【講座】高中數(shù)學概念教學分析與思考

高中數(shù)學概念教學的分析與思考幾個基本的問題：

1．數(shù)學課堂教學教什么?

什么是核心概念的問題？

2．問題診斷：通過問題診斷，針對核心概念、概念、定理課堂教學中出現(xiàn)的疑難問題進行有效的剖析指導。

3．案例分析：明確數(shù)學教學目標，使教學措施有的放矢，做到心中有數(shù)；能有效的發(fā)現(xiàn)、分析和解決教學問題的方法，針對不同問題，采取合適的教學方法、策略和模式。

第一部分：研究的緣起，及研究內(nèi)容：第二部分：數(shù)學核心概念的理論探討第三部分：高中數(shù)學課程核心概念的探討第四部分：數(shù)學核心概念教學探討借鑒：傳統(tǒng)概念教學模式體現(xiàn)數(shù)學核心概念特征的教學操作模式（1）操作階段——概念的引入；（2）過程階段——概念的抽象概括（3）對象階段——概念的鞏固與深化（4）概型階段——概念的運用。第五：數(shù)學核心概念教學案例通過對其聯(lián)系性、奠基性、豐富性特征的教學準備分析，并以數(shù)學核心概念教學操作模式為基礎，展開相關的教學過程分析。一.我們現(xiàn)在面臨的現(xiàn)實是什么？課改在前進要解決的問題很多：新課程提倡的理念很難準確把握新教材的改革設計難適應教學方式、學習方式的變革難跟上課程改革與考試評價制度的改革不配套。。。。。二.教學方面的問題課堂教學抓不住數(shù)學概念的核心，沒有前后一致、貫穿始終的數(shù)學思想主線，在學生沒有基本了解數(shù)學概念和思想方法時就進行大量解題操練，導致教學缺乏必要的根基，教學活動不得要領，在無關大局的細枝末節(jié)上耗費學生的寶貴時間，數(shù)學課堂中無效益無質(zhì)量。學生題目做了千千萬，效果甚微。數(shù)學教學的質(zhì)量沒有隨著課改而改變，而是越來越使得問題嚴重。三。教師方面的問題分析教師對數(shù)學課程、教材的體系結構、內(nèi)容及其組織方式把握不準，特別是對中學數(shù)學核心概念和思想方法的體系結構缺乏必要的了解

