人工智能第四章

搜索是人工智能中的一個(gè)基本問題，并與推理密切相關(guān)，搜索策略的優(yōu)劣，將直接影響到智能系統(tǒng)的性能與推理效率。

搜索的基本概念狀態(tài)空間的盲目搜索狀態(tài)空間的啟發(fā)式搜索與/或樹的盲目搜索與/或樹的啟發(fā)式搜索博弈樹的啟發(fā)式搜索第4章搜索策略4.1搜索的基本概念搜索的含義狀態(tài)空間法問題歸約法4.1.1搜索的含義概念：

依靠經(jīng)驗(yàn)，利用已有知識(shí)，根據(jù)問題的實(shí)際情況，不斷尋找可利用知識(shí)，從而構(gòu)造一條代價(jià)最小的推理路線，使問題得以解決的過程搜索的類型

按是否使用啟發(fā)式信息：盲目搜索：按預(yù)定的控制策略進(jìn)行搜索，在搜索過程中獲得的中間信息并不改變控制策略。啟發(fā)式搜索：在搜索中加入了與問題有關(guān)的啟發(fā)性信息，用于指導(dǎo)搜索朝著最有希望的方向前進(jìn)，加速問題的求解過程并找到最優(yōu)解。按問題的表示方式：狀態(tài)空間搜索：用狀態(tài)空間法來求解問題所進(jìn)行的搜索與或樹搜索：用問題歸約法來求解問題時(shí)所進(jìn)行的搜索4.1.2狀態(tài)空間法1.狀態(tài)空間表示方法狀態(tài)(State)：是表示問題求解過程中每一步問題狀況的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，它可形式地表示為：

Sk={Sk0,Sk1,…}當(dāng)對(duì)每一個(gè)分量都給以確定的值時(shí)，就得到了一個(gè)具體的狀態(tài)。操作(Operator)

也稱為算符，它是把問題從一種狀態(tài)變換為另一種狀態(tài)的手段。操作可以是一個(gè)機(jī)械步驟，一個(gè)運(yùn)算，一條規(guī)則或一個(gè)過程。操作可理解為狀態(tài)集合上的一個(gè)函數(shù)，它描述了狀態(tài)之間的關(guān)系。狀態(tài)空間(Statespace)

用來描述一個(gè)問題的全部狀態(tài)以及這些狀態(tài)之間的相互關(guān)系。常用一個(gè)三元組表示為：(S,F,G)其中，S為問題的所有初始狀態(tài)的集合；F為操作的集合；G為目標(biāo)狀態(tài)的集合。狀態(tài)空間也可用一個(gè)賦值的有向圖來表示，該有向圖稱為狀態(tài)空間圖。在狀態(tài)空間圖中，節(jié)點(diǎn)表示問題的狀態(tài)，有向邊表示操作。狀態(tài)空間法求解問題的基本過程：首先為問題選擇適當(dāng)?shù)摹盃顟B(tài)”及“操作”的形式化描述方法；然后從某個(gè)初始狀態(tài)出發(fā)，每次使用一個(gè)“操作”，遞增地建立起操作序列，直到達(dá)到目標(biāo)狀態(tài)為止；此時(shí)，由初始狀態(tài)到目標(biāo)狀態(tài)所使用的算符序列就是該問題的一個(gè)解。

4.1.2狀態(tài)空間法2.狀態(tài)空間問題求解例4.1修道士(Missionaries)和野人(Cannibals)問題(簡(jiǎn)稱M-C問題)。

設(shè)在河的一岸有三個(gè)野人、三個(gè)修道士和一條船，修道士想用這條船把所有的人運(yùn)到河對(duì)岸，但受以下條件的約束：一是修道士和野人都會(huì)劃船，但每次船上至多可載兩個(gè)人；二是在河的任一岸，如果野人數(shù)目超過修道士數(shù)，修道士會(huì)被野人吃掉。如果野人會(huì)服從任何一次過河安排，請(qǐng)規(guī)劃一個(gè)確保修道士和野人都能過河，且沒有修道士被野人吃掉的安全過河計(jì)劃。

4.1.2狀態(tài)空間法3.狀態(tài)空間的例子解：首先選取描述問題狀態(tài)的方法。在這個(gè)問題中，需要考慮兩岸的修道士人數(shù)和野人數(shù)，還需要考慮船在左岸還是在右岸。從而可用一個(gè)三元組來表示狀態(tài)

S=(m,c,b)其中，m表示左岸的修道士人數(shù)，c表示左岸的野人數(shù)，b表示左岸的船數(shù)。右岸的狀態(tài)可由下式確定：右岸修道士數(shù)m'=3-m

右岸野人數(shù)c'=3-c

右岸船數(shù)b'=1-b

在這種表示方式下，m和c都可取0、1、2、3中之一，b可取0和1中之一。因此，共有4×4×2=32種狀態(tài)。4.1.2狀態(tài)空間法3.狀態(tài)空間的例子

這32種狀態(tài)并非全有意義，除去不合法狀態(tài)和修道士被野人吃掉的狀態(tài)，有意義的狀態(tài)只有16種：

S0=(3,3,1)S1=(3,2,1)S2=(3,1,1)S3=(2,2,1)S4=(1,1,1)S5=(0,3,1)S6=(0,2,1)S7=(0,1,1)S8=(3,2,0)S9=(3,1,0)S10=(3,0,0)S11=(2,2,0)S12=(1,1,0)S13=(0,2,0)S14=(0,1,0)S15=(0,0,0)有了這些狀態(tài)，還需要考慮可進(jìn)行的操作。

操作是指用船把修道士或野人從河的左岸運(yùn)到右岸。每個(gè)操作都應(yīng)當(dāng)滿足如下條件：

一是船至少有一個(gè)人（m或c）操作，離開岸邊的m和c的減少數(shù)目應(yīng)該等于到達(dá)岸邊的m和c的增加數(shù)目；二是每次操作船上人數(shù)不得超過2個(gè)；三是操作應(yīng)保證不產(chǎn)生非法狀態(tài)。因此，操作應(yīng)由條件部分和動(dòng)作部分：條件：只有當(dāng)其條件具備時(shí)才能使用動(dòng)作：刻劃了應(yīng)用此操作所產(chǎn)生的結(jié)果。

操作的表示：

用符號(hào)Pij表示從左岸到右岸的運(yùn)人操作用符號(hào)Qij表示從右岸到左岸的操作其中：

i表示船上的修道士人數(shù)

j表示船上的野人數(shù)操作集本問題有10種操作可供選擇：

F={P01,P10,P11,P02,P20,Q01,Q10,Q11,Q02,Q20}

下面以P01和Q01為例來說明這些操作的條件和動(dòng)作。操作符號(hào)條件動(dòng)作

P01b=1,m=0或3,c≥1b=0,c=c-1Q01b=0,m=0或3，c≤2b=1,c=c+1

abc

例4.2猴子摘香蕉問題。在討論謂詞邏輯知識(shí)表示時(shí)，我們?cè)岬竭^這一問題，現(xiàn)在用狀態(tài)空間法來解決這一問題。

解：?jiǎn)栴}的狀態(tài)可用4元組（w,x,y,z）表示。其中：

w表示猴子的水平位置；

x表示箱子的水平位置；

y表示猴子是否在箱子上，當(dāng)猴子在箱子上時(shí)，y取1，否則y取0；

z表示猴子是否拿到香蕉，當(dāng)拿到香蕉時(shí)z取1，否則z取0。4.1.2狀態(tài)空間法3.狀態(tài)空間的例子所有可能的狀態(tài)為

