初等數(shù)論在中學(xué)數(shù)學(xué)競賽中應(yīng)用

初等數(shù)論在中學(xué)數(shù)學(xué)競賽中應(yīng)用目錄選題背景主要內(nèi)容致謝132一、選題背景初等數(shù)論是研究整數(shù)的規(guī)律，特別是整數(shù)性質(zhì)的數(shù)學(xué)分支。它是數(shù)論的一個最古老的分支。它以算術(shù)方法為主要研究方法，主要內(nèi)容有整數(shù)的整除理論、同余理論和某些特殊不定方程。簡單的來說，初等數(shù)論就是用初等、樸素的方法研究數(shù)論。另外還有解析數(shù)論（用解析的方法研究數(shù)論）、代數(shù)數(shù)論（用代數(shù)結(jié)構(gòu)的方法研究數(shù)論）。初等數(shù)論應(yīng)用最廣泛的莫過于數(shù)學(xué)競賽了，它是數(shù)學(xué)競賽中最重要的一部分。例如歷年來“國際數(shù)學(xué)奧林匹克競賽（簡稱IMO）”、“希望杯”等。據(jù)不完全統(tǒng)計，初等數(shù)論在IMO中題目所占比例就有30%。由此可見，研究初等數(shù)論在中學(xué)數(shù)學(xué)競賽中的應(yīng)用是非常有必要的。在國內(nèi)，有很多學(xué)者對初等數(shù)論在中學(xué)數(shù)學(xué)競賽中的應(yīng)用進(jìn)行了研究，有針對初等數(shù)論的某一定理展開研究的，也有總結(jié)競賽中常用到的初等數(shù)論思想或是解題方法等等。但大都是針對某一定理在高中競賽中的應(yīng)用，很少有總結(jié)歸納數(shù)論知識對初中數(shù)學(xué)競賽的應(yīng)用。

研究現(xiàn)狀二、主要內(nèi)容1、整除理論及其應(yīng)用2、同余理論及其應(yīng)用3、不定方程及其應(yīng)用4、總結(jié)

1、整除理論及其應(yīng)用

初等數(shù)論是研究整數(shù)基本性質(zhì)的一門十分重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，由此而言，初等數(shù)論的基礎(chǔ)便是整除理論了。本章主要從整除、帶余數(shù)除法、最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)、高斯函數(shù)的基本定義以及其性質(zhì)出發(fā)，結(jié)合近幾年的中學(xué)數(shù)學(xué)競賽題來說明整除理論的應(yīng)用。2、同余理論及其應(yīng)用

本章先是對同余的概念及其基本性質(zhì)做了詳細(xì)的說明，然后簡單地介紹了孫子定理。在數(shù)學(xué)競賽中，同余的性質(zhì)應(yīng)用的非常廣泛，例如判斷一個數(shù)是不是平方數(shù)，求一些數(shù)的末兩位數(shù)是多少等等。在處理某些整除性、進(jìn)位制、對整數(shù)分類、解不定方程等方面的問題中同余的性質(zhì)有著不可替代的功能。3、不定方程及其應(yīng)用

每年世界各地的數(shù)學(xué)競賽中，不定方程都占有一席之地；另外它也是培養(yǎng)學(xué)生思維能力的好材料。本章主要介紹了一次不定方程和高次不定方程的應(yīng)用。

二元一次不定方程中主要介紹了競賽中不定方程求整數(shù)解的題型，再求特解的過程中，可以用觀察法、輾轉(zhuǎn)相除法或縮小系數(shù)等方法。

高次不定方程，根據(jù)其自身特點(diǎn)，運(yùn)用整除理論和有關(guān)初等數(shù)論的知識，可以有效地求解方程。常用的幾種高次不定方程的解法有：余數(shù)分析法、因式分解法、約數(shù)分析法、奇偶分析法、判別式法等等。本節(jié)通過競賽題簡單了介紹了幾種方法的使用。通過對本文的研究，可以看出初等數(shù)論的知識在競賽題中的重要性，在解題時要適當(dāng)運(yùn)用其定理和定義，才能更好地解決問題。需要注意的是在運(yùn)用初等數(shù)論知識中解題時常常蘊(yùn)涵了整體化、配對、化歸等數(shù)學(xué)思想方法。例如整除與帶余除法問題；整除與同余問題；不定方程與同余問題都可以等價化歸。有些競賽題更是需要多種數(shù)論方法，多種數(shù)學(xué)思想方法相互交織才能解答，這就要求我們必須要掌握一些初等數(shù)論的知識，才能在競賽題中靈活的應(yīng)用。4、總結(jié)在此處添加文章正文，根據(jù)需要調(diào)整字體、字號、顏色。按回車鍵分段，并添加項目符號。在此處添加文章正文，根據(jù)需要調(diào)整字體、字號、顏色。按回車鍵分段，并添加項目符號。在此處添加文章正文，根據(jù)需要調(diào)整字體、字號、顏色。按回車鍵分段，并添加項目符號。此處添加文稿標(biāo)題致謝