貴州省貴陽(yáng)市示范名校2022年高考仿真卷數(shù)學(xué)試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在中，在邊上滿(mǎn)足，為的中點(diǎn)，則（）.A． B． C． D．2．已知是虛數(shù)單位，若，則（）A． B．2 C． D．103．在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，a5-a1=15，a4-a2=6，則a3=（）A．2 B．4 C． D．84．已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是①函數(shù)的最小正周期為；②函數(shù)的圖象是軸對(duì)稱(chēng)圖形；③函數(shù)的極大值為；④函數(shù)的最小值為．A．①③ B．②④C．②③ D．②③④5．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則可以為（）A． B． C． D．6．若為過(guò)橢圓中心的弦，為橢圓的焦點(diǎn)，則△面積的最大值為（）A．20 B．30 C．50 D．607．已知，滿(mǎn)足，且的最大值是最小值的4倍，則的值是（）A．4 B． C． D．8．已知集合，則=A． B． C． D．9．已知向量滿(mǎn)足,且與的夾角為,則()A． B． C． D．10．函數(shù)（）的圖象的大致形狀是（）A． B． C． D．11．要得到函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像，只需將的圖像（）A．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把各點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把各點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍D．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍12．如圖所示，直三棱柱的高為4，底面邊長(zhǎng)分別是5，12，13，當(dāng)球與上底面三條棱都相切時(shí)球心到下底面距離為8，則球的體積為()A．1605π3 B．642二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知定義在上的函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng),,若函數(shù)圖象與函數(shù)圖象的交點(diǎn)為,則_____．14．某中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽培訓(xùn)班共有10人，分為甲、乙兩個(gè)小組，在一次階段測(cè)試中兩個(gè)小組成績(jī)的莖葉圖如圖所示，若甲組5名同學(xué)成績(jī)的平均數(shù)為81，乙組5名同學(xué)成績(jī)的中位數(shù)為73，則x-y的值為_(kāi)_______．15．一個(gè)袋中裝著標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5的小球各2個(gè)，從中任意摸取3個(gè)小球，每個(gè)小球被取出的可能性相等，則取出的3個(gè)小球中數(shù)字最大的為4的概率是__．16．設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，．若，，，則_____________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，∠，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，，為線段的中點(diǎn)．（1）求證：平面平面；（2）若為線段上一點(diǎn)，當(dāng)二面角的余弦值為時(shí)，求三棱錐的體積．18．（12分）已知數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，滿(mǎn)足，且成等差數(shù)列.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿(mǎn)足，求的值.19．（12分）已知橢圓的右頂點(diǎn)為，點(diǎn)在軸上，線段與橢圓的交點(diǎn)在第一象限，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相切，且直線交軸于.設(shè)過(guò)點(diǎn)且平行于直線的直線交軸于點(diǎn).（Ⅰ）當(dāng)為線段的中點(diǎn)時(shí)，求直線的方程；（Ⅱ）記的面積為，的面積為，求的最小值.20．（12分）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，直線被稱(chēng)作為橢圓的一條準(zhǔn)線，點(diǎn)在橢圓上(異于橢圓左、右頂點(diǎn))，過(guò)點(diǎn)作直線與橢圓相切，且與直線相交于點(diǎn).（1）求證：.（2）若點(diǎn)在軸的上方，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求直線的斜率.附：多項(xiàng)式因式分解公式：21．（12分）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)的直線與交于兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．（1）當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，求線段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)；（2）設(shè)點(diǎn)A關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C，求證：M，B，C三點(diǎn)共線；（3）設(shè)過(guò)點(diǎn)M的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)P，使得（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)的取值范圍．22．（10分）已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，證明，在恒成立；（2）若在處取得極大值，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．B【解析】

由，可得，，再將代入即可.【詳解】因?yàn)?，所以，?故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的線性運(yùn)算性質(zhì)以及平面向量基本定理的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題.2．C【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)模的性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，所以，，故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)模的定義及復(fù)數(shù)模的性質(zhì)，屬于容易題.3．B【解析】

根據(jù)題意得到，，解得答案.【詳解】，，解得或（舍去）.故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.4．D【解析】

因?yàn)?，所以①不正確；因?yàn)?，所以，，所以，所以函?shù)的圖象是軸對(duì)稱(chēng)圖形，②正確；易知函數(shù)的最小正周期為，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，所以只需研究函數(shù)在上的極大值與最小值即可．當(dāng)時(shí)，，且，令，得，可知函數(shù)在處取得極大值為，③正確；因?yàn)椋?，所以函?shù)的最小值為，④正確．故選D．5．A【解析】