S0:(a,b,0,0)初始狀態(tài)

S1:(b,b,0,0)S2:(c,c,0,0)S3:(c,c,1,0)S4:(c,c,1,1)目標(biāo)狀態(tài)允許的操作為

Goto(u)：猴子走到位置u，即

(w,x,0,0)→(u,x,0,0)Pushbox(v):猴子推著箱子到水平位置v，即

(x,x,0,0)→(v,v,0,0)Climbbox:猴子爬上箱子，即

(x,x,0,0)→(x,x,1,0)Grasp；猴子拿到香蕉，即

(c,c,1,0)→(c,c,1,1)

這個(gè)問題的狀態(tài)空間圖如下圖所示。操作序列為：

{Goto(b),Pushbox(c),Climbbox,Grasp}猴子摘香蕉問題的解(a,b,0,0)(b,b,0,0)(c,c,0,0)(b,b,1,0)(c,c,1,0)(a,a,0,0)(c,c,1,1)初始狀態(tài)Goto(b)Goto(b)Pushbox(c)Grasp目標(biāo)狀態(tài)猴子摘香蕉問題的狀態(tài)空間圖解序列為：{Goto(b),Pushbox(c),Climbbox,Grasp}Pushbox(c)ClimbboxClimbboxPushbox(c)Pushbox(a)Pushbox(a)回顧第二章-猴子摘香蕉問題(1/3)描述狀態(tài)的謂詞：AT(x,y)：x在y處ONBOX：猴子在箱子上HB：猴子得到香蕉個(gè)體域：x：{monkey,box,banana}Y：{a,b,c}問題的初始狀態(tài)AT(monkey,a)AT(box,b)?ONBOX，?HB問題的目標(biāo)狀態(tài)AT(monkey,c)，AT(box,c)ONBOX，HBabc描述操作的謂詞Goto(u,v)：猴子從u處走到v處Pushbox(v,w)：猴子推著箱子從v處移到w處Climbbox：猴子爬上箱子Grasp：猴子摘取香蕉各操作的條件和動(dòng)作Goto(u,v)條件：?ONBOX，AT(monkey,u)，動(dòng)作：刪除表：AT(monkey,u)添加表：AT(monkey,v)Pushbox(v,w)條件：?ONBOX，AT(monkey,v)，AT(box,v)動(dòng)作：刪除表：AT(monkey,v)，AT(box,v)添加表：AT(monkey,w)，AT(box,w)回顧第二章-猴子摘香蕉問題(2/3)Climbbox條件：?ONBOX，AT(monkey,w)，AT(box,w)動(dòng)作：刪除表：?ONBOX添加表：ONBOXGrasp條件：ONBOX，AT(box,c)動(dòng)作：刪除表：?HB添加表：HB回顧第二章-猴子摘香蕉問題(3/3)基本思想當(dāng)一問題較復(fù)雜時(shí)，可通過分解或變換，將其轉(zhuǎn)化為一系列較簡(jiǎn)單的子問題，然后通過對(duì)這些子問題的求解來實(shí)現(xiàn)對(duì)原問題的求解。

分解如果一個(gè)問題P可以歸約為一組子問題P1,P2,…,Pn，并且只有當(dāng)所有子問題Pi都有解時(shí)原問題P才有解，任何一個(gè)子問題Pi無解都會(huì)導(dǎo)致原問題P無解，則稱此種歸約為問題的分解。即分解所得到的子問題的“與”與原問題P等價(jià)。等價(jià)變換如果一個(gè)問題P可以歸約為一組子問題P1,P2,…,Pn，并且子問題Pi中只要有一個(gè)有解則原問題P就有解，只有當(dāng)所有子問題Pi都無解時(shí)原問題P才無解，稱此種歸約為問題的等價(jià)變換，簡(jiǎn)稱變換。即變換所得到的子問題的“或”與原問題P等價(jià)。4.1.3問題歸約法1.問題的分解與等價(jià)變換PP1P2P3

與樹P1P2P3

或樹PPP1P2P3

P11P12P31P32P33

與/或樹(1)與樹分解(2)或樹等價(jià)變換(3)與/或樹4.1.3問題歸約法2.問題的與/或樹表示(4)端節(jié)點(diǎn)與終止節(jié)點(diǎn)在與/或樹中，沒有子節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)稱為端節(jié)點(diǎn)；本原問題所對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)稱為終止節(jié)點(diǎn)?？梢姡K止節(jié)點(diǎn)一定是端節(jié)點(diǎn)，但端節(jié)點(diǎn)卻不一定是終止節(jié)點(diǎn)。(5)可解節(jié)點(diǎn)與不可解節(jié)點(diǎn)在與/或樹中，滿足以下三個(gè)條件之一的節(jié)點(diǎn)為可解節(jié)點(diǎn)：

①任何終止節(jié)點(diǎn)都是可解節(jié)點(diǎn)。

②對(duì)“或”節(jié)點(diǎn)，當(dāng)其子節(jié)點(diǎn)中至少有一個(gè)為可解節(jié)點(diǎn)時(shí)，則該或節(jié)點(diǎn)就是可解節(jié)點(diǎn)。

③對(duì)“與”節(jié)點(diǎn)，只有當(dāng)其子節(jié)點(diǎn)全部為可解節(jié)點(diǎn)時(shí)，該與節(jié)點(diǎn)才是可解節(jié)點(diǎn)。同樣，可用類似的方法定義不可解節(jié)點(diǎn)：

①不為終止節(jié)點(diǎn)的端節(jié)點(diǎn)是不可解節(jié)點(diǎn)。②對(duì)“或”節(jié)點(diǎn)，若其全部子節(jié)點(diǎn)都為不可解節(jié)點(diǎn)，則該或節(jié)點(diǎn)是不可解節(jié)點(diǎn)。③對(duì)“與”節(jié)點(diǎn)，只要其子節(jié)點(diǎn)中有一個(gè)為不可解節(jié)點(diǎn)，則該與節(jié)點(diǎn)是不可解節(jié)點(diǎn)。Pt

tt

解樹(6)解樹由可解節(jié)點(diǎn)構(gòu)成，并且由這些可解節(jié)點(diǎn)可以推出初始節(jié)點(diǎn)（它對(duì)應(yīng)著原始問題）為可解節(jié)點(diǎn)的子樹為解樹。在解樹中一定包含初始節(jié)點(diǎn)。

例如，右圖給出的與或樹中，用紅線表示的子樹是一個(gè)解樹。在該圖中，節(jié)點(diǎn)P為原始問題節(jié)點(diǎn)，用t標(biāo)出的節(jié)點(diǎn)是終止節(jié)點(diǎn)。根據(jù)可解節(jié)點(diǎn)的定義，很容易推出原始問題P為可解節(jié)點(diǎn)。問題歸約求解過程就實(shí)際上就是生成解樹，即證明原始節(jié)點(diǎn)是可解節(jié)點(diǎn)的過程。這一過程涉及到搜索的問題，對(duì)于與/或樹的搜索將在后面詳細(xì)討論。例4.4