只能抽象籠統(tǒng)地描述數(shù)學教學目標，導致教學措施無的放矢，對是否已經(jīng)達成教學目標心中無數(shù)對自己設計的教學方案不能取得預期效果，不能從設計層面給出令人信服的解釋，往往只把問題歸咎于教學系統(tǒng)的復雜性缺乏有效的發(fā)現(xiàn)、分析和解決教學問題的方法，往往感到教學問題的存在而不知其存在，或者發(fā)現(xiàn)了問題而找不到原因，甚至發(fā)現(xiàn)了問題及其根源但找不出解決問題的有效方法。四.努力的方向---專業(yè)化數(shù)學學科的專業(yè)素養(yǎng)有較好的數(shù)學功底能準確理解數(shù)學思想懂得數(shù)學知識對學生的發(fā)展具有根本的重要性具有揭示數(shù)學知識所隱含的科學方法和理性思維過程的能力和“技術”。。。。。。教育學科的專業(yè)素養(yǎng)一個人的可持續(xù)發(fā)展：不僅要有扎實的雙基，而且要有積極的生活態(tài)度、主動發(fā)展的需求、終身學習的愿望、熱情、能力和堅持性、健康向上的人生觀和價值觀。教師在這些方面對學生的影響力，就是教師的教育學科專業(yè)素養(yǎng)的最重要指標。“兩個素養(yǎng)”的結合善于抓住數(shù)學的核心概念和思想方法，懂得削枝強干；方法多樣、有趣味、少而精；能有效激發(fā)學生的學習興趣，發(fā)揮學生學習的主動性、積極性，使學生有效學習、主動發(fā)展，使他們不僅學業(yè)成就得到提高，而且發(fā)展均衡。五、數(shù)學課堂教學——教什么？構建反映數(shù)學內(nèi)在發(fā)展邏輯、符合學生數(shù)學認知規(guī)律的中學數(shù)學核心概念、思想方法結構體系，使核心概念、思想方法在數(shù)學課堂中得到落實，是提高教學質(zhì)量和效益的突破口，同時也是教學改革的抓手，因為使學生真正領會和把握數(shù)學概念的核心，領悟概念所反映的數(shù)學思想方法，學會數(shù)學地思維，才能形成功能強大的數(shù)學認知結構，切實發(fā)展數(shù)學能力，提高數(shù)學素養(yǎng)。六、基于概念的核心、思想方法的教學設計框架1.教學設計的基本線索概念及其解析（概念的核心）目標和目標解析教學問題診斷（達成目標已有條件和需要的新條件的分析）教學過程設計目標檢測的設計2.概念和概念解析概念：內(nèi)涵和外延的準確表達概念解析：重點是在揭示內(nèi)涵的基礎上說明概念的核心之所在；對概念在中學數(shù)學中的地位的分析，對內(nèi)容所反映的思想方法的明確。在此基礎上確定教學重點。3.目標和目標解析目標是教學目的的具體化，是教學活動每一階段所要實現(xiàn)的教學結果，是衡量教學質(zhì)量的標準目標：用了解。。。及行為動詞經(jīng)歷。。。表述目標：闡明經(jīng)過教學，學生將有哪些變化，會做哪些以前不會做的事目標解析：解析了解、理解、掌握、經(jīng)歷、體驗、探究等的含義。特別注意對概念所反映的數(shù)學思想方法的解析教學目標的三層級模型第一層級主成分：以記憶為主要標志，培養(yǎng)的是以記憶為主的基本能力測試：基本事實、方法的記憶水平標準：獲得的知識量以及掌握的準確性第二層級主成分：以理解為主要標志，培養(yǎng)的是以理解為主的基本能力測試：能否順利地解決常規(guī)性、通用性問題，包括能否滿意地解決綜合性問題標準：運用知識的水平，如正確、敏捷、靈活、深刻等第三層級主成分：以探究為主要標志，培養(yǎng)的是以評判為主的基本能力測試：能否對解決問題的過程進行反思，即檢驗過程的正確性、合理性及其優(yōu)劣標準：思維的深刻性、批判性、全面性、獨創(chuàng)性等4.教學問題診斷分析教師根據(jù)自己以往的教學經(jīng)驗，數(shù)學內(nèi)在的邏輯關系以及思維發(fā)展理論，對本內(nèi)容在教與學中可能遇到的障礙的原因進行分析。在上述分析的基礎上指出教學難點4.教學支持條件分析為了有效實現(xiàn)教學目標，根據(jù)問題診斷分析和學習行為分析，分析應當采取哪些教學支持條件，以幫助學生更有效地進行實現(xiàn)思維，使他們更好地發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律。5.教學過程設計強調(diào)教學過程的內(nèi)在邏輯線索給出學生思考和操作的具體描述；突出核心概念的思維建構和技能操作過程，突出思想方法的領悟過程分析以“問題串”方式呈現(xiàn)為主，應當認真思考每一問題的設計意圖、師生活動預設，以及需要概括的概念要點、思想方法，需要進行的技能訓練，需要培養(yǎng)的能力，等6.目標檢測設計習題、練習方式的檢測。要明確每一個（組）習題或練習的設計目的，加強檢測的針對性、有效性注意防止一步到位，過早給綜合題、難題有害無益；基礎不夠的題目更是貽害無窮——題目出不好是老師專業(yè)素養(yǎng)低的表現(xiàn)之一“函數(shù)主線”為例1.對函數(shù)的認識（1）函數(shù)是刻畫變量與變量之間依賴關系的模型（2）函數(shù)是連接兩類對象（兩個集合）的橋梁（3）函數(shù)是圖形數(shù)形結合主要載體：

