福建省泉州市南安市第一中學2021-2022學年高三3月份模擬考試數(shù)學試題含解析

2021-2022高考數(shù)學模擬試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．下列四個圖象可能是函數(shù)圖象的是（）A． B． C． D．2．已知函數(shù)，若，則a的取值范圍為（）A． B． C． D．3．若復數(shù)滿足,則()A． B． C． D．4．下圖所示函數(shù)圖象經(jīng)過何種變換可以得到的圖象（）A．向左平移個單位 B．向右平移個單位C．向左平移個單位 D．向右平移個單位5．已知函數(shù),則方程的實數(shù)根的個數(shù)是（）A． B． C． D．6．在中，角、、的對邊分別為、、，若，，，則（）A． B． C． D．7．已知直線是曲線的切線，則（）A．或1 B．或2 C．或 D．或18．復數(shù)滿足為虛數(shù)單位)，則的虛部為（）A． B． C． D．9．已知雙曲線的一個焦點為，點是的一條漸近線上關于原點對稱的兩點，以為直徑的圓過且交的左支于兩點，若，的面積為8，則的漸近線方程為（）A． B．C． D．10．在聲學中，聲強級（單位：）由公式給出，其中為聲強（單位：）.，，那么（）A． B． C． D．11．若，則下列關系式正確的個數(shù)是（）①②③④A．1 B．2 C．3 D．412．根據(jù)如圖所示的程序框圖，當輸入的值為3時，輸出的值等于（）A．1 B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線的焦點為，直線與拋物線相切于點，是上一點(不與重合)，若以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過，則點到拋物線頂點的距離的最小值是__________.14．已知平行于軸的直線與雙曲線：的兩條漸近線分別交于，兩點，為坐標原點，若為等邊三角形，則雙曲線的離心率為______.15．已知函數(shù)在處的切線與直線平行，則為________.16．曲線y＝e－5x＋2在點(0，3)處的切線方程為________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）為提供市民的健身素質，某市把四個籃球館全部轉為免費民用（1）在一次全民健身活動中，四個籃球館的使用場數(shù)如圖，用分層抽樣的方法從四場館的使用場數(shù)中依次抽取共25場，在中隨機取兩數(shù)，求這兩數(shù)和的分布列和數(shù)學期望；（2）設四個籃球館一個月內各館使用次數(shù)之和為，其相應維修費用為元，根據(jù)統(tǒng)計，得到如下表的數(shù)據(jù)：x10152025303540y100001176113010139801477115440160202.993.494.054.504.995.495.99①用最小二乘法求與的回歸直線方程；②叫做籃球館月惠值，根據(jù)①的結論，試估計這四個籃球館月惠值最大時的值參考數(shù)據(jù)和公式：，18．（12分）已知函數(shù)，．（1）求曲線在點處的切線方程；（2）求函數(shù)的極小值；（3）求函數(shù)的零點個數(shù)．19．（12分）已知函數(shù)是減函數(shù).（1）試確定a的值；（2）已知數(shù)列，求證：.20．（12分）設函數(shù)，，其中，為正實數(shù).（1）若的圖象總在函數(shù)的圖象的下方，求實數(shù)的取值范圍；（2）設，證明：對任意，都有.21．（12分）在平面直角坐標系xOy中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以平面直角坐標系的原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為．（1）求曲線的極坐標方程；（2）設和交點的交點為，求的面積．22．（10分）已知（1）當時，判斷函數(shù)的極值點的個數(shù)；（2）記，若存在實數(shù)，使直線與函數(shù)的圖象交于不同的兩點，求證：．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【解析】

首先求出函數(shù)的定義域，其函數(shù)圖象可由的圖象沿軸向左平移1個單位而得到，因為為奇函數(shù)，即可得到函數(shù)圖象關于對稱，即可排除A、D，再根據(jù)時函數(shù)值，排除B，即可得解.【詳解】∵的定義域為，其圖象可由的圖象沿軸向左平移1個單位而得到，∵為奇函數(shù)，圖象關于原點對稱，∴的圖象關于點成中心對稱.可排除A、D項.當時，，∴B項不正確.故選：C【點睛】本題考查函數(shù)的性質與識圖能力，一般根據(jù)四個選擇項來判斷對應的函數(shù)性質，即可排除三個不符的選項，屬于中檔題.2．C【解析】

求出函數(shù)定義域，在定義域內確定函數(shù)的單調性，利用單調性解不等式．【詳解】由得，在時，是增函數(shù)，是增函數(shù)，是增函數(shù)，∴是增函數(shù)，∴由得，解得．故選：C.【點睛】本題考查函數(shù)的單調性，考查解函數(shù)不等式，解題關鍵是確定函數(shù)的單調性，解題時可先確定函數(shù)定義域，在定義域內求解．3．C【解析】

把已知等式變形，利用復數(shù)代數(shù)形式的除法運算化簡，再由復數(shù)模的計算公式求解．【詳解】解：由，得，∴．故選C．【點睛】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復數(shù)模的求法，是基礎題．4．D【解析】

