中考相似三角形專題

中考中的相似三角形

第一部分知識梳理一、相似的性質(zhì)1、對應(yīng)角相等，對應(yīng)變成比例2、對應(yīng)邊上的中線、高之比，對應(yīng)角平分線之比等于相似比3、周長之比等于相似比，面積之比等于相似比的平方。二、相似三角形的判定1、平行于三角形一邊的直線，截三角形兩邊或延長線，所得三角形與原三角形相似2、兩角對應(yīng)性等的兩三角形相似3、兩邊對應(yīng)成比例，且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似4、三邊對應(yīng)成比例，兩個三角形相似第二部分中考鏈接一、相似三角形的性質(zhì)TOC\o"1-5"\h\z（2018?重慶）制作一塊3mx2m長方形廣告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情況下，若將此廣告牌的四邊都擴大為原來的3倍，那么擴大后長方形廣告牌的成本是（）A.360元B.720元C.1080元D.2160元（2018?玉林）兩三角形的相似比是2：3,則其面積之比是（）A.6：B.2：3C.4：9D.8：27（2018?重慶）要制作兩個形狀相同的三角形框架，其中一個三角形的三邊長分別為5cm,6cm和9cm,另一個三角形的最短邊長為2.5cm,則它的最長邊為（）A.3cmB.4cmC.4.5cmD.5cm（2018?內(nèi)江）已知AABC與AA#1cl相似，且相似比為1：3,則4ABC與1cl的面積比為（）A.1：IB.1：3C.1：6D.1：9（2018?銅仁市）已知△ABCs^DEF,相似比為2,且^ABC的面積為16,則4DEF的面積為（）A.32B.8C.4D.16（2017?重慶）已知△ABCs^DEF,且相似比為1：2,則AABC與4DEF的面積比為（）A.1：4B.4：1C.1：2D.2：1（2018?廣東）在AABC中，點D、E分別為邊AB、AC的中點，則^ADE與^ABC的面積之比為（）A.B.C.D.（2018?自貢）如圖，在4ABC中，點D、E分別是AB、AC的中點，若^ADE的面積為4,則△ABC的面積為（）A.8B.12C.14D.16AA.B.C.D.TOC\o"1-5"\h\zRc8題圖11題圖12題圖（2019?常州）若△ABC?△AB'。，相似比為1：2,則△ABC與△ABC'的周長的比為（）A.2：1B.1：2C.4：1D.1：4（2019?蘭州）已知＞48=8,AB'=6,貝I];二,=（）A.2B.;C.3D..BC39（2019?重慶）如圖，AABO^ACDO,若BO=6,DO=3,CD=2,貝IjAB的長是（）A.2B.3C.4D.5（2019?常德）如圖，在等腰三角形△ABC中，AB=AC,圖中所有三角形均相似，其中最小的三角形面積為A4BC的面積為42,則四邊形DBCE的面積是（）A.20B.22C.24D.26二、相似三角形的判定（一）利用平行線證三角形相似（2018?棗莊）如圖，在矩形ABCD中，點E是邊BC的中點，AE1BD,垂足為F,則tanNBDETOC\o"1-5"\h\z的值是（）A.B.C.D.1題圖2題圖3題圖（2018?棗莊）如圖，在Rt^ABC中，NACB=90°,CD,AB,垂足為D,AF平分/CAB,交CD于點E,交CB于點F.若AC=3,AB=5,則CE的長為（）A.B.C.D.（2018?東營）如圖所示，已知4ABC中，BC=12,BC邊上的高h(yuǎn)=6,D為BC上一點，EF〃BC,交AB于點E,交AC于點F,設(shè)點E到邊BC的距離為x.則^DEF的面積y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致為（）A.A.6B.8C.10D.12（2018?崇明縣一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E在邊DC上，DE：EC=3：1,連接AE交BD于點F,則4DEF的面積與4BAF的面積之比為（A.3：4B.9：16C.9：1D.3：14題圖54題圖5題圖6題圖7題圖TOC\o"1-5"\h\z（2018?隨州）如圖，平行于BC的直線DE把AABC分成面積相等的兩部分，則的值為（）A.1B.C.1D.（2018?