解析幾何、向量圖形、函數(shù)函數(shù)概念的“注意事項”集合A、B都是數(shù)集任意性唯一性可以一對一、多對一，但不能一對多y=f(x)是一個整體，不是f與x的乘積值域C={f(x)|x屬于A}是集合B的子集函數(shù)的三要素三者缺一不可，值域可由定義域和對應法則唯一確定在不適當?shù)臅r候，用不適當?shù)姆椒◤娬{(diào)細節(jié)，把學生“教糊涂了”。如何讓學生體會“定義域”的重要性：抽象強調(diào)“定義域”很重要，“解析式相同，定義域不同就是不同的函數(shù)”沒有作用。有實際意義的具體例子最有效。例如，商品購買、路程與時間，等等。先讓學生寫出解析式，再大家分析函數(shù)主線1.具體函數(shù)模型：冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)2.函數(shù)與方程、函數(shù)與數(shù)列、函數(shù)與不等式、函數(shù)與線性規(guī)劃、函數(shù)與算法、導數(shù)3.數(shù)學分析、復變函數(shù)、實變函數(shù)、常微分方程、偏微分方程、泛函分析數(shù)學主線簡要把書讀厚，又能把書讀薄———華羅庚讀厚：就是要把每一個邏輯關系、每一個細節(jié)搞清楚，想清楚讀?。壕褪且プ≌n程的主線、基本脈絡，抓住課程的內(nèi)在聯(lián)系，形成整體認識必修一：函數(shù)的有關問題1.定義域、值域問題在定義域、值域問題上，教材只對最基本的函數(shù)提出要求，教學中也不要做拓展，應當把主要精力放在使學生理解函數(shù)的基本概念和思想上，以使學生有更多的時間考慮如何建立函數(shù)模型以反映實際問題中變量之間的依賴關系2.關于反函數(shù)問題只要求以具體函數(shù)為例進行解釋和直觀理解，通過比較同底的指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)說明即可。不要求一般地討論形式化的反函數(shù)定義，也不要求求已知函數(shù)的反函數(shù)3.重視二次函數(shù)的有關問題直接考查：（江蘇省2014年第10高考題）已知函數(shù)f(x)=x2+mx-1,若對于任意x屬于[m,m+1],都有f(x)<0成立,則實數(shù)m的取值范圍是

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六、怎樣才算“教完了”？

1.舍不得在概念、原理的發(fā)生發(fā)展過程上化時間————“這樣能教完嗎？”

2.給學生吃“壓縮餅干”

