拋物線的簡單幾何性質(zhì)

拋物線的簡單幾何性質(zhì)（一）襄陽二中方培鋒02二月2023y﹒xo一、復(fù)習(xí)回顧：二、類比探索x≥0,y∈R關(guān)于x軸對(duì)稱,對(duì)稱軸又叫拋物線的軸.拋物線和它的軸的交點(diǎn)，叫做拋物線的頂點(diǎn)，即拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的頂點(diǎn)就是坐標(biāo)原點(diǎn)。xyO(1)范圍(2)對(duì)稱性(3)頂點(diǎn)結(jié)合拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和圖形,探索其的幾何性質(zhì):始終為常數(shù)1,即e=1通過焦點(diǎn)且垂直對(duì)稱軸的直線，與拋物線相交于兩點(diǎn)，連接這兩點(diǎn)的線段叫做拋物線的通徑。xOyFP注意：通徑的長度：2p利用拋物線的頂點(diǎn)、通徑的兩個(gè)端點(diǎn)可較準(zhǔn)確畫出反映拋物線基本特征的草圖。(4)離心率(5)通徑圖形方程焦點(diǎn)準(zhǔn)線范圍頂點(diǎn)對(duì)稱軸elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2=2px（p>0）y2=-2px（p>0）x2=2py（p>0）x2=-2py（p>0）x≥0y∈Rx≤0y∈Ry≥0x∈Ry≤

0x∈R(0,0)x軸y軸1舉一反三特點(diǎn)：1.拋物線只位于半個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi),雖然它可以無限延伸,但它沒有漸近線;2.拋物線只有一條對(duì)稱軸,沒有對(duì)稱中心;3.拋物線只有一個(gè)頂點(diǎn)、一個(gè)焦點(diǎn)、一條準(zhǔn)線;4.拋物線的離心率是確定的,且為1;5.拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中的p對(duì)拋物線開口的影響.P越大,開口越開闊典型例題：例1.已知拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱，頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),并且過點(diǎn)M(2,),求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.當(dāng)焦點(diǎn)在x(y)軸上,開口方向不定時(shí),設(shè)為y2=2mx(m≠0)(x2=2my(m≠0)),可避免討論變式:頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸,并且過點(diǎn)M(2,)的拋物線有幾條,求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或，則把點(diǎn)M（2，)坐標(biāo)分別代入和解：點(diǎn)M（2，）在第四象限所求拋物線的方程為或得，即

，練習(xí)：求符合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱，并且經(jīng)過點(diǎn)；（2）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)是；（3）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線是；（4）焦點(diǎn)是，準(zhǔn)線是。答案：如圖的拋物線形拱橋,當(dāng)水面在時(shí),拱橋頂離水面2m,水面寬4m,水面下降1m,水面寬多少?例2：探究例2圖中是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時(shí)，拱頂離水面2m，水面寬4m，水面下降1m，水面寬多少？

分析：我們知道，拱橋的橋洞是拋物線形，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，利用拋物線的幾何性質(zhì)來解題，但為了解題簡便，以拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，以拋物線的對(duì)稱軸為y軸建立直角坐標(biāo)系．42l拋物線形拱橋，當(dāng)水面在時(shí)，拱頂離水面2m，水面寬度4m，水面下降1m，xy0(2,-2)●(-2,-2)●當(dāng)時(shí)，所以，水面下降1m，水面的寬度為m.探究例2：解：如圖建立如下直角坐標(biāo)系,設(shè)這條拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為由拋物線經(jīng)過點(diǎn)（2，-2），可得所以，這條拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：當(dāng)水面下降1m時(shí)，水面的縱坐標(biāo)為水面的寬度增加了多少？水面寬多少？用拋物線的知識(shí)解決生活中的一些實(shí)際問題的一般步驟：建立直角坐標(biāo)系設(shè)拋物線問題求解找出實(shí)際問題的答案及時(shí)總注意變量的取值范圍四、小結(jié):1.學(xué)習(xí)了拋物線的幾何性質(zhì):