哈爾濱）如圖，在^ABC中，點D在BC邊上，連接AD,點G在線段AD上，GE〃BD,且交AB于點E,GF〃AC,且交CD于點F,則下列結(jié)論一定正確的是（）A.=B.=C.=D.=（2018?遵義）如圖，四邊形ABCD中，AD〃BC,ZABC=90°,AB=5,BC=10,連接AC、BD,以BD為直徑的圓交AC于點E.若DE=3,則AD的長為（）A.5B.4C.3D.2（2018?貴港）如圖，在AABC中，EF〃BC,AB=3AE,若S四邊形"￡二16,則Sybc=（）A.16B.18C.20D.248題圖9題圖10題圖11題圖（2018?瀘州）如圖,正方形ABCD中，E,F分別在邊AD,CD上,AF,BE相交于點G,若AE=3ED,DF=CF,則的值是（）A.B.C.D.（2018?臨安區(qū)）如圖，在AABC中，DE〃BC,DE分另U與AB,AC相交于點D,E,若AD=4,DB=2,則DE：BC的值為（）A.B.C.D.11、（2018?恩施州）如圖所示，在正方形ABCD中，G為CD邊中點，連接AG并延長交BC邊的延長線于E點，對角線BD交AG于F點.已知FG=2,則線段AE的長度為（（2018?香坊區(qū)）如圖，點D、E、F分別是AABC的邊AB、AC、BC上的點，若DE〃BC,EF〃AB,則下列比例式一定成立的是（）A.--=B.=C.=D.=DB（2018?荊門）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，E、F為CD邊的兩個三等分點，連接AF、BE交于點G,則S:SARr=（）A.1：3B.3：1C.1：9D.9：1△匕卜U△ABU12題圖13題圖12題圖13題圖14題圖15題圖（2018?達(dá)州）如圖，E,F是平行四邊形ABCD對角線AC上兩點，AE=CF=AC.連接DE,DF并延長，分別交AB,BC于點G,H,連接GH,則的值為（）A.B.C.D.1（20184臨沂）如圖.利用標(biāo)桿BE測量建筑物的高度.已知標(biāo)桿BE高1.2m,測得AB=1.6mBC=12.4m則建筑物CD的高是（）A.9.3mB.10.5mC.12.4mD.14m（2019?杭州）如圖，在△ABC中，點D,E分另U在么3和AC上，DE//BC,M為3c邊上一點（不與點3,C重合），連接AM交DE于點M則（）A-ADANANAEB-BDMN.MNCEA-ADANANAEB-BDMN.MNCEc-DNNE.D.DNNEBMMCMCBM16題圖17題圖18題圖19題圖（2019?涼山州）如圖，在△A3C中，。在AC邊上，AD：DC=1：2,。是3。的中點，連接AO并延長交BC于E,貝I]BE：EC=（）A.1：2B.1：3C.1：4D.2：3（2019?玉林）如圖，/3〃EF〃DC,WBC,EF與AC交于點G，則是相似三角形共有（）A.3對B.5對C.6對D.8對19.（2018?濟(jì)寧）如圖，點A是反比例函數(shù)y=（x>0）圖象上一點，直線y=kx+b過點A并且與兩坐標(biāo)軸分別交于點B,C,過點A作AD，x軸，垂足為D,連接DC,若^BOC的面積是4,則ADOC的面積是..（2018?邵陽）如圖所示，點E是平行四邊形ABCD的邊BC延長線上一點，連接AE,交CDTOC\o"1-5"\h\z于點F,連接BF.寫出圖中任意一對相似三角形：^20題圖21題圖22題圖23題圖24題圖.（2018?北京）如圖，在矩形ABCD中，E是邊AB的中點，連接DE交對角線AC于點F,若AB=4,AD=3,貝UCF的長為..（2018?包頭）如圖，在々ABCD中，AC是一條對角線，EF〃BC,且EF與AB相交于點E,與AC相交于點F,3AE=2EB,連接DF.若Saef=1，則SAdf的值為.△AEF△ADF.（2018?資陽）已知：如圖，4ABC的面積為12,點D、E分別是邊AB、AC的中點，則四邊形BCED的面積為..（2019?淮安）如圖，11〃l2〃l3,直線a、b與11、12、13分別相交于點A、B、C和點D、E、F.若AB=3,DE=2,BC=6,則EF=.（2018鎮(zhèn)江）如圖1,平行四邊形ABCD中，AB±AC,AB=6,AD=10,點P在邊AD上運動，以P為圓心，PA為半徑的。P與對角線AC交于A,E兩點.（1）如圖2,當(dāng)。