根據(jù)函數(shù)圖像得到函數(shù)的一個解析式為，再根據(jù)平移法則得到答案.【詳解】設函數(shù)解析式為，根據(jù)圖像：，，故，即，，，取，得到，函數(shù)向右平移個單位得到.故選：.【點睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)圖像求函數(shù)解析式，三角函數(shù)平移，意在考查學生對于三角函數(shù)知識的綜合應用.5．D【解析】

畫出函數(shù),將方程看作交點個數(shù)，運用圖象判斷根的個數(shù)．【詳解】畫出函數(shù)令有兩解，則分別有3個，2個解，故方程的實數(shù)根的個數(shù)是3+2=5個故選：D【點睛】本題綜合考查了函數(shù)的圖象的運用，分類思想的運用，數(shù)學結合的思想判斷方程的根，難度較大，屬于中檔題．6．B【解析】

利用兩角差的正弦公式和邊角互化思想可求得，可得出，然后利用余弦定理求出的值，最后利用正弦定理可求出的值.【詳解】，即，即，，，得，，.由余弦定理得，由正弦定理，因此，.故選：B.【點睛】本題考查三角形中角的正弦值的計算，考查兩角差的正弦公式、邊角互化思想、余弦定理與正弦定理的應用，考查運算求解能力，屬于中等題.7．D【解析】

求得直線的斜率，利用曲線的導數(shù)，求得切點坐標，代入直線方程，求得的值.【詳解】直線的斜率為，對于，令，解得，故切點為，代入直線方程得，解得或1.故選：D【點睛】本小題主要考查根據(jù)切線方程求參數(shù)，屬于基礎題.8．C【解析】

，分子分母同乘以分母的共軛復數(shù)即可.【詳解】由已知，，故的虛部為.故選：C.【點睛】本題考查復數(shù)的除法運算，考查學生的基本運算能力，是一道基礎題.9．B【解析】

由雙曲線的對稱性可得即，又，從而可得的漸近線方程.【詳解】設雙曲線的另一個焦點為，由雙曲線的對稱性，四邊形是矩形，所以，即，由，得：，所以，所以，所以，，所以，的漸近線方程為.故選B【點睛】本題考查雙曲線的簡單幾何性質，考查直線與圓的位置關系，考查數(shù)形結合思想與計算能力，屬于中檔題.10．D【解析】

由得，分別算出和的值，從而得到的值.【詳解】∵，∴，∴，當時，，∴，當時，，∴，∴，故選：D.【點睛】本小題主要考查對數(shù)運算，屬于基礎題.11．D【解析】

a，b可看成是與和交點的橫坐標，畫出圖象，數(shù)形結合處理.【詳解】令，，作出圖象如圖，由，的圖象可知，，，②正確；，，有，①正確；，，有，③正確；，，有，④正確.故選：D.【點睛】本題考查利用函數(shù)圖象比較大小，考查學生數(shù)形結合的思想，是一道中檔題.12．C【解析】

根據(jù)程序圖，當x<0時結束對x的計算，可得y值．【詳解】由題x=3，x=x-2=3-1，此時x>0繼續(xù)運行，x=1-2=-1<0，程序運行結束，得，故選C．【點睛】本題考查程序框圖，是基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

根據(jù)拋物線，不妨設，取，通過求導得，，再根據(jù)以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過，則，得到，兩式聯(lián)立，求得點N的軌跡，再求解最值.【詳解】因為拋物線，不妨設，取，所以，即，所以，因為以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過，所以，所以，所以，由，解得，所以點在直線上，所以當時，最小，最小值為.故答案為：2【點睛】本題主要考查直線與拋物線的位置關系直線的交軌問題，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.14．2【解析】

根據(jù)為等邊三角形建立的關系式，從而可求離心率.【詳解】據(jù)題設分析知，，所以，得，所以雙曲線的離心率.【點睛】本題主要考查雙曲線的離心率的求解，根據(jù)條件建立之間的關系式是求解的關鍵，側重考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).15．【解析】

根據(jù)題意得出，由此可得出實數(shù)的值.【詳解】，，直線的斜率為，由于函數(shù)在處的切線與直線平行，則.故答案為：.【點睛】本題考查利用函數(shù)的切線與直線平行求參數(shù)，解題時要結合兩直線的位置關系得出兩直線斜率之間的關系，考查計算能力，屬于基礎題.16．.【解析】

先利用導數(shù)求切線的斜率，再寫出切線方程.【詳解】因為y′＝－5e－5x，所以切線的斜率k＝－5e0＝－5，所以切線方程是：y－3＝－5(x－0)，即y＝－5x＋3.故答案為y＝－5x＋3.【點睛】(1)本題主要考查導數(shù)的幾何意義和函數(shù)的求導，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)函數(shù)在點處的導數(shù)是曲線在處的切線的斜率，相應的切線方程是三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）見解析，12.5（2）①②20【解析】

