，d，f，g，…表示已知數(shù)。韋達(dá)(1540～1603)韋達(dá)在把這種符號(hào)式的代數(shù)稱為“類的計(jì)算術(shù)”，以區(qū)別于“數(shù)的計(jì)算術(shù)”，并以此作為算術(shù)與代數(shù)的分界線．由于韋達(dá)在建立符號(hào)代數(shù)方面的卓越貢獻(xiàn)，被譽(yù)為“西方代數(shù)學(xué)之父”．1637年法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾認(rèn)為韋達(dá)創(chuàng)用的未知數(shù)和已知數(shù)符號(hào)還是不太簡(jiǎn)潔明快，他采用字母a，b，c，…表示已知數(shù)，用字母x，y，z，…表示未知數(shù)，初步建立了代數(shù)符號(hào)系統(tǒng)，發(fā)展成為今天的習(xí)慣用法．4．?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)算符號(hào)的使用．⑴加號(hào)“+”和減號(hào)“－”是德國(guó)數(shù)學(xué)家韋德曼于1489年首先使用的。韋德曼把加減號(hào)這對(duì)難舍難離、簡(jiǎn)潔漂亮的伴侶帶到了世界，開創(chuàng)了簡(jiǎn)潔明快的數(shù)學(xué)符號(hào)的先河．⑵乘除號(hào)．?dāng)?shù)學(xué)中的乘號(hào)、除號(hào)迄今為止都還沒(méi)有達(dá)成國(guó)際統(tǒng)一的協(xié)定.-歐洲大陸和拉丁美洲派用腳點(diǎn)“．”，用兩實(shí)心圓點(diǎn)“：”表示乘號(hào)和除號(hào)；-英國(guó)和英聯(lián)邦各派用腳點(diǎn)“．”與“÷”表示乘除號(hào)；-美國(guó)派用圓點(diǎn)“·”與“÷”表示乘除號(hào)，我國(guó)與美國(guó)相同．現(xiàn)在世界上乘法記號(hào)有a·b、ab（省略乘號(hào)）、a×b、a.b、a*b；除法記號(hào)有a÷b、、a／b、a:b．

乘號(hào)“×”是英國(guó)牧師、數(shù)學(xué)家奧特雷德于1631年在他的著作《數(shù)學(xué)入門》中首先使用的，奧特雷德認(rèn)為認(rèn)為乘法是增加的意思，一種特殊的加法，但又和加法有所不同，于是他把加號(hào)斜過(guò)來(lái)寫，便得到了乘法記號(hào)；乘號(hào)“·”的首先創(chuàng)用有爭(zhēng)論，有的說(shuō)是英國(guó)數(shù)學(xué)家哈利奧特，有的說(shuō)是笛卡爾，但不管怎樣“·”誕生在17世紀(jì)的歐洲，除號(hào)“÷”于1659年首先出現(xiàn)在瑞士數(shù)學(xué)家雷恩的一本代數(shù)著作中;除號(hào)“：”是萊布尼茨首先提出的；分?jǐn)?shù)線“—”或“/”表示除號(hào)是阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家首先創(chuàng)用的;⑶等號(hào)“＝”的發(fā)明人是英國(guó)的雷科德．“為了避免枯燥的重復(fù)‘isequalto’這個(gè)短語(yǔ)表示相等，我采用了一對(duì)等長(zhǎng)的平行線段‘=’來(lái)表示相等，因?yàn)槿魏蝺蓸訓(xùn)|西，不可能比它們更相等了”．⑷根號(hào)最初是德國(guó)數(shù)學(xué)家魯?shù)罓柗蛟谄?525年編寫的一本代數(shù)書《求根式》中引入的，當(dāng)時(shí)用“√”表示平方根。笛卡爾巧妙地在魯?shù)罓柗騽?chuàng)用的符號(hào)“√”的上面添了一條橫線“—”，將根號(hào)表示為“”．

⑸大于“＞”和小于“＜”最早于1631年出現(xiàn)在英國(guó)數(shù)學(xué)家、望遠(yuǎn)鏡發(fā)明者哈里奧特的遺作《實(shí)用分析術(shù)》中；小于或等于號(hào)“≤”，大于或等于號(hào)“≥”是法國(guó)數(shù)學(xué)家布格爾于1734年首先使用的．⑹1593年德國(guó)數(shù)學(xué)家克拉維斯在他的著作《星盤》中首次使用了現(xiàn)代意義上的小數(shù)點(diǎn)“．”.當(dāng)今世界上小數(shù)點(diǎn)的使用也沒(méi)有統(tǒng)一歐洲大陸派（徳、法、俄羅斯等）用逗號(hào)作小數(shù)點(diǎn)英美派則用實(shí)心圓點(diǎn)“．”作小數(shù)點(diǎn)，中國(guó)使用的是英美派的記法．5．對(duì)數(shù)的發(fā)明．納皮爾(1550～1617)至少花了20年的時(shí)間．終于在1614年發(fā)表了題為《奇妙的對(duì)數(shù)定律說(shuō)明書》一書，這是世界上第一本對(duì)數(shù)著作．伽利略說(shuō)：“給我時(shí)間、空間和對(duì)數(shù)，我可以創(chuàng)造出另一個(gè)宇宙．”

拉普拉斯說(shuō)：“一個(gè)人的壽命如果不拿他活在世界上的時(shí)間長(zhǎng)短來(lái)計(jì)算，那么可以說(shuō)，對(duì)數(shù)的發(fā)現(xiàn)不僅避免了冗長(zhǎng)的計(jì)算與可能的誤差，而且實(shí)際上倍沿了天文學(xué)家的壽命”

值得注意的是，那時(shí)指數(shù)的概念尚未完成，也沒(méi)有指數(shù)符號(hào)，納皮爾本人更不知“底”為何物，一直到歐拉才發(fā)現(xiàn)了指數(shù)與對(duì)數(shù)的天然關(guān)系，對(duì)數(shù)的建立先于指數(shù)，到是歷史上的珍聞．總之，初等數(shù)學(xué)的各分支――幾何、算術(shù)、代數(shù)、三角等學(xué)科，經(jīng)過(guò)常量數(shù)學(xué)時(shí)期的發(fā)展，形成了獨(dú)立學(xué)科，這些知識(shí)也是現(xiàn)在中小學(xué)數(shù)學(xué)課的主要內(nèi)容．三、變量數(shù)學(xué)時(shí)期（17世紀(jì)中葉至19世紀(jì)20年代）變量數(shù)學(xué)產(chǎn)生的原因1．變量數(shù)學(xué)的第一個(gè)里程碑是解析幾何的發(fā)明⑴解析幾何的創(chuàng)始人是法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾和費(fèi)馬笛卡兒于1637年發(fā)表了著名的哲學(xué)著作《更好地指導(dǎo)推理和尋求科學(xué)真理的方法論》簡(jiǎn)稱為《方法論》該書有三個(gè)附錄：《幾何學(xué)》、《屈光學(xué)》和《氣象學(xué)》笛卡爾在《幾何學(xué)》中給出了平面曲線與二元方程之間建立起了聯(lián)系，由此產(chǎn)生了一門用代數(shù)方法研究幾何學(xué)的新學(xué)科——解析幾何學(xué)笛卡爾通過(guò)坐標(biāo)系將“幾何”與“代數(shù)”聯(lián)系起來(lái)，從而架起了這兩個(gè)本性相差甚遠(yuǎn)的學(xué)科之間的關(guān)系，這是數(shù)學(xué)的一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)，也是變量數(shù)學(xué)發(fā)展的第一個(gè)決定性步驟。恩格斯：“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡爾的變數(shù)，有了變數(shù)，運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，微分和積分也就立刻成了必要的了．”

⑵解析幾何的基本思想⑶笛卡兒（1596－1661）是法國(guó)著名的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家笛卡兒創(chuàng)立解析幾何的靈感有兩個(gè)傳說(shuō)：養(yǎng)成一種喜愛寧?kù)o，擅于思考的習(xí)慣。⑷費(fèi)馬(1601～1665)“費(fèi)馬大定理”亦稱“費(fèi)馬猜想”.畢達(dá)哥拉斯方程

