導(dǎo)熱數(shù)值解法

4.1導(dǎo)熱問(wèn)題數(shù)值求解的基本思想4.1.1基本思想4.1.2導(dǎo)熱問(wèn)題數(shù)值求解的基本步驟返回?cái)?shù)值解： 用導(dǎo)熱體內(nèi)有限個(gè)離散點(diǎn)上的溫度值的集合來(lái)代替實(shí)際連續(xù)的溫度場(chǎng)分布4.1.1基本思想返回2xy4.1.2導(dǎo)熱問(wèn)題數(shù)值求解的基本步驟1.數(shù)學(xué)描述二維矩形區(qū)域內(nèi)的穩(wěn)態(tài)、無(wú)內(nèi)熱源、常物性導(dǎo)熱問(wèn)題)(

)(

0)(

00ffftthytWytthytytthxtHxttx-=??-=-=??-=-=??-===lll網(wǎng)格劃分： 用一系列與坐標(biāo)軸平行網(wǎng)格線(xiàn)把求解區(qū)域劃分成許多子區(qū)域節(jié)點(diǎn):網(wǎng)格線(xiàn)的交點(diǎn)，分內(nèi)節(jié)點(diǎn)和外節(jié)點(diǎn)步長(zhǎng)：相鄰兩節(jié)點(diǎn)間距離，在一個(gè)方向步長(zhǎng)也可不均勻均分網(wǎng)格:2.區(qū)域離散化3.建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程 關(guān)于節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程也稱(chēng)離散方程，建立離散方程是數(shù)值求解過(guò)程中的重要環(huán)節(jié)，是本章的重點(diǎn)內(nèi)容。返回4.設(shè)立溫度場(chǎng)的迭代初值 節(jié)點(diǎn)代數(shù)方程組的求解一般采用迭代法，需要對(duì)被求解的溫度場(chǎng)預(yù)先假定一個(gè)初始溫度分布，稱(chēng)為初場(chǎng)5.求解代數(shù)方程組6.解的分析4.2內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的建立方法4.2.1Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)法包括Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)法和熱平衡法4.2.2熱平衡法（熱力學(xué)第一定律）返回兩式相加得:4.2.1Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)法對(duì)節(jié)點(diǎn)(m+1,n)和節(jié)點(diǎn)(m-1,n)分別寫(xiě)出t對(duì)節(jié)點(diǎn)(m,n)的Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi):推導(dǎo)溫度在x方向二階導(dǎo)數(shù)的代數(shù)表達(dá)式略去截?cái)嗾`差，得到溫度在x方向二階導(dǎo)數(shù)的中心差分表達(dá)式:同理,得溫度在y方向二階導(dǎo)數(shù)的中心差分表達(dá)式:將差分表達(dá)式代入控制方程如果得:則有:在均分網(wǎng)格中，一、二階導(dǎo)數(shù)常見(jiàn)的差分表達(dá)式如下表所示返回4.2.2熱平衡法（熱力學(xué)第一定律）news12(m,n)(m-1,n)(m+1,n)(m,n-1)xy

(m,n+1)穩(wěn)態(tài)、無(wú)內(nèi)熱源時(shí),從所有方向流入控制體的總熱流量＝0控制容積(元體):節(jié)點(diǎn)代表的區(qū)域,由相鄰兩節(jié)點(diǎn)連線(xiàn)的中垂線(xiàn)構(gòu)成二維常導(dǎo)熱系數(shù)無(wú)內(nèi)熱源的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題，對(duì)元體(m,n)列出能量守恒方程：從元體西界面導(dǎo)入的熱量為:從元體東界面導(dǎo)入的熱量為:從元體南界面導(dǎo)入的熱量為:從元體北界面導(dǎo)入的熱量為:將各表達(dá)式代入對(duì)元體(m,n)能量守恒方程得：整理得:采用熱平衡法建立節(jié)點(diǎn)的離散方程，物理概念清晰，推導(dǎo)過(guò)程簡(jiǎn)單，并且對(duì)于建立邊界節(jié)點(diǎn)的離散方程也能適用，需要掌握。返回基本思想：對(duì)每個(gè)有限大小的控制容積應(yīng)用能量守恒，從而獲得溫度場(chǎng)的代數(shù)方程組，它從基本物理現(xiàn)象和基本定律出發(fā)，不必事先建立控制方程，依據(jù)能量守恒和Fourier導(dǎo)熱定律即可。news(m,n)(m-1,n)(m+1,n)(m,n-1)xy

