工程電磁場(chǎng)(高等教育出版社,馮慈章主編)

1.7鏡像法與電軸法ImageMethodandElectricAxisMethod下頁(yè)上頁(yè)返回鏡像法與電軸法的基本思想根據(jù)唯一性定理，用虛設(shè)的簡(jiǎn)單分布電荷替代未知的復(fù)雜分布電荷，把求解偏微分方程的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解簡(jiǎn)單分布電荷電場(chǎng)的問(wèn)題。是一種間接計(jì)算方法。1.點(diǎn)電荷對(duì)平面導(dǎo)體的鏡像場(chǎng)分布特點(diǎn)：平面導(dǎo)體上產(chǎn)生負(fù)感應(yīng)電荷電場(chǎng)為兩維子午平面場(chǎng)下頁(yè)上頁(yè)返回邊值問(wèn)題上半空間的電位導(dǎo)體平面上方程相同，邊界條件相同，解唯一。感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位上半場(chǎng)域的電位和電場(chǎng)下頁(yè)上頁(yè)返回-q是虛設(shè)的電荷，稱(chēng)為鏡像電荷，用來(lái)替代導(dǎo)板上復(fù)雜分布的感應(yīng)電荷的作用；注意鏡像電荷應(yīng)放置在所求區(qū)域（有效區(qū)）以外；根據(jù)疊加原理，導(dǎo)板上方有任意分布的電荷時(shí)也可作相應(yīng)的鏡像。pr1r2下頁(yè)上頁(yè)返回q2q1q3q2q1q3-q2-q1-q3-地面上感應(yīng)電荷的總量為垂直地面的電場(chǎng)分量試求空氣中點(diǎn)電荷q在地面引起的感應(yīng)電荷分布。解下頁(yè)上頁(yè)返回例應(yīng)用鏡像法，地面任意點(diǎn)地面電荷分布鏡像法小結(jié)

鏡像法的理論依據(jù)是：鏡像法的實(shí)質(zhì)是：鏡像法的關(guān)鍵是：鏡像電荷只能放在待求場(chǎng)域以外的區(qū)域。

用虛設(shè)的簡(jiǎn)單分布的鏡像電荷替代未知的復(fù)雜分布電荷，使計(jì)算場(chǎng)域?yàn)闊o(wú)限大均勻媒質(zhì)；靜電場(chǎng)唯一性定理；確定鏡像電荷的個(gè)數(shù)，大小及位置以保證原場(chǎng)的邊值問(wèn)題不變；應(yīng)用鏡像法解題時(shí)注意：下頁(yè)上頁(yè)返回2.點(diǎn)電荷對(duì)球面導(dǎo)體的鏡像點(diǎn)電荷位于接地導(dǎo)體球外下頁(yè)上頁(yè)場(chǎng)分布特點(diǎn)：球面上產(chǎn)生負(fù)感應(yīng)電荷電場(chǎng)為兩維子午平面場(chǎng)邊值問(wèn)題導(dǎo)體球外（除q點(diǎn)）空間：下頁(yè)上頁(yè)確定鏡像電荷的位置確定鏡像電荷大小應(yīng)用鏡像法求解球面電位將r1,r2代入方程，得鏡像電荷放在求解的場(chǎng)域外。聯(lián)立求解得鏡像電荷位置鏡像電荷大小下頁(yè)上頁(yè)鏡像電荷等于負(fù)感應(yīng)電荷總量。球外任一點(diǎn)P的電位與電場(chǎng)為球外的電場(chǎng)分布球外的電場(chǎng)計(jì)算下頁(yè)上頁(yè)1.點(diǎn)電荷q對(duì)不接地金屬球的鏡像。邊值問(wèn)題思路下頁(yè)上頁(yè)討論導(dǎo)體球外（除q點(diǎn)）空間：則任一點(diǎn)電位通量為零（大小相等）球面等位（位于球心）下頁(yè)上頁(yè)導(dǎo)體球零電位球面電位任一點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)點(diǎn)電荷位于不接地導(dǎo)體球附近的場(chǎng)圖下頁(yè)上頁(yè)討論2.點(diǎn)電荷q對(duì)帶有電荷Q的金屬球的鏡像。下頁(yè)上頁(yè)邊值問(wèn)題思路導(dǎo)體球外（除q點(diǎn)）空間：+Q討論下頁(yè)上頁(yè)3.點(diǎn)電荷q對(duì)帶有電壓U0的金屬球的鏡像。邊值問(wèn)題思路導(dǎo)體球外（除q點(diǎn)）空間：+Q討論下頁(yè)上頁(yè)4.點(diǎn)電荷q在不帶電的金屬球殼內(nèi)的鏡像。邊值問(wèn)題思路導(dǎo)體球內(nèi)（除q點(diǎn)）空間：q-q’bd3.點(diǎn)電荷對(duì)不同介質(zhì)分界面的鏡像下頁(yè)上頁(yè)邊值問(wèn)題上半空間（除q點(diǎn)）：下半空間：分界面：解得下頁(yè)上頁(yè)保證方程不變邊界條件：電場(chǎng)分布圖1中的電場(chǎng)由q與q’共同產(chǎn)生，q’等效替代極化電荷的影響。2中的電場(chǎng)由q”決定，q”等效替代自由電荷與極化電荷的作用。注意下頁(yè)上頁(yè)4.電軸法（ElectricAxisMethod）問(wèn)題下頁(yè)上頁(yè)長(zhǎng)直平行雙傳輸線(xiàn)在傳輸線(xiàn)系統(tǒng)中，導(dǎo)線(xiàn)之間的靜電感應(yīng)作用使導(dǎo)線(xiàn)表面的電荷分布不均勻，直接求解電場(chǎng)分布很困難。邊值問(wèn)題導(dǎo)線(xiàn)以外的空間下頁(yè)上頁(yè)應(yīng)用鏡像法求解鏡像電荷長(zhǎng)直帶電細(xì)導(dǎo)線(xiàn)替代感應(yīng)電荷的作用鏡像電荷的位置電軸法兩根細(xì)導(dǎo)線(xiàn)產(chǎn)生的電位下頁(yè)上頁(yè)細(xì)導(dǎo)線(xiàn)產(chǎn)生的電場(chǎng)以

