【高三理科數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)】第十一章-第1節(jié)-分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理

第1節(jié)分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理最新考綱1.理解分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理；2.會(huì)用分類加法計(jì)數(shù)原理或分步乘法計(jì)數(shù)原理分析和解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.知

識(shí)

梳

理1.分類加法計(jì)數(shù)原理

完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法.那么完成這件事共有N＝_______種不同的方法.2.分步乘法計(jì)數(shù)原理

完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝_______種不同的方法.m＋nm×n3.分類加法和分步乘法計(jì)數(shù)原理，區(qū)別在于：分類加法計(jì)數(shù)原理針對(duì)“分類”問(wèn)題，其中各種方法相互獨(dú)立，用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步乘法計(jì)數(shù)原理針對(duì)“分步”問(wèn)題，各個(gè)步驟相互依存，只有各個(gè)步驟都完成了才算完成這件事.[微點(diǎn)提醒]1.分類加法計(jì)數(shù)原理中，完成一件事的方法屬于其中一類，并且只屬于其中一類.2.分步乘法計(jì)數(shù)原理中，各個(gè)步驟相互依存，步與步之間“相互獨(dú)立，分步完成”.分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理是解決排列組合問(wèn)題的基礎(chǔ)，并貫穿其始終.基

礎(chǔ)

自

測(cè)1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)在分類加法計(jì)數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同.(

)(2)在分類加法計(jì)數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事.(

)(3)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，每個(gè)步驟中完成這個(gè)步驟的方法是各不相同的.(

)(4)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，事情是分兩步完成的，其中任何一個(gè)單獨(dú)的步驟都能完成這件事.(

)解析分類加法計(jì)數(shù)原理，每類方案中的方法都是不同的，每一種方法都能完成這件事；分步乘法計(jì)數(shù)原理，每步的方法都是不同的，每步的方法只能完成這一步，不能完成這件事，所以(1)，(4)均不正確.答案(1)×

(2)√

(3)√

(4)×2.(選修2－3P28B2改編)現(xiàn)有4種不同顏色要對(duì)如圖所示的四個(gè)部分進(jìn)行著色，要求有公共邊界的兩塊不能用同一種顏色，則不同的著色方法共有(

)A.24種

B.30種C.36種

D.48種解析需要先給C塊著色，有4種結(jié)果；再給A塊著色，有3種結(jié)果；再給B塊著色，有2種結(jié)果；最后給D塊著色，有2種結(jié)果，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有4×3×2×2＝48(種).答案

D3.(選修2－3P5例3改編)書架的第1層放有4本不同的計(jì)算機(jī)書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書.從書架中任取1本書，則不同取法的種數(shù)為________.

解析從書架上任取1本書，有三類方法：第1類方法是從第1層取1本計(jì)算機(jī)書，有4種方法；第2類方法是從第2層取1本文藝書，有3種方法；第3類方法是從第3層取1本體育書，有2種方法.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，不同取法的種數(shù)是N＝m1＋m2＋m3＝4＋3＋2＝9.

答案94.(2016·全國(guó)Ⅱ卷)如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會(huì)合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動(dòng)，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為(

)A.24

B.18

C.12

D.9解析分兩步，第一步，從E→F，有6條可以選擇的最短路徑；第二步，從F→G，有3條可以選擇的最短路徑.由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知有6×3＝18條可以選擇的最短路徑.故選B.答案B5.(2019·石家莊模擬)教學(xué)大樓共有五層，每層均有兩個(gè)樓梯，由一層到五層的走法有(

) A.10種

B.25種

C.52種

D.24種

解析

每相鄰的兩層之間各有2種走法，共分4步.

由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有24種不同的走法.