P與邊CD相切于點F時，求AP的長；（2）不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)。P與邊CD相切時，。P與平行四邊形ABCD的邊有三個公共點，隨著AP的變化，。P與平行四邊形ABCD的邊的公共點的個數(shù)也在變化，若公共點的個數(shù)為4,直接寫出相對應(yīng)的AP的值的取值范圍^55題圖.6題圖7題圖8題圖27.（2019?荷澤）如圖，5。是的直徑，是的弦，過點￡作。0的切線，交。5的延長線于點G,過點5作5G￡于點F交的延長線于點A.（1）求證：ZABG=2ZC；（2）若GF=3解,GB=6,求的半徑.（二）兩角對應(yīng)相等兩三角形相似（2018?聊城）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的兩邊OA,OC分別在x軸和y軸上,并且OA=5,OC=3.若把矩形OABC繞著點。逆時針旋轉(zhuǎn)，使點A恰好落在BC邊上的名處，則點C的對應(yīng)點q的坐標(biāo)為（）A.（-,）B.（-,）C.（-,）D.（-,）（2018?永州）如圖，在AABC中，點D是邊AB上的一點，NADONACB,AD=2,BD=6,則邊AC的長為（）A.2B.4C.6D.82題圖32題圖3題圖4題圖（2019?淄博）如圖，在△ABC中，AC=2,BC=4,。為BC邊上的一點，且NC4D=NB.若△/WC的面積為a,D.則△ABD的面積為（）A.2aB.2aC.3aD.（2019?赤峰）如圖，D、E分另lj是△ABC邊八B,AC上的點，ZADE=ZACB,若/W=2,>48=6,AC=4,貝ljAE的長是（）的長是（）A.1B.2C.3D.4（2018濱州）如圖，在矩形ABCD中，AB=2,BC=4,點E、F分別在BC、CD上，若AE=，/EAF=45°,則AF的長為(2018鹽城)如圖，在直角AABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,P、Q分別為邊BC、AB上的兩個動點,若要使△APQ是等腰三角形且^BPQ是直角三角形，則AQ=.(2019?南京)如圖，在△ABC中，BC的垂直平分線M/V交八B于點D,8平分乙4cB.若4)=2,80=3,則AC的長.(2019?宜賓)如圖，已知直角△ABC中，CD是斜邊上的高，AC=4,BC=3,貝lj4)=.(2018?濟(jì)寧)如圖，在正方形ABCD中，點E,F分別是邊AD,BC的中點，連接DF,過點E作EHLDF,垂足為H,EH的延長線交DC于點G.(1)猜想DG與CF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)過點H作MN〃CD,分別交AD,BC于點M,N,若正方形ABCD的邊長為10,點P是MN上一點，求4PDC周長的最小值.(2018?杭州)如圖，在^ABC中，AB=AC,AD為BC邊上的中線，DELAB于點E.(1)求證：△BDEs^CAD.(2)若AB=13,BC=10,求線段DE的長.(2018鎮(zhèn)江)如圖，一次函數(shù)y=kx+b(k=0)的圖象與x軸，y軸分別交于A(-9,0),B(0,6)兩點，過點C(2,0)作直線I與BC垂直，點E在直線I位于x軸上方的部分.(1)求一次函數(shù)戶kx+b(k/0)的表達(dá)式；(2)若4ACE的面積為11,求點E的坐標(biāo)；(3)當(dāng)NCBE=NABO時，點E的坐標(biāo)為^（2018?濱州）如圖，AB為。0的直徑，點C在。。上，ADLCD于點D,且AC平分NDAB,求證：（1）直線DC是。。的切線；（2）AC2=2AD*AO.（2018日照）如圖所示，。。的半徑為4,點A是。。上一點，直線I過點A；P是。。上的一個動點（不與點A重合），過點P作PBL于點B,交。。于點E,直徑PD延長線交直線I于點F,點A是的中點.(1)(2)求證：直線I(1)(2)若PA=6,求PB的長.（2018?東營）如圖，CD是。0的切線，點C在直徑AB的延長線上.（1）求證：ZCAD=ZBDC；（2）若BD=AD,AC=3,求CD的長.（2018黃岡）如圖，AD是。。的直徑，AB為。0的弦，0P±AD,0P與AB的延長線交于點P,過B點的切線交0P于點C.（1）求證：ZCBP=ZADB.（2）若0A=2,AB=1,求線段BP的長.