他通過(guò)類比，把畢達(dá)哥拉斯方程中的平方改為立方，后得到方程他在頁(yè)邊批注了這么一段話：“把一個(gè)數(shù)的立方分成另兩個(gè)數(shù)的立方和，把一個(gè)數(shù)的四次方分成另兩個(gè)數(shù)四次方的和，或一般地，把一個(gè)數(shù)的高于2的任何次方分成兩個(gè)數(shù)的同次方的和是不可能的．我確信已找到了一個(gè)極佳的證明，但書的空白太窄，寫不下．”

他的證明刊在1995年的《數(shù)學(xué)年刊》之上。英國(guó)數(shù)學(xué)家安德魯·懷爾斯用了七年時(shí)間，在不為人知的情況下，得出了證明的大部分；然后于1993年6月在一個(gè)學(xué)術(shù)會(huì)議上宣布了他的證明，并瞬即成為世界頭條。懷爾斯獲得了數(shù)學(xué)界的最高獎(jiǎng)——菲爾茨獎(jiǎng)特別獎(jiǎng)和沃爾夫獎(jiǎng)．德國(guó)實(shí)業(yè)家保羅·沃爾夫斯凱爾，由于一件不可思議的事件，卻與費(fèi)馬大定理相伴在一起，鼓勵(lì)著數(shù)以千計(jì)的人去攻克這個(gè)富有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題。在他1908年去世時(shí)，他的遺囑被宣讀，他已經(jīng)把他財(cái)產(chǎn)中的一大部分遺贈(zèng)作為一個(gè)獎(jiǎng)，規(guī)定獎(jiǎng)給任何能證明費(fèi)馬大定理的人。獎(jiǎng)金為10萬(wàn)馬克，按現(xiàn)在的幣值計(jì)算其價(jià)值超過(guò)100萬(wàn)英鎊。2．變量數(shù)學(xué)的第二個(gè)里程碑是微積分的發(fā)明微積分的誕生又是變量數(shù)學(xué)時(shí)期一個(gè)劃時(shí)代的數(shù)學(xué)成就，是數(shù)學(xué)史上的偉大創(chuàng)造.十七世紀(jì)60年代，牛頓和萊布尼茲各自從運(yùn)動(dòng)學(xué)和幾何學(xué)研究的需要獨(dú)立創(chuàng)建了微積分微積分學(xué)基本定理——牛頓—萊布尼茲公式“如果我比其他人看得更遠(yuǎn)些，那是因?yàn)槲艺驹诰奕说募缟稀薄ｎD⑴牛頓對(duì)微積分的貢獻(xiàn)艾薩克·牛頓(1642～1727)，1642年12月25日生于英格蘭林肯郡的一個(gè)小鎮(zhèn)烏爾斯索的一個(gè)農(nóng)民家庭12歲時(shí)才進(jìn)入離家不遠(yuǎn)的格蘭瑟姆中學(xué)讀書，但學(xué)習(xí)成績(jī)平平，看不出有任何超長(zhǎng)之處格蘭瑟姆中學(xué)的校長(zhǎng)史托克斯說(shuō)了一句科學(xué)史上最幸運(yùn)的預(yù)言：“在繁雜的農(nóng)活中埋沒(méi)這樣一位天才，對(duì)世界來(lái)說(shuō)將是多么巨大的損失”

牛頓于1661年夏天以減費(fèi)生的身份進(jìn)入劍橋大學(xué)三一學(xué)院，1665年獲學(xué)士學(xué)位．1669年巴羅辭去他的教授職位，舉薦年僅26歲的牛頓作為盧卡斯講座教授繼承人，并坦然宣稱牛頓的學(xué)識(shí)已經(jīng)超過(guò)自己，一時(shí)被傳為佳話．1687年7月在他的巨著《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》中第一本公開牛頓微積分的思想，該書成了數(shù)學(xué)史上的劃時(shí)代著作．英國(guó)詩(shī)人蒲普在詩(shī)中說(shuō)：“宇宙和自然的規(guī)律隱藏在黑夜里，神說(shuō)：‘讓牛頓降生吧！一切都會(huì)是光明的’”

“心里總是裝著研究的問(wèn)題，等待那最初的一線希望漸漸變成普照一切的光明．”

⑵萊布尼茲對(duì)微積分的貢獻(xiàn)．萊布尼茲(1646～1716),世人稱他是一個(gè)千古卓絕的大智者、哲學(xué)家、自然科學(xué)家、數(shù)學(xué)家，被人們稱為“博學(xué)巨人”．他在巴黎結(jié)識(shí)了惠更斯等杰出的學(xué)者，對(duì)數(shù)學(xué)的興趣與日俱增，1675年到1676年之間他發(fā)明了無(wú)窮小算法．當(dāng)時(shí)他并不知道牛頓關(guān)于同一問(wèn)題已完成了“流數(shù)術(shù)”．1675年10月29日的手稿中，他引用符號(hào)“∫”表示變量的求和過(guò)程，并看到d和∫是互逆的運(yùn)算．牛頓和萊布尼茲對(duì)微積分作出了同樣重要的貢獻(xiàn)．雖然牛頓和萊布尼茲創(chuàng)造了微積分的體系，但還存在許多需要完善的地方，無(wú)論是牛頓還是萊布尼茲對(duì)無(wú)窮小概念的認(rèn)識(shí)是模糊的，牛頓也承認(rèn)他心有余悸．也就是說(shuō)，微積分剛創(chuàng)立時(shí)，基礎(chǔ)并不牢固．3．概率論的創(chuàng)立．概率論這樣一門重要的數(shù)學(xué)分支卻是起源于賭博問(wèn)題的研究．⑴概率論的起源與發(fā)展．概率論的創(chuàng)始人是帕斯卡和費(fèi)馬。首先，假定每個(gè)人都需要再贏一局時(shí)比賽中斷，只需簡(jiǎn)單地將64一分為二就行了；第二，假定第一個(gè)人需要贏一局而第二個(gè)人需要贏兩局時(shí)，如果第一個(gè)人贏得了下一局比賽，他將贏得64，如果他輸了，則兩人都需要再贏一局，所以根據(jù)第一鐘情況，第一個(gè)人將贏得32，如果他們此時(shí)中止比賽，第一個(gè)人將有權(quán)得到他無(wú)論輸贏都會(huì)得到的32加上剩余32的一半，即48，亦即兩次可能贏取數(shù)量的平均數(shù)．（一，一），即第一個(gè)人贏了第一局、第一個(gè)人贏了第二局；（一，二），即第一個(gè)人贏了第一局、第二個(gè)人贏了第二局；（二，一），即第二個(gè)人贏了第一局、第一個(gè)人贏了第二局；（二，二）,即第二個(gè)人贏了第一局、第二個(gè)人贏了第二局．問(wèn)題：①如果是第一個(gè)人贏了2局，而第二個(gè)人一局沒(méi)贏，即2：0時(shí)結(jié)束賭博，第一個(gè)人應(yīng)分得賭注的多少呢？②如果是第一個(gè)人贏了1局，而第二個(gè)人一局沒(méi)贏，即1：0時(shí)結(jié)束賭博，第一個(gè)人應(yīng)分得賭注的多少呢？荷蘭數(shù)學(xué)家惠更斯對(duì)他們的討論很感興趣，隨即加入到他們的討論之中，并對(duì)這些問(wèn)題進(jìn)行了深入研究，將研究成果于1557年發(fā)表在《論賭博中的推理》一書中，此書被公認(rèn)為是概率論的奠基之作，這本書直到18世紀(jì)仍然是概率論的教材．在概率論的現(xiàn)代表述中，概率是基本概念，數(shù)學(xué)期望則是第二級(jí)的概念，但在歷史上則相反，是先有期望概念，后有概率概念．法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗，他在其著作《隨機(jī)原理》中首次定義了獨(dú)立事件的乘法定理，給出二項(xiàng)分布公式，提出了正態(tài)分布等概念雅各．伯努利對(duì)概率論的最大貢獻(xiàn)是1713年出版的他的遺作《猜度術(shù)》中給出了“大數(shù)定律”及其證明，這個(gè)定理被后人稱之為“伯努利定理”．第一位試圖直接解決如何根據(jù)觀察頻率來(lái)推算概率問(wèn)題的人是貝葉斯；18世紀(jì)概率論發(fā)展的集大成者是拉普拉斯.19世紀(jì)末20世紀(jì)初俄羅斯數(shù)學(xué)家異軍突起，在概率論方面取得了格外引人注目的成就．把概率論與幾何結(jié)合起來(lái)進(jìn)行幾何概率研究的第一人是法國(guó)數(shù)學(xué)家蒲豐投針問(wèn)題：把長(zhǎng)為l的同質(zhì)均勻針隨機(jī)地投向畫有多條距離均為a（＞l）的平行線內(nèi)，求針與直線相交的概率？4．分析學(xué)取得了豐碩成果十八世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們把他們的天才表現(xiàn)在大膽的發(fā)明創(chuàng)造上，盡力發(fā)掘和增進(jìn)微積分的威力，從而使微積分?jǐn)U展成為一個(gè)由許多具有專門應(yīng)用價(jià)值的分支所組成的龐大的領(lǐng)域——分析學(xué)，包括常微分方程、微分幾何、變分法、無(wú)窮級(jí)數(shù)和偏微分方程．⑴數(shù)學(xué)史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家――歐拉歐拉(1707～1783)于1707年4月出生在瑞士巴塞爾的一個(gè)牧師家庭伯努利真誠(chéng)而又耐心地勸說(shuō)歐拉的父親“讓您的兒子作村里的牧師，這是沒(méi)有道理的，歐拉具有數(shù)學(xué)的天才，由我來(lái)安排、指導(dǎo)他的學(xué)習(xí)吧！”