(1)運用分層抽樣，結合總場次為100，可求得的值，再運用古典概型的概率計算公式可求解果;(2)①由公式可計算的值，進而可求與的回歸直線方程；②求出，再對函數(shù)求導，結合單調性，可估計這四個籃球館月惠值最大時的值.【詳解】解：（1）抽樣比為，所以分別是，6，7，8，5所以兩數(shù)之和所有可能取值是：10，12，13，15，，，所以分布列為期望為（2）因為所以，，；②，設，所以當遞增，當遞減所以約惠值最大值時的值為20【點睛】本題考查直方圖的實際應用，涉及求概率，平均數(shù)、擬合直線和導數(shù)等問題，關鍵是要讀懂題意，屬于中檔題.18．（1）；（2）極小值；（3）函數(shù)的零點個數(shù)為．【解析】

（1）求出和的值，利用點斜式可得出所求切線的方程；（2）利用導數(shù)分析函數(shù)的單調性，進而可得出該函數(shù)的極小值；（3）由當時，以及，結合函數(shù)在區(qū)間上的單調性可得出函數(shù)的零點個數(shù).【詳解】（1）因為，所以．所以，．所以曲線在點處的切線為；（2）因為，令，得或．列表如下：0極大值極小值所以，函數(shù)的單調遞增區(qū)間為和，單調遞減區(qū)間為，所以，當時，函數(shù)有極小值；（3）當時，，且．由（2）可知，函數(shù)在上單調遞增，所以函數(shù)的零點個數(shù)為．【點睛】本題考查利用導數(shù)求函數(shù)的切線方程、極值以及利用導數(shù)研究函數(shù)的零點問題，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.19．（Ⅰ）（Ⅱ）見證明【解析】

（Ⅰ）求導得，由是減函數(shù)得，對任意的，都有恒成立，構造函數(shù)，通過求導判斷它的單調性，令其最大值小于等于0，即可求出；（Ⅱ）由是減函數(shù)，且可得，當時，，則，即，兩邊同除以得，，即，從而，兩邊取對數(shù)，然后再證明恒成立即可，構造函數(shù)，，通過求導證明即可．【詳解】解：（Ⅰ）的定義域為，.由是減函數(shù)得，對任意的，都有恒成立.設.∵，由知，∴當時，；當時，，∴在上單調遞增，在上單調遞減，∴在時取得最大值.又∵，∴對任意的，恒成立，即的最大值為.∴，解得.（Ⅱ）由是減函數(shù)，且可得，當時，，∴，即.兩邊同除以得，，即.從而，所以①.下面證；記，.∴，∵在上單調遞增，∴在上單調遞減，而，∴當時，恒成立，∴在上單調遞減，即時，，∴當時，.∵，∴當時，，即②.綜上①②可得，.【點睛】本題考查了導數(shù)與函數(shù)的單調性的關系，考查了函數(shù)的最值，考查了構造函數(shù)的能力，考查了邏輯推理能力與計算求解能力，屬于難題．，20．（1）（2）證明見解析【解析】

(1)據(jù)題意可得在區(qū)間上恒成立，利用導數(shù)討論函數(shù)的單調性，從而求出滿足不等式的的取值范圍；(2)不等式整理為，由(1)可知當時，，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性從而證明在區(qū)間上成立，從而證明對任意，都有.【詳解】（1）解：因為函數(shù)的圖象恒在的圖象的下方，所以在區(qū)間上恒成立.設，其中，所以，其中，.①當，即時，，所以函數(shù)在上單調遞增，，故成立，滿足題意.②當，即時，設，則圖象的對稱軸，，，所以在上存在唯一實根，設為，則，，，所以在上單調遞減，此時，不合題意.綜上可得，實數(shù)的取值范圍是.（2）證明：由題意得，因為當時，，，所以.令，則，所以在上單調遞增，，即，所以，從而.由（1）知當時，在上恒成立，整理得.令，則要證，只需證.因為，所以在上單調遞增，所以，即在上恒成立.綜上可得，對任意，都有成立.【點睛】本題考查導數(shù)在研究函數(shù)中的作用，利用導數(shù)判斷函數(shù)單調性與求函數(shù)最值，利用導數(shù)證明不等式，屬于難題.21．（1）；（2）【解析】

（1）先將曲線的參數(shù)方程化為普通方程，再將普通方程化為極坐標方程即可.（2）將和的極坐標方程聯(lián)立，求得兩個曲線交點的極坐標，即可由極坐標的含義求得的面積.【詳解】（1）曲線的參數(shù)方程為（α為參數(shù)），消去參數(shù)的的直角坐標方程為．所以的極坐標方程為（2）解方程組，得到．所以，則或（）．當（）時，，當（）時，．所以和的交點極坐標為：,.所以．故的面積為．【點睛】本題考查了參數(shù)方程與普通方程的轉化，直角坐標方程與極坐標的轉化，利用極坐標求三角形面積，屬于中檔