【學(xué)海導(dǎo)航】高考數(shù)學(xué)第1輪總復(fù)習(xí) 全國統(tǒng)編教材 3.1數(shù)列的概念課件 理

第三章數(shù)列數(shù)列的概念第講11考點(diǎn)搜索●數(shù)列的概念●數(shù)列通項(xiàng)公式的求解方法●用函數(shù)的觀點(diǎn)理解數(shù)列高考猜想以遞推數(shù)列、新情境下的數(shù)列為載體，重點(diǎn)考查數(shù)列的通項(xiàng)及性質(zhì)，是近年來高考的熱點(diǎn)，也是考題難點(diǎn)之所在.2一、數(shù)列的定義1.按①

排成的一列數(shù)叫做數(shù)列，其一般形式為a1,a2,…,an,…,簡記為{an}.2.數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，其特殊性表現(xiàn)在它的定義域是正整數(shù)集或正整數(shù)集的子集，因此它的圖象是②

.一定順序一群孤立的點(diǎn)3二、數(shù)列的通項(xiàng)公式一個(gè)數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與項(xiàng)數(shù)n之間的函數(shù)關(guān)系，如果可以用一個(gè)公式an=f(n)來表示，我們就把這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.4三、數(shù)列的分類1.按照項(xiàng)數(shù)是有限還是無限來分：有窮數(shù)列、無窮數(shù)列.2.按照項(xiàng)與項(xiàng)之間的大小關(guān)系來分：遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、擺動(dòng)數(shù)列和常數(shù)列.遞增數(shù)列與遞減數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列.3.按照任何一項(xiàng)的絕對值是否都不大于某一正數(shù)來分：有界數(shù)列、無界數(shù)列.5四、數(shù)列前n項(xiàng)和Sn與an的關(guān)系：1.Sn=③