3.基礎知識——“題型教學”，解題技巧大雜燴，“一步到位”問題在哪里？不“準”————或者是沒有圍繞概念的核心，或者是教錯了不“簡”————在細枝末節(jié)上下功夫，把簡單問題復雜化了不“精”————讓學生在知識的外圍重復訓練，耗費學生大量時間、精力但達不到對知識的深入理解“教完了”應該以學生是否理解為準，以學生是否達成教學目標為準，特別是學生達到的數(shù)學基礎的理解和熟練水平位標準，而不是教師在課堂上有沒有把內(nèi)容“講完”廣種薄收是懶漢的做法七、重結果輕過程的危害數(shù)學是思維的科學。數(shù)學思想方法孕育于知識的發(fā)生發(fā)展過程中?！八枷搿笔歉拍畹撵`魂，是“數(shù)學素養(yǎng)”的源泉，是技能到能力的橋梁；“過程”是“思想”的載體，是領悟概念本質(zhì)的平臺，是思維訓練的通道，是培養(yǎng)數(shù)學能力的土囊沒有過程==沒有思想沒有思想就難以理解概念的實質(zhì)缺乏數(shù)學思想方法的紐帶，概念間的關系無法認識、聯(lián)系也難以建立，導致學生的數(shù)學認知結構缺乏整體性，其可利用性、可辯別性和穩(wěn)定性等“功能指標”都會大打折扣。沒有“過程”的教學把“思維的體操”降格為“刺激-反應”訓練，是教育功利化在數(shù)學教學中的集中表現(xiàn)例如：三角函數(shù)認知分析（1）三角函數(shù)是一類特殊函數(shù)，“三角函數(shù)”是“函數(shù)”的下位概念，用“概念同化”方式學習，要理解“三要素”的具體內(nèi)涵，其中核心是“對應法則”（2）從角三角函數(shù)到任意角三角函數(shù)，一種“形式推廣“，載體要從直角三角形過渡到直角坐標系，其核心是要明確用坐標定義三角函數(shù)的思想方法；（3）體會將”任意點“化歸到”單位圓上的點“的意義————求簡的思想教學難點（1）先要在弧度制下（用單位圓的半徑度量角）實現(xiàn)角的集合與實數(shù)集的一一對應，再實現(xiàn)數(shù)到坐標的對應，不是直接的對應，會造成理解困難；（2）角三角函數(shù)的”比值“過渡到坐標表示的比值，需要從函數(shù)角度重新認識問題（3）求簡到”單位圓上的坐標“，思想方法深刻，學生不容易理解三角函數(shù)定義的教學過程復習：請回答下列問題前面學習了任意角，你能說說任意角概念與平面幾何中的角的概念有什么不同嗎？引進象限角概念有什么好處？在度量角的大小時，弧度制與角度制有什么區(qū)別？我們是怎樣簡化弧度制的度量單位的？設計意圖：從為學習三角函數(shù)概念服務的角度復習，關注的是思想方法先行組織者：我們知道，函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學模型例如：指數(shù)函數(shù)描述了”指數(shù)爆炸“，對數(shù)函數(shù)描述了”對數(shù)增長“等。圓周運動是一種重要的運動，其中最基本的是一個質(zhì)點繞點O做勻速圓周運動，其變化規(guī)律該用什么函數(shù)模型描述呢？”任意角的三角函數(shù)“就是一個刻畫這種”周而復始“的變化規(guī)律的函數(shù)模型設計意圖：解決”學習的必要性“問題，明確要研究的問題問題1：對于三角函數(shù)我們并不陌生，初中學過角三角函數(shù)，你能說說它的自變量和對應關系各是什么嗎？任意畫一個角α，你能借助三角板，根據(jù)角三角函數(shù)的定義找出sinα的值嗎？設計意圖：從函數(shù)角度重新認識角三角函數(shù)定義，突出”與點的位置無關“。問題2：你能借助象限角的概念，用直角坐標系中點的坐標表示角三角函數(shù)嗎？設計意圖：比值”坐標化“問題3：上述表達式比較復雜，你能將它化簡嗎？設計意圖：為”單位圓法”作鋪墊。學生答出“取點P(x,y)使”后追問“為什么可以這樣做？”教師講授：類比上述做法，設任意角α的終邊與單位圓交點為P(x,y),定義正弦函數(shù)為y=sinα，余弦函數(shù)為y=cosα設計意圖：“定義”是一種“規(guī)定”；把精力放在定義合理性的理解上問題4你能說明上述定義符合函數(shù)定義的要求嗎？設計意圖：讓學生用函數(shù)的三要素說明定義的合理性，以此進一步明確三角函數(shù)的正弦函數(shù)的對應法則、定義域、值域例1分別求自變量所對應的正弦函數(shù)值和余弦函數(shù)值設計意圖：讓學生熟悉定義，從中概括出用定義解題的步驟例2角x的終邊過P(求它的三角函數(shù)值。三角函數(shù)概念的“精致”函數(shù)值的符號問題終邊與坐標軸重合時的三角函數(shù)值終邊相同的角的同名三角函數(shù)值與銳角三角函數(shù)的比較：因襲與擴張從“形”的角度看三角函數(shù)---三角函數(shù)線，聯(lián)系的觀點終邊上任意一點的坐標表示的三角函數(shù)結束語數(shù)學理解的核心是對基本概念及其所反映的數(shù)學思想方法的理解圍繞數(shù)學核心概念、思想方法進行教學在挖掘知識所蘊含的價值資源上狠下功夫四、多少的比較方法之一：數(shù)數(shù)66多少的比較方法之二：比較少多映射自然數(shù)的比較122436n2n自然數(shù)與偶數(shù)一樣多！1f(1)2f(2)3f(3)nf(n)推廣推廣●●●●●這個運動表明：當x沿直線趨于正無窮大時，圓周上對應的點按逆時針方向趨于頂點這個運動表明：當x沿直線趨于負無窮大時，圓周上對應的點按順時針方向趨于頂點演示表明：在直線上無論x是趨于,還是趨于，反映在圓周上顯示的是，點沿著圓周分別按逆時針和順時針都趨于一個共同的點——頂點！圓周比直線多一點！新概念集合A與B稱為基數(shù)相等，如果A，B之間存在1-1對應關系（1-1映射）。記為顯然基數(shù)概念推廣了個數(shù)概念。幾個有趣的結論1、有理數(shù)與自然數(shù)一樣多這個集合的基數(shù)不超過自然數(shù)的基數(shù)，而自然數(shù)是其子集，所以這兩個集合的基數(shù)相等。同樣的理由知道有理數(shù)與自然數(shù)一樣多。幾個有趣的結論2、（0，1）與（0，+∞）的點一樣多幾個有趣的結論3、（0，1）的點比自然數(shù)多；5、自然數(shù)是基數(shù)最小的無窮集合。4、自然數(shù)的所有子集所成的集合與（0，1）的基數(shù)一樣；6、一個集合的基數(shù)（?）小于其子集所成的集合的基數(shù)（2?