根據(jù)圖象可知，函數(shù)為奇函數(shù)，以及函數(shù)在上單調(diào)遞增，且有一個(gè)零點(diǎn)，即可對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)驗(yàn)證即可得出．【詳解】首先對(duì)4個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行奇偶性判斷，可知，為偶函數(shù)，不符合題意，排除B；其次，在剩下的3個(gè)選項(xiàng),對(duì)其在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)進(jìn)行判斷,在上無(wú)零點(diǎn),不符合題意，排除D；然后,對(duì)剩下的2個(gè)選項(xiàng),進(jìn)行單調(diào)性判斷,在上單調(diào)遞減,不符合題意，排除C.故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查圖象的識(shí)別和函數(shù)性質(zhì)的判斷，意在考查學(xué)生的直觀想象能力和邏輯推理能力，屬于容易題．6．D【解析】

先設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可得，在表示出面積，由圖象遏制，當(dāng)點(diǎn)A在橢圓的頂點(diǎn)時(shí)，此時(shí)面積最大，再結(jié)合橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求解.【詳解】由題意，設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可得，則的面積為，當(dāng)最大時(shí)，的面積最大，由圖象可知，當(dāng)點(diǎn)A在橢圓的上下頂點(diǎn)時(shí)，此時(shí)的面積最大，又由，可得橢圓的上下頂點(diǎn)坐標(biāo)為，所以的面積的最大值為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)，以及三角形面積公式的應(yīng)用，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.7．D【解析】試題分析：先畫(huà)出可行域如圖：由，得，由，得，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，最大值為3；當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最小值，最小值為3a；由條件得，所以，故選D.考點(diǎn)：線性規(guī)劃.8．C【解析】

本題考查集合的交集和一元二次不等式的解法，滲透了數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．采取數(shù)軸法，利用數(shù)形結(jié)合的思想解題．【詳解】由題意得，，則．故選C．【點(diǎn)睛】不能領(lǐng)會(huì)交集的含義易致誤，區(qū)分交集與并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．9．A【解析】

根據(jù)向量的運(yùn)算法則展開(kāi)后利用數(shù)量積的性質(zhì)即可.【詳解】.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)量積的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.10．C【解析】

對(duì)x分類(lèi)討論，去掉絕對(duì)值，即可作出圖象.【詳解】故選C．【點(diǎn)睛】識(shí)圖常用的方法(1)定性分析法：通過(guò)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行定性的分析，從而得出圖象的上升(或下降)的趨勢(shì)，利用這一特征分析解決問(wèn)題；(2)定量計(jì)算法：通過(guò)定量的計(jì)算來(lái)分析解決問(wèn)題；(3)函數(shù)模型法：由所提供的圖象特征，聯(lián)想相關(guān)函數(shù)模型，利用這一函數(shù)模型來(lái)分析解決問(wèn)題．11．D【解析】

先求得，再根據(jù)三角函數(shù)圖像變換的知識(shí)，選出正確選項(xiàng).【詳解】依題意，所以由向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍得到的圖像.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，考查誘導(dǎo)公式，考查三角函數(shù)圖像變換，屬于基礎(chǔ)題.12．A【解析】

設(shè)球心為O，三棱柱的上底面ΔA1B1C1的內(nèi)切圓的圓心為O1，該圓與邊B【詳解】如圖，設(shè)三棱柱為ABC-A1B1C所以底面ΔA1B1C1為斜邊是A1C1則圓O1的半徑為O設(shè)球心為O，則由球的幾何知識(shí)得ΔOO1M所以O(shè)M=2即球O的半徑為25所以球O的體積為43故選A．【點(diǎn)睛】本題考查與球有關(guān)的組合體的問(wèn)題，解答本題的關(guān)鍵有兩個(gè)：（1）構(gòu)造以球半徑R、球心到小圓圓心的距離d和小圓半徑r為三邊的直角三角形，并在此三角形內(nèi)求出球的半徑，這是解決與球有關(guān)的問(wèn)題時(shí)常用的方法．（2）若直角三角形的兩直角邊為a,b，斜邊為c，則該直角三角形內(nèi)切圓的半徑r=a+b-c二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．4038.【解析】

由函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性得：函數(shù)圖象與函數(shù)圖象的交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則，,即，得解．【詳解】由知：得函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)又函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)則函數(shù)圖象與函數(shù)圖象的交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)則故，即本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性來(lái)求值的問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠根據(jù)函數(shù)解析式判斷出函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心，屬中檔題．14．【解析】

根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，結(jié)合平均數(shù)與中位數(shù)的概念，求出x、y的值.【詳解】根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，得：甲班5名同學(xué)成績(jī)的平均數(shù)為，解得；又乙班5名同學(xué)的中位數(shù)為73，則；.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查莖葉圖及根據(jù)莖葉圖計(jì)算中位數(shù)、平均數(shù)，考查數(shù)據(jù)分析能力，屬于簡(jiǎn)單題.15．【解析】