三階梵塔問題。要求把1號(hào)鋼針上的3個(gè)金片全部移到3號(hào)鋼針上，如下圖所示。

解：這個(gè)問題也可用狀態(tài)空間法來解，不過本例主要用它來說明如何用歸約法來解決問題。為了能夠解決這一問題，首先需要定義該問題的形式化表示方法。設(shè)用三元組(i,j,k)表示問題在任一時(shí)刻的狀態(tài)，用“→”表示狀態(tài)的轉(zhuǎn)換。上述三元組中

i代表金片C所在的鋼針號(hào)

j代表金片B所在的鋼針號(hào)

k代表金片A所在的鋼針號(hào)1231234.1.3問題歸約法2.問題的與/或樹表示利用問題歸約方法，原問題可分解為以下三個(gè)子問題：

(1)把金片A及B移到2號(hào)鋼針上的雙金片移動(dòng)問題。即(1,1,1)→(1,2,2)(2)把金片C移到3號(hào)鋼針上的單金片移動(dòng)問題。即(1,2,2)→(3,2,2)(3)把金片A及B移到3號(hào)鋼針的雙金片移動(dòng)問題。即(3,2,2)→((3,3,3)其中，子問題(1)和(3)都是一個(gè)二階梵塔問題，它們都還可以再繼續(xù)進(jìn)行分解；子問題(2)是本原問題，它已不需要再分解。三階梵塔問題的分解過程可用如下圖與/或樹來表示

(1,1,1)→(3,3,3)

(1,1,1)→(1,2,2)(1,2,2)→(3,2,2)(3,2,2)→(3,3,3)(1,1,1)→(1,1,3)(1,1,3)→(1,2,3)(1,2,3)→(1,2,2)(3,2,2)→(3,2,1)(3,2,1)→(3,3,1)(3,3,1)→(3,3,3)

在該與/或樹中，有7個(gè)終止節(jié)點(diǎn)，它們分別對(duì)應(yīng)著7個(gè)本原問題。如果把這些本原問題從左至右排列起來，即得到了原始問題的解：

(1,1,1)→(1,3,3)(1,3,3)→(1,2,3)(1,2,3)→(1,2,2)(1,2,2)→(3,2,2)(3,2,2)→(3,2,1)(3,2,1)→(3,3,1)(3,3,1)→(3,3,3)

搜索的基本概念

狀態(tài)空間的盲目搜索狀態(tài)空間的啟發(fā)式搜索與/或樹的盲目搜索與/或樹的啟發(fā)式搜索博弈樹的啟發(fā)式搜索第4章搜索策略4.2狀態(tài)空間的盲目搜索廣度優(yōu)先和深度優(yōu)先搜索代價(jià)樹搜索基本思想

從初始節(jié)點(diǎn)S0開始逐層向下擴(kuò)展，在第n層節(jié)點(diǎn)還沒有全部搜索完之前，不進(jìn)入第n+1層節(jié)點(diǎn)的搜索。Open表中的節(jié)點(diǎn)總是按進(jìn)入的先后排序，先進(jìn)入的節(jié)點(diǎn)排在前面，后進(jìn)入的節(jié)點(diǎn)排在后面。搜索算法

(1)把初始節(jié)點(diǎn)S0放入Open表中；

(2)如果Open表為空，則問題無解，失敗退出；

(3)把Open表的第一個(gè)節(jié)點(diǎn)取出放入Closed表，并記該節(jié)點(diǎn)為n；

(4)考察節(jié)點(diǎn)n是否為目標(biāo)節(jié)點(diǎn)。若是，則得到問題的解，成功退出；

(5)若節(jié)點(diǎn)n不可擴(kuò)展，則轉(zhuǎn)第(2)步；

(6)擴(kuò)展節(jié)點(diǎn)n，將其子節(jié)點(diǎn)放入Open表的尾部，并為每一個(gè)子節(jié)點(diǎn)設(shè)置指向父節(jié)點(diǎn)的指針，然后轉(zhuǎn)第(2)步。

4.2.2廣度優(yōu)先和深度優(yōu)先搜索1.廣度優(yōu)先搜索例4.5

八數(shù)碼難題。在3×3的方格棋盤上，分別放置了表有數(shù)字1、2、3、4、5、6、7、8的八張牌，初始狀態(tài)S0，目標(biāo)狀態(tài)Sg，如下圖所示?？梢允褂玫牟僮饔锌崭褡笠疲崭裆弦?，空格右移，空格下移即只允許把位于空格左、上、右、下方的牌移入空格。要求應(yīng)用廣度優(yōu)先搜索策略尋找從初始狀態(tài)到目標(biāo)狀態(tài)的解路徑。

831476512384765S0Sg2831476528314765231847652831476528316475

8321476528371465

2318476523184765281437652831457628316475283164758321476528371465832147658132476528374615283714651238476512378465123847652341876528143765283145762836417528316754S0123456789101112131415161718192021222324252627Sg算法描述

(1)把初始節(jié)點(diǎn)S0放入Open表中；

(2)如果Open表為空，則問題無解，失敗退出；

(3)把Open表的第一個(gè)節(jié)點(diǎn)取出放入Closed表，并記該節(jié)點(diǎn)為n；

(4)考察節(jié)點(diǎn)n是否為目標(biāo)節(jié)點(diǎn)。若是，則得到問題的解，成功退出；

(5)若節(jié)點(diǎn)n不可擴(kuò)展，則轉(zhuǎn)第(2)步；

(6)擴(kuò)展節(jié)點(diǎn)n，將其子節(jié)點(diǎn)放入Open表的首部，并為每一個(gè)子節(jié)點(diǎn)設(shè)置指向父節(jié)點(diǎn)的指針，然后轉(zhuǎn)第(2)步。

4.2.2廣度優(yōu)先和深度優(yōu)先搜索2.深度優(yōu)先搜索基本思想

從初始節(jié)點(diǎn)S0開始，在其子節(jié)點(diǎn)中選擇一個(gè)最新生成的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行考察，如果該子節(jié)點(diǎn)不是目標(biāo)節(jié)點(diǎn)且可以擴(kuò)展，則擴(kuò)展該子節(jié)點(diǎn)，然后再在此子節(jié)點(diǎn)的子節(jié)點(diǎn)中選擇一個(gè)最新生成的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行考察，依此向下搜索，直到某個(gè)子節(jié)點(diǎn)既不是目標(biāo)節(jié)點(diǎn)，又不能繼續(xù)擴(kuò)展時(shí)，才選擇其兄弟節(jié)點(diǎn)進(jìn)行考察。2831476528314765231847652831476528316475283164752831647528316754283167542816375428163754S01

