工程力學(xué)12應(yīng)力應(yīng)變分析強(qiáng)度理論

工程力學(xué)第12章應(yīng)力應(yīng)變分析強(qiáng)度理論中國(guó)石油大學(xué)（北京）應(yīng)力應(yīng)變分析強(qiáng)度理論平面應(yīng)力狀態(tài)分析——圖解法應(yīng)力狀態(tài)的概念平面應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法三向應(yīng)力狀態(tài)位移與應(yīng)變分量之間的--幾何方程

廣義虎克定律復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的變形比能2應(yīng)力應(yīng)變分析強(qiáng)度理論莫爾強(qiáng)度理論及其相當(dāng)應(yīng)力強(qiáng)度理論的概念四個(gè)強(qiáng)度理論及其相當(dāng)應(yīng)力強(qiáng)度理論的應(yīng)用3一、引言1、鑄鐵與低碳鋼的拉、壓、扭試驗(yàn)現(xiàn)象是怎樣產(chǎn)生的？M低碳鋼鑄鐵PP鑄鐵拉伸P鑄鐵壓縮2、組合變形桿將怎樣破壞？MP4應(yīng)力狀態(tài)的概念4四、普遍狀態(tài)下的應(yīng)力表示

三、單元體：?jiǎn)卧w——構(gòu)件內(nèi)的點(diǎn)的代表物，是包圍被研究點(diǎn)的無(wú)限小的幾何體，常用的是正六面體。單元體的性質(zhì)——a、平行面上，應(yīng)力均布；

b、平行面上，應(yīng)力相等。二、一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)

過(guò)一點(diǎn)有無(wú)數(shù)的截面，這一點(diǎn)的各個(gè)截面上應(yīng)力情況的集合，稱為這點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)（StateofStressataGivenPoint）。xyzs

xsz

s

ytxy5應(yīng)力狀態(tài)的概念5四、普遍狀態(tài)下的應(yīng)力表示

xyzs

xsz

s

ytxy6材料力學(xué)剪應(yīng)力正負(fù)號(hào)定義彈性力學(xué)剪應(yīng)力正負(fù)號(hào)定義應(yīng)力狀態(tài)的概念6xyzs

xsz

s

ytxy五、剪應(yīng)力互等定理（TheoremofConjugateShearingStress):

過(guò)一點(diǎn)的兩個(gè)正交面上,如果有與相交邊垂直的剪應(yīng)力分量,則兩個(gè)面上的這兩個(gè)剪應(yīng)力分量一定等值、方向相對(duì)或相離。7應(yīng)力狀態(tài)的概念7tzx六、原始單元體（已知單元體）：例1

畫(huà)出下列圖中的A、B、C點(diǎn)的已知單元體。

PPAAsxsxMPxyzBCsxsxBtxztxytyx8應(yīng)力狀態(tài)的概念8七、主單元體、主面、主應(yīng)力：主單元體(Principalbidy)：各側(cè)面上剪應(yīng)力均為零的單元體。主面(PrincipalPlane)：剪應(yīng)力為零的截面。主應(yīng)力(PrincipalStress

）：主面上的正應(yīng)力。主應(yīng)力排列規(guī)定：按代數(shù)值大小，s1s2s3xyzsxsysz9應(yīng)力狀態(tài)的概念9單向應(yīng)力狀態(tài)（UnidirectionalStateofStress）：一個(gè)主應(yīng)力不為零的應(yīng)力狀態(tài)。

二向應(yīng)力狀態(tài)（PlaneStateofStress）：一個(gè)主應(yīng)力為零的應(yīng)力狀態(tài)。三向應(yīng)力狀態(tài)（Three—DimensionalStateofStress）：三個(gè)主應(yīng)力都不為零的應(yīng)力狀態(tài)。AsxsxtzxsxsxBtxz10應(yīng)力狀態(tài)的概念1011應(yīng)力狀態(tài)的概念當(dāng)鍋爐或其他圓筒形容器的壁厚t遠(yuǎn)小于它的內(nèi)直徑D時(shí)（譬如D大于20t），稱之為薄壁圓筒。薄壁容器承受內(nèi)壓力的壓強(qiáng)為p