y軸為參考電位令：常數(shù)，等位線(xiàn)方程下頁(yè)上頁(yè)返回圓的方程K

取不同值時(shí)，得到一族等電位圓。圓心坐標(biāo)圓半徑下頁(yè)上頁(yè)返回右半平面。左半平面。a、h、b滿(mǎn)足關(guān)系圓心坐標(biāo)圓半徑下頁(yè)上頁(yè)返回(以y軸為參考電位)例b)圓柱導(dǎo)線(xiàn)間的電場(chǎng)與電位解a)計(jì)算電軸位置下頁(yè)上頁(yè)返回試求兩帶電長(zhǎng)直平行傳輸線(xiàn)的電場(chǎng)及電位分布。E

線(xiàn)方程下頁(yè)上頁(yè)返回根據(jù)得到Ex和Ey分量下頁(yè)上頁(yè)返回小結(jié)電軸法的理論基礎(chǔ)是場(chǎng)的唯一性定理；電軸法的實(shí)質(zhì)是用電軸上的線(xiàn)電荷替代圓柱上的不均勻分布電荷的作用；電軸法用以解決一系列平行圓柱的電場(chǎng)注意有效區(qū)域及電位的參考點(diǎn)試決定圖示不同半徑平行長(zhǎng)直導(dǎo)線(xiàn)的電軸位置。下頁(yè)上頁(yè)返回例解已知平行傳輸線(xiàn)之間電壓為U0,試求電位分布。設(shè)電軸線(xiàn)電荷，任一點(diǎn)電位下頁(yè)上頁(yè)返回例解計(jì)算電軸位置1.兩導(dǎo)體的電容CapacitanceandDistributedCapacitance1.8電容和部分電容定義：?jiǎn)挝唬合马?yè)上頁(yè)返回線(xiàn)性系統(tǒng)中，帶有等量異號(hào)電荷的兩導(dǎo)體，其電位差與電荷成正比，這個(gè)比值系數(shù)定義為兩導(dǎo)體的電容。-QQU+-電力電容下頁(yè)上頁(yè)返回電力電容下頁(yè)上頁(yè)返回2.兩導(dǎo)體電容的計(jì)算電容的計(jì)算是電場(chǎng)的計(jì)算給出了計(jì)算電容的方式：設(shè)下頁(yè)上頁(yè)返回說(shuō)明或設(shè)忽略邊緣效應(yīng)