答案

D解析因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上，所以m>n，以m的值為標(biāo)準(zhǔn)分類，分為四類：第一類：m＝5時(shí)，使m>n，n有4種選擇；第二類：m＝4時(shí)，使m>n，n有3種選擇；第三類：m＝3時(shí)，使m>n，n有2種選擇；第四類：m＝2時(shí)，使m>n，n有1種選擇.由分類加法計(jì)數(shù)原理，符合條件的橢圓共有10個(gè).答案10考點(diǎn)一分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用【例1】(1)從甲地到乙地有三種方式可以到達(dá).每天有8班汽車、2班火車和2班飛機(jī).一天一人從甲地去乙地，共有________種不同的方法. (2)滿足a，b∈{－1，0，1，2}，且關(guān)于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實(shí)數(shù)解的有序數(shù)對(duì)(a，b)的個(gè)數(shù)為________.解析(1)分三類：一類是乘汽車有8種方法；一類是乘火車有2種方法；一類是乘飛機(jī)有2種方法，由分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有8＋2＋2＝12(種)方法.(2)當(dāng)a＝0時(shí)，b的值可以是－1，0，1，2，故(a，b)的個(gè)數(shù)為4；當(dāng)a≠0時(shí)，要使方程ax2＋2x＋b＝0有實(shí)數(shù)解，需使Δ＝4－4ab≥0，即ab≤1.若a＝－1，則b的值可以是－1，0，1，2，(a，b)的個(gè)數(shù)為4；若a＝1，則b的值可以是－1，0，1，(a，b)的個(gè)數(shù)為3；若a＝2，則b的值可以是－1，0，(a，b)的個(gè)數(shù)為2.由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，(a，b)的個(gè)數(shù)為4＋4＋3＋2＝13.答案(1)12

(2)13規(guī)律方法

分類標(biāo)準(zhǔn)是運(yùn)用分類加法計(jì)數(shù)原理的難點(diǎn)所在，應(yīng)抓住題目中的關(guān)鍵詞、關(guān)鍵元素和關(guān)鍵位置.(1)根據(jù)題目特點(diǎn)恰當(dāng)選擇一個(gè)分類標(biāo)準(zhǔn).(2)分類時(shí)應(yīng)注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法才是不同的方法，不能重復(fù).(3)分類時(shí)除了不能交叉重復(fù)外，還不能有遺漏，如本例(2)中易漏a＝0這一類.【訓(xùn)練1】(1)從3名女同學(xué)和2名男同學(xué)中選1人主持主題班會(huì)，則不同的選法種數(shù)為(

) A.6 B.5

C.3 D.2 (2)從集合{1，2，3，…，10}中任意選出三個(gè)不同的數(shù)，使這三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，這樣的等比數(shù)列的個(gè)數(shù)為(

) A.3 B.4 C.6 D.8解析(1)5個(gè)人中每一個(gè)都可主持，所以共有5種選法.(2)以1為首項(xiàng)的等比數(shù)列為1，2，4；1，3，9；以2為首項(xiàng)的等比數(shù)列為2，4，8；以4為首項(xiàng)的等比數(shù)列為4，6，9；把這4個(gè)數(shù)列的順序顛倒，又得到另外的4個(gè)數(shù)列，∴所求的數(shù)列共有2(2＋1＋1)＝8個(gè).答案

(1)B

(2)D考點(diǎn)二分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用【例2】(1)用0，1，2，3，4，5可組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為________. (2)(2018·合肥質(zhì)檢)五名學(xué)生報(bào)名參加四項(xiàng)體育比賽，每人限報(bào)一項(xiàng)，則不同的報(bào)名方法的種數(shù)為________.五名學(xué)生爭(zhēng)奪四項(xiàng)比賽的冠軍(冠軍不并列)，則獲得冠軍的可能性有________種.解析(1)可分三步給百、十、個(gè)位放數(shù)字，第一步：百位數(shù)字有5種放法；第二步：十位數(shù)字有5種放法；第三步：個(gè)位數(shù)字有4種放法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，三位數(shù)的個(gè)數(shù)為5×5×4＝100.(2)五名學(xué)生參加四項(xiàng)體育比賽，每人限報(bào)一項(xiàng)，可逐個(gè)學(xué)生落實(shí)，每個(gè)學(xué)生有4種報(bào)名方法，共有45種不同的報(bào)名方法.五名學(xué)生爭(zhēng)奪四項(xiàng)比賽的冠軍，可對(duì)4個(gè)冠軍逐一落實(shí)，每個(gè)冠軍有5種獲得的可能性，共有54種獲得冠軍的可能性.答案(1)100

(2)45

54規(guī)律方法

1.利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決問(wèn)題要按事件發(fā)生的過(guò)程合理分步，即分步是有先后順序的，并且分步必須滿足：完成一件事的各個(gè)步驟是相互依存的，只有各個(gè)步驟都完成了，才算完成這件事.2.分步必須滿足兩個(gè)條件：一是步驟互相獨(dú)立，互不干擾；二是步與步確保連續(xù)，逐步完成.【訓(xùn)練2】

已知a∈{1，2，3}，b∈{4，5，6，7}，則方程(x－a)2＋(y－b)2＝4可表示不同的圓的個(gè)數(shù)為(

) A.7 B.9

C.12

D.16

解析

得到圓的方程分兩步：第一步：確定a有3種選法；第二步：確定b有4種選法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有3×4＝12(個(gè)).

