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文檔簡(jiǎn)介
第八章8.1成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性學(xué)習(xí)目標(biāo)1.會(huì)畫出成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖.2.會(huì)通過散點(diǎn)圖判斷成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)性.3.結(jié)合實(shí)例,了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義,了解樣本相關(guān)系數(shù)與“標(biāo)準(zhǔn)化”處理后的成對(duì)數(shù)據(jù)兩分量向量夾角的關(guān)系.4.結(jié)合實(shí)例,會(huì)通過相關(guān)系數(shù)比較多組成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)性.
核心素養(yǎng):數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象.新知學(xué)習(xí)
我們知道,一個(gè)人的體重與他的身高有關(guān)系.一般而言,個(gè)子高的人往往體重值較大,個(gè)子矮的人往往體重值較小.但身高并不是決定體重的唯一因素,例如生活中的飲食習(xí)慣、體育鍛煉、睡眠時(shí)間以及遺傳因素等也是影響體重的重要因素.像這樣,兩個(gè)變量有關(guān)系,但又沒有確切到可由其中的一個(gè)去精確地決定另一個(gè)的程度,這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系.
探究:在對(duì)人體的脂肪含量和年齡之間關(guān)系的研究中,科研人員獲得了一些年齡和脂肪含量的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本數(shù)據(jù),如表8.1-1所示.表中每個(gè)編號(hào)下的年齡和脂肪含量數(shù)據(jù)都是對(duì)同一個(gè)體的觀測(cè)結(jié)果,它們構(gòu)成了成對(duì)數(shù)據(jù).
表8.1-1
根據(jù)以上數(shù)據(jù),你能判斷人體的脂肪含量與年齡之間存在怎樣的關(guān)系嗎?編號(hào)1234567年齡/歲23273941454950脂肪含量/%9.517.821.225.927.526.328.2
編號(hào)891011121314年齡/歲53545657586061脂肪含量/%29.630.231.430.833.535.234.6為了更加直觀地描述上述成對(duì)樣本數(shù)據(jù)中脂肪含量與年齡之間的關(guān)系,類似于用直方圖描述單個(gè)變量樣本數(shù)據(jù)的分布特征,我們用圖形展示成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的變化特征.用橫軸表示年齡,縱軸表示脂肪含量,則表中每個(gè)編號(hào)下的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)都可用直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)表示出來,由這些點(diǎn)組成了如圖8.1-1所示的統(tǒng)計(jì)圖.我們把這樣的統(tǒng)計(jì)圖叫做散點(diǎn)圖.觀察上圖,可以發(fā)現(xiàn),這些散點(diǎn)大致落在一條從左下角到右上角的直線附近,表明隨年齡值的增加,相應(yīng)的脂肪含量值呈現(xiàn)增高的趨勢(shì).這樣,由成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的分布規(guī)律,我們可以推斷脂肪含量變量和年齡變量之間存在著相關(guān)關(guān)系.圖8.1-1如果從整體上看,當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí),另一個(gè)變量的相應(yīng)值也呈現(xiàn)增加的趨勢(shì),我們就稱這兩個(gè)變量正相關(guān);如果當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí),另一個(gè)變量的相應(yīng)值呈現(xiàn)減少的趨勢(shì),則稱這兩個(gè)變量負(fù)相關(guān).脂肪含量與年齡這兩個(gè)變量正相關(guān).思考:(1)兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)時(shí),成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖有什么特點(diǎn)?