歐拉是數(shù)學(xué)史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家，他生前發(fā)表的著作和論文有560余種，死后留下了大量手稿，歐拉自己說(shuō)他未發(fā)表的論文足夠彼得堡科學(xué)院用上20年，結(jié)果是直到歐拉死后76年，彼得堡科學(xué)院院報(bào)上還在刊登歐拉的遺作．歐拉的論著浩如煙海，足跡幾乎涉及所有的數(shù)學(xué)分支，他在微積分、微分方程、解析幾何、微分幾何、數(shù)論、級(jí)數(shù)、變分法上都有卓越的貢獻(xiàn)歐拉的著作，不僅包含許多開創(chuàng)性的成果，而且在表述上思路清晰，極富啟發(fā)性，他的行文優(yōu)美而流暢，把他那些豐富的思想和發(fā)現(xiàn)寫得淋漓盡致、有聲有色，被人們譽(yù)為“數(shù)學(xué)界的莎士比亞”．他首創(chuàng)了現(xiàn)在通用的一些數(shù)學(xué)符號(hào)，如用i表示e表示自然對(duì)數(shù)的底，f(x)表示函數(shù)，∑表示求和號(hào)，為以后的學(xué)習(xí)和研究帶來(lái)了極大的方便

.①歐拉在微積分方面的貢獻(xiàn)．18世紀(jì)微積分的最主要成就是歐拉作出的，他的主要成就體現(xiàn)在他的《無(wú)限小分析引論》、《微分學(xué)》、《積分學(xué)》這三部著作中．歐拉又通過(guò)對(duì)不同函數(shù)的展開式以及微分方法和積分方法的討論，構(gòu)成了一個(gè)關(guān)于微積分的理論，把微積分的形式化進(jìn)行到了十分完善的地步，以致他的微積分書中看不到任何圖形．②哥尼斯堡七橋問(wèn)題．歐拉在《無(wú)限小分析引論》中一開始就給出了函數(shù)的定義：“一個(gè)變量的函數(shù)是由這個(gè)變量和一些常量以任何方式組成的解析式”哥尼斯堡當(dāng)時(shí)是德國(guó)的一個(gè)地區(qū)，現(xiàn)是俄羅斯的飛地從某處出發(fā)，能否一次通過(guò)全部七座橋且每橋只過(guò)一次，回到原地？河的兩岸及兩個(gè)小島這四個(gè)地區(qū)無(wú)論大小，其實(shí)只是這七座橋的支撐點(diǎn)，因此他把這四個(gè)地區(qū)看成是A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)；而每座橋無(wú)論有多寬、有多長(zhǎng)，也不管是用什么材料做成，實(shí)質(zhì)上是連接兩個(gè)點(diǎn)的線，于是他把這七座橋的構(gòu)成圖抽象地畫為圖歐拉認(rèn)為，從某處出發(fā)，能否一次通過(guò)全部七座橋且每橋只過(guò)一次，回到原地，就是能否一筆畫出這個(gè)圖形的問(wèn)題歐拉解決哥尼斯堡七橋問(wèn)題的方法，讓哥尼斯堡的居民看到了數(shù)學(xué)抽象的魅力和數(shù)學(xué)的威力．一筆畫圖形最多有一個(gè)起點(diǎn)和一個(gè)終點(diǎn)，而且起點(diǎn)和終點(diǎn)只有一條曲線與之相連，除這兩點(diǎn)外，一筆畫圖形上任一點(diǎn)處曲線均是一進(jìn)一出，從而過(guò)這些點(diǎn)的曲線條數(shù)應(yīng)是偶數(shù)，于是歐拉把起點(diǎn)和終點(diǎn)叫做奇點(diǎn)，其它點(diǎn)叫做偶點(diǎn)，并證明了一個(gè)圖形能否一筆畫當(dāng)且僅當(dāng)圖形是連通的且奇點(diǎn)的個(gè)數(shù)只能是0或2?？梢钥闯?，雖然圖形是連通的，但是每個(gè)點(diǎn)都與奇數(shù)條線相關(guān)聯(lián)，因而不可能一筆畫出。因此，要連續(xù)不重復(fù)地通過(guò)七座橋是不可能的。③多面體歐拉公式．

1750年歐拉發(fā)現(xiàn)，不論什么形狀的凸多面體，其頂點(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)E、面數(shù)F之間總有關(guān)系:V-E＋F=2正多面體只有五種，即：正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體呈中空的鏡框形也不管框的形狀如何，總有V-E＋F=0．④歐拉與哥德巴赫猜想．1742年6月7日哥德巴赫在給歐拉的信中寫道：“我不相信關(guān)注那些雖沒(méi)有證明但很可能正確的命題是無(wú)用的，即使以后它們被驗(yàn)證是錯(cuò)誤的，也會(huì)對(duì)發(fā)現(xiàn)新的真理有益．”然后他說(shuō)“我也想同樣冒險(xiǎn)提出一個(gè)假設(shè)”

每個(gè)不小于6的偶數(shù)都可寫成兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和；每個(gè)不小于9的奇數(shù)都可寫成三個(gè)奇素?cái)?shù)之和．著名的哥德巴赫猜想：1937年哥德巴赫猜想的第二部分，被前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家維諾格拉多夫證明1920年挪威數(shù)學(xué)家布朗用“篩法”證明了每一個(gè)大偶數(shù)是兩個(gè)素因子都不超過(guò)9的殆素?cái)?shù)之和（簡(jiǎn)稱9+9）1962年我國(guó)山東大學(xué)的潘承洞證明了“1+5”

同年王元、潘承洞合作證明了“1+4”

1965年國(guó)外的數(shù)學(xué)家布赫斯塔勃等人證明了“1+3”

1966年5月一顆璀璨的信號(hào)彈升上了數(shù)學(xué)的天空，陳景潤(rùn)在中國(guó)科學(xué)院的刊物《科學(xué)通報(bào)》上宣布他已經(jīng)證明了“1+2”

以此類推，哥德巴赫猜想就是“1+1”

