【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】2011屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第6單元 6.4 基本不等式課件 理 新人教A版

(了解基本不等式的證明過程/會(huì)用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題/了解證明不等式的基本方法——綜合法)6.4基本不等式1．常用的重要的不等式 (1)a、b∈R，則a2＋b2≥2ab； (2)

(a，b∈R)； (3)(a＋b)2≥4ab

(a、b∈R)； (4)若ab>0，則

≥2.2．均值不等式：若a>0，b>0，則

3．最值定理：設(shè)x>0，y>0，由x＋y≥2 (1)若積xy＝P(定值)，則和x＋y有最小值2； (2)若和x＋y＝S(定值)，則積xy有最大值.1．制作一個(gè)面積為2m2，形狀為直角三角形的鋼框架，有下列四種長度的 鋼管可供選用，則最合適(既夠用，又剩余最少)的長度為() A．7.2mB．7mC．6.8mD．6.6m解析：本題考查均值不等式以及實(shí)際應(yīng)用能力．設(shè)直角三角形的兩直角邊長分別為a、b，則斜邊為，面積S＝ab＝2，得ab＝4，三角形的周長l＝a＋b＋

≈6.828，故選B.答案：B2．給出下列四個(gè)不等式，其中正確不等式的個(gè)數(shù)是() ①x2＋3＞2x(x∈R)②a5＋b5≥a3b2＋a2b3(a，b∈R) ③a2＋b2≥2(a－b－1)(a，b∈R) ④(m＞0) A．1B．2C．3D．4 解析：其中不等式①③一定成立． 答案：B3.設(shè)a＞0，b＞0，則以下不等式中不恒成立的是() A．(a＋b)()≥4 B．a(chǎn)3＋b3≥2ab2 C．a(chǎn)2＋b2＋2≥2a＋2b D.

解法二：取a＝，b＝，則a3＋b3＜2ab2.故選B項(xiàng)．答案：B4．已知a＞b＞0，則a2＋的最小值是________． 答案：16根據(jù)實(shí)數(shù)大小與運(yùn)算之間的關(guān)系，可采用比較法證明不等式，最為常見的比較法的步驟是：作差→變形→判斷符號(hào)，其關(guān)鍵在于變形，對(duì)整式可考慮分解因式或配方；對(duì)分式可采用通分合并，分子分母同除等手段；對(duì)根式可利用根式的有理化進(jìn)行變形，變形要準(zhǔn)確到位．【例1】(1)求證a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca； (2)已知a＞0，b＞0，求證

≥a＋b； (3)已知a＞0，b＞0，c＞0，求證a3＋b3＋c3≥3abc. 證明：(1)證法一：a2＋b2＋c2－(ab＋bc＋ca) ＝[(a2－2ab＋b2)＋(b2－2bc＋c2)＋(c2－2ca＋a2)] ＝[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0. ∴a2＋b2＋c2－(ab＋bc＋ca)≥0，即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.證法二：∵a2＋b2＋c2－(ab＋bc＋ca)＝a2－(b＋c)a＋b2＋c2－bc＝(a－)2＋(b－c)2≥0，∴a2＋b2＋c2≥(ab＋bc＋ca)．證法二：∵a＞0，b＞0，∴＋a≥2b①同理＋b≥2a②由不等式的性質(zhì)可知，將①＋②得：＋(a＋b)≥2(a＋b)，即≥a＋b.(3)證法一：a3＋b3＋c3－3abc＝(a＋b)3＋c3－3a2b－3ab2－3abc＝(a＋b＋c)[(a＋b)2－(a＋b)c＋c2]－3ab(a＋b＋c)＝(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2－ab－bc－ca)＝(a＋b＋c)[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]．∵a＞0，b＞0，c＞0，則a3＋b3＋c3－3abc≥0，即a3＋b3＋c3≥3abc. 綜合法證明不等式即利用基本不等式和不等式性質(zhì)證明不等式的方法，只要求兩個(gè)字母的基本不等式，可根據(jù)a2＋b2≥2ab，a2＋b2≥， (a＋b)2≥4ab，

(a＞0，b＞0)運(yùn)算結(jié)構(gòu)特征，系數(shù)和等號(hào)成立的條件等因素選用基本不等式．【例2】已知a，b∈(0，＋∞)且a＋b＝1，求證：變式2.若a＞0，b＞0，c＞0，試證：

可利用基本不等式求代數(shù)式(包括函數(shù))的最值，比如對(duì)于均值不等式a＞0，b＞0，

，(1)當(dāng)ab＝P(P為定值)時(shí)，則a＋b有最小值；(2)當(dāng)a＋b＝S(S為定值)時(shí)，則ab有最大值．采用均值不等式求最值大致過程可概括為：一正，二定，三等．解析：(2a＋b＋c)2＝4a2＋b2＋c2＋4ab＋2bc＋4ca≥4(a2＋ab＋ac＋bc)＝4(4－2)，又a、b、c>0，∴2a＋b＋c≥2(－1)當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時(shí)取等號(hào)．答案：D變式3.已知(a2＋b2＋c2)c2＋a2b2＝4，則ab＋c2的最大值為() A．1B．2C．3D．4 解析：考查均值不等式求最值． 4＝(a2＋b2＋c2)·c2＋a2b2≥(2ab＋c2)·c2＋a2b2＝c4＋2abc2＋a2b2＝(c2＋ab)2， ∴c2＋ab≤2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)． 答案：B【方法規(guī)律】 用比較法證明不等式重在培養(yǎng)比較的意識(shí)；用綜合法證明不等式要掌握證明的技巧，根據(jù)重要不等式a2＋b2≥2ab及變形的運(yùn)算結(jié)構(gòu)、次數(shù)和系數(shù)等特征，適當(dāng)選取進(jìn)行論證.

(本題滿分12分)如圖，設(shè)矩形ABCD(AB＞AD)的周長為24，把它關(guān)于AC折起來，AB折后交DC于點(diǎn)P，求△ADP的最大面積.【考卷實(shí)錄】【答題模板】 解答：設(shè)AD＝a，DP＝b，則AP＝