2

3

4

5

6八數(shù)碼難題的深度優(yōu)先搜索如右圖一種改進(jìn)的深度優(yōu)先算法是有界深度優(yōu)先搜索算法，深度限制為dm例4.6

八數(shù)碼難題在代價(jià)樹中，可以用g(n)表示從初始節(jié)點(diǎn)S0到節(jié)點(diǎn)n的代價(jià)，用c(n1,n2)表示從父節(jié)點(diǎn)n1到其子節(jié)點(diǎn)n2的代價(jià)。這樣，對(duì)節(jié)點(diǎn)n2的代價(jià)有：g(n2)=g(n1)+c(n1,n2)。代價(jià)樹搜索的目的是為了找到最佳解，即找到一條代價(jià)最小的解路徑。

4.2.3代價(jià)樹搜索1.代價(jià)樹的廣度優(yōu)先搜索代價(jià)樹的廣度優(yōu)先搜索算法：

(1)把初始節(jié)點(diǎn)S0放入Open表中，置S0的代價(jià)g(S0)=0；

(2)如果Open表為空，則問題無解，失敗退出；

(3)把Open表的第一個(gè)節(jié)點(diǎn)取出放入Closed表，并記該節(jié)點(diǎn)為n；

(4)考察節(jié)點(diǎn)n是否為目標(biāo)。若是，則找到了問題的解，成功退出；

(5)若節(jié)點(diǎn)n不可擴(kuò)展，則轉(zhuǎn)第(2)步；

(6)擴(kuò)展節(jié)點(diǎn)n，生成其子節(jié)點(diǎn)ni(i=1,2,…)，將這些子節(jié)點(diǎn)放入Open表中，并為每一個(gè)子節(jié)點(diǎn)設(shè)置指向父節(jié)點(diǎn)的指針。按如下公式：

g(ni)=g(n)+c(ni)i=1,2,...計(jì)算各子結(jié)點(diǎn)的代價(jià)，并根據(jù)各子結(jié)點(diǎn)的代價(jià)對(duì)Open表中的全部結(jié)點(diǎn)按由小到大的順序排序。然后轉(zhuǎn)第(2)步。例4.7

城市交通問題。設(shè)有5個(gè)城市，它們之間的交通線路如左圖所示，圖中的數(shù)字表示兩個(gè)城市之間的交通費(fèi)用，即代價(jià)。用代價(jià)樹的廣度優(yōu)先搜索，求從A市出發(fā)到E市，費(fèi)用最小的交通路線。

ABCDE434523245AC1B1D1D2E1E2B2C2E3E43434235城市交通圖城市交通圖的代價(jià)樹解：代價(jià)樹如右圖所示。其中，紅線為最優(yōu)解，其代價(jià)為84.2.3代價(jià)樹搜索2.代價(jià)樹的深度優(yōu)先搜索代價(jià)樹的深度優(yōu)先搜索算法：

(1)把初始節(jié)點(diǎn)S0放入Open表中，置S0的代價(jià)g(S0)=0；

(2)如果Open表為空，則問題無解，失敗退出；

(3)把Open表的第一個(gè)節(jié)點(diǎn)取出放入Closed表，并記該節(jié)點(diǎn)為n；

(4)考察節(jié)點(diǎn)n是否為目標(biāo)節(jié)點(diǎn)。若是，則找到了問題的解，成功退出；

(5)若節(jié)點(diǎn)n不可擴(kuò)展，則轉(zhuǎn)第(2)步；

(6)擴(kuò)展節(jié)點(diǎn)n，生成其子節(jié)點(diǎn)ni(i=1,2,…)，將這些子節(jié)點(diǎn)按邊代價(jià)由小到大放入Open表的首部，并為每一個(gè)子節(jié)點(diǎn)設(shè)置指向父節(jié)點(diǎn)的指針。然后轉(zhuǎn)第(2)步。搜索的基本概念狀態(tài)空間的盲目搜索狀態(tài)空間的啟發(fā)式搜索與/或樹的盲目搜索與/或樹的啟發(fā)式搜索博弈樹的啟發(fā)式搜索第4章搜索策略4.3狀態(tài)空間的啟發(fā)式搜索啟發(fā)性信息和估價(jià)函數(shù)A算法A*算法A*算法應(yīng)用舉例啟發(fā)性信息的概念

啟發(fā)性信息是指那種與具體問題求解過程有關(guān)的，并可指導(dǎo)搜索過程朝著最有希望方向前進(jìn)的控制信息。啟發(fā)性信息的種類①有效地幫助確定擴(kuò)展節(jié)點(diǎn)的信息；②有效的幫助決定哪些后繼節(jié)點(diǎn)應(yīng)被生成的信息；③

能決定在擴(kuò)展一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)哪些節(jié)點(diǎn)應(yīng)從搜索樹上刪除的信息。

啟發(fā)性信息的作用啟發(fā)信息的啟發(fā)能力越強(qiáng)，擴(kuò)展的無用結(jié)點(diǎn)越少。4.3.1啟發(fā)性信息和估價(jià)函數(shù)1.啟發(fā)性信息估價(jià)函數(shù)用來估計(jì)節(jié)點(diǎn)重要性的函數(shù)。估價(jià)函數(shù)f(n)被定義為從初始節(jié)點(diǎn)S0出發(fā)，約束經(jīng)過節(jié)點(diǎn)n到達(dá)目標(biāo)節(jié)點(diǎn)Sg的所有路徑中最小路徑代價(jià)的估計(jì)值。它的一般形式為：

f(n)=g(n)+h(n)其中，g(n)是從初始節(jié)點(diǎn)S0到節(jié)點(diǎn)n的實(shí)際代價(jià)；h(n)是從節(jié)點(diǎn)n到目標(biāo)節(jié)點(diǎn)Sg的最優(yōu)路徑的估計(jì)代價(jià)。

4.3.1啟發(fā)性信息和估價(jià)函數(shù)2.估價(jià)函數(shù)例4.8

八數(shù)碼難題。設(shè)問題的初始狀態(tài)S0和目標(biāo)狀態(tài)Sg如下圖所示，且估價(jià)函數(shù)為

f(n)=d(n)+W(n)其中：d(n)表示節(jié)點(diǎn)n在搜索樹中的深度

W(n)表示節(jié)點(diǎn)n中“不在位”的數(shù)碼個(gè)數(shù)。請(qǐng)計(jì)算初始狀態(tài)S0的估價(jià)函數(shù)值f(S0)解：取g(n)=d(n)，h(n)=W(n)。它說明是用從S0到n的路徑上的單位代價(jià)表示實(shí)際代價(jià)，用結(jié)點(diǎn)n中“不在位”的數(shù)碼個(gè)數(shù)作為啟發(fā)信息。一般來說，某節(jié)點(diǎn)中的“不在位”的數(shù)碼個(gè)數(shù)越多，說明它離目標(biāo)節(jié)點(diǎn)越遠(yuǎn)。對(duì)初始節(jié)點(diǎn)S0，由于d(S0)=0，W(S0)=3，因此有

f(S0)=0+3=32

831476512384765S0Sg概念：在圖搜索算法中，如果能在搜索的每一步都利用估價(jià)函數(shù)f(n)=g(n)+h(n)對(duì)Open表中的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行排序，則該搜索算法為A算法。