所謂殆素?cái)?shù)就是素?cái)?shù)因子的個(gè)數(shù)不超過(guò)某一固定常數(shù)的奇整數(shù)。例如，3×5×7×11就是素因子是4的殆素?cái)?shù)。陳氏定理：任何一個(gè)充分大的偶數(shù)，都可表示成一個(gè)素?cái)?shù)加上頂多是兩個(gè)素?cái)?shù)的乘積。1978年2月17日，《人民日?qǐng)?bào)》發(fā)表徐遲的報(bào)告文學(xué)《哥德巴赫猜》，描述了陳景潤(rùn)不畏艱苦、勇攀高峰的事跡．“一些業(yè)余愛好者會(huì)一點(diǎn)兒數(shù)學(xué)，有一點(diǎn)兒算術(shù)基礎(chǔ)，就去求證（１＋１），并把所謂的證明論文寄給我．其實(shí)像哥德巴赫猜想這樣的難題，應(yīng)該讓‘專門家’去搞，不應(yīng)該成為一場(chǎng)‘群眾運(yùn)動(dòng)’”

1996年山西晉中的退休中學(xué)數(shù)學(xué)教師劉招榮宣布自己完成了“哥德巴赫猜想”的證明．中科院專門從事哥德巴赫猜想研究的研究員李福安說(shuō)“２０多年有成千上萬(wàn)的業(yè)余愛好者，我就收到了200多封信．他們的選題主要集中在哥德巴赫猜想上．由于猜想表述非常簡(jiǎn)潔，大多數(shù)的人都能懂，所以很多人都想來(lái)破解這個(gè)難題”，2010年8月，當(dāng)時(shí)已73歲高齡的老人第一次走出國(guó)門，受邀參加了在英國(guó)劍橋大學(xué)舉辦的世界論壇，在論壇上宣讀了凝結(jié)自己全部心血的《哥德巴赫猜想的證明》論文。作業(yè)：閱讀徐遲的報(bào)告文學(xué)《哥德巴赫猜想》，寫一篇讀后感。內(nèi)容要求：⑴哥德巴赫猜想的內(nèi)容及研究歷程；⑵陳景潤(rùn)的生平及他從了解到研究哥德巴赫猜想的歷程；⑶發(fā)表自己的感想。⑵數(shù)學(xué)王子高斯．高斯(1777～1855)于1777年4月30日出生在德國(guó)的布倫瑞克一個(gè)剛從農(nóng)村搬到城市的勞動(dòng)者家庭（農(nóng)民工家庭）。還在3歲的時(shí)候，高斯就顯出了他的數(shù)學(xué)才能．高斯10歲那年，新學(xué)年剛剛開學(xué)，老師為了讓他的學(xué)生集中精力上課，要求他們將數(shù)1、2、3、…連續(xù)相加，一直加到100，即1＋2＋3＋……＋100高斯在他的博士論文和《算術(shù)研究》中，寫下了情真意切的獻(xiàn)詞：“獻(xiàn)給大公”，“你的仁慈，將我從所有的煩惱中解放出來(lái)，使我能從事這種特殊的研究”．高斯在數(shù)學(xué)世界“處處留芳”．18歲時(shí)他就發(fā)明了最小二乘法；19歲時(shí)發(fā)現(xiàn)了正17邊形的尺規(guī)作圖法高斯證明了代數(shù)基本定理他的《算術(shù)研究》奠定了近代數(shù)論的基礎(chǔ)1816年左右他就發(fā)現(xiàn)了非歐氏幾何的原理后人將“復(fù)平面”稱作為高斯平面高斯厚積薄發(fā)、治學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)，一生發(fā)表155篇論文高斯名言：“數(shù)學(xué)是科學(xué)的皇后，數(shù)論是數(shù)學(xué)的皇后，它常常屈尊去為天文學(xué)和其他自然科學(xué)效勞，但在所有的關(guān)系中，它都堪稱第一．”

高斯是近代數(shù)學(xué)的奠基人之一，他在歷史上的影響之大可以和阿基米德、牛頓、歐拉并列．人們?yōu)榱思o(jì)念這位偉大的數(shù)學(xué)家，為他建立了一個(gè)底座為正17邊形的紀(jì)念像．⑶柯西的數(shù)學(xué)功績(jī)．柯西創(chuàng)造力驚人，數(shù)學(xué)論文像聯(lián)綿不斷的泉水在柯西的一生中噴涌，他出版了7部專著，發(fā)表了789篇論文柯西對(duì)數(shù)學(xué)的最大貢獻(xiàn)是在微積分中引進(jìn)了清晰和嚴(yán)格的表述與證明方法，他的著作《分析教程》、《無(wú)窮小計(jì)算教程概論》、《微積分講義》奠定了以極限理論為基礎(chǔ)的現(xiàn)代數(shù)學(xué)分析體系．柯西的另一個(gè)重要貢獻(xiàn)是發(fā)展了復(fù)變函數(shù)的理論。在自然科學(xué)方面，他在流體力學(xué)、彈性理論、光學(xué)、天體力學(xué)等方面都有突出的貢獻(xiàn)．四、近代數(shù)學(xué)時(shí)期（19世紀(jì)20年代至第二次世界大戰(zhàn)）1．復(fù)變函數(shù)的創(chuàng)立是19世紀(jì)最偉大的成就．2．代數(shù)學(xué)取得了多項(xiàng)成果．天才的法國(guó)數(shù)學(xué)家伽羅華在阿貝爾工作的基礎(chǔ)上，提出了群的概念，并用于處理可解性問(wèn)題，獲得了重大的超越．伽羅華（1811—1832）是數(shù)學(xué)史上最年輕、最有創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)家．伽羅華最主要的成就是提出了群的概念，并用群論徹底解決了根式求解代數(shù)方程的問(wèn)題，而且由此發(fā)展了一整套關(guān)于群和域的理論，為了紀(jì)念他，人們稱之為伽羅華理論。人們?yōu)榱司拺奄ち_華在他的出生地法國(guó)巴黎郊區(qū)拉賴因堡伽羅華街的第54號(hào)房屋的正面有一塊紀(jì)念牌，上面寫著：“法國(guó)著名數(shù)學(xué)家埃瓦里斯特·伽羅華生于此，卒年20歲，1811～1832年”．3．非歐幾何的誕生．第五公設(shè)——同一平面內(nèi)一條直線與另外兩條直線相交，若在某一側(cè)的兩個(gè)內(nèi)角之和小于兩直角，則這兩條直線經(jīng)過(guò)無(wú)限延長(zhǎng)后在這一側(cè)相交。自《幾何原本》問(wèn)世后人們總是懷疑這一公設(shè)本身就是一個(gè)定理，只是歐幾里得本人無(wú)法證明它，才把他作為公設(shè)使用的．有的數(shù)學(xué)家證明了第五公設(shè)與“平面內(nèi)過(guò)直線外一點(diǎn)有且僅有一條直線與已知直線平行”等價(jià)，于是人們把第五公設(shè)也叫做平行公設(shè)。到了十九世紀(jì)初德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯、俄羅斯數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基和匈牙利數(shù)學(xué)家J·波爾約，他們采用其它公設(shè)替代第五公設(shè)，并同時(shí)保留歐幾里得幾何中的其它公設(shè)，從而建立起了一個(gè)新的沒(méi)有邏輯矛盾的邏輯體系，這種新幾何被人們稱為叫做羅巴切夫斯基幾何或非歐幾何．