試求平板電容器的電容。下頁(yè)上頁(yè)返回例解試求長(zhǎng)圓柱形電容器的電容。例解ba設(shè)內(nèi)導(dǎo)體的電荷密度為

，則設(shè)內(nèi)導(dǎo)體的電荷為q，則同心球殼間的電壓球形電容器的電容

試求同心球殼電容器的電容。下頁(yè)上頁(yè)返回同心球殼電容器例解1）當(dāng)時(shí)孤立導(dǎo)體球的電容下頁(yè)上頁(yè)返回討論2）當(dāng)時(shí)平板電容器的電容設(shè)d>>a，電軸與幾何軸線(xiàn)重合

試求兩線(xiàn)傳輸線(xiàn)之間的電容。下頁(yè)上頁(yè)返回例解注意電容只與兩導(dǎo)體的幾何尺寸、相互位置及周?chē)慕橘|(zhì)有關(guān)。3.部分（分布）電容（DistributedCapacitance)三導(dǎo)體靜電獨(dú)立系統(tǒng)下頁(yè)上頁(yè)返回對(duì)于多導(dǎo)體系統(tǒng)，每?jī)蓚€(gè)導(dǎo)體上的電壓受到所有導(dǎo)體上電荷的影響，這時(shí)系統(tǒng)中導(dǎo)體電荷與導(dǎo)體電壓的關(guān)系不能僅用一個(gè)電容來(lái)表示而需引入部分電容的概念。多導(dǎo)體系統(tǒng)靜電獨(dú)立系統(tǒng)線(xiàn)性系統(tǒng)討論前提下頁(yè)上頁(yè)返回N個(gè)導(dǎo)體的系統(tǒng)，各導(dǎo)體的電位電位系數(shù)電位系數(shù)下頁(yè)上頁(yè)返回矩陣形式

ai,i

—

自有電位系數(shù)，表明導(dǎo)體

i上電荷對(duì)自身

電位的貢獻(xiàn)

ai,j—互有電位系數(shù)，表示導(dǎo)體j

上的電荷對(duì)導(dǎo)體i電位的貢獻(xiàn)電位系數(shù)的計(jì)算下頁(yè)上頁(yè)返回電位系數(shù)性質(zhì)電位系數(shù)均為正數(shù)；電位系數(shù)僅于導(dǎo)體的幾何形狀、相互位置及介質(zhì)分布有關(guān)；電位系數(shù)滿(mǎn)足互易性；自有電位系數(shù)大于互有電位系數(shù)；下頁(yè)上頁(yè)返回

bi,i—

自有感應(yīng)系數(shù)，表示導(dǎo)體

i電位對(duì)自身電荷的貢獻(xiàn)

bi,j—

互有感應(yīng)系數(shù)，表示導(dǎo)體

j電位對(duì)導(dǎo)體

i電荷的貢獻(xiàn)感應(yīng)系數(shù)感應(yīng)系數(shù)下頁(yè)上頁(yè)返回感應(yīng)系數(shù)的計(jì)算自感應(yīng)系數(shù)為正數(shù)；因i與qi

同號(hào)感應(yīng)系數(shù)僅于導(dǎo)體的幾何形狀、相互位置及介質(zhì)分布有關(guān),且滿(mǎn)足互易性；互感應(yīng)系數(shù)總是負(fù)值，因+

總是在其他導(dǎo)體上產(chǎn)生負(fù)電荷；自有感應(yīng)系數(shù)大于與其相關(guān)的互有感應(yīng)系數(shù)絕對(duì)值；

感應(yīng)系數(shù)性質(zhì)下頁(yè)上頁(yè)返回部分電容矩陣形式部分電容的性質(zhì)靜電獨(dú)立系統(tǒng)中n＋1個(gè)導(dǎo)體有個(gè)部分電容下頁(yè)上頁(yè)返回部分電容均為正值；部分電容是否為零，取決于兩導(dǎo)體之間有否電力線(xiàn)相連；