(m,n+1)4.3邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立及代數(shù)方程的求解4.3.1邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立4.3.2處理不規(guī)則區(qū)域的階梯型逼近法（不要求）4.3.3求解代數(shù)方程的迭代法返回邊界節(jié)點(diǎn)的離散方程的形式與邊界條件的類(lèi)型有關(guān)一、第一類(lèi)邊界條件情形4.3.1邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立這種情形邊界節(jié)點(diǎn)不需要離散方程。此時(shí)邊界溫度值未知，需建立邊界節(jié)點(diǎn)溫度的離散方程。設(shè)邊界熱流密度為qw，并且導(dǎo)熱體內(nèi)有內(nèi)熱源，采用元體能量平衡法來(lái)建立邊界節(jié)點(diǎn)溫度的離散方程。二、第二類(lèi)邊界條件情形如1、平直邊界上的節(jié)點(diǎn)邊界節(jié)點(diǎn)(m,n)代表的區(qū)域?yàn)榘雮€(gè)普通大小元體。對(duì)該半個(gè)元體應(yīng)用能量平衡，則有：xyqw2、邊界上的外部角點(diǎn)邊界節(jié)點(diǎn)D代表的區(qū)域?yàn)?/4個(gè)普通元體大小的面積。如，則有：xyqw3、邊界上的內(nèi)部角點(diǎn)邊界節(jié)點(diǎn)F代表的區(qū)域?yàn)?/4個(gè)普通元體大小的面積。對(duì)該外部節(jié)點(diǎn)元體應(yīng)用能量平衡如，則有：xyqw三、第三類(lèi)邊界條件情形將該熱流密度的表達(dá)式代入第二類(lèi)邊界條件中，可得第三類(lèi)邊界條件下邊界節(jié)點(diǎn)的離散方程。平直邊界節(jié)點(diǎn)：內(nèi)部角點(diǎn)：外部角點(diǎn)：返回例題講解請(qǐng)列出下圖所示直徑為d的圓截面直肋的一維穩(wěn)態(tài)、無(wú)內(nèi)熱源、常物性導(dǎo)熱問(wèn)題內(nèi)節(jié)點(diǎn)2的離散方程式（導(dǎo)熱系數(shù)為λ，肋高方向的步長(zhǎng)為Δx）。

對(duì)節(jié)點(diǎn)2，列熱平衡式：即：

22寫(xiě)出所有內(nèi)節(jié)點(diǎn)和邊界節(jié)點(diǎn)的溫度差分方程n個(gè)未知節(jié)點(diǎn)溫度，n個(gè)代數(shù)方程式：代數(shù)方程組的求解方法：直接解法、迭代解法4.3.3求解代數(shù)方程的迭代法23直接解法：通過(guò)有限次運(yùn)算獲得代數(shù)方程精確解：矩陣求逆、高斯消元法迭代解法：先對(duì)要計(jì)算的場(chǎng)作出假設(shè)、在迭代計(jì)算過(guò)程中不斷予以改進(jìn)、直到計(jì)算結(jié)果與假定值的結(jié)果相差小于允許值。稱(chēng)迭代計(jì)算已經(jīng)收斂。缺點(diǎn)：所需內(nèi)存較大、方程數(shù)目多時(shí)不便、不適用于非線(xiàn)性問(wèn)題（若物性為溫度的函數(shù)，節(jié)點(diǎn)溫度差分方程中的系數(shù)不再是常數(shù)，而是溫度的函數(shù)。這些系數(shù)在計(jì)算過(guò)程中要相應(yīng)地不斷更新）迭代解法有多種：簡(jiǎn)單迭代（Jacobi迭代）、高斯-賽德?tīng)柕?、塊迭代、交替方向迭代等高斯-賽德?tīng)柕奶攸c(diǎn)：每次迭代時(shí)總是使用節(jié)點(diǎn)溫度的最新值下面以簡(jiǎn)單的三元方程組為例說(shuō)明該方法的步驟：（1）將方程組改寫(xiě)成關(guān)于t1,t2,t3的顯式形式，即迭代方程。1.高斯-賽德?tīng)柕ǎ?）假設(shè)一組解（即迭代初場(chǎng)），記為t1(0)、t2(0)、t3(0),由迭代公式逐一計(jì)算出改進(jìn)值t1(1)、t2(1)、t3(1)。每次計(jì)算均用t的最新值代入。（3）以計(jì)算所得之值作為初場(chǎng)，重復(fù)上述計(jì)算，直到相鄰兩次迭代值之差小于允許值，此時(shí)稱(chēng)為已經(jīng)達(dá)到迭代收斂，迭代計(jì)算終止。2.迭代過(guò)程是否已經(jīng)收斂的判據(jù)判斷迭代是否已經(jīng)收斂的判據(jù)常用的有三種：允許的相對(duì)偏差ε之值一般在10-3—10-6之間，視具體情況而定3.迭代過(guò)程能否收斂的判據(jù)對(duì)于常物性導(dǎo)熱問(wèn)題所組成的差分方程組，迭代公式的選擇應(yīng)使每一個(gè)迭代變量的系數(shù)總是大于或等于該式中其他變量系數(shù)絕對(duì)值之和，此時(shí)用迭代法求解代數(shù)方程一定收斂。該條件在數(shù)學(xué)上稱(chēng)為主對(duì)角線(xiàn)占優(yōu)。返回4.4非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法4.4.1時(shí)間-空間區(qū)域的離散化相比穩(wěn)態(tài)問(wèn)題，在非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱微分方程中多了非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)，因此需要學(xué)習(xí)非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)的離散方法。擴(kuò)散項(xiàng)的離散方法與前者相同。4.4.2非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題離散的顯式格式4.4.3非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題離散的隱式格式4.4.4邊界節(jié)點(diǎn)的離散方程4.4.5非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱顯式格式離散方程組及穩(wěn)定性分析返回以一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題為例，介紹非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的離散化。在空間-時(shí)間坐標(biāo)系中對(duì)所研究的空間區(qū)域和時(shí)間區(qū)域進(jìn)行離散時(shí)間坐標(biāo)