由于估價(jià)函數(shù)中帶有問題自身的啟發(fā)性信息，因此，A算法也被稱為啟發(fā)式搜索算法。類型：可根據(jù)搜索過程中選擇擴(kuò)展節(jié)點(diǎn)的范圍，將啟發(fā)式搜索算法分為全局擇優(yōu)搜索算法和局部擇優(yōu)搜索算法。全局擇優(yōu)：從Open表的所有節(jié)點(diǎn)中選擇一個(gè)估價(jià)函數(shù)值最小的一個(gè)進(jìn)行擴(kuò)展。局部擇優(yōu)：僅從剛生成的子節(jié)點(diǎn)中選擇一個(gè)估價(jià)函數(shù)值最小的一個(gè)進(jìn)行擴(kuò)展。4.3.2A算法全局擇優(yōu)搜索A算法描述：

(1)把初始節(jié)點(diǎn)S0放入Open表中，f(S0)=g(S0)+h(S0)；

(2)如果Open表為空，則問題無解

，失敗退出；

(3)把Open表的第一個(gè)節(jié)點(diǎn)取出放入Closed表，并記該節(jié)點(diǎn)為n；

(4)考察節(jié)點(diǎn)n是否為目標(biāo)節(jié)點(diǎn)。若是，則找到了問題的解，成功退出；

(5)若節(jié)點(diǎn)n不可擴(kuò)展，則轉(zhuǎn)第(2)步；

(6)擴(kuò)展節(jié)點(diǎn)n，生成其子節(jié)點(diǎn)ni(i=1,2,…)，計(jì)算每一個(gè)子節(jié)點(diǎn)的估價(jià)值f(ni)(i=1,2,…)，并為每一個(gè)子節(jié)點(diǎn)設(shè)置指向父節(jié)點(diǎn)的指針，然后將這些子節(jié)點(diǎn)放入Open表中；

(7)根據(jù)各節(jié)點(diǎn)的估價(jià)函數(shù)值，對(duì)Open表中的全部節(jié)點(diǎn)按從小到大的順序重新進(jìn)行排序；

(8)轉(zhuǎn)第(2)步。

4.3.2A算法例4.9

八數(shù)碼難題。設(shè)問題的初始狀態(tài)S0和目標(biāo)狀態(tài)Sg如圖所示，估價(jià)函數(shù)與例4.8相同。請(qǐng)用全局擇優(yōu)搜索解決該問題。解：該問題的全局擇優(yōu)搜索樹如下圖所示。在該圖中，每個(gè)節(jié)點(diǎn)旁邊的數(shù)字是該節(jié)點(diǎn)的估價(jià)函數(shù)值。例如，對(duì)節(jié)點(diǎn)S2，其估價(jià)函數(shù)值的計(jì)算為：f(S2)=d(S2)+W(S2)=1+3=4

2831476512384765S0Sg2831476528314765231

847652831476528316475S0

8321476528371465

23184765231847651238476512378465123

847654455564644SgS1S2八數(shù)碼難題的全局擇優(yōu)搜索樹該問題的解為：

S0→S1→S2→S3→SgS36

4.3.3A*算法

A*算法是對(duì)A算法的估價(jià)函數(shù)f(n)=g(n)+h(n)加上某些限制后得到的一種啟發(fā)式搜索算法假設(shè)f*(n)是從初始節(jié)點(diǎn)出發(fā)，約束經(jīng)過節(jié)點(diǎn)n達(dá)到目標(biāo)節(jié)點(diǎn)的最小代價(jià)，估價(jià)函數(shù)f(n)是對(duì)f*(n)的估計(jì)值。且

f*(n)=g*(n)+h*(n)A*算法對(duì)A算法（全局擇優(yōu)的啟發(fā)式搜索算法）中的g(n)和h(n)分別提出如下限制：第一，g(n)是對(duì)最小代價(jià)g*(n)的估計(jì)，且g(n)>0；第二，h(n)是最小代價(jià)h*(n)的下界，即對(duì)任意節(jié)點(diǎn)n均有h(n)≤h*(n)。即滿足上述兩條限制的A算法稱為A*算法。

4.3.3A*算法1.A*算法的可納性(1)可納性的含義：對(duì)任一狀態(tài)空間圖，當(dāng)從初始節(jié)點(diǎn)到目標(biāo)節(jié)點(diǎn)有路經(jīng)存在時(shí)，如果搜索算法總能在有限步驟內(nèi)找到一條從初始節(jié)點(diǎn)到目標(biāo)節(jié)點(diǎn)的最佳路徑，并在此路徑上結(jié)束，則稱該搜索算法是可采納的。A*算法可納性的證明以下分三步（定理4.1、定理4.2、定理4.3，即引理）進(jìn)行證明。定理4.1對(duì)有限圖，如果從初始節(jié)點(diǎn)S0到目標(biāo)節(jié)點(diǎn)Sg有路徑存在，則算法A*一定成功結(jié)束。

證明：首先證明算法必然會(huì)結(jié)束。由于搜索圖為有限圖，如果算法能找到解，則成功結(jié)束；如果算法找不到解，則必然會(huì)由于Open表變空而結(jié)束。因此，A*算法必然會(huì)結(jié)束。然后證明算法一定會(huì)成功結(jié)束。由于至少存在一條有初始節(jié)點(diǎn)到目標(biāo)節(jié)點(diǎn)的路徑，設(shè)此路徑為S0=n0,n1,…,nk=Sg算法開始時(shí)，節(jié)點(diǎn)n0在Open表中，而且路徑中任一節(jié)點(diǎn)ni離開Open表后，其后繼節(jié)點(diǎn)ni+1必然進(jìn)入Open表，這樣，在Open表變?yōu)榭罩埃繕?biāo)節(jié)點(diǎn)必然出現(xiàn)在Open表中。因此，算法一定會(huì)成功結(jié)束。引理4.1

對(duì)無限圖，如果從初始節(jié)點(diǎn)S0到目標(biāo)節(jié)點(diǎn)Sg有路徑存在，則算法A*算法不終止的話，則從Open表中選出的節(jié)點(diǎn)必將具有任意大的f值。證明：設(shè)d*(n)是A*生成的從初始節(jié)點(diǎn)S0到節(jié)點(diǎn)n的最短路經(jīng)長(zhǎng)度，由于搜索圖中每條邊的代價(jià)都是一個(gè)正數(shù)，令這些正數(shù)中的最小的一個(gè)數(shù)是e，則有

g*(n)≥d*(n)×e因?yàn)間*(n)是最佳路徑的代價(jià)，故有

g(n)≥g*(n)≥d*(n)×e又因?yàn)閔(n)≥0，故有

f(n)=g(n)+h(n)≥g(n)≥d*(n)×e

如果A*算法不終止的話，從Open表中選出的節(jié)點(diǎn)必將具有任意大的d*(n)值，因此，也將具有任意大的f值。

4.3.3A*算法1.A*算法的可納性(2)引理4.2

在A*算法終止前的任何時(shí)刻，Open表中總存在節(jié)點(diǎn)n’，它是從初始節(jié)點(diǎn)S0到目標(biāo)節(jié)點(diǎn)的最佳路徑上的一個(gè)節(jié)點(diǎn)，且滿足f(n’)≤f*(S0)。