圓筒部分橫截面上的正應(yīng)力:由圓筒及其受力的對(duì)稱性可知，作用在圓筒底上壓力的合力F的作用線與圓筒的軸線重合。因此圓筒部分的橫截面上各點(diǎn)處的正應(yīng)力可按軸向拉伸時(shí)的公式計(jì)算1112應(yīng)力狀態(tài)的概念圓筒部分縱截面上的正應(yīng)力:用相距為l的兩個(gè)橫截面和包含直徑的縱向平面，從圓筒中截取一部分1213應(yīng)力狀態(tài)的概念圓筒內(nèi)壁的微分面積壓力為該部分內(nèi)壓力在y方向的投影的代數(shù)和為1314應(yīng)力狀態(tài)的概念在橫截面和縱向截面上都沒(méi)有切應(yīng)力作用于內(nèi)壁的內(nèi)壓力p和作用于外壁的大氣壓力1415應(yīng)力狀態(tài)的概念壓力容器內(nèi)壁應(yīng)力？用過(guò)球心的平面的球分成兩個(gè)半球作用在半球上壓力的合力容器截面的內(nèi)力15sxtxysyxyzxysxtxysyO16平面應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法16規(guī)定：截面外法線同向?yàn)檎?/p>

ta繞研究對(duì)象順時(shí)針轉(zhuǎn)為正；

a逆時(shí)針為正。圖1設(shè)：斜截面面積為S，由分離體平衡得：一、任意斜截面上的應(yīng)力xysxtxysyOsytxysxsataaxyOtn圖217平面應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法17圖1xysxtxysyOsytxysxsataaxyOtn圖2同理：18平面應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法18二、極值應(yīng)力19平面應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法19′′xysxtxysyO20平面應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法20xysxtxysyO21平面應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法21xysxtxysyO在剪應(yīng)力相對(duì)的項(xiàng)限內(nèi)，且偏向于x

及y大的一側(cè)。222xyyxminmaxtsstt+-±=?íì

￠

￠）（22平面應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法22例2分析受扭構(gòu)件的破壞規(guī)律。解：確定危險(xiǎn)點(diǎn)并畫(huà)其原始單元體求極值應(yīng)力txyCtyxMCxyOtxytyx23平面應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法23破壞分析低碳鋼鑄鐵24平面應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法24對(duì)上述方程消去參數(shù)（2），得：一、應(yīng)力圓（StressCircle）xysxtxysyOsytxysxsataaxyOtn此方程曲線為圓—應(yīng)力圓（或莫爾圓，由德國(guó)工程師：OttoMohr引入）25平面應(yīng)力狀態(tài)分析——圖解法25建立應(yīng)力坐標(biāo)系，如下圖所示，（注意選好比例尺）二、應(yīng)力圓的畫(huà)法在坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出點(diǎn)A(x，xy)和B(y，yx)

AB與sa

軸的交點(diǎn)C便是圓心。以C為圓心，以AC為半徑畫(huà)圓——應(yīng)力圓；sxtxysyxyOnsataaOsataCA(sx,txy)B(sy,tyx)x2anD(sa,

ta)2626sxtxysyxyOnsataaOsataCA(sx,txy)B(sy,tyx)x2anD(sa,

ta)三、單元體與應(yīng)力圓的對(duì)應(yīng)關(guān)系面上的應(yīng)力(，)

應(yīng)力圓上一點(diǎn)(，)面的法線應(yīng)力圓的半徑兩面夾角兩半徑夾角2；且轉(zhuǎn)向一致。2727四、在應(yīng)力圓上標(biāo)出極值應(yīng)力OCsataA(sx,txy)B(sy,tyx)x2a12a0s1s2s328平面應(yīng)力狀態(tài)分析——圖解法2829平面應(yīng)力狀態(tài)分析——圖解法2930平面應(yīng)力狀態(tài)分析——圖解法3031平面應(yīng)力狀態(tài)分析——圖解法3132平面應(yīng)力狀態(tài)分析——圖解法323333343435三向應(yīng)力狀態(tài)3536三向應(yīng)力狀態(tài)3637三向應(yīng)力狀態(tài)3738三向應(yīng)力狀態(tài)3839三向應(yīng)力狀態(tài)39s3例3求圖示單元體的主應(yīng)力及主平面的位置。(單位：MPa)AB

12解：主應(yīng)力坐標(biāo)系如圖AB的垂直平分線與sa

軸的交點(diǎn)C便是圓心，以C為圓心，以AC為半徑畫(huà)圓——應(yīng)力圓0s1s2BAC2s0sata(MPa)(MPa)O20MPa在坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出點(diǎn)4040s3s1s2BAC2s0sata(MPa)(MPa)O20MPa主應(yīng)力及主平面如圖