由題，得滿(mǎn)足題目要求的情況有，①有一個(gè)數(shù)字4，另外兩個(gè)數(shù)字從1，2，3里面選和②有兩個(gè)數(shù)字4，另外一個(gè)數(shù)字從1，2，3里面選，由此即可得到本題答案.【詳解】滿(mǎn)足題目要求的情況可以分成2大類(lèi)：①有一個(gè)數(shù)字4，另外兩個(gè)數(shù)字從1，2，3里面選，一共有種情況；②有兩個(gè)數(shù)字4，另外一個(gè)數(shù)字從1，2，3里面選，一共有種情況，又從中任意摸取3個(gè)小球，有種情況，所以取出的3個(gè)小球中數(shù)字最大的為4的概率.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型與組合的綜合問(wèn)題，考查學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.16．或【解析】試題分析：由，則可運(yùn)用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系：，已知兩邊及其對(duì)角，求角．用正弦定理；，則；可得．考點(diǎn)：運(yùn)用正弦定理解三角形．（注意多解的情況判斷）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（1）見(jiàn)解析；（2）.【解析】

（1）先證明，可證平面，再由可證平面，即得證；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求解面的法向量，面的法向量，利用二面角的余弦值為，可求解，轉(zhuǎn)化即得解.【詳解】（1）證明：因?yàn)槭钦切?，為線段的中點(diǎn)，所以．因?yàn)槭橇庑?，所以．因?yàn)?，所以是正三角形，所以，所以平面．又，所以平面．因?yàn)槠矫?，所以平面平面．?）由（1）知平面，所以，．而，所以，．又，所以平面．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．則．于是，，．設(shè)面的一個(gè)法向量，由得令，則，即．設(shè)，易得，．設(shè)面的一個(gè)法向量，由得令，則，，即．依題意，即，令，則，即，即．所以．【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量和立體幾何綜合，考查了面面垂直的判斷，二面角的向量求解，三棱錐的體積等知識(shí)點(diǎn)，考查了學(xué)生空間想象，邏輯推理，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.18．（1）（2）【解析】

（1）由公比表示出，由成等差數(shù)列可求得，從而數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求（1）得，然后對(duì)和式兩兩并項(xiàng)后利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式可求解．【詳解】（1）∵是等比數(shù)列，且成等差數(shù)列∴，即∴，解得：或∵，∴∵∴（2）∵∴【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查并項(xiàng)求和法及等差數(shù)列的項(xiàng)和公式．本題求數(shù)列通項(xiàng)公式所用方法為基本量法，求和是用并項(xiàng)求和法．?dāng)?shù)列的求和除公式法外，還有錯(cuò)位相關(guān)法、裂項(xiàng)相消法、分組（并項(xiàng)）求和法等等．19．（Ⅰ）直線的方程為（Ⅱ）【解析】

（1）設(shè)點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式表示點(diǎn)B，并代入橢圓方程解得，從而求出直線的方程；（2）設(shè)直線的方程為：，表示點(diǎn)，然后聯(lián)立方程，利用相切得出，然后求出切點(diǎn)，再設(shè)出設(shè)直線的方程，求出點(diǎn)，利用兩點(diǎn)坐標(biāo)，求出直線的方程，從而求出，最后利用以上已求點(diǎn)的坐標(biāo)表示面積，根據(jù)基本不等式求最值即可.【詳解】解：（Ⅰ）由橢圓，可得：由題意：設(shè)點(diǎn)，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，可得：代入橢圓方程，可得：所以：所以.故直線的方程為.（Ⅱ）由題意，直線的斜率存在且不為0，故設(shè)直線的方程為：令，得：，所以：.聯(lián)立：，消，整理得：.因?yàn)橹本€與橢圓相切，所以.即.設(shè)，則，，所以.又直線直線，所以設(shè)直線的方程為：.令，得，所以：.因?yàn)椋灾本€的方程為：.令，得，所以：.所以.又因?yàn)?.所以（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立）所以.【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查直線方程以及求橢圓中的最值問(wèn)題，最值問(wèn)題一般是把目標(biāo)式求出，結(jié)合目標(biāo)式特點(diǎn)選用合適的方法求解，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)，本題利用了基本不等式求最小值的方法，運(yùn)算量較大，屬于難題.20．（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】

（1）由得令可得，進(jìn)而得到，同理，利用數(shù)量積坐標(biāo)計(jì)算即可；（2），分，兩種情況討論即可.【詳解】（1）證明：點(diǎn)的坐標(biāo)為.聯(lián)立方程，消去后整理為有，可得，，.可得點(diǎn)的坐標(biāo)為.當(dāng)時(shí)，可求得點(diǎn)的坐標(biāo)為，，.有,故有.（2）若點(diǎn)在軸上方，因?yàn)?，所以有，由?）知①因?yàn)闀r(shí).由（1）知，由函數(shù)單調(diào)遞增，可得此時(shí).②當(dāng)時(shí)，由（1）知令由，故當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，又由，故函數(shù)的最小值，函數(shù)取最小值時(shí)，可求得.由①②知，若點(diǎn)在軸上方，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，直線的斜率為.【點(diǎn)睛】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，涉及到分類(lèi)討論求函數(shù)的最值，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，是一道難題.21．(1)AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為；（2）證明見(jiàn)解析；（3）【解析】

設(shè).（1）因?yàn)橹本€的傾斜角