(2)你能舉出生活中兩個(gè)變量正相關(guān)或負(fù)相關(guān)的一些例子嗎?圖8.1-1散點(diǎn)圖是描述成對(duì)數(shù)據(jù)之間關(guān)系的一種直觀方法.觀察散點(diǎn)圖8.1-1,從中我們不僅可以大致看出脂肪含量和年齡呈現(xiàn)正相關(guān)性,而且從整體上可以看出散點(diǎn)落在某條直線附近.一般地,如果兩個(gè)變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān),而且散點(diǎn)落在一條直線附近,我們就稱這兩個(gè)變量線性相關(guān).圖8.1-1觀察散點(diǎn)圖8.1-2,我們發(fā)現(xiàn):圖(1)中的散點(diǎn)落在某條曲線附近,而不是落在一條直線附近,說明這兩個(gè)變量具有相關(guān)性,但不是線性相關(guān);類似地,圖(2)中的散點(diǎn)落在一條折線附近,這兩個(gè)變量也具有相關(guān)性,但它們既不是正相關(guān),也不是負(fù)相關(guān);圖(3)中的散點(diǎn)雜亂無章,無規(guī)律可言,看不出兩個(gè)變量有什么相關(guān)性.
一般地,如果兩個(gè)變量具有相關(guān)性,但不是線性相關(guān),那么我們就稱這兩個(gè)變量非線性相關(guān)或曲線相關(guān).
圖8.1-2
利用上述方法處理表8.1-1中的數(shù)據(jù),得到圖8.1-3.我們發(fā)現(xiàn),這時(shí)的散點(diǎn)大多數(shù)分布在第一象限、第三象限,大多數(shù)散點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)同號(hào).顯然,這樣的規(guī)律是由人體脂肪含量與年齡正相關(guān)所決定的.圖8.1-3一般地,如果變量x和y正相關(guān),那么關(guān)于均值平移后的大多數(shù)散點(diǎn)將分布在第一象限、第三象限,對(duì)應(yīng)的成對(duì)數(shù)據(jù)同號(hào)的居多,如圖8.1-4(1)所示;如果變量x和y負(fù)相關(guān),那么關(guān)于均值平移后的大多數(shù)散點(diǎn)將分布在第二象限、第四象限,對(duì)應(yīng)的成對(duì)數(shù)據(jù)異號(hào)的居多,如圖8.1-4(2)所示.
圖8.1-4(1)
(2)思考:根據(jù)上述分析,你能利用正相關(guān)變量和負(fù)相關(guān)變量的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)平移后呈現(xiàn)的規(guī)律,構(gòu)造一個(gè)度量成對(duì)樣本數(shù)據(jù)是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)的數(shù)字特征嗎?
變形形式
圖8.1-5
典例剖析
例1
根據(jù)表8.1-1中脂肪含量和年齡的樣本數(shù)據(jù),推斷兩個(gè)變量是否線性相關(guān),計(jì)算樣本
相關(guān)系數(shù),并推斷它們的相關(guān)程度.編號(hào)1234567年齡/歲23273941454950脂肪含量/%9.517.821.225.927.526.328.2
編號(hào)891011121314年齡/歲53545657586061脂肪含量/%29.630.231.430.833.535.234.6表8.1-1解:先畫出散點(diǎn)圖,如圖8.1-1所示.觀察散點(diǎn)圖,可以看出樣本點(diǎn)都集中在一條直線附近,由此推斷脂肪含量和年齡線性相關(guān).根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)的定義,圖8.1-1
例3在某校高一年級(jí)中隨機(jī)抽取25名男生,測(cè)得他們的身高、體重、臂展等數(shù)據(jù),如表8.1-3所示.編號(hào)身高/cm體重/kg臂展/cm
編號(hào)身高/cm體重/kg臂展/cm1234567891011121317317917517918217318017016917717717817455715262826355815454596756169170172177174166174169166176170174170141516171819202122232425
166176176175169184169182171177173173
666149604886585458615851
161166165173162189164170164173165169
體重與身高、臂展與身高分別具有怎樣的相關(guān)性?解:根據(jù)樣本數(shù)據(jù)分別畫出體重與身高、臂展與身高的散點(diǎn)圖,分別如圖8.1-7(1)和(2)所示,兩個(gè)散點(diǎn)圖都呈現(xiàn)出線性相關(guān)的特征.圖8.1-7(1)
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