第27章相似復(fù)習(xí)課

<<相似三角形的判定>>復(fù)習(xí)課一、復(fù)習(xí)：1、相似三角形的定義是什么？答：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形.2、判定兩個(gè)三角形相似有哪些方法？答：A、用定義；B、用預(yù)備定理；C、用判定定理1、2、3.D、直角三角形相似的判定定理3、相似三角形有哪些性質(zhì)1、對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例2、對(duì)應(yīng)角平分線、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)高線、對(duì)應(yīng)周長(zhǎng)的比都等于相似比。3、相似三角形面積的比等于相似比的平方。一.填空選擇題:1.(1)△ABC中，D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)，且∠AED=∠B，那么△AED∽△ABC，從而

(2)△ABC中，AB的中點(diǎn)為E，AC的中點(diǎn)為D，連結(jié)ED，則△AED與△ABC的相似比為______.2.如圖，DE∥BC,AD:DB=2:3,

則△AED和△ABC

的相似比為＿＿＿.3.

已知三角形甲各邊的比為3:4:6，和它相似的三角形乙的最大邊為10cm，則三角形乙的最短邊為______cm.4.等腰三角形ABC的腰長(zhǎng)為18cm，底邊長(zhǎng)為6cm,在腰AC上取點(diǎn)D,使△ABC∽△BDC,則DC=______.AC2:552cm1:21.如圖，△ADE∽△ACB,

則DE:BC=_____。2.如圖，D是△ABC一邊BC

上一點(diǎn)，連接AD,使△ABC∽△DBA的條件是（）.A.AC:BC=AD:BDB.AC:BC=AB:ADC.AB2=CD·BCD.AB2=BD·BC3.D、E分別為△ABC的AB、AC上的點(diǎn)，且DE∥BC，∠DCB=∠A，把每?jī)蓚€(gè)相似的三角形稱為一組，那么圖中共有相似三角形_______組。1:3D4二、證明題：1.

D為△ABC中AB邊上一點(diǎn)，

∠ACD=∠ABC.

求證：AC2=AD·AB.2.△ABC中,∠BAC是直角，過斜邊中點(diǎn)M而垂直于斜邊BC的直線交CA的延長(zhǎng)線于E，交AB于D，

連AM.

求證：①△MAD～△MEA②AM2=MD·ME3.如圖，AB∥CD，AO=OB，

DF=FB，DF交AC于E，求證：ED2=EO·EC.4.過

ABCD的一個(gè)頂點(diǎn)A作一直線分別交對(duì)角線BD、邊BC、邊

DC的延長(zhǎng)線于E、F、G.

求證：EA2=EF·EG.5.△ABC為銳角三角形，BD、CE

為高.

求證：△ADE∽△ABC

（用兩種方法證明）.6.已知在△ABC中，∠BAC=90°，

AD⊥BC,E是AC的中點(diǎn)，ED交

AB的延長(zhǎng)線于F.

求證:AB:AC=DF:AF.

解:∵∠AED=∠B,∠A=∠A

∴△AED∽△ABC（兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似）

∴

1.(1)△ABC中，D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)，且∠AED=∠B，那么△AED∽△ABC，從而

解:∵D、E分別為AB、AC的中點(diǎn)

∴DE∥BC，且

∴△ADE∽△ABC

即△ADE與△ABC的相似比為1:2

(2)△ABC中，AB的中點(diǎn)為D，AC的中點(diǎn)為E，連結(jié)DE，則△ADE與△ABC的相似比為______2.

解:∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC∵AD:DB=2:3∴DB:AD=3:2∴(DB+AD):AD=(2+3):3

即AB:AD=5:2∴AD:AB=2:5

即△ADE與△ABC的相似比為2:5如圖，DE∥BC,AD:DB=2:3,則△AED和△ABC的相似比為＿＿＿.3.已知三角形甲各邊的比為3:4:6，和它相似的三角形乙的最大邊為10cm，則三角形乙的最短邊為______cm.解:

設(shè)三角形甲為△ABC，三角形乙為△DEF，且△DEF的最大邊為DE，最短邊為EF∵△DEF∽△ABC∴DE:EF=6:3即10:EF=6:3∴EF=5cm4.等腰三角形ABC的腰長(zhǎng)為18cm，底邊長(zhǎng)為6cm,在腰AC上取點(diǎn)D,使△ABC∽△BDC,則DC=______.解:

∵△ABC∽△BDC

∴

即

∴DC=2cm5.解:∵△ADE∽△ACB

且

∴如圖，△ADE∽△ACB,則DE:BC=_____。7.D、E分別為△ABC的AB、AC上的點(diǎn)，DE∥BC，

∠DCB=∠A，把每?jī)蓚€(gè)相似的三角形稱為一組，那么圖中共有相似三角形_______組。解:∵DE∥BC∴∠ADE=∠B,∠EDC=∠DCB=∠A①∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC②∵∠A=∠DCB,∠ADE=∠B∴△ADE∽△CBD③∵△ADE∽△ABC△ADE∽△CBD∴△ABC∽△CBD④∵∠DCA=∠DCE,∠A=∠EDC∴△ADC∽△DEC1.

D為△ABC中AB邊上一點(diǎn)，∠ACD=∠ABC.

求證：AC2=AD·AB分析:要證明AC2=AD·AB，需要先將乘積式改寫為比例式，再證明AC、AD、AB所在的兩個(gè)三角形相似。由已知兩個(gè)三角形有二個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，所以兩三角形相似，本題可證。證明:∵∠ACD=∠ABC∠A=∠A∴△ABC△ACD

∴∴AC2=AD·AB2.△ABC中，∠BAC是直角，過斜邊中點(diǎn)M而垂直于斜邊BC的直線交CA的延長(zhǎng)線于E，交AB于D，連AM.