）Thatis:?<2?

幾個有趣的結論一、函數(shù)概念的發(fā)展線索表1五國教材中函數(shù)概念的發(fā)展主線

由表1可見，函數(shù)概念在五國教材中的發(fā)展主線基本相同：定義→性質(zhì)→基本初等函數(shù)，但存在如下顯著差異：（1）性質(zhì)和基本初等函數(shù)的編排順序不同；（2）以函數(shù)為核心的網(wǎng)絡節(jié)點上的概念選擇差異較大，特別是圖象變換和函數(shù)種類。如法國教材，有理函數(shù)、多項式函數(shù)都有涉及，并且介紹了多項式函數(shù)的形式化定義，而中國教材只涉及五個最基本的具體冪函數(shù)。

我認為，因為各國的國情、數(shù)學教育理念、教育的傳統(tǒng)乃至教材編者對數(shù)學知識的認識和定位都是不同的，所以出現(xiàn)差異很自然。這些“不同”所造成的差異不僅體現(xiàn)在核心概念網(wǎng)絡體系的構建上，也體現(xiàn)在對核心概念本身的關注點、為學生構建的學習方式等方面。二、對函數(shù)概念的關注點核心概念位居數(shù)學知識體系的中心，其強大的生長力可以產(chǎn)生“柱根相連，柱枝相托，枝葉擴展”的“概念群”。函數(shù)概念更具代表性，與之相關的概念眾多，例如：常量、變量、運動、變化、集合、對應、關系、映射、模型，以及應用、聯(lián)系……對這些相關概念的重視程度，各國教材既有共性也有差異。

1.共同關注點：函數(shù)概念的聯(lián)系性

早在100多年前，F(xiàn)·克萊因就提出中學要“以函數(shù)觀念和幾何直觀作為數(shù)學教學的核心”的觀點?！昂瘮?shù)觀念”（可以進一步具體化為“函數(shù)概念及其反映的數(shù)學思想方法”）作為整個高中數(shù)學的核心，可以在整套教材的組織中發(fā)揮聯(lián)系紐帶的作用。從函數(shù)內(nèi)容的具體組織看，各國教材都不集中安排函數(shù)內(nèi)容，而是與其他領域的知識相互穿插。其中最突出的是美國教材，每一章都以穿插學習的方式，把與當前學習的具體函數(shù)有直接聯(lián)系的各種知識都穿插在一起。例如“線性函數(shù)與數(shù)列”一章，以“線性關系”為紐帶，將代數(shù)、幾何和統(tǒng)計領域中的直線方程、等差數(shù)列、回歸直線和階梯函數(shù)等相關概念融會貫通，而聯(lián)系它們的核心概念就是線性函數(shù)（如表2）

表2“線性函數(shù)與數(shù)列”的知識體系為使“聯(lián)系”更加自然，美國教材以“問題解決”為指導思想，圍繞著解決實際問題的需要，通過建立不同類型的函數(shù)模型，引出相關概念，讓學生“了解直線、幾何和統(tǒng)計之間聯(lián)系”。例如，通過建立常數(shù)增長（或下降）情境的函數(shù)模型，導出直線方程的斜截式及其圖象；通過建立描述兩組相關聯(lián)數(shù)據(jù)關系的函數(shù)模型，導出回歸直線的定義等。

從教材呈現(xiàn)來看，與函數(shù)概念的聯(lián)系表現(xiàn)出“多向性”。例如，我國教材專設一節(jié)“函數(shù)與方程”；日本教材在介紹了具體函數(shù)（如三角函數(shù)、有理函數(shù)等）概念和性質(zhì)后，通過函數(shù)圖象研究相應的方程和不等式；法國教材將算法和函數(shù)密切結合，如函數(shù)定義一節(jié)中的“能力12用一種算法定義一個函數(shù)”，其中的問題1和問題2（見表3）要求學生從算法到函數(shù)、從函數(shù)到算法進行轉換，意在促進學生建立算法和函數(shù)間的聯(lián)系，從而既能從不同角度理解這兩個數(shù)學對象，又能在一定的情境中恰當?shù)剡x擇數(shù)學對象解決問題。表3能力12用一種算法定義一個函數(shù)2.不同的關注點：函數(shù)概念定位的差異由于對函數(shù)概念內(nèi)涵的關注程度不同，各國教材在素材、知識點的選擇、呈現(xiàn)方式等方面出現(xiàn)差異。對函數(shù)概念內(nèi)涵不同的關注點，本質(zhì)上反映了各國對函數(shù)學習的不同定位，而不同的定位又是不同數(shù)學教育觀念的具體反映。