答案

C考點(diǎn)三兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用

多維探究角度1與數(shù)字有關(guān)的問(wèn)題【例3－1】

(2017·天津卷)用數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，9組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字，且至多有一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有________個(gè)(用數(shù)字作答).所以這樣的四位數(shù)共有1080個(gè).答案

1080角度2與幾何有關(guān)的問(wèn)題【例3－2】

如果一條直線與一個(gè)平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“正交線面對(duì)”.在一個(gè)正方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對(duì)”的個(gè)數(shù)是(

) A.48 B.18

C.24

D.36

解析

在正方體中，每一個(gè)表面有四條棱與之垂直，六個(gè)表面，共構(gòu)成24個(gè)“正交線面對(duì)”；而正方體的六個(gè)對(duì)角面中，每個(gè)對(duì)角面有兩條面對(duì)角線與之垂直，共構(gòu)成12個(gè)“正交線面對(duì)”，所以共有36個(gè)“正交線面對(duì)”.

答案

D角度3涂色、種植問(wèn)題【例3－3】

(一題多解)如圖所示，將一個(gè)四棱錐的每一個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有5種顏色可供使用，求不同的染色方法種數(shù).解法一按所用顏色種數(shù)分類.法二以S，A，B，C，D順序分步染色.第一步：S點(diǎn)染色，有5種方法；第二步：A點(diǎn)染色，與S在同一條棱上，有4種方法；第三步：B點(diǎn)染色，與S，A分別在同一條棱上，有3種方法；第四步：C點(diǎn)染色，也有3種方法，但考慮到D點(diǎn)與S，A，C相鄰，需要針對(duì)A與C是否同色進(jìn)行分類，當(dāng)A與C同色時(shí)，D點(diǎn)有3種染色方法；當(dāng)A與C不同色時(shí)，因?yàn)镃與S，B也不同色，所以C點(diǎn)有2種染色方法，D點(diǎn)也有2種染色方法.由分步乘法、分類加法計(jì)數(shù)原理得不同的染色方法共有5×4×3×(1×3＋2×2)＝420(種).規(guī)律方法

1.在綜合應(yīng)用兩個(gè)原理解決問(wèn)題時(shí)應(yīng)注意：(1)一般是先分類再分步.在分步時(shí)可能又用到分類加法計(jì)數(shù)原理.(2)對(duì)于較復(fù)雜的兩個(gè)原理綜合應(yīng)用的問(wèn)題，可恰當(dāng)?shù)亓谐鍪疽鈭D或列出表格，使問(wèn)題形象化、直觀化.2.解決涂色問(wèn)題，可按顏色的種數(shù)分類，也可按不同的區(qū)域分步完成.例題中，相鄰頂點(diǎn)不同色，要按A，C和B，D是否同色分類處理.【訓(xùn)練3】(1)(2019·衡水調(diào)研)用0，1，…，9十個(gè)數(shù)字，可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為(

) A.243 B.252

C.261

D.279(2)(一題多解)如圖所示，用4種不同的顏色涂入圖中的矩形A，B，C，D中，要求相鄰的矩形涂色不同，則不同的涂法有(

)A.72種

B.48種C.24種

D.12種(3)如圖所示，在連結(jié)正八邊形的三個(gè)頂點(diǎn)而成的三角形中，與正八邊形有公共邊的三角形有________個(gè)(用數(shù)字作答).解析(1)0，1，2，…，9共能組成9×10×10＝900(個(gè))三位數(shù)，其中無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有9×9×8＝648(個(gè))，∴有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有900－648＝252(個(gè)).(2)法一首先涂A有4種涂法，則涂B有3種涂法，C與A，B相鄰，則C有2種涂法，D只與C相鄰，則D有3種涂法，所以共有4×3×2×3＝72種涂法.法二按要求涂色至少需要3種顏色，故分兩類：一是4種顏色都用，這時(shí)A有4種涂法，B有3種涂法，C有2種涂法，D有1種涂法，共有4×3×2×1＝24(種)涂法；二是用3種顏色，這時(shí)A，B，C的涂法有4×