部分電容可將場(chǎng)的概念與電路結(jié)合起來(lái)。下頁(yè)上頁(yè)返回部分電容與電容網(wǎng)絡(luò)結(jié)論試計(jì)算考慮大地影響時(shí)，兩線(xiàn)傳輸線(xiàn)的部分電容及等效電容。已知d>>a,

且a<<h。部分電容個(gè)數(shù)由對(duì)稱(chēng)性，得(1)下頁(yè)上頁(yè)返回例解電容與帶電量無(wú)關(guān)，故則利用鏡像法，兩導(dǎo)體的電位(2)下頁(yè)上頁(yè)返回兩線(xiàn)輸電線(xiàn)對(duì)大地的鏡像聯(lián)立解得兩線(xiàn)間的等效電容：下頁(yè)上頁(yè)返回所以靜電屏蔽在工程上有廣泛應(yīng)用。靜電屏蔽三導(dǎo)體系統(tǒng)的方程為：4.靜電屏蔽當(dāng)時(shí)，說(shuō)明1號(hào)與2號(hào)導(dǎo)體之間無(wú)靜電聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)了靜電屏蔽。下頁(yè)上頁(yè)返回1.9靜電能量與力1.靜電能量

(ElectrostaticEnergy)ElectrostaticEnergyandForce

用場(chǎng)源表示靜電能量下頁(yè)上頁(yè)返回電磁場(chǎng)是一種特殊形式的物質(zhì)，能量是物質(zhì)的屬性之一。電場(chǎng)能量是在建立電場(chǎng)過(guò)程中從與各導(dǎo)體相連接的電源中取得的，因此電場(chǎng)儲(chǔ)能是外力做功形成的。討論前提線(xiàn)性系統(tǒng)；電場(chǎng)建立無(wú)限緩慢，忽略能量的輻射；沒(méi)有動(dòng)能，只考慮位能。下頁(yè)上頁(yè)返回電荷增量設(shè)將dq電荷移至電場(chǎng)中外源做功推廣2：若是帶電導(dǎo)體系統(tǒng)，靜電能量為推廣1：若是連續(xù)分布的電荷，

下頁(yè)上頁(yè)返回注意上式建立在靜電場(chǎng)是位場(chǎng)的基礎(chǔ)上，只適用于靜電場(chǎng)。推廣3：若是n個(gè)點(diǎn)電荷的系統(tǒng)，靜電能量為下頁(yè)上頁(yè)返回只含互有能固有能和相互作用能固有能把某一區(qū)域的電荷從無(wú)窮遠(yuǎn)聚攏到給定分布所需的功?；ビ心馨迅鲄^(qū)域的電荷放置到各自給定位置所需的功。設(shè)空間有兩個(gè)電荷分布區(qū)下頁(yè)上頁(yè)返回說(shuō)明要把一定量的電荷壓縮到幾何上的一個(gè)點(diǎn)需要克服無(wú)窮大的斥力，需要作無(wú)窮大的功。同理，線(xiàn)電荷的固有能也為無(wú)窮大。對(duì)點(diǎn)、線(xiàn)電荷只研究互有能。點(diǎn)電荷qV11V22當(dāng)

半徑為a的球面帶電荷Q，球心放一點(diǎn)電荷q，求靜電能量。球面電荷的固有能下頁(yè)上頁(yè)返回例解qQ在球面產(chǎn)生的電位Q在球心建立的電位q在球面產(chǎn)生的電位把點(diǎn)電荷從移至球面電荷中心所需作的功下頁(yè)上頁(yè)返回

用場(chǎng)量表示靜電能量能量矢量衡等式若用公式計(jì)算定義能量密度下頁(yè)上頁(yè)返回各向同性均勻媒質(zhì)適用于靜電場(chǎng)和時(shí)變場(chǎng)因當(dāng)時(shí)，面積分為零，故

半徑為a的球面帶面電荷Q，球心放一點(diǎn)電荷q，求靜電能量。下頁(yè)上頁(yè)返回例解q點(diǎn)電荷的固有能下頁(yè)上頁(yè)返回試求平板電容器的靜電能量。例平行板電容器解帶電導(dǎo)體系統(tǒng)電容能量的計(jì)算式試求真空中體電荷密度為的介質(zhì)球產(chǎn)生的靜電能量。由場(chǎng)量求靜電能量下頁(yè)上頁(yè)返回例解一由場(chǎng)源求靜電能量球內(nèi)任一點(diǎn)的電位下頁(yè)上頁(yè)返回解二