102AB41三向應(yīng)力狀態(tài)41解法2—解析法：分析——建立坐標(biāo)系如圖60°xyO42三向應(yīng)力狀態(tài)42解法2—解析法：分析——建立坐標(biāo)系如圖60°xyO43三向應(yīng)力狀態(tài)43解法2—解析法：60°xyO44主應(yīng)力力方向三向應(yīng)力狀態(tài)44解法2—解析法：60°xyO45主應(yīng)力力方向三向應(yīng)力狀態(tài)4546幾何方程位移與應(yīng)變分量之間的關(guān)系—幾何方程46一、單拉下的應(yīng)力--應(yīng)變關(guān)系二、純剪的應(yīng)力--應(yīng)變關(guān)系xyzsxxyz

x

y47廣義虎克定律47三、復(fù)雜狀態(tài)下的應(yīng)力---應(yīng)變關(guān)系依疊加原理,得:

xyzszsytxysx48廣義虎克定律48主應(yīng)力---主應(yīng)變關(guān)系四、平面狀態(tài)下的應(yīng)力---應(yīng)變關(guān)系:s1s3s249廣義虎克定律49主應(yīng)力與主應(yīng)變方向一致?50廣義虎克定律50五、體積應(yīng)變與應(yīng)力分量間的關(guān)系體積應(yīng)變：體積應(yīng)變與應(yīng)力分量間的關(guān)系:s1s3s2a1a2a351廣義虎克定律51例7

已知一受力構(gòu)件自由表面上某一點(diǎn)處的兩個(gè)面內(nèi)主應(yīng)變分別為：1=24010-6，

2=–16010-6，彈性模量E=210GPa，泊松比為=0.3，試求該點(diǎn)處的主應(yīng)力及另一主應(yīng)變。所以，該點(diǎn)處的平面應(yīng)力狀態(tài)52廣義虎克定律5253廣義虎克定律5323

1圖a圖

c3

-m

1-m2-mm圖bmm54復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的變形比能54稱為形狀改變比能或畸形能。圖

c3

-m

1-m2-m55復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的變形比能55例9用能量法證明三個(gè)彈性常數(shù)間的關(guān)系。純剪單元體的比能為：純剪單元體比能的主應(yīng)力表示為：txyA1356復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的變形比能56一、引子：1、鑄鐵與低碳鋼的拉、壓、扭試驗(yàn)現(xiàn)象是怎樣產(chǎn)生的？M低碳鋼鑄鐵PP鑄鐵拉伸P鑄鐵壓縮2、組合變形桿將怎樣破壞？MP強(qiáng)度理論的概念57二、強(qiáng)度理論：是關(guān)于“構(gòu)件發(fā)生強(qiáng)度失效（failurebyloststrength）起因”的假說(shuō)。1、伽利略播下了第一強(qiáng)度理論的種子；三、材料的破壞形式：⑴屈服；⑵斷裂。2、馬里奧特關(guān)于變形過(guò)大引起破壞的論述，是第二強(qiáng)度理論的萌芽；3、杜奎特（C.Duguet)提出了最大剪應(yīng)力理論；4、麥克斯威爾最早提出了最大畸變能理論（maximumdistortionenergytheory）；這是后來(lái)人們?cè)谒臅?shū)信出版后才知道的。強(qiáng)度理論的概念58一、最大拉應(yīng)力（第一強(qiáng)度）理論：認(rèn)為構(gòu)件的斷裂是由最大拉應(yīng)力引起的。當(dāng)最大拉應(yīng)力達(dá)到單向拉伸的強(qiáng)度極限時(shí)，構(gòu)件就斷了。1、破壞判據(jù)：2、強(qiáng)度準(zhǔn)則：3、實(shí)用范圍：實(shí)用于破壞形式為脆斷的構(gòu)件。四個(gè)強(qiáng)度理論及其相當(dāng)應(yīng)力59二、最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變（第二強(qiáng)度）理論：

認(rèn)為構(gòu)件的斷裂是由最大拉應(yīng)力引起的。當(dāng)最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變達(dá)到單向拉伸試驗(yàn)下的極限應(yīng)變時(shí)，構(gòu)件就斷了。1、破壞判據(jù)：2、強(qiáng)度準(zhǔn)則：3、實(shí)用范圍：實(shí)用于破壞形式為脆斷的構(gòu)件。四個(gè)強(qiáng)度理論及其相當(dāng)應(yīng)力60三、最大剪應(yīng)力（第三強(qiáng)度）理論：認(rèn)為構(gòu)件的屈服是由最大剪應(yīng)力引起的。當(dāng)最大剪應(yīng)力達(dá)到單向拉伸試驗(yàn)的極限剪應(yīng)力時(shí)，構(gòu)件就破壞了。1、破壞判據(jù)：3、實(shí)用范圍：實(shí)用于破壞形式為屈服的構(gòu)件。2、強(qiáng)度準(zhǔn)則：四個(gè)強(qiáng)度理論及其相當(dāng)應(yīng)力61四、形狀改變比能（第四強(qiáng)度）理論：認(rèn)為構(gòu)件的屈服是由形狀改變比能引起的。當(dāng)形狀改變比能達(dá)到單向拉伸試驗(yàn)屈服時(shí)形狀改變比能時(shí)，構(gòu)件就破壞了。1、破壞判據(jù)：2、強(qiáng)度準(zhǔn)則3、實(shí)用范圍：實(shí)用于破壞形式為屈服的構(gòu)件。四個(gè)強(qiáng)度理論及其相當(dāng)應(yīng)力62莫爾認(rèn)為：最大剪應(yīng)力是使物體破壞的主要因素，但滑移面上的摩擦力也不可忽略（莫爾摩擦定律）。綜合最大剪應(yīng)力及最大正應(yīng)力的因素，莫爾得出了他自己的強(qiáng)度理論。莫爾強(qiáng)度理論及其相當(dāng)應(yīng)力63[y]saaot[