1854年，德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼，在哥廷根大學(xué)作了題為《論作為幾何基礎(chǔ)的假設(shè)》的作為他被聘為講師的就職報(bào)告，提出了一種既不是歐氏幾何，又不是羅巴切夫斯基那種非歐幾何的全新的非歐幾何，被人們稱為黎曼幾何．非歐幾何的創(chuàng)立，改變了歐氏幾何是描述物質(zhì)空間唯一真理的看法，使人們認(rèn)識(shí)到“歐幾里得幾何不是唯一描述物質(zhì)空間的幾何學(xué)，不同的公理基礎(chǔ)上可以建立不同的幾何學(xué)體系”.黎曼的非歐幾何為愛因斯坦的廣義相對(duì)論提供了數(shù)學(xué)依據(jù)．愛因斯坦說(shuō)：“我特別強(qiáng)調(diào)剛才所講的這種幾何學(xué)的觀點(diǎn)，因?yàn)橐菦](méi)有它，我就不能建立相對(duì)論”．4．康托爾在十九世紀(jì)末創(chuàng)立了集合論．任何一部分事物，當(dāng)人們把它們作為數(shù)學(xué)研究對(duì)象時(shí)，就稱為集合.這個(gè)集合中每一具體的事物叫做元素，但稱之為集合中的元素時(shí)，人們已忽略了此事物與所要研究的數(shù)學(xué)內(nèi)容無(wú)關(guān)的其它一切屬性．集合論的建立改變了數(shù)學(xué)各個(gè)分支的基本敘述方式，成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)各分支的共同基礎(chǔ).康托爾將集合描述為：6．1900年8月，在法國(guó)巴黎舉行的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上，著名的數(shù)學(xué)家希爾伯特，根據(jù)19世紀(jì)數(shù)學(xué)研究的成果和發(fā)展趨勢(shì)提出了尚未解決的23個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，從而拉開了20世紀(jì)數(shù)學(xué)的帷幕這些問(wèn)題涉及現(xiàn)代數(shù)學(xué)的許多重要的領(lǐng)域．5．對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究．集合是一個(gè)原始概念，只能描述、沒(méi)有定義。五、現(xiàn)代數(shù)學(xué)時(shí)期（20世紀(jì)40年代至今）現(xiàn)代數(shù)學(xué)的巨大發(fā)展，比以往任何時(shí)代都更加令人信服地確立了數(shù)學(xué)作為整個(gè)科學(xué)技術(shù)的基礎(chǔ)的地位。數(shù)學(xué)核心領(lǐng)域（即純粹數(shù)學(xué)）的擴(kuò)展、數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用以及計(jì)算機(jī)與數(shù)學(xué)的相互影響，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的三大特征．如果我們把現(xiàn)代數(shù)學(xué)比喻為一株茂密的大樹的話，作為一級(jí)學(xué)科的數(shù)學(xué)就是主干，而且包含著許許多多的分枝，按美國(guó)《科學(xué)評(píng)論》雜志的分類，當(dāng)今數(shù)學(xué)包括了60多個(gè)二級(jí)學(xué)科，400多個(gè)三級(jí)學(xué)科，更細(xì)的分科已難以統(tǒng)計(jì)。1．現(xiàn)代數(shù)學(xué)的對(duì)象、內(nèi)容在深度和廣度上都有了很大的發(fā)展．⑴集合論與公理化方法，使純粹數(shù)學(xué)的發(fā)展趨勢(shì)更高抽象．集合論觀點(diǎn)與公理化方法在20世紀(jì)逐漸成為數(shù)學(xué)抽象的范式，它們相互結(jié)合將數(shù)學(xué)的發(fā)展引向了高度抽象的道路．⑵現(xiàn)代數(shù)學(xué)是領(lǐng)域越來(lái)越寬廣的學(xué)科簇．全世界2005-2015年收錄到《科學(xué)引文索引》（SCI）的數(shù)學(xué)論文多達(dá)388826篇，涉及到數(shù)學(xué)的各個(gè)學(xué)科。⑶現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的特點(diǎn)和趨勢(shì)．現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展主要有兩個(gè)特點(diǎn)：一是傳統(tǒng)數(shù)學(xué)與前沿理論的融合．二是純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)的統(tǒng)一，純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)的界限正在消失，純粹數(shù)學(xué)的幾乎所有分支都獲得了應(yīng)用．2．空前發(fā)展的應(yīng)用數(shù)學(xué)．自20世紀(jì)60年代末、70年代初開始，數(shù)學(xué)的應(yīng)用形成了數(shù)學(xué)與其他科學(xué)相互作用、相互促進(jìn)的大一統(tǒng)趨勢(shì)，相應(yīng)地純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)的差異在縮小．更重要的是數(shù)學(xué)在向其他科學(xué)滲透的同時(shí)，日益起著統(tǒng)一、綜合各種科學(xué)知識(shí)的作用．從某種意義上說(shuō)，數(shù)學(xué)似乎成為科學(xué)發(fā)展的決定因素．?dāng)?shù)學(xué)應(yīng)用的這個(gè)新時(shí)代具有以下特點(diǎn)：⑴純粹數(shù)學(xué)幾乎所有的分支都獲得應(yīng)用．⑵幾乎所有的科技領(lǐng)域都在應(yīng)用數(shù)學(xué)，并越來(lái)越多地應(yīng)用更高深的數(shù)學(xué)．華羅庚先生所言那樣：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生命之秘，日月之繁等各方面，無(wú)處不有數(shù)學(xué)的重要貢獻(xiàn)．”

⑶數(shù)學(xué)對(duì)生產(chǎn)技術(shù)的應(yīng)用變得日趨直接．“漢字激光照排系統(tǒng)印刷技術(shù)”，告別了“鉛與火”的印刷術(shù)革命，譜寫了中國(guó)印刷業(yè)燦爛的篇章．⑷數(shù)學(xué)在學(xué)科發(fā)展中的份額及力度越來(lái)越加大．?dāng)?shù)學(xué)是一種關(guān)鍵的、普遍適用的、并賦予人以能力的技術(shù)．從某種意義上來(lái)講，“高技術(shù)本質(zhì)上是一種數(shù)學(xué)技術(shù)"．現(xiàn)代醫(yī)學(xué)掃描技術(shù)(CT掃描)主要也是建立在拉東積分理論的基礎(chǔ)之上；3．計(jì)算機(jī)與數(shù)學(xué)的相互影響．⑴計(jì)算機(jī)對(duì)數(shù)學(xué)的影響．在計(jì)算機(jī)產(chǎn)生以前，數(shù)學(xué)研究模式可以簡(jiǎn)單地概括為一張紙、一支筆”。數(shù)學(xué)學(xué)科和計(jì)算機(jī)技術(shù)相結(jié)合的現(xiàn)代化的可視性數(shù)學(xué)研究．我國(guó)著名數(shù)學(xué)家王梓坤院士指出：“由于計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，今日數(shù)學(xué)已不僅是一門科學(xué)，還是一種普適性的技術(shù)，從航天到家庭，從宇宙到原子，從大型工程到工商管理，無(wú)一不受惠于數(shù)學(xué)技術(shù)．因而今日的數(shù)學(xué)兼有科學(xué)與技術(shù)兩種品質(zhì)，這是其他學(xué)科所少有的．”

計(jì)算機(jī)對(duì)數(shù)學(xué)的影響最著名的是“四色定理”的證明。⑵數(shù)學(xué)對(duì)計(jì)算機(jī)的影響．計(jì)算機(jī)的發(fā)明和發(fā)展過(guò)程中，數(shù)學(xué)家馮.諾依曼、圖靈等都起了關(guān)鍵的作用任何一張地圖只用四種顏色就能使具有共同邊界的國(guó)家著上不同的顏色。1976年，黑肯與阿佩爾從1月份起，他們就在伊利諾伊大學(xué)的IBM360機(jī)上分1482種情況檢查，歷時(shí)1200個(gè)小時(shí)，作了100億個(gè)判斷，最終證明了四色定理。1977年，吳文俊關(guān)于平面幾何定理的機(jī)械化證明首次取得成功，從此完全由中國(guó)人開拓的一條數(shù)學(xué)機(jī)械化道路鋪展在世人面前，這是國(guó)際自動(dòng)推理界先驅(qū)性的工作，他所提出的機(jī)械化方法，國(guó)外稱之為“吳方法”．⑶計(jì)算機(jī)機(jī)器證明．馮.諾依曼提出現(xiàn)代計(jì)算機(jī)的設(shè)計(jì)思想圖靈為了解決數(shù)理邏輯中的一個(gè)基本理論問(wèn)題——相容性以及數(shù)學(xué)問(wèn)題機(jī)械可解性或可計(jì)算性的判別，提出了他的理想計(jì)算機(jī)的理論。容易理解數(shù)學(xué)可以幫助人更好地駕馭計(jì)算機(jī)，計(jì)算機(jī)越發(fā)展就越需要數(shù)學(xué)修養(yǎng)高的人。2001年2月19日，82歲的中國(guó)科學(xué)院院士，中國(guó)數(shù)學(xué)機(jī)械化研究的創(chuàng)始人吳文俊獲首屆“國(guó)家最高科學(xué)技術(shù)獎(jiǎng)”