證明：設(shè)從初始節(jié)點(diǎn)S0到目標(biāo)節(jié)點(diǎn)t的一條最佳路徑序列為

S0=n0,n1,…,nk=Sg算法開始時(shí)，節(jié)點(diǎn)S0在Open表中，當(dāng)節(jié)點(diǎn)S0離開Open表進(jìn)入Closed表時(shí)，節(jié)點(diǎn)n1進(jìn)入Open表。因此，A*沒有結(jié)束以前，在Open表中必存在最佳路徑上的節(jié)點(diǎn)。設(shè)這些節(jié)點(diǎn)中排在最前面的節(jié)點(diǎn)為n'，則有

f(n')=g(n')+h(n')由于n'在最佳路徑上，故有g(shù)(n')=g*(n')，從而

f(n')=g*(n')+h(n')又由于A*算法滿足h(n')≤h*(n')，故有

f(n')≤g*(n')+h*(n')=f*(n')因?yàn)樵谧罴崖窂缴系乃泄?jié)點(diǎn)的f*值都應(yīng)相等，因此有

f(n')≤f*(S0)4.3.3A*算法1.A*算法的可納性(3)定理4.2

對(duì)無限圖，若從初始節(jié)點(diǎn)S0到目標(biāo)節(jié)點(diǎn)t有路徑存在，則A*算法必然會(huì)結(jié)束。證明：（反證法）假設(shè)A*不結(jié)束，由引理4.1知Open表中的節(jié)點(diǎn)有任意大的f值，這與引理4.2的結(jié)論相矛盾，因此，A*算法只能成功結(jié)束。推論4.1

Open表中任一具有f(n)<f*(S0)的節(jié)點(diǎn)n，最終都被A*算法選作為擴(kuò)展的節(jié)點(diǎn)。

(證明略)

下面給出A*算法的可納性4.3.3A*算法1.A*算法的可納性(4)4.3.3A*算法1.A*算法的可納性(5)定理4.3

A*算法是可采納的，即若存在從初始節(jié)點(diǎn)S0到目標(biāo)節(jié)點(diǎn)Sg的路徑，則A*算法必能結(jié)束在最佳路徑上。證明：證明過程分以下兩步進(jìn)行：

先證明A*算法一定能夠終止在某個(gè)目標(biāo)節(jié)點(diǎn)上。由定理4.1和定理4.2可知，無論是對(duì)有限圖還是無限圖，A*算法都能夠找到某個(gè)目標(biāo)節(jié)點(diǎn)而結(jié)束。

再證明A*算法只能終止在最佳路徑上。（反證法）假設(shè)A*算法未能終止在最佳路徑上，而是終止在某個(gè)目標(biāo)節(jié)點(diǎn)t處，則有

f(t)=g(t)>f*(S0)但由引理4.2可知，在A*算法結(jié)束前，必有最佳路徑上的一個(gè)節(jié)點(diǎn)n'在Open表中，且有

f(n’)≤f*(S0)<f(t)這時(shí)，A*算法一定會(huì)選擇n'來擴(kuò)展，而不可能選擇t，從而也不會(huì)去測(cè)試目標(biāo)節(jié)點(diǎn)t，這就與假設(shè)A*算法終止在目標(biāo)節(jié)點(diǎn)t相矛盾。因此，A*算法只能終止在最佳路徑上。推論4.2

在A*算法中，對(duì)任何被擴(kuò)展的節(jié)點(diǎn)n，都有f(n)≤f*(S0)。

證明：令n是由A*選作擴(kuò)展的任一節(jié)點(diǎn)，因此n不會(huì)是目標(biāo)節(jié)點(diǎn)，且搜索沒有結(jié)束。由引理4.2可知，在Open表中有滿足

f(n')≤f*(S0)的節(jié)點(diǎn)n'。若n=n'，則有f(n)≤f*(S0)；否則，選擇n擴(kuò)展，必有

f(n)≤f(n')所以有

f(n)≤f*(S0)4.3.3A*算法1.A*算法的可納性(6)

A*算法的搜索效率很大程度上取決于估價(jià)函數(shù)h(n)。一般來說，在滿足h(n)≤h*(n)的前提下，h(n)的值越大越好。h(n)的值越大，說明它攜帶的啟發(fā)性信息越多，A*算法搜索時(shí)擴(kuò)展的節(jié)點(diǎn)就越少，搜索效率就越高。下面通過一個(gè)定理來描述這一特性。定理4.4

設(shè)有兩個(gè)A*算法A1*和A2*，它們有

A1*:f1(n)=g1(n)+h1(n)A2*:f2(n)=g2(n)+h2(n)如果A2*比A1*有更多的啟發(fā)性信息，即對(duì)所有非目標(biāo)節(jié)點(diǎn)均有

h2(n)>h1(n)則在搜索過程中，被A2*擴(kuò)展的節(jié)點(diǎn)也必然被A1*擴(kuò)展，即A1*擴(kuò)展的節(jié)點(diǎn)不會(huì)比A2*擴(kuò)展的節(jié)點(diǎn)少，亦即A2*擴(kuò)展的節(jié)點(diǎn)集是A1*擴(kuò)展的節(jié)點(diǎn)集的子集。

4.3.3A*算法2.A*算法的最優(yōu)性(1)

4.3.3A*算法2.A*算法的最優(yōu)性(2)證明：（用數(shù)學(xué)歸納法）

(1)

對(duì)深度d(n)=0的節(jié)點(diǎn)，即n為初始節(jié)點(diǎn)S0，如n為目標(biāo)節(jié)點(diǎn)，則A1*和A2*都不擴(kuò)展n；如果n不是目標(biāo)節(jié)點(diǎn)，則A1*和A2*都要擴(kuò)展n。

(2)假設(shè)對(duì)A2*中d(n)=k的任意節(jié)點(diǎn)n結(jié)論成立，即A1*也擴(kuò)展了這些節(jié)點(diǎn)。

(3)證明A2*中d(n)=k+1的任意節(jié)點(diǎn)n，也要由A1*擴(kuò)展。（用反證法）假設(shè)A2搜索樹上有一個(gè)滿足d(n)=k+1的節(jié)點(diǎn)n，A2*擴(kuò)展了該節(jié)點(diǎn)，但A1*沒有擴(kuò)展它。根據(jù)第(2)條的假設(shè)，知道A1*擴(kuò)展了節(jié)點(diǎn)n的父節(jié)點(diǎn)。因此，n必定在A1*的Open表中。既然節(jié)點(diǎn)n沒有被A1*擴(kuò)展，則有

f1(n)≥f*(S0)即g1(n)+h1(n)≥f*(S0)。但由于d=k時(shí)，A2*擴(kuò)展的節(jié)點(diǎn)A1*也一定擴(kuò)展，故有

g1(n)≤g2(n)因此有h1(n)≥f*(S0)-g2(n)

另一方面，由于A2*擴(kuò)展了n，因此有

f2(n)≤f*(0)即g2(n)+h2(n)≤f*(S0)，亦即h2(n)≤f*(S0)-g2(n)，所以有h1(n)≥h2(n)

