【教案】向量的正交分解及坐標(biāo)表示教學(xué)設(shè)計(jì)-2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊

6/6§6.3.2向量的正交分解及坐標(biāo)表示一、內(nèi)容和內(nèi)容解析內(nèi)容：向量的正交分解及坐標(biāo)表示．內(nèi)容解析：本節(jié)是高中數(shù)學(xué)人教A版必修2第六章第3節(jié)第二課時(shí)的內(nèi)容．平面向量基本定理是坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)，坐標(biāo)表示使平面中的向量與坐標(biāo)建立起了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，這為通過“數(shù)”的運(yùn)算處理“形”的問題搭建了橋梁，也決定了本課內(nèi)容在向量知識(shí)體系中的核心地位.借助平面直角坐標(biāo)系，掌握平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和直觀想象的核心素養(yǎng).二、目標(biāo)和目標(biāo)解析目標(biāo)：（1）借助平面直角坐標(biāo)系，理解平面向量的正交分解，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)．（2）掌握平面向量的坐標(biāo)表示,提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．目標(biāo)解析：（1）平面向量正交分解是以平面向量基本定理為基礎(chǔ)，平面上給定兩個(gè)不共線的向量，則任意向量均可分解為分別與它們共線得兩個(gè)向量，如果這兩個(gè)不同線的向量互相垂直，就得到向量的正交分解的概念．（2）類比平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)的表示，思考直角坐標(biāo)平面內(nèi)向量的表示方法，由正交分解和單位向量做基底，由此給出向量坐標(biāo)的概念.（3）數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)，但數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)需要在每一堂課中尋找機(jī)會(huì)去落實(shí)．在向量的正交分解及坐標(biāo)表示的教學(xué)中，從平面向量基本定理歸納推理概括正交分解和坐標(biāo)表示是進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象教學(xué)的很好機(jī)會(huì)．基于上述分析，本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)定為：掌握向量的坐標(biāo)表示．三、教學(xué)問題診斷分析1．教學(xué)問題一：如何進(jìn)行向量的正交分解是本節(jié)課的第一個(gè)教學(xué)問題．解決方案：通過回顧平面向量基本定理，借助重力沿互相垂直的兩個(gè)方向分解的例子說明．2．教學(xué)問題二：如何進(jìn)行坐標(biāo)表示是本節(jié)課的第二個(gè)教學(xué)問題．這是本節(jié)課的重點(diǎn)類．解決方案：類比平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)的表示，借助圖形觀察發(fā)現(xiàn)向量的坐標(biāo)和點(diǎn)的坐標(biāo)之間的聯(lián)系．基于上述情況，本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)定為：了解平面向量的正交分解．四、教學(xué)策略分析本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)與教學(xué)問題為我們選擇教學(xué)策略提供了啟示．為了讓學(xué)生通過觀察、歸納得到向量的正交分解及坐標(biāo)表示，應(yīng)該為學(xué)生創(chuàng)造積極探究的平臺(tái)．因此，在教學(xué)過程中利用問題串的形式引導(dǎo)學(xué)生思考，討論，可以讓學(xué)生從被動(dòng)學(xué)習(xí)狀態(tài)轉(zhuǎn)到主動(dòng)學(xué)習(xí)狀態(tài)中來．在教學(xué)設(shè)計(jì)中，采取問題引導(dǎo)方式來組織課堂教學(xué)．問題的設(shè)置給學(xué)生留有充分的思考空間，讓學(xué)生圍繞問題主線，通過自主探究達(dá)到突出教學(xué)重點(diǎn)，突破教學(xué)難點(diǎn)．在教學(xué)過程中，重視向量的正交分解及坐標(biāo)表示，讓學(xué)生體會(huì)到從特殊到一般是數(shù)學(xué)抽象的基本過程．因此，本節(jié)課的教學(xué)是實(shí)施數(shù)學(xué)具體內(nèi)容的教學(xué)與核心素養(yǎng)教學(xué)有機(jī)結(jié)合的嘗試．五、教學(xué)過程與設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)問題或任務(wù)師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖回顧前知[問題1]什么是平面向量基本定理？[問題2]如圖,向量i,j是兩個(gè)互相垂直的單位向量,向量a與i的夾角是30°,且|a|=4,以向量i,j為基底,向量a如何表示?教師1：提出問題1．學(xué)生1：如果是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)這一平面內(nèi)的任意一個(gè)向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，使.我們把不共線向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.教師2：提出問題2．學(xué)生2：因?yàn)橄蛄縜與i的夾角是30°,且|a|=4,所以O(shè)A=2，OB=2，于是a=2i+2j.通過復(fù)習(xí)平面向量基本定理引入本節(jié)新課.建立知識(shí)間的聯(lián)系，提高學(xué)生概括、類比推理的能力.問題探究形成概念[問題3]在平面中,垂直的兩個(gè)非零向量a,b能否作為平面內(nèi)所有向量的一組基底?[問題4]在平面內(nèi),e1,e2是兩個(gè)互相垂直的非零向量,這個(gè)平面內(nèi)的任一向量是否都能用這兩個(gè)向量來表示?表示是否唯一?