原子可看成由帶正電荷q的原子核被體電荷分布的負(fù)電荷云-q包圍，試求原子結(jié)合能。前例中當(dāng)時(shí)下頁(yè)上頁(yè)返回原子結(jié)構(gòu)模型例解2.靜電力

(ElectrostaticForce)下頁(yè)上頁(yè)返回1）根據(jù)電場(chǎng)定義計(jì)算靜電力注意上式使用的條件只適用于均勻介質(zhì)式中的電場(chǎng)E不包括dq本身的貢獻(xiàn)矢量積分多導(dǎo)體系統(tǒng)(K打開(kāi))虛位移法下頁(yè)上頁(yè)返回2）根據(jù)電場(chǎng)能量計(jì)算靜電力在多導(dǎo)體系統(tǒng)中，導(dǎo)體p發(fā)生位移dg后,系統(tǒng)發(fā)生的功能過(guò)程為：外源提供能量=

靜電能量增量+電場(chǎng)力所作功常電荷系統(tǒng)（K打開(kāi)）取消外源后，電場(chǎng)力做功必須靠減少電場(chǎng)中靜電能量來(lái)實(shí)現(xiàn)。下頁(yè)上頁(yè)返回表明常電位系統(tǒng)（K閉合）多導(dǎo)體系統(tǒng)(K閉合)p外源提供能量的增量

外源提供的能量有一半用于靜電能量的增量，另一半用于電場(chǎng)力做功。下頁(yè)上頁(yè)返回表明注意

dg廣義坐標(biāo)：距離、面積、體積、角度。廣義力×廣義坐標(biāo)=功廣義坐標(biāo)距離面積體積角度廣義力機(jī)械力表面張力壓強(qiáng)轉(zhuǎn)矩單位NN/mN/m2Nm

f廣義力：企圖改變某一個(gè)廣義坐標(biāo)的力。下頁(yè)上頁(yè)返回滿(mǎn)足對(duì)應(yīng)關(guān)系：廣義力是代數(shù)量，根據(jù)

f的“±”號(hào)判斷力的方向。廣義力的正方向?yàn)閺V義坐標(biāo)增加的方向。常電位系統(tǒng)試求圖示平行板電容器兩極板間的電場(chǎng)力。平行板電容器取d為廣義坐標(biāo)（相對(duì)位置坐標(biāo)）負(fù)號(hào)表示電場(chǎng)力的方向企圖使廣義坐標(biāo)d減小，即電容增大。下頁(yè)上頁(yè)返回例解一常電荷系統(tǒng)當(dāng)滿(mǎn)足所設(shè)條件，兩種計(jì)算結(jié)果相同下頁(yè)上頁(yè)返回解二圖示一球形薄膜帶電表面，半徑為a，其上帶電荷為q，試求薄膜單位面積所受的電場(chǎng)力。取體積為廣義坐標(biāo)f的方向是廣義坐標(biāo)V增加的方向，表現(xiàn)為膨脹力。N/m2下頁(yè)上頁(yè)返回球形薄膜例解下頁(yè)上頁(yè)返回根據(jù)庫(kù)侖定律，點(diǎn)電荷q處的電場(chǎng)應(yīng)用虛位移法圖示為半徑為R、接電壓U0的導(dǎo)體球位于點(diǎn)電荷q的電場(chǎng)中，試求導(dǎo)體球所受的電場(chǎng)力。應(yīng)用鏡像法例解Q下頁(yè)上頁(yè)返回沿廣義坐標(biāo)增大的方向設(shè)為常電荷系統(tǒng)設(shè)為常電位系統(tǒng)虛位移法的結(jié)果不正確，因?yàn)橄到y(tǒng)不屬于常電位系統(tǒng)，也不是常電荷系統(tǒng)。3）根據(jù)法拉第觀點(diǎn)計(jì)算靜電力（Farade’sreview）法拉第認(rèn)為，在場(chǎng)中沿通量線(xiàn)作一通量管，沿其軸向受到電場(chǎng)的縱張力，垂直于軸線(xiàn)方向受到側(cè)壓力