（2018?張家界）如圖，點P是。。的直徑AB延長線上一點，且AB=4,點M為標(biāo)上一個動點（不與A,B重合），射線PM與。。交于點N（不與M重合）（1）當(dāng)M在什么位置時，4MAB的面積最大，并求出這個最大值；（2）求證：△PANs^pmB.17、（2019?淄博）如圖，在中，N5=90°,NA4C的平分線4。交5。于點。，點￡在AC上，以為直徑的經(jīng)過點D（1）求證：①5。是的切線；②CQ』C￡?CA；（2）若點尸是劣弧4。的中點，且?！?3,試求陰影部分的面積.=2ZC,AC與BD交于點H,與0￡交于點E（1）求證：是的切線；（2）=2ZC,AC與BD交于點H,與0￡交于點E（1）求證：是的切線；（2）若。8=9,tanC=，求直徑45的長.（2019?濱州）如圖，在△A5C中，AB=AC,以45為直徑的分別與5C,AC交于點。，E,過點。作DF±AC,垂足為點E（1）求證：直線。尸是的切線；（2）求證：BC2=4CF?AC；（3）若的半徑為4,ZCDF=15°,求陰影部分的面積.（2019?聊城）如圖，△A5C內(nèi)接于45為直徑，作交AC于點。，延長5C,0。交于點F過點。作的切線交Ob于點￡.(1)求證：EC=ED；(2)如果04=4,EF=3,求弦AC的長.（三）、三邊對應(yīng)成比例（2018?臨安區(qū)）如圖，小正方形的邊長均為1,則下列圖中的三角形（陰影部分）與4ABC相似的是（）A.B.C.D.（2019?連云港）在如圖所示的象棋盤（各個小正方形的邊長均相等）中，根據(jù)“馬走日”的規(guī)則，“馬”應(yīng)落在下列哪個位置處，能使“馬”、“車”、“炮”所在位置的格點構(gòu)成的三角形與“帥”、“相”、“兵”所在位置的格點構(gòu)成的三角形相似（）A.①處B.②處C.③處D.④處（四）、兩邊成比例，夾角相等1、（2018徐州）如圖，AB為。。的直徑，AB=4,C為半圓AB的中點，P為菽上一動點，延長BP至點Q,使BP?BQ=AB2.若點P由A運動到C,則點Q運動的路徑長為2.（2018宿遷）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=（x-a）（x-3）（0<a<3）的圖象與x軸交于點A、B（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點D,過其頂點C作直線CP，x軸，垂足為點P,連接AD、BC.（1）求點A、B、D的坐標(biāo)；（2）若^AOD與ABPC相似，求a的值；（3）點D、0、C、B能否在同一個圓上？若能，求出a的值；若不能，請說明理由.三、相似三角形的應(yīng)用.（2018?長春）《孫子算經(jīng)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作，成書于約一千五百年前，其中有首歌謠：今有竿不知其長，量得影長一丈五尺，立一標(biāo)桿，長一尺五寸，影長五寸，問竿長幾何？意即：有一根竹竿不知道有多長，量出它在太陽下的影子長一丈五尺，同時立一根一尺五寸的小標(biāo)桿，它的影長五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），則竹竿的長為（）A.五丈B.四丈五尺C.一丈D.五尺.（2018?紹興）學(xué)校門口的欄桿如圖所示，欄桿從水平位置BD繞0點旋轉(zhuǎn)到AC位置，已知AB±BD,CDLBD,垂足分別為B,D,A0=4m,AB=1.6m,CO=1m,則欄桿C端應(yīng)下降的垂直距離CD為（）A.0.2mB.0.3mC.0.4mD.0.5m標(biāo)標(biāo)阡1題圖2題圖3題圖4題圖5題圖.（2018*泰安）《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作，在〃勾股〃章中有這樣一個問題：〃今有邑方二百步，各中開門，出東門十五步有木，問：出南門幾步面見木？〃用今天的話說，大意是：如圖，DEFG是一座邊長為200步（〃步〃是古代的長度單位）的正方形小城，東門H位于GD的中點，南門K位于ED的中點，出東門15步的A處有一樹木，求出南門多少步恰好看到位于A處的樹木（即點D在直線AC上）？請你計算KC的長為步..（2018?岳陽）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，書中有下列問題：“今有勾五步，股十二步，問勾中容方幾何？”其意思為：“今有直角三角形，勾（短直角邊）長為5步，股（長直角邊）長為12步，問該直角三角形能容納的正方形邊長最大是多少步？”該問題的答案是步.（2018?吉林）如圖是測量河寬的示意圖，AE與BC相交于點D,NB=NC=90°,測得BD=120m,DC=60m,EC=50m,求得河寬AB=m.（2019?