[問題5]平面直角坐標(biāo)系中,分別取與x軸,y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i、j作為基底,任作一向量,根據(jù)平面向量基本定理,=xi+yj,那么(x,y)與A點(diǎn)的坐標(biāo)相同嗎?如果向量也用(x,y)表示,那么這種向量與實(shí)數(shù)對(duì)(x,y)之間是否一一對(duì)應(yīng)?[問題6]點(diǎn)的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)有何區(qū)別？教師3：提出問題3．學(xué)生4：能,平面內(nèi)任何兩個(gè)不共線的向量都可以作為一組基底.教師4：提出問題4．學(xué)生4：由平面向量基本定理可知,平面內(nèi)的任一向量都可以用e1,e2來表示,且表示方法是唯一的.教師5：提出問題5．學(xué)生5：相同，一一對(duì)應(yīng).教師6：1.平面向量的正交分解把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．若a＝xi＋yj,則a＝(x，y).2．平面向量的坐標(biāo)表示在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i、j作為基底．對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使得a＝xi＋yj，我們把有序數(shù)對(duì)(x，y)叫做向量a的坐標(biāo)，記作a＝(x，y)，其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做a在y軸上的坐標(biāo)，a＝(x，y)就叫做向量的坐標(biāo)表示．顯然，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0).在平面直角坐標(biāo)系中，若A(x，y)，則＝(x，y).教師7：提出問題6學(xué)生6：(1)向量a＝(x，y)中間用等號(hào)連接，而點(diǎn)的坐標(biāo)A(x，y)中間沒有等號(hào)．(2)平面向量的坐標(biāo)只有當(dāng)起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，向量的坐標(biāo)才與向量終點(diǎn)的坐標(biāo)相同．(3)在平面直角坐標(biāo)系中，符號(hào)(x，y)可表示一個(gè)點(diǎn)，也可表示一個(gè)向量，敘述中應(yīng)指明點(diǎn)(x，y)或向量(x，y).通過探究讓學(xué)生理解平面向量的正交分解與坐標(biāo)表示，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).典型例題，鞏固落實(shí)1.平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示例1.如圖，取與x軸、y軸同向的兩個(gè)單位向量i、j作為基底，分別用i、j表示，并求出它們的坐標(biāo)．2.向量的坐標(biāo)的應(yīng)用例2.已知邊長為2的正三角形ABC，頂點(diǎn)A在坐標(biāo)原點(diǎn)，AB邊在x軸上，C在第一象限，D為AC的中點(diǎn)，分別求向量的坐標(biāo)．[課堂練習(xí)]1.設(shè)是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)分別與x軸，y軸正方向相同的兩個(gè)單位向量，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則2＋的坐標(biāo)是()A.B.C.D.[課堂練習(xí)]2.設(shè)是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)分別與軸，軸正方向相同的兩個(gè)單位向量，且A(2,3)，B(4,2)，則可以表示為()A．B．C．D．教師8：完成例1．學(xué)生7：＝6i＋2j，＝2i＋4j，＝－4i＋2j，它們的坐標(biāo)表示為＝(6,2)，＝(2,4)，＝(－4,2)．教師9：完成例2學(xué)生8：如圖，正三角形ABC的邊長為2，則頂點(diǎn)A(0,0)，B(2,0)，C(2cos60°，2sin60°)，∴C(1，eq\r(3))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，∴eq\o(AB,\s\up12(→))＝(2,0)，eq\o(AC,\s\up12(→))＝(1，eq\r(3)).教師10：布置課堂練習(xí)1、2．學(xué)生9：完成課堂練習(xí)，并核對(duì)答案．答案：D,C.通過例題鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過學(xué)生解決問題的能力，感悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)課堂小結(jié)升華認(rèn)知[問題7]通過這節(jié)課，你學(xué)到了什么知識(shí)？在解決問題時(shí)，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？[課后練習(xí)]1.判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)兩個(gè)向量的終點(diǎn)不同，則這兩個(gè)向量的坐標(biāo)一定不同．()(2)當(dāng)向量的始點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，向量的坐標(biāo)就是向量終點(diǎn)的坐標(biāo)．()(3)兩向量差的坐標(biāo)與兩向量的順序無關(guān)．()(4)點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)相同．()2.如圖，在正方形ABCD中，O為中心，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－1，－1)，則eq\o(OB,\s\up6(→))＝________；eq\o(OD,\s\up6(→))=________.3.如圖，已知在邊長為1的正方形ABCD中，AB與x軸正半軸成30°角，求點(diǎn)B和點(diǎn)D的坐標(biāo)和eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AD,\s\up6(→))的坐標(biāo)．教師11：提出問題7．學(xué)生10：學(xué)生18：學(xué)生課后進(jìn)行思考，并完成課后練習(xí)．答案：1.(1)×(2)√(3)×(4)×2.eq\o(OB,\s\up6(→))＝(1，－1)，eq\o(OD,\s\up6(→))＝(－1，1)．3.eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)