L]O1O2莫爾理論危險(xiǎn)條件的推導(dǎo)2、強(qiáng)度準(zhǔn)則：1、破壞判據(jù)：O3

1

3MKLPN莫爾強(qiáng)度理論：任意一點(diǎn)的應(yīng)力圓若與極限曲線相接觸，則材料即將屈服或剪斷。莫爾強(qiáng)度理論及其相當(dāng)應(yīng)力64三、相當(dāng)應(yīng)力：（強(qiáng)度準(zhǔn)則的統(tǒng)一形式）。其中，

*—相當(dāng)應(yīng)力。3、實(shí)用范圍：實(shí)用于破壞形式為屈服的構(gòu)件及其拉壓極限強(qiáng)度不等的處于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的脆性材料的破壞（巖石、混凝土等）。莫爾強(qiáng)度理論及其相當(dāng)應(yīng)力65一、強(qiáng)度計(jì)算的步驟：1、外力分析：確定所需的外力值。2、內(nèi)力分析：畫(huà)內(nèi)力圖，確定可能的危險(xiǎn)面。3、應(yīng)力分析：畫(huà)危面應(yīng)力分布圖，確定危險(xiǎn)點(diǎn)并畫(huà)出單元體，求主應(yīng)力。4、強(qiáng)度分析：選擇適當(dāng)?shù)膹?qiáng)度理論，計(jì)算相當(dāng)應(yīng)力，然后進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算。強(qiáng)度理論的應(yīng)用66二、強(qiáng)度理論的選用原則：依破壞形式而定。1、脆性材料：當(dāng)最小主應(yīng)力大于等于零時(shí)，使用第一理論；3、簡(jiǎn)單變形時(shí)：一律用與其對(duì)應(yīng)的強(qiáng)度準(zhǔn)則。如扭轉(zhuǎn)，都用：2、塑性材料：當(dāng)最小主應(yīng)力大于等于零時(shí)，使用第一理論；4、破壞形式還與溫度、變形速度等有關(guān)！當(dāng)最小主應(yīng)力小于零而最大主應(yīng)力大于零時(shí)，使用莫爾理論。當(dāng)最大主應(yīng)力小于等于零時(shí)，使用第三或第四理論。其它應(yīng)力狀態(tài)時(shí)，使用第三或第四理論。強(qiáng)度理論的應(yīng)用67解：危險(xiǎn)點(diǎn)A的應(yīng)力狀態(tài)如圖：例1

直徑為d=0.1m的圓桿受力如圖,T=7kNm,P=50kN,為鑄鐵構(gòu)件，[]=40MPa,試用第一強(qiáng)度理論校核桿的強(qiáng)度。故，安全。PPTTAAst強(qiáng)度理論的應(yīng)用68例2薄壁圓筒受最大內(nèi)壓時(shí),測(cè)得x=1.8810-4,y=7.3710-4,已知鋼的E=210GPa，[]=170MPa,泊松比=0.3，試用第三強(qiáng)度理論校核其強(qiáng)度。解：由廣義虎克定律得:AsxsyxyA所以，此容器不滿足第三強(qiáng)度理論。不安全。強(qiáng)度理論的應(yīng)用69作業(yè)劉鴻文材料力學(xué)第四版P253習(xí)題7-14;7-19;7-29;7-36;7-37應(yīng)力應(yīng)變分析強(qiáng)度理論70711.二向應(yīng)狀態(tài)下任意斜截面上的應(yīng)力