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美國教材的關注點：模型美國教材將函數(shù)定位為“描述兩個變量關系的數(shù)學模型”。因此，函數(shù)概念的模型特性成為關注重點，主要表現(xiàn)在：

（1）給出函數(shù)定義后，教材對數(shù)學模型的涵義進行了解釋——現(xiàn)實情境的數(shù)學模型就是用數(shù)學的語言和概念描述它，并舉例說明通常必須簡化現(xiàn)實情境以構建數(shù)學模型；

（2）隨后一章（VariationandGraphs），教材舉例說明建立函數(shù)模型的兩種方法，一是利用數(shù)學原理（如各種算法、度量公式、統(tǒng)計量等），二是通過擬合數(shù)據(jù)；（3）介紹某種具體函數(shù)時，都包含了建立函數(shù)模型刻畫實際情境的內(nèi)容；

（4）Functions，StatisticsandTrigonometry專門設置了一章“函數(shù)與模型”，總結AdvanceAlgebra中介紹的函數(shù)模型。從問題情境看，美國教材選擇了大量現(xiàn)實素材，而且類型具有多樣性；從對情境的描述看，美國教材注重問題的真實性、可信性和趣味性。如表4是美國教材和中國教材中都有的

細胞分裂情境，顯然美國教材給出了更具體豐富的細節(jié)，不僅出現(xiàn)了一種常見細菌細胞的名稱、分裂時間，而且還配了圖片。

表4教材中的細胞分裂情境o

德教材的關注點：圖象和現(xiàn)實導向

函數(shù)圖象是函數(shù)概念的表示方式之一，同時它也是研究函數(shù)性質(zhì)、解決相關問題的有力工具。五國教材都關注函數(shù)圖象，但德教材對函數(shù)圖象的研究最具系統(tǒng)性：

（1）在具體函數(shù)（三角、指對函數(shù)）中，充分利用圖象研究函數(shù)性質(zhì)；

（2）專門設置一章（如表5）對圖象和性質(zhì)進行研究，使得每類具體函數(shù)的圖象、定義域、值域、零點、對稱性、無窮遠處函數(shù)值等都有比較系統(tǒng)的呈現(xiàn)。

表5德國教材“函數(shù)的圖象和性質(zhì)”一節(jié)的內(nèi)容三、核心概念的學習方式

各國教材在核心概念學習方式上采用了比較一致的做法，即強調(diào)學生的自主學習。主要有：自主探索、課題學習和加強與信息技術的整合。

1.自主探索

五國教材的具體做法為：問題和活動。

o

中國教材以問題引導學生學習核心概念

我國教材以“觀察”“思考”“探究”等欄目將問題穿插在正文敘述中，主要作用是在知識形成的“關鍵點”上，在運用數(shù)學思想方法產(chǎn)生解決問題策略的“關節(jié)點”上，在數(shù)學知識之間聯(lián)系的“聯(lián)結點”上，在數(shù)學問題變式的“發(fā)散點”上引導學生的思考和探索活動。例如教材介紹了函數(shù)的幾個典型實例后，為了促進學生思考它們的共同本質(zhì)特征而概括出函數(shù)定義，用“思考：分析、歸納以上三個實例，變量之間的關系有什么共同點？”加以引導。o

美、德、法教材均通過“活動”引導學生學習核心概念

通過“活動”學習數(shù)學概念是這些國家教材的一個共同特色，但呈現(xiàn)方式又各不相同，其中法國教材最具特色：

（1）相對于美、德教材將活動與知識講解相整合的做法，法國教材每一章都劃分為三部分：介紹活動，課程知識，練習問題，將活動與知識講解分離。“介紹活動”包括一些小的探究、實踐或認知活動，重點是對知識在各種背景下的表征方式的認識和問題解決上