第二章數(shù)學(xué)的三次危機(jī)并不是所有的矛盾都稱得上危機(jī)，只有那些被激化到白熱化的矛盾才叫做危機(jī)．?dāng)?shù)學(xué)中只有那些白熱化威脅到整個(gè)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的矛盾或引起普遍危機(jī)感的矛盾，才叫做數(shù)學(xué)危機(jī)．一、第一次數(shù)學(xué)危機(jī)“萬(wàn)物皆數(shù)”是指“很多事物和現(xiàn)象都可以從數(shù)量的方面進(jìn)行說(shuō)明和解釋，人們所知道的一切事物都包含著數(shù)，沒(méi)有數(shù)既不能表達(dá)，也不可能理解任何事物，即宇宙中可以歸結(jié)為簡(jiǎn)單的整數(shù)與整數(shù)之比”。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派只認(rèn)識(shí)整數(shù)和有理數(shù)一切量均可表成整數(shù)或整數(shù)之比。任何兩條線段都有公共的度量單位，稱為可公度性．希帕索斯的發(fā)現(xiàn)是數(shù)學(xué)史上第一個(gè)無(wú)理數(shù)的誕生．

第一次危機(jī)的真正解決是在1872年德國(guó)數(shù)學(xué)家戴得金利用極限對(duì)無(wú)理數(shù)嚴(yán)格定義后，才算徹底解決．二、第二次數(shù)學(xué)危機(jī)第二次數(shù)學(xué)危機(jī)源于微積分的廣泛使用．1734年貝克萊發(fā)表題為《分析學(xué)家或至一個(gè)不信神的數(shù)學(xué)家》的小冊(cè)子，矛頭自指牛頓的導(dǎo)數(shù)（流數(shù)）方法.他認(rèn)為無(wú)窮小量，既等于零又不等于零，召之即來(lái)，揮之即去，這是荒謬．歷經(jīng)半個(gè)世紀(jì)的努力，基本上解決了矛盾，為數(shù)學(xué)分析奠定了一個(gè)嚴(yán)格的基礎(chǔ)．這就是數(shù)學(xué)史上稱之為重建微積分的理論基礎(chǔ)“分析嚴(yán)密化運(yùn)動(dòng)”．三、第三次數(shù)學(xué)危機(jī)所謂悖論是一個(gè)自相矛盾的命題，即如果承認(rèn)這個(gè)命題，就可以推出它的否定．反之，如果承認(rèn)這個(gè)命題的否定，又可以推出這個(gè)命題．羅素悖論：設(shè)Q是所有不以集合自身為元素的集合作成的集合，即Q={A∣A?A}，問(wèn)Q是否屬于它本身，即Q∈Q？若Q∈Q，由集合Q的定義知，它是由不以自身為元素的集合作成的集合，因此，Q?Q；若Q?Q，由集合Q的定義知，Q∈Q。理發(fā)師悖論：某鄉(xiāng)村有一個(gè)理發(fā)師，它給自己立了一個(gè)規(guī)則，他只給村子里自己不給自己刮胡子的人刮胡子，試問(wèn)理發(fā)師該不該自己給自己刮胡子．由于羅素悖論涉及到集合及其基本規(guī)則，說(shuō)明集合論是自相矛盾的，沒(méi)有相容性．以羅素為代表的邏緝主義、以布勞威為代表的直覺(jué)主義、以希爾伯特為代表的形式主義三大數(shù)學(xué)哲學(xué)學(xué)派應(yīng)運(yùn)而生．各大學(xué)派爭(zhēng)論到1931年，哥德爾不完全性定理的證明暴露了各派的弱點(diǎn)，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的哲學(xué)爭(zhēng)論黯淡了下來(lái)．第三次數(shù)學(xué)危機(jī)表面上解決了，實(shí)質(zhì)上更深刻地以其它形式延續(xù)著．也就是說(shuō)，數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)一直在存在著裂縫，只是這些裂縫不至于損害整個(gè)數(shù)學(xué)大廈，不去管它就是了．盡管悖論可以消除，矛盾可以解決，然而數(shù)學(xué)的確定性卻在一步一步地喪失。第三章數(shù)學(xué)是什么一、漢語(yǔ)中“數(shù)學(xué)”一詞的演變中國(guó)古代數(shù)學(xué)以算為主，因而叫做“算學(xué)”或“算術(shù)”（算術(shù)即計(jì)算的方法）．到了元宋時(shí)期“數(shù)學(xué)”一詞開始出現(xiàn).《周髀算經(jīng)》：“此皆算術(shù)之所及”，說(shuō)明至少在漢代“算術(shù)”作為數(shù)學(xué)的名稱就通行了，受此影響中國(guó)古代的算書多以“算術(shù)”或“算經(jīng)”命名。

秦九韶在其著作《數(shù)書九章》的序中提到“嘗從隱君子受數(shù)學(xué)”

1939年8月民國(guó)政府教育部通令全國(guó)一律使用“數(shù)學(xué)”，并以此為英語(yǔ)中mathematics的譯名．二、數(shù)學(xué)的“定義”我國(guó)是將恩格斯的一段名言演變?yōu)閿?shù)學(xué)的定義的．1939年6月有關(guān)部門對(duì)用“算學(xué)”還是“數(shù)學(xué)”作為這門學(xué)科的名稱進(jìn)行了民意測(cè)驗(yàn)，兩種意見各半。民國(guó)政府教育部決定用“數(shù)學(xué)”而不用“算學(xué)”，理由是“數(shù)”字不僅歷史悠久，而且與當(dāng)時(shí)高等教育中的“數(shù)理”一詞已通用。恩格斯在《反杜林論》中指出了“純數(shù)學(xué)是以現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系——這是非?，F(xiàn)實(shí)的材料——為對(duì)象的”的論述．純數(shù)學(xué)的對(duì)象是現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系數(shù)學(xué)是關(guān)于現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)1988年《中國(guó)大百科全書?數(shù)學(xué)卷》中對(duì)數(shù)學(xué)的定義是：“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量關(guān)系和空間形式的，簡(jiǎn)單地說(shuō)，是研究數(shù)和形的科學(xué)．”