這與我們最初假設(shè)的h1(n)<h2(n)矛盾，因此反證法的假設(shè)不成立。在A*算法中，每當(dāng)擴(kuò)展一個(gè)節(jié)點(diǎn)n時(shí)，都需要檢查其子節(jié)點(diǎn)是否已在Open表或Closed表中。對(duì)已在Open表中的子節(jié)點(diǎn)，需要決定是否調(diào)整指向其父節(jié)點(diǎn)的指針；對(duì)已在Closed表中的子節(jié)點(diǎn)，除需要決定是否調(diào)整其指向父節(jié)點(diǎn)的指針外，還需要決定是否調(diào)整其子節(jié)點(diǎn)的后繼節(jié)點(diǎn)的父指針。如果能夠保證，每當(dāng)擴(kuò)展一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)就已經(jīng)找到了通往這個(gè)節(jié)點(diǎn)的最佳路徑，就沒有必要再去作上述檢查為滿足這一要求，我們需要對(duì)啟發(fā)函數(shù)h(n)增加單調(diào)性限制。定義4.1

如果啟發(fā)函數(shù)滿足以下兩個(gè)條件:(1)h(Sg)=0;(2)對(duì)任意節(jié)點(diǎn)ni及其任一子節(jié)點(diǎn)nj，都有

0≤h(ni)-h(nj)≤c(ni,nj)其中c(ni,nj)是ni到其子節(jié)點(diǎn)nj的邊代價(jià)，則稱h(n)滿足單調(diào)限制。4.3.3A*算法3.h(n)的單調(diào)限制(1)定理4.5

如果h滿足單調(diào)條件，則當(dāng)A*算法擴(kuò)展節(jié)點(diǎn)n時(shí)，該節(jié)點(diǎn)就已經(jīng)找到了通往它的最佳路徑，即g(n)=g*(n)。證明：設(shè)A*正要擴(kuò)展節(jié)點(diǎn)n，而節(jié)點(diǎn)序列

S0=n0,n1,…,nk=n是由初始節(jié)點(diǎn)S0到節(jié)點(diǎn)n的最佳路徑。其中，ni是這個(gè)序列中最后一個(gè)位于Closed表中的節(jié)點(diǎn)，則上述節(jié)點(diǎn)序列中的ni+1節(jié)點(diǎn)必定在Open表中，則有

g*(ni)+h(ni)≤g*(ni)+c(ni,ni+1)+h(ni+1)由于節(jié)點(diǎn)ni和ni+1都在最佳路徑上，故有g(shù)*(ni+1)=g*(ni)+c(ni,ni+1)所以g*(ni)+h(ni)≤g*(ni+1)+h(ni+1)一直推導(dǎo)下去可得g*(ni+1)+h(ni+1)≤g*(nk)+h(nk)由于節(jié)點(diǎn)ni+1在最佳路徑上，故有f(ni+1)≤g*(n)+h(n)因?yàn)檫@時(shí)A*擴(kuò)展節(jié)點(diǎn)n而不擴(kuò)展節(jié)點(diǎn)ni+1，則有

f(n)=g(n)+h(n)≤f(ni+1)≤g*(n)+h(n)即g(n)≤g*(n)但是g*(n)是最小代價(jià)值，應(yīng)當(dāng)有

g(n)≥g*(n)所以有g(shù)(n)=g*(n)4.3.3A*算法3.h(n)的單調(diào)限制(2)定理4.6

如果h(n)滿足單調(diào)限制，則A*算法擴(kuò)展的節(jié)點(diǎn)序列的f值是非遞減的，即f(ni)≤f(ni+1)。

證明：假設(shè)節(jié)點(diǎn)ni+1在節(jié)點(diǎn)ni之后立即擴(kuò)展，由單調(diào)限制條件可知

h(ni)-h(ni+1)≤c(ni,ni+1)即f(ni)-g(ni)-f(ni+1)+g(ni+1)≤c(ni,ni+1)亦即f(ni)-g(ni)-f(ni+1)+g(ni)+c(ni,ni+1)≤c(ni,ni+1)所以f(ni)-f(ni+1)≤0即f(ni)≤f(ni+1)

以上兩個(gè)定理都是在h(n)滿足單調(diào)性限制的前提下才成立的。如果h(n)不滿足單調(diào)性限制，則它們不一定成立。在h(n)滿足單調(diào)性限制下的A*算法常被稱為改進(jìn)的A*算法。4.3.3A*算法3.h(n)的單調(diào)限制(2)例4.10

八數(shù)碼難題。

2831476528314765231847652831476528316475

2318476523184765123847651237846512384765S0f=6g*=1h*=3f=6f=6

g*=2h*=2f=6f=4g*=3h*=1f=4g*=4h*=0f=4f=6Sg八數(shù)碼難題h(n)=P(n)的搜索樹f(n)=d(n)+P(n)d(n)深度P(n)與目標(biāo)距離f*=g*+h*f=44.3.4A*算法應(yīng)用舉例h*=4f=4例4.11修道士和野人問題。解：用m表示左岸的修道士人數(shù)，c表示左岸的野人數(shù)，b表示左岸的船數(shù)，用三元組(m,c,b)表示問題的狀態(tài)。對(duì)A*算法，首先需要確定估價(jià)函數(shù)。設(shè)g(n)=d(n)，h(n)=m+c-2b，則有

f(n)=g(n)+h(n)=d(n)+m+c-2b其中，d(n)為節(jié)點(diǎn)的深度。通過分析可知h(n)≤h*(n)，滿足A*算法的限制條件。

M-C問題的搜索過程如下圖所示。4.3.4A*算法應(yīng)用舉例(3,3,1)h=4f=4(3,2,0)(3,1,0)(2,2,0)(3,2,1)(2,1,0)(3,0,0)(2,2,1)(3,1,1)(0,2,0)(1,1,0)(0,3,1)(0,1,0)(0,2,1)(0,0,0)h=5f=6h=3f=5h=3f=6h=3f=6h=2f=6h=2f=7h=1f=7h=1f=8h=0f=8傳教士和野人問題的搜索圖h(n)=m+c-2bh=4f=5h=4f=5h=2f=6h=2f=7本章要點(diǎn)搜索的基本概念狀態(tài)空間的盲目搜索狀態(tài)空間的啟發(fā)式搜索與/或樹的盲目搜索與/或樹的啟發(fā)式搜索博弈樹的啟發(fā)式搜索與/或樹的搜索過程實(shí)際上是一個(gè)不斷尋找解樹的過程。其一般搜索過程如下：

(1)把原始問題作為初始節(jié)點(diǎn)S0，并把它作為當(dāng)前節(jié)點(diǎn)；

(2)應(yīng)用分解或等價(jià)變換操作對(duì)當(dāng)前節(jié)點(diǎn)進(jìn)行擴(kuò)展；

(3)為每個(gè)子節(jié)點(diǎn)設(shè)置指向父節(jié)點(diǎn)的指針；

(4)選擇合適的子節(jié)點(diǎn)作為當(dāng)前節(jié)點(diǎn)，反復(fù)執(zhí)行第(2)步和第(3)步，在此期間需要多次調(diào)用可解標(biāo)記過程或不可解標(biāo)記過程，直到初始節(jié)點(diǎn)被標(biāo)記為可解節(jié)點(diǎn)或不可解節(jié)點(diǎn)為止。上述搜索過程將形成一顆與/或樹，這種由搜索過程所形成的與/或樹稱為搜索樹。