吉林）在某一時刻，測得一根高為1.8m的竹竿的影長為3m,同時同地測得一棟樓的影長為90m，則這棟樓的高度為m.（2019?荊門）如圖，為了測量一棟樓的高度OE,小明同學(xué)先在操場上八處放一面鏡子，向后退到B處，恰好在鏡子中看到樓的頂部E；再將鏡子放到C處，然后后退到D處，恰好再次在鏡子中看到樓的頂部E（O,A,B,C,D在同一條直線上），測得AC=2m,BD=2.1m,如果小明眼睛距地面高度BF,DG為1.6m,試確定樓的高度OE.四、綜合題（2018?揚州）如圖，點A在線段BD上，在BD的同側(cè)作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE,CD與BE、AE分別交于點P,M.對于下列結(jié)論：①△BAEs^CAD；②MP?MD=MA?ME；③2CB2=CP?CM.其中正確的是（）A.①②③B.①C.①②D.②③

E2題圖3題圖E2題圖（2018?孝感）如圖，4ABC是等邊三角形，4ABD是等腰直角三角形，ZBAD=90°,AE±BD于點E,連CD分別交AE,AB于點F,G,過點A作AH1CD交BD于點H.則下列結(jié)論：①NADO15。；②AF=AG；③AH=DF；?AAFG^ACBG；⑤AF=（-1）EF.其中正確結(jié)論的個數(shù)為（）A.5B.4C.3D.2（2018?南充）如圖，正方形ABCD的邊長為2,P為CD的中點，連結(jié)AP,過點B作BELAP于點E,延長CE交AD于點F,過點C作CHLBE于點G,交AB于點H,連接HF.下列結(jié)論正確的是（）A.CE=B.EF=C.cosZCEP=D.HF2=EF*CF（2019?安徽）如圖，在《△ABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=12,點。在邊BC上，點E在線段4）上，EFLAC于點F,￡3，￡下交48于點3.若EF=EG,則CD的長為（）A.3.6B.4C.4.8D.54題圖5題圖（2018常州）如圖，在^ABC紙板中，AC=4,BC=2,AB=5,P是AC上一點，過點P沿直線剪下一個與4ABC相似的小三角形紙板，如果有4種不同的剪法，那么AP長的取值范圍是.6、（2018鹽城）如圖，在以線段AB為直徑的。O上取一點，連接AC、BC.將^ABC沿AB翻折后得到△ABD.（1）試說明點D在OO上；（2）在線段AD的延長線上取一點E，使AB2=AC.求證：BE為OO的切線；（3）在（2）的條件下，分別延長線段AE、CB相交于點F，若BC=2，AC=4,求線段EF的長.

(2019?涼山州)如圖，ZABD=ZBCD=90°,DB平分N/WC,過點B作BM〃C。交八。于M.連接CM交DB于N.(1)求證：BD2=AD?CD；(2)若8=6,>40=8,求M/V的長.D(2019?安徽)如圖，笈△ABC中，ZACB=9Q°,AC=BC,"為△ABC內(nèi)部一點，AZAPB=ZBPC=135°.(1)求證：八PABs八PBC；(2)求證：PA=2PC；(3)若點戶到三角形的邊小B,BC,C4的距離分別為力仔h2,h3,求證%2=為?%.五、位似(2019?邵陽)如圖，以點。為位似中心，把△ABC放大為原圖形的2倍得到△ABC,以下說法中錯誤的是()A.AABC^AA'B'CB.點C、點。、點。三點在同一直線上C.AO：AA'=1：2D.AB//A'B'1題圖21題圖2題圖3題圖OCDOCD90，Z°(2018菏澤)如圖，OAB與OCD是以點O為位似中心的位似圖形，相似比為3:4,AA

AOB60,若點B的坐標(biāo)是(6,0),則點。的坐標(biāo)是「如圖,在直角坐標(biāo)系中，正方形的邊長均為1個單位長度，△AB。的頂點坐標(biāo)分別為X(-2,-1),B(-2,-3),0(0,0),△.B］。］的頂點坐標(biāo)分別為&(1,-1),B］(1,-5),.(5,1),AAB。與△&B］。］是以點戶為位似中心的位似圖形，則戶點的坐標(biāo)為.4.(2019?河池)如圖，以點。為位似中心，將△04B放大后得到△08,OA=2,AC=3,則::=.本(2019?本溪)在平面直角坐標(biāo)系中，點A,B的坐標(biāo)分別是A(4,2),B(5,0),以點。為位似中心,相似比為：，把^ABO縮小，得到△A1B1。，則點A的對應(yīng)點A1的坐標(biāo)為.6.(2019?巴中)△ABC在邊長為1的正方形網(wǎng)格中如圖所示.①以點C為位似中心，作出△ABC的位似圖形△A1B1C,使其位似比為1：2.且4A1B1C位于點C的異側(cè)，并表示出A1的坐標(biāo).②作出△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°后的圖形aA2B2c.③在②的條件下求出點B經(jīng)過