隨著現(xiàn)代數(shù)學(xué)的不斷發(fā)展，只能說(shuō)恩格斯給數(shù)學(xué)下的這個(gè)定義本質(zhì)上正確的，但有許多不完美之處．2001年版《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》把數(shù)學(xué)說(shuō)成“數(shù)學(xué)是人們對(duì)客觀世界定性把握和定量刻畫、逐漸抽象概括、形成方法和理論，并進(jìn)行廣泛應(yīng)用的過(guò)程。”2011年版《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》把數(shù)學(xué)說(shuō)成“數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)?！逼湟唬攀兰o(jì)從非歐幾何的誕生到愛因斯坦相對(duì)論的誕生，變改了人類的時(shí)空觀，說(shuō)明了人類理性思維可以使數(shù)學(xué)的研究對(duì)象從哪些人類看得見摸得著的現(xiàn)實(shí)世界中的“空間形式”、“數(shù)量關(guān)系”向人類悟性的自由創(chuàng)造物轉(zhuǎn)化，在非歐幾何、泛函分析等分支中很難找到現(xiàn)實(shí)世界的影子，這些學(xué)科的研究對(duì)象也很難被現(xiàn)實(shí)世界的“空間形式”、“數(shù)學(xué)關(guān)系”所囊括了。其二，恩格斯只是從哲學(xué)的視角回答了數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的什么問(wèn)題，并沒(méi)有從內(nèi)部尋找數(shù)學(xué)的研究對(duì)象三、數(shù)學(xué)本質(zhì)的幾種描述性解釋1．?dāng)?shù)學(xué)是模式的科學(xué)．模式是某種事物的標(biāo)準(zhǔn)形式或使人可以照著做的標(biāo)準(zhǔn)形式。模式是一類事物或現(xiàn)象的共性抽象后的產(chǎn)物；模式強(qiáng)調(diào)的是形式上的規(guī)律，而非實(shí)質(zhì)性的規(guī)律。⑴數(shù)學(xué)概念是量化模式．“1”是抽象思維的產(chǎn)物，現(xiàn)實(shí)世界中并不真正存在作為數(shù)學(xué)研究對(duì)象“1”．“圓”的概念，現(xiàn)實(shí)生活中我們只能看到圓形的各種東西，如碗口的形狀、鍋和盆的邊緣、十五的月亮、圓形的車輪等，而數(shù)學(xué)中圓的定義“圓是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)作成的圖形”就是反映這類事物的一種標(biāo)準(zhǔn)形式．?dāng)?shù)學(xué)自萌芽時(shí)期起它的主要研究對(duì)象“數(shù)”和“形”都是表示“量的屬性”與“空間的屬性”的模式，即數(shù)學(xué)概念都可以看成是量化模式．⑵數(shù)學(xué)問(wèn)題也是模式．①某人有兩套西裝，三條不同顏色的領(lǐng)帶，問(wèn)共有幾種搭配；②有兩位軍官三名士兵，由一名軍官和一名士兵組成巡邏隊(duì)，問(wèn)共有多少種組成的方式．抽象后所反映的已不是某一特定事物或現(xiàn)象的量性特征，而是一類事物或現(xiàn)象在量的方面的特性，這種超越特殊對(duì)象而具有普遍意義的問(wèn)題就是一種量化模式。⑶數(shù)學(xué)中的定理、性質(zhì)、公式、運(yùn)算規(guī)律也是一種量化模式．從數(shù)學(xué)發(fā)展史來(lái)看，數(shù)學(xué)的歷史就是不斷的創(chuàng)造模式、研究模式、應(yīng)用模式的歷史，數(shù)學(xué)理論實(shí)際上是闡明了模式間的關(guān)系．因此，數(shù)學(xué)是模式的科學(xué)．2．?dāng)?shù)學(xué)是一種文化體系．文化是人類在社會(huì)歷史過(guò)程中所創(chuàng)造的物質(zhì)財(cái)富和精神財(cái)富的總和，特指精神財(cái)富.文化是人造之物,人造之物都是文化除了未經(jīng)改造的或者人化的自然環(huán)境外，凡人類創(chuàng)造出來(lái)可以通過(guò)學(xué)習(xí)獲得，可以通過(guò)各種信息媒介傳承于后世的一切物質(zhì)和非物質(zhì)產(chǎn)品都是文化文化是在人類文明的歷史長(zhǎng)河中，通過(guò)長(zhǎng)期的積累和沉淀而獨(dú)立出來(lái)，成為人類思想、行為的準(zhǔn)則，指導(dǎo)人們素質(zhì)教養(yǎng)提高，使人們?cè)诰窈推犯裆系玫缴A的精神財(cái)富。⑴數(shù)學(xué)雖源于現(xiàn)實(shí)世界，但它的研究對(duì)象并不是現(xiàn)實(shí)世界的真實(shí)物，是人類抽象思維的產(chǎn)物。數(shù)學(xué)是一種體現(xiàn)人類智慧的高層次的文化．自古以來(lái)世界上各民族把圓周率什么樣的近似值，看成是人類智慧達(dá)到的程度．?dāng)?shù)學(xué)是人造之物，是隨著人類文明的產(chǎn)生而產(chǎn)生，發(fā)展而發(fā)展，是“數(shù)”和“形”的各種規(guī)律長(zhǎng)期積累和沉淀而產(chǎn)生的產(chǎn)物。為何將數(shù)學(xué)看成是一種文化呢？⑵文化依賴于語(yǔ)言傳播，而數(shù)學(xué)語(yǔ)言源于人類自然語(yǔ)言，隨著數(shù)學(xué)抽象性和嚴(yán)格性的發(fā)展，逐步演變成相對(duì)獨(dú)立的數(shù)學(xué)語(yǔ)言體系．?dāng)?shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)對(duì)象或現(xiàn)象是精確、毫無(wú)歧義，不會(huì)引起人們認(rèn)識(shí)和理解的混亂，而且非常簡(jiǎn)潔、形式化、符號(hào)化，使得數(shù)學(xué)語(yǔ)言成為世界上所有民族的通用語(yǔ)言。⑶數(shù)學(xué)具有文化的三條準(zhǔn)則：相關(guān)性、相容性與大眾性．?dāng)?shù)學(xué)語(yǔ)言自然語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言圖形語(yǔ)言在科學(xué)高速發(fā)展的今天，知識(shí)的數(shù)學(xué)化越加明顯，一門學(xué)科只有達(dá)到能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)表達(dá)時(shí)才算是真正發(fā)展了，一項(xiàng)技術(shù)是否成熟的標(biāo)志便是數(shù)學(xué)化的程度．谷超豪先生說(shuō)：“現(xiàn)代高科技的核心便是數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)已成為人類理性文明高度的結(jié)晶”

數(shù)學(xué)不僅僅是一些演算的規(guī)則和變換的技巧，伴隨著數(shù)學(xué)發(fā)展而逐漸形成的數(shù)學(xué)思想方法能夠讓人們終身受益。數(shù)學(xué)文化的核心是數(shù)學(xué)的觀念、意識(shí)和思維方式，也就是人們常說(shuō)的數(shù)學(xué)頭腦。數(shù)學(xué)的素養(yǎng)是指推理意識(shí)、抽象意識(shí)、整體意識(shí)和化歸意識(shí)．國(guó)務(wù)院前總理溫家寶在北京35中的講話中說(shuō)：“我上學(xué)時(shí)最大的收獲在于邏輯思維訓(xùn)練，至今受益不淺。”推理意識(shí)體現(xiàn)了演繹邏輯推理的可靠性、嚴(yán)格性和思維方式的廣泛性、深刻性，這有助于人們不盲從、有條理、善思辨，在錯(cuò)綜復(fù)雜的問(wèn)題面前不被表面現(xiàn)象所迷惑，能夠透過(guò)現(xiàn)象洞察事物的本質(zhì)揭示相關(guān)之間的關(guān)系，在辦事處世時(shí)條理清晰能更有效地解決問(wèn)題；在普遍百姓的日常生活中都在自覺(jué)或不自覺(jué)、多或少地在應(yīng)用著數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)被人們用著衡量一個(gè)人文化素養(yǎng)的一把尺子。義務(wù)教育階段《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中將“人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展?！弊鳛槔砟钪弧Ｔ跀?shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)文化，其意義在于對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知的影響。數(shù)學(xué)教材中的數(shù)學(xué)知識(shí)都是經(jīng)過(guò)歷史大浪淘沙的洗滌，已成為人類思想、行為的準(zhǔn)則，指導(dǎo)人類素質(zhì)教養(yǎng)的提高，使人們?cè)诰窈推犯裆系玫缴A的東西，承載著厚重的歷史文化背景。3．?dāng)?shù)學(xué)的美學(xué)說(shuō)．美是人類自覺(jué)的感性形式，是人類本質(zhì)力量的感性表現(xiàn)．如果學(xué)生不了解數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的文化背景，只會(huì)把數(shù)學(xué)當(dāng)成枯燥無(wú)味的以解題為目的學(xué)科，慢慢地對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生厭倦和害怕情緒，從而影響學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和深入的思考；如果學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識(shí)的文化背景，受到數(shù)學(xué)文化的熏陶，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的文化品位，會(huì)提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，形成鍥而不舍的鉆研精神和科學(xué)態(tài)度，樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。數(shù)學(xué)教師是數(shù)學(xué)文化的傳播者羅素說(shuō)：“數(shù)學(xué)，如果正確地看待它，則不但擁有真理，而且還具有至高無(wú)上的美，這是一種雕塑式的冷而嚴(yán)肅的美，這種美不是投合我們天性的微弱的方面，這種美沒(méi)有繪畫或音樂(lè)的那些華麗的裝飾，它可以純凈到崇高的地步，能夠達(dá)到嚴(yán)格的只有偉大的藝術(shù)才能顯示是那種完美的境地，一種真實(shí)的喜悅的精神，一種精神上的亢奮，一種覺(jué)得高于人的意識(shí)——這些是至善至美的標(biāo)準(zhǔn)，能夠在詩(shī)里得到，也能夠在數(shù)學(xué)里找到”．畢達(dá)哥拉斯曾斷言“哪里有數(shù)，哪里就又美”．亞里思多德也說(shuō)過(guò)：“雖然數(shù)學(xué)沒(méi)有明顯地提到美，但數(shù)學(xué)與美并不是沒(méi)有關(guān)系的，因?yàn)槊赖男问骄褪侵刃颉蚍Q和確定性，這恰恰是數(shù)學(xué)研究的原則”．龐加勒說(shuō)：“感覺(jué)到數(shù)學(xué)的美，感覺(jué)到數(shù)與形的協(xié)調(diào)，感覺(jué)到幾何的優(yōu)雅，這是所有真正的數(shù)學(xué)家都清楚的真實(shí)的美的感覺(jué)．”