(用an表示).2.an=④

(用Sn表示).Sn(n=1)Sn-Sn-1(n≥2)a1+a2+a3+…+an61.已知數(shù)列{an}、{bn}的通項(xiàng)公式分別是：an=an+2,bn=bn+1(a,b是常數(shù))，且a>b.那么兩個(gè)數(shù)列中序號與數(shù)值均相同的項(xiàng)的個(gè)數(shù)是()A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.無窮多個(gè)an=bnan+2=bn+1(a-b)n=-1.由于a>b，n∈N*.所以(a-b)n=-1無解.故選A.A72.已知數(shù)列{an}中，a1=1，a2=3，則a5等于()A.B.C.4D.5a1=1，a2=3，an=an-1+(n≥3)A83.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2-9n，第k項(xiàng)滿足5<ak<8，則k等于()A.9B.8C.7D.69因?yàn)閿?shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2-9n,所以，當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=2n-10;當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=-8,滿足上式，故an=2n-10(n∈N*).故選B.10題型1：根據(jù)據(jù)數(shù)列前前幾項(xiàng)寫寫出數(shù)列列的一個(gè)個(gè)通項(xiàng)公公式1.寫出數(shù)列列的一個(gè)個(gè)通項(xiàng)公公式，使使它的前前4項(xiàng)分別是是下列各各數(shù)：(1)，-，，，-；(2)0,1,0,1；(3)-，-(-)，-，-(-)．11分析：已知數(shù)數(shù)列的有有限幾項(xiàng)項(xiàng)，寫其其通項(xiàng)公公式，常常用的方方法有：：(1)觀察法，，即觀察察an與n之間的關(guān)關(guān)系，用用歸納法法寫出一一個(gè)通項(xiàng)項(xiàng)公式，，體現(xiàn)了了由特殊殊到一般般的思維維規(guī)律．．熟記一一些基本本數(shù)列的的通項(xiàng)公公式，如如{n}，{2n-1}，{n2}，{}，{2n}，…，有助于于歸納；；(2)探尋前后后兩項(xiàng)之之間的關(guān)關(guān)系．這這類問題題求解的的關(guān)鍵在在于尋求求an與n的對應(yīng)關(guān)關(guān)系，即即an=f(n)．12點(diǎn)評：根據(jù)有限限的幾項(xiàng)項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)現(xiàn)數(shù)列的的變化規(guī)規(guī)律，然然后歸納納成項(xiàng)an與n的函數(shù)關(guān)關(guān)系式．．但這只只是不完完全歸納納，其結(jié)結(jié)論可能能不準(zhǔn)確確．13寫出下面面各數(shù)列列的一個(gè)個(gè)通項(xiàng)公公式：14(1)各項(xiàng)減去去1后為正偶偶數(shù)，所所以an=2n+1.(2)每一項(xiàng)的的分子比比分母少少1，而分母母組成數(shù)數(shù)列21,22,23,24，…，所以an=.15(3)奇數(shù)項(xiàng)為為負(fù)，偶偶數(shù)項(xiàng)為為正，故故通項(xiàng)公公式含因因子(-1)n；各項(xiàng)絕絕對值的的分母組組成數(shù)列列1,2,3,4，…；而各項(xiàng)項(xiàng)絕對值值的分子子組成的的數(shù)列中中，奇數(shù)數(shù)項(xiàng)為1，偶數(shù)項(xiàng)項(xiàng)為3，即奇數(shù)數(shù)項(xiàng)為2-1，偶數(shù)項(xiàng)項(xiàng)為2+1，所以an=(-1)n.也可寫為為16(4)偶數(shù)項(xiàng)為為負(fù)而奇奇數(shù)項(xiàng)為為正，故故通項(xiàng)公公式必含含因子(-1)n+1；觀察各各項(xiàng)絕對對值組成成的數(shù)列列，從第第3項(xiàng)到第6項(xiàng)可見，，分母分分別由奇奇數(shù)7,9,11,13組成，而而分子則則是32+1,42+1,52+1,62+1，按照這這樣的規(guī)規(guī)律第1、2兩項(xiàng)可改改寫為，，-，所以an=(-1)n+1.(5)將數(shù)列各各項(xiàng)改寫寫為，，，，，，,….分母都是是3，而分子子分別是是10-1,102-1,103-1,104-1，…，所以an=(10n-1)．17題型2：運(yùn)用an與Sn的關(guān)系解解題2.(原創(chuàng))設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，分別在在下列條條件下求求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公公式.(1)an+Sn=2；(2)18(1)當(dāng)n=1時(shí)，a1+a1=2，解得a1=1.當(dāng)n≥2時(shí)，由an+Sn=2，得an-1+Sn-1=2.此兩式相相減得2an-an-1=0，即所以{an}是首項(xiàng)為為1，公比為的的等比比數(shù)列，，即由于n=1時(shí)，也符符合上式式，所以數(shù)列列{an}的通項(xiàng)公公式是(n∈N*).19(2)當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1，所以Sn-Sn-1=Sn·Sn-1，所以所以數(shù)列列為為等差差數(shù)列.所以，所以20當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1所以an=(n∈N*，且n≥2).21【點(diǎn)評】：由數(shù)列的的前n項(xiàng)和Sn得an的關(guān)系是是：an=S1(n=1)Sn-Sn-1(n∈N*，且n≥2).一般分n=1與n≥2進(jìn)行討論論，如果果n=1時(shí)的通項(xiàng)項(xiàng)公式也也符合n≥2的式子，，則可以以合并成成一個(gè)通通項(xiàng)公式式，如果果不能合合并，則則按分段段形式寫寫結(jié)論.22設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，分別在在下列條條件下求求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公公式.(1)Sn=3n-2;(2)Sn=n2+2n.(1)當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=1;當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=3n-2-(3n-1-2)=2·3n-1.23由于a1=1不適合上上式，因因此數(shù)列列{an}的通項(xiàng)項(xiàng)公式式為an=1(n=1)2·3n-1(n∈N*，且n≥2).(2)當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=3;當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=n2+2n-(n-1)2-2(n-1)=2n+1.因?yàn)閍1=3滿足上上式，，所以以數(shù)列列{an}的通項(xiàng)項(xiàng)公式式為an=2n+1(n∈N*).24題型3：由遞遞推關(guān)關(guān)系式式求通通項(xiàng)公公式3.設(shè)數(shù)列列{an}滿足a1+3a2+32a3+…+3n-1an=，n∈N*，求數(shù)數(shù)列{an}的通項(xiàng)項(xiàng)公式式.依題意意得a1+3a2+32a3+…+3n-1an=n3，①a1+3a2+32a3+…+3n-2an-1=(n≥2)，②25由①-②得所以驗(yàn)證n=1時(shí)也滿滿足上上式，，故數(shù)列列{an}的通項(xiàng)項(xiàng)公式式為(n∈N*).26【點(diǎn)評】：數(shù)列是是特殊殊的函函數(shù)，，數(shù)列列的遞遞推關(guān)關(guān)系式式反映映的就就是函函數(shù)的的一個(gè)個(gè)對應(yīng)應(yīng)關(guān)系系.如果已已知的的是n=k時(shí)的命命題，，則n=k-1(k≥2)時(shí)的命命題，，或n=1時(shí)的命命題的的相應(yīng)應(yīng)形式式我們們應(yīng)該該能準(zhǔn)準(zhǔn)確的的寫出出來，，然后后由這這些式式子經(jīng)經(jīng)過加加減等等運(yùn)算算得到到我們們所需需要的的遞推推關(guān)系系式或或通項(xiàng)項(xiàng)公式式.27數(shù)列{an}滿足a1+a2+…+an=n2·an，則數(shù)數(shù)列{an}的通項(xiàng)項(xiàng)公式式an=.設(shè)數(shù)列列{an}的前n項(xiàng)和為為Sn，則Sn=n2·an.所以當(dāng)當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=n2an-(n-1)2an-1，28所以所以291.根據(jù)數(shù)數(shù)列的的前面面幾項(xiàng)項(xiàng)，寫寫出它它的一一個(gè)通通項(xiàng)公公式，，關(guān)鍵鍵在于于找出出這些些項(xiàng)(a1，a2，a3，…)與項(xiàng)數(shù)數(shù)(1，2，3，…)之間的的關(guān)系系，常常用方方法有有觀察察法、、逐項(xiàng)項(xiàng)法、、轉(zhuǎn)化化為特特殊數(shù)數(shù)列法法等.2.利用Sn與an的關(guān)系系求通通項(xiàng)是是一個(gè)個(gè)重要要內(nèi)容容，應(yīng)應(yīng)注意意Sn與an間關(guān)系系的靈靈活運(yùn)運(yùn)用，，同時(shí)時(shí)要注注意a1并不一一定能能統(tǒng)一一到an中去.303.已知數(shù)數(shù)列的的遞推推關(guān)系系式求求數(shù)列列