分成I-1等份，

為時(shí)間步長(zhǎng)空間網(wǎng)格線(xiàn)與時(shí)間網(wǎng)格線(xiàn)的交點(diǎn)（n,i）代表了時(shí)間-空間區(qū)域中的一個(gè)節(jié)點(diǎn)位置tn(i)4.4.1時(shí)間-空間區(qū)域的離散化空間坐標(biāo)x分成

N-1等份，

x為空間步長(zhǎng)將溫度t在節(jié)點(diǎn)（n,i+1）處對(duì)節(jié)點(diǎn)（n,i）處作泰勒展開(kāi)，可得溫度t在節(jié)點(diǎn)（n,i）處的非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)一階導(dǎo)數(shù)的三種差分格式。向前差分向后差分中心差分上述三種非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)差分格式都有應(yīng)用，本書(shū)主要以向前差分格式為主返回直角坐標(biāo)系一維非穩(wěn)態(tài)常物性無(wú)內(nèi)熱源第三類(lèi)邊界條件導(dǎo)熱數(shù)學(xué)描述為：上述離散方程一旦i時(shí)層各節(jié)點(diǎn)溫度已知，每一個(gè)離散方程中只有一個(gè)未知量，因此可以立即求出i+1時(shí)層上各內(nèi)部節(jié)點(diǎn)的溫度，而不必聯(lián)立求解方程組。這種離散方程的計(jì)算格式稱(chēng)為顯式差分格式顯式格式的優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算量小，但時(shí)間和空間步長(zhǎng)不能太大，存在求解不穩(wěn)定問(wèn)題。4.4.2非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題離散的顯式格式非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)取向前差分格式進(jìn)行離散，擴(kuò)散項(xiàng)在i時(shí)刻采用中心差分格式，得：控制方程返回非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)取向前差分格式進(jìn)行離散，項(xiàng)在i+1時(shí)刻采用中心差分格式，得：上述離散方程中在i時(shí)層各節(jié)點(diǎn)溫度已知時(shí)，方程中有三個(gè)i+1時(shí)層上的位置溫度，因此需聯(lián)立求解方程組。這種離散方程的計(jì)算格式稱(chēng)為隱式差分格式隱式格式的缺點(diǎn)是計(jì)算工作量大，但它對(duì)時(shí)間和空間步長(zhǎng)無(wú)限制，不存在求解不穩(wěn)定問(wèn)題4.4.3非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題離散的隱式格式返回4.4.4邊界節(jié)點(diǎn)的離散方程同穩(wěn)態(tài)問(wèn)題類(lèi)似，非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的離散也可采用元體能量平衡法。下面以邊界節(jié)點(diǎn)的離散方程為例介紹。一無(wú)限大平板的右邊界部分為第三類(lèi)邊界條件，對(duì)邊界節(jié)點(diǎn)N建立其離散方程。邊界節(jié)點(diǎn)N代表寬度為x/2的元體，對(duì)該元體應(yīng)用能量平衡進(jìn)行分析整理得：引入特征數(shù)：由于上述特征數(shù)的特征尺度為網(wǎng)格寬度，故稱(chēng)網(wǎng)格傅里葉數(shù)和網(wǎng)格畢渥數(shù)邊界節(jié)點(diǎn)的離散方程可以寫(xiě)成：內(nèi)節(jié)點(diǎn)的顯式離散方程可以寫(xiě)成：返回4.4.5非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱顯式格式離散方程組及穩(wěn)定性分析無(wú)限大平板一維非穩(wěn)態(tài)常物性無(wú)內(nèi)熱源第三類(lèi)邊界條件導(dǎo)熱問(wèn)題其數(shù)學(xué)描述為：右側(cè)邊界節(jié)點(diǎn)：左側(cè)邊界節(jié)點(diǎn)：初始條件：控制方程：數(shù)學(xué)描述的顯式離散方程