數(shù)學(xué)美不僅有表現(xiàn)的形式美，而且有結(jié)構(gòu)與整體美；不僅有語(yǔ)言精巧美，而且有方法美和思路美；不僅有邏輯抽象美，而且有創(chuàng)造美與應(yīng)用美．?dāng)?shù)學(xué)美是數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)力量的感性與理性的顯現(xiàn)，是一種人的本質(zhì)力量通過(guò)宜人的數(shù)學(xué)思維結(jié)構(gòu)的呈現(xiàn)，是一種真實(shí)的美，是反應(yīng)客觀世界并能動(dòng)地改造客觀世界的科學(xué)美。4．波利亞認(rèn)為，用歐幾里得提出來(lái)的數(shù)學(xué)看來(lái)卻像是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué)；但在創(chuàng)造過(guò)程中的數(shù)學(xué)看來(lái)卻像是一門實(shí)驗(yàn)性的歸納科學(xué)．?dāng)?shù)學(xué)中的結(jié)論往往是通過(guò)合情推理發(fā)現(xiàn)或發(fā)明后，進(jìn)而通過(guò)演繹推理證明它的可靠性和真實(shí)性，即數(shù)學(xué)具有雙重性，它既是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué)，又是一門實(shí)驗(yàn)性的歸納科學(xué)．從數(shù)學(xué)的學(xué)科結(jié)構(gòu)看，數(shù)學(xué)是模式；從數(shù)學(xué)的過(guò)程看，數(shù)學(xué)是推理與計(jì)算；從數(shù)學(xué)的表現(xiàn)形式看，數(shù)學(xué)是符號(hào)；從數(shù)學(xué)對(duì)人的指導(dǎo)看，數(shù)學(xué)是方法論；德國(guó)數(shù)學(xué)家漢克爾說(shuō)：“在大多數(shù)科學(xué)里，一代人要推倒另一代人所修筑的東西，一代人所樹立的另一代人要加以毀滅，只有數(shù)學(xué)，每一代人都能在舊建筑上增添一層樓”羅素在《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》一書中指出“數(shù)學(xué)與邏輯是同一的”。也就是說(shuō)，數(shù)學(xué)就是邏輯，或者是邏輯的另一個(gè)名字。法國(guó)數(shù)學(xué)家波萊爾說(shuō)“數(shù)學(xué)在很大程度上是一門藝術(shù)，它的發(fā)展總是起源于美學(xué)準(zhǔn)則，受其指導(dǎo)，據(jù)已評(píng)價(jià)的”從數(shù)學(xué)的價(jià)值看，數(shù)學(xué)是工具．也就是說(shuō)數(shù)學(xué)是一個(gè)多元化的綜合產(chǎn)物，很難用幾句話來(lái)下定義的。四、數(shù)學(xué)的特點(diǎn)數(shù)學(xué)經(jīng)過(guò)幾千年的不斷發(fā)展，形成了區(qū)別于其他科學(xué)的獨(dú)有特點(diǎn)，這就是數(shù)學(xué)的抽象性、嚴(yán)謹(jǐn)性（或精確性）和應(yīng)用的廣泛性．1．?dāng)?shù)學(xué)的抽象性．首先，數(shù)學(xué)的抽象只保留了事物的數(shù)量關(guān)系或者空間形式而舍棄了其它一切具體的質(zhì)的東西．其次，數(shù)學(xué)的抽象逐級(jí)上升達(dá)到的抽象程度遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)了自然科學(xué)中的一般抽象．再次，不僅數(shù)學(xué)的概念是抽象的，而數(shù)學(xué)方法本身也是抽象的．物理或化學(xué)家為了證明自己的理論，總是通過(guò)實(shí)驗(yàn)的方法；而數(shù)學(xué)家證明一個(gè)定理卻不能用實(shí)驗(yàn)的方法，必須用演繹推理和計(jì)算．2．?dāng)?shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性．?dāng)?shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性表現(xiàn)在數(shù)學(xué)定義的準(zhǔn)確性、推理的嚴(yán)密性以及數(shù)學(xué)結(jié)論的可靠性上．首先，數(shù)學(xué)概念的定義是用精練的文字語(yǔ)言或符號(hào)語(yǔ)言準(zhǔn)確揭示數(shù)學(xué)概念本質(zhì)屬性的，有時(shí)多一個(gè)字和少一個(gè)字都會(huì)使概念描述不準(zhǔn)．其次，數(shù)學(xué)命題的證明是通過(guò)一系列嚴(yán)格的演繹推理進(jìn)行的，而每一步推理都要合乎邏輯再次，數(shù)學(xué)的結(jié)論是通過(guò)證明，其真實(shí)性是確信無(wú)疑完全可靠的．當(dāng)然數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性不是絕對(duì)的3．應(yīng)用的廣泛性．首先，幾乎每時(shí)每刻人們?cè)谏a(chǎn)中、在日常生活中、在社會(huì)生活中都在運(yùn)用著數(shù)學(xué)，甚至未必意識(shí)到這就是數(shù)學(xué)問(wèn)題．其次，科學(xué)技術(shù)的發(fā)展離不開數(shù)學(xué)．海王星的發(fā)現(xiàn)太陽(yáng)系中的八大行星之一的海王星是在1846年在數(shù)學(xué)計(jì)算的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)的．把數(shù)學(xué)當(dāng)成詩(shī)來(lái)讀吧！此時(shí)，擺在我們面前的是一堆堆單調(diào)枯燥的公式就會(huì)變成一首首洋溢著優(yōu)美、和諧、充滿著精美、絕妙、浸透著對(duì)稱美的詩(shī)．當(dāng)你領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)世界的美時(shí)，你就掌握了阿里巴巴叫儲(chǔ)藏滿寶藏的山洞大門的神秘符咒，你就能探索其它科學(xué)的美了．再次，自然科學(xué)的發(fā)展離不開數(shù)學(xué)．第四節(jié)數(shù)學(xué)觀簡(jiǎn)介數(shù)學(xué)觀是指人們對(duì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)、發(fā)展以及數(shù)學(xué)的地位和作用的基本觀點(diǎn)和態(tài)度，是一個(gè)人內(nèi)心深處所持有的那種對(duì)數(shù)學(xué)的看法．一、數(shù)學(xué)觀的演變1．古代的數(shù)學(xué)觀．文藝復(fù)興以前存在著兩種截然不同的數(shù)學(xué)觀．一種是以古巴比倫、古埃及、中國(guó)為代表古代的東方數(shù)學(xué)觀把數(shù)學(xué)看作解決實(shí)際問(wèn)題的知識(shí)與技巧，重視數(shù)學(xué)的實(shí)用性、經(jīng)驗(yàn)性，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的算術(shù)、代數(shù)性質(zhì)，在這種思想觀念的影響下，人們認(rèn)為數(shù)學(xué)就是計(jì)算，對(duì)邏輯證明毫不在意．另一種是以古希臘為代表的數(shù)學(xué)觀把數(shù)學(xué)看作訓(xùn)練人的思維的工具，強(qiáng)調(diào)演繹證明，善于從幾個(gè)不加定義的概念、公理、公設(shè)出發(fā)，通過(guò)演繹推理，構(gòu)建幾何體系，歐幾里得的《幾何原本》就是在方面的杰出代表正是這種數(shù)學(xué)觀，為數(shù)學(xué)的發(fā)展指明了方向，為數(shù)學(xué)研究提供了方法．2．文藝復(fù)興時(shí)期的數(shù)學(xué)觀．文藝