求證：①△MAD～△MEA②AM2=MD·ME證明：①∵∠BAC=90°M為斜邊BC中點(diǎn)

∴AM=BM=BC/2∴∠B=∠MAD又∵∠B+∠BDM=90°∠E+∠ADE=90°∠BDM=∠ADE∴∠B=∠E∴∠MAD=∠E又∵∠DMA=∠AME∴△MAD∽△MEA②∵△MAD∽△MEA

∴

即AM2=MD·ME3.

如圖，AB∥CD，AO=OB，DF=FB，DF交AC于E，求證：ED2=EO·EC.分析：欲證ED2=EO·EC，即證：

，只需證DE、EO、EC所在的三角形相似。證明：∵AB∥CD∴∠C=∠A∵AO=OB，DF=FB∴∠A=∠B，∠B=∠FDB∴∠C=∠FDB

又∵∠DEO=∠DEC∴△EDC∽△EOD∴，即ED2=EO·EC4.

過

ABCD的一個(gè)頂點(diǎn)A作一直線分別交對(duì)角線BD、邊

BC、邊DC的延長(zhǎng)線于E、F、G.

求證：EA2=EF·EG.

分析：要證明EA2=EF·EG，即證明成立，而EA、EG、EF三條線段在同一直線上，無(wú)法構(gòu)成兩個(gè)三角形，此時(shí)應(yīng)采用換線段、換比例的方法?？勺C明：△AED∽△FEB，△AEB∽△GED.證明：∵AD∥BFAB∥BC∴△AED∽△FEB△AEB∽△GED∴∴5.△ABC為銳角三角形，BD、CE為高.

求證：△ADE∽△ABC（用兩種方法證明）.證明一：

∵BD⊥AC，CE⊥AB∴∠ABD+∠A=90°，

∠ACE+∠A=90°∴∠ABD=∠ACE

又∵∠A=∠A∴△ABD∽△ACE∴∵∠A=∠A∴△ADE∽△ABC

證明二：∵∠BEO=∠CDO∠BOE=∠COD∴△BOE∽△COD∴

即又∵∠BOC=∠EOD∴△BOC∽△EOD∴∠1=∠2∵∠1+∠BCD=90°，

∠2+∠3=∠90°∴∠BCD=∠3

又∵∠A=∠A∴△ADE∽△ABC6.

已知在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，E是AC的中點(diǎn)，ED交AB的延長(zhǎng)線于F.求證:AB:AC=DF:AF.分析：因△ABC∽△ABD，所以，要證

即證，需證△BDF∽△DAF.證明：∵∠BAC=90°AD⊥BC∴∠ABC+∠C=90°∠ABC+∠BAD=90°∴∠BAD=∠C∵∠ADC=90°E是AC的中點(diǎn)，∴ED=EC∴∠EDC=∠C∵∠EDC=∠BDF

∴∠BDF=∠C=∠BAD又∵∠F=∠F∴△BDF∽△DAF.∴∵∠BAC=90°，AD⊥BC∴△ABC∽△ABD∴∴1.已知：如圖，△ABC中，P是AB邊上的一點(diǎn)，連結(jié)CP．滿足什么條件時(shí)△ACP∽△ABC．

解:⑴∵∠A=∠A，∴當(dāng)∠1=∠ACB（或∠2=∠B）時(shí)，△ACP∽△ABC⑵∵∠A=∠A，∴當(dāng)AC:AP＝AB:AC時(shí)，△ACP∽△ABC⑶∵∠A=∠A，當(dāng)∠4＋∠ACB＝180°時(shí)，△ACP∽△ABC答：當(dāng)∠1=∠ACB或∠2=∠B或AC:AP＝AB:AC或∠4＋∠ACB＝180°時(shí),△ACP∽△ABC.APBC1241、條件探索型三、探索題2.如圖：已知∠ABC＝∠CDB＝90°，AC＝a，BC=b，當(dāng)BD與a、b之間滿足怎樣的關(guān)系式時(shí)，兩三角形相似DABCab解:⑴∵∠1＝∠D＝90°∴當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，△ABC∽△CDB,∴⑵∵∠1＝∠D＝90°∴當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，△ABC∽△BDC，∴答：略.１

這類題型結(jié)論是明確的，而需要完備使結(jié)論成立的條件．解題思路是：從給定結(jié)論出發(fā)，通過逆向思考尋求使結(jié)論成立的條件．1.將兩塊完全相同的等腰直角三角板擺成如圖的樣子，假設(shè)圖形中的所有點(diǎn)、線都在同一平面內(nèi)，則圖中有相似（不包括全等）三角形嗎？如有，把它們一一寫出來(lái).C解：有相似三角形，它們是：△ADE∽△BAE,△BAE∽△CDA，△ADE∽△CDA（△ADE∽△BAE∽△CDA）2、結(jié)論探索型ABDEGF１22.△在ABC中，AB>AC，過AB上一點(diǎn)D作直線DE交另一邊于E，使所得三角形與原三角形相似，畫出滿足條件的圖形.EDABCDABCDABCDABCEEE這類題型的特征是有條件而無(wú)結(jié)論，要確定這些條件下可能出現(xiàn)的結(jié)論．解題思路是：從所給條件出發(fā)，通過分析、比較、猜想、尋求多種解法和結(jié)論，再進(jìn)行證明.3.存在探索型

如圖,DE是△ABC的中位線，在射線AF