2.二向應(yīng)狀態(tài)下主應(yīng)力及其主方向3.二向應(yīng)狀態(tài)下最大剪應(yīng)力、最小剪應(yīng)力及其作用面方應(yīng)力應(yīng)變分析強(qiáng)度理論71724廣義虎克定律5平面狀態(tài)下的應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系應(yīng)力應(yīng)變分析強(qiáng)度理論72736.位移與應(yīng)變分量之間的關(guān)系—幾何方程7.三向應(yīng)力狀態(tài)下的變形比能應(yīng)變能密度體積改變能密度畸變能密度應(yīng)力應(yīng)變分析強(qiáng)度理論73747.強(qiáng)度理論第一強(qiáng)度理論(最大拉應(yīng)力強(qiáng)度理論)

第二強(qiáng)度理論(最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變理論)第三強(qiáng)度理論(最大剪應(yīng)力強(qiáng)度理論)第四強(qiáng)度理論(形狀改變比能理論)莫爾強(qiáng)度理論莫爾應(yīng)力圓應(yīng)力應(yīng)變分析強(qiáng)度理論74757.7鍋爐直徑D＝1m,壁厚10mm，蒸汽壓力，求內(nèi)壁主應(yīng)力，及最大切應(yīng)力，斜面ab上的正應(yīng)力剪應(yīng)力。解：這是典型的二向應(yīng)力狀態(tài)問(wèn)題，環(huán)向應(yīng)力和軸向應(yīng)力分別是主應(yīng)力徑向應(yīng)力下面求斜面ab上的正應(yīng)力剪應(yīng)力，已知75767.8已知矩形截面梁上給定截面的彎矩及剪力分別為，，給出截面上1、2、3、4各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，并求這四點(diǎn)的主應(yīng)力解：橫截面對(duì)z軸的慣性矩下面求各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)和主應(yīng)力1點(diǎn)的應(yīng)力分量1點(diǎn)處于單向應(yīng)力狀態(tài)76772點(diǎn)的應(yīng)力分量2點(diǎn)處于純剪切應(yīng)力狀態(tài)77783點(diǎn)的應(yīng)力分量按照主應(yīng)力符號(hào)規(guī)定78794點(diǎn)的應(yīng)力分量4點(diǎn)處于單向應(yīng)力狀態(tài)79807.10薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)－拉伸試驗(yàn)示意圖如圖所示，已知，

求A點(diǎn)在指定截面上的應(yīng)力以及主應(yīng)力大小和方向解：A點(diǎn)指定橫截面上的應(yīng)力因?yàn)槭潜”趫A筒，可以使用下面近似公式8081A點(diǎn)指定斜截面上的應(yīng)力A點(diǎn)的主應(yīng)力大小A點(diǎn)的主應(yīng)力方向81827.14在通過(guò)一點(diǎn)的兩個(gè)平面上，應(yīng)力如圖所示，單位為MPa，求主應(yīng)力數(shù)值及主平面位置解：建立如下坐標(biāo)系8283主應(yīng)力公式主應(yīng)力力方向單元體草圖83847.19a求下圖所示的應(yīng)力狀態(tài)下的主應(yīng)力和最大切應(yīng)力解:本題屬于三向應(yīng)力狀態(tài),但是一個(gè)方向只有主應(yīng)力,即已經(jīng)是主應(yīng)力面,已經(jīng)知道一個(gè)主應(yīng)力為,原來(lái)問(wèn)題簡(jiǎn)化為二向應(yīng)力狀態(tài)主應(yīng)力:最大切應(yīng)力84857.19b求下圖所示的應(yīng)力狀態(tài)下的主應(yīng)力和最大切應(yīng)力解:本題屬于三向應(yīng)力狀態(tài),但是一個(gè)方向只有主應(yīng)力,即已經(jīng)是主應(yīng)力面,已經(jīng)知道一個(gè)主應(yīng)力為,原來(lái)問(wèn)題簡(jiǎn)化為二向應(yīng)力狀態(tài)主應(yīng)力:最大切應(yīng)力85867.19c求下圖所示的應(yīng)力狀態(tài)下的主應(yīng)力和最大切應(yīng)力解:本題屬于三向應(yīng)力狀態(tài),但是一個(gè)方向只有主應(yīng)力,即已經(jīng)是主應(yīng)力面,已經(jīng)知道一個(gè)主應(yīng)力為,原來(lái)問(wèn)題簡(jiǎn)化為二向應(yīng)力狀態(tài)主應(yīng)力最大切應(yīng)力86877.25列車通過(guò)鋼橋時(shí)，在鋼橋橫梁的A點(diǎn)用變形儀測(cè)量得：試求A點(diǎn)在x-x,y-y方向的正應(yīng)力，設(shè)，問(wèn)這樣能否求出A點(diǎn)主應(yīng)力