4.4.1與/或樹的一般搜索

與/或樹的廣度優(yōu)先搜索與狀態(tài)空間的廣度優(yōu)先搜索的主要差別是，需要在搜索過程中需要多次調(diào)用可解標(biāo)識(shí)過程或不可解標(biāo)識(shí)過程。其搜索算法如下：

(1)把初始節(jié)點(diǎn)S0放入Open表中；

(2)把Open表的第一個(gè)節(jié)點(diǎn)取出放入Closed表，并記該節(jié)點(diǎn)為n；

(3)如果節(jié)點(diǎn)n可擴(kuò)展，則做下列工作：①擴(kuò)展節(jié)點(diǎn)n，將其子節(jié)點(diǎn)放入Open表的尾部，并為每一個(gè)子節(jié)點(diǎn)設(shè)置指向父節(jié)點(diǎn)的指針；4.4.1與/或樹的廣度優(yōu)先和深度優(yōu)先搜索1.廣度優(yōu)先搜索②考察這些子節(jié)點(diǎn)中有否終止節(jié)點(diǎn)。若有，則標(biāo)記這些終止節(jié)點(diǎn)為可解節(jié)點(diǎn)，并用可解標(biāo)記過程對(duì)其父節(jié)點(diǎn)及先輩節(jié)點(diǎn)中的可解解節(jié)點(diǎn)進(jìn)行標(biāo)記。如果初始解節(jié)點(diǎn)S0能夠被標(biāo)記為可解節(jié)點(diǎn)，就得到了解樹，搜索成功，退出搜索過程；如果不能確定S0為可解節(jié)點(diǎn)，則從Open表中刪去具有可解先輩的節(jié)點(diǎn)。③轉(zhuǎn)第(2)步。

(4)如果節(jié)點(diǎn)n不可擴(kuò)展，則作下列工作：①標(biāo)記節(jié)點(diǎn)n為不可解節(jié)點(diǎn)；②應(yīng)用不可解標(biāo)記過程對(duì)節(jié)點(diǎn)n的先輩中不可解解的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行標(biāo)記。如果初始解節(jié)點(diǎn)S0也被標(biāo)記為不可解節(jié)點(diǎn)，則搜索失敗，表明原始問題無解，退出搜索過程；如果不能確定S0為不可解節(jié)點(diǎn)，則從Open表中刪去具有不可解先輩的節(jié)點(diǎn)。

③轉(zhuǎn)第(2)步。例4.13設(shè)有下圖所示的與/或樹，節(jié)點(diǎn)按標(biāo)注順序進(jìn)行擴(kuò)展，其中表有t1、t2、t3的節(jié)點(diǎn)是終止節(jié)點(diǎn)，A、B、C為不可解的端節(jié)點(diǎn)。

123A4t15

t2Bt3C與/或樹的廣度優(yōu)先搜索搜索過程為：

(1)先擴(kuò)展1號(hào)節(jié)點(diǎn)，生成2號(hào)節(jié)點(diǎn)和3號(hào)節(jié)點(diǎn)。

(2)擴(kuò)展2號(hào)節(jié)點(diǎn)，生成A節(jié)點(diǎn)和4號(hào)節(jié)點(diǎn)。

(3)擴(kuò)展3號(hào)節(jié)點(diǎn)，生成t1節(jié)點(diǎn)和5號(hào)節(jié)點(diǎn)。由于t1為終止節(jié)點(diǎn)，則標(biāo)記它為可解節(jié)點(diǎn)，并應(yīng)用可解標(biāo)記過程，不能確定3號(hào)節(jié)點(diǎn)是否可節(jié)。

(6)擴(kuò)展5號(hào)節(jié)點(diǎn)，生成t3節(jié)點(diǎn)和C節(jié)點(diǎn)。由于t3為終止節(jié)點(diǎn)，則標(biāo)記它為可解節(jié)點(diǎn)，并應(yīng)用可解標(biāo)記過程，可標(biāo)記1號(hào)節(jié)點(diǎn)為可解節(jié)點(diǎn)。

(7)搜索成功，得到由1、2、3、4、5號(hào)節(jié)點(diǎn)即t1、t2、t3節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的解樹。

(4)擴(kuò)展節(jié)點(diǎn)A，由于A是端節(jié)點(diǎn)，因此不可擴(kuò)展。調(diào)用不可解標(biāo)記過程…。

(5)擴(kuò)展4號(hào)節(jié)點(diǎn)，生成t2節(jié)點(diǎn)和B節(jié)點(diǎn)。由于t2為終止節(jié)點(diǎn)，則標(biāo)記它為可解節(jié)點(diǎn)，并應(yīng)用可解標(biāo)記過程，可標(biāo)記2號(hào)節(jié)點(diǎn)為可解，但不能標(biāo)記1號(hào)節(jié)點(diǎn)為可解。

與/或樹的深度優(yōu)先搜索和與/或樹的廣度優(yōu)先搜索過程基本相同，其主要區(qū)別在于Open表中節(jié)點(diǎn)的排列順序不同。在擴(kuò)展節(jié)點(diǎn)時(shí)，與/或樹的深度優(yōu)先搜索過程總是把剛生成的節(jié)點(diǎn)放在Open表的首部。與/或樹的深度優(yōu)先搜索也可以帶有深度限制dm，其搜索算法如下：

(1)把初始節(jié)點(diǎn)S0放入Open表中；

(2)把Open表第一個(gè)節(jié)點(diǎn)取出放入Closed表，并記該節(jié)點(diǎn)為n；

(3)如果節(jié)點(diǎn)n的深度等于dm，則轉(zhuǎn)第(5)步的第①點(diǎn)；

(4)如果節(jié)點(diǎn)n可擴(kuò)展，則做下列工作：①擴(kuò)展節(jié)點(diǎn)n，將其子節(jié)點(diǎn)放入Open表的首部，并為每一個(gè)子節(jié)點(diǎn)設(shè)置指向父節(jié)點(diǎn)的指針；4.4.1與/或樹的廣度優(yōu)先和深度優(yōu)先搜索2.深度優(yōu)先搜索②考察這些子節(jié)點(diǎn)中是否有終止節(jié)點(diǎn)。若有，則標(biāo)記這些終止節(jié)點(diǎn)為可解節(jié)點(diǎn)，并用可解標(biāo)記過程對(duì)其父節(jié)點(diǎn)及先輩節(jié)點(diǎn)中的可解解節(jié)點(diǎn)進(jìn)行標(biāo)記。如果初始解節(jié)點(diǎn)S0能夠被標(biāo)記為可解節(jié)點(diǎn)，就得到了解樹，搜索成功，退出搜索過程；如果不能確定S0為可解節(jié)點(diǎn)，則從Open表中刪去具有可解先輩的節(jié)點(diǎn)。③轉(zhuǎn)第(2)步。

(5)如果節(jié)點(diǎn)n不可擴(kuò)展，則作下列工作：①標(biāo)記節(jié)點(diǎn)n為不可解節(jié)點(diǎn)；②應(yīng)用不可解標(biāo)記過程對(duì)節(jié)點(diǎn)n的先輩中不可解解的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行標(biāo)記。如果初始解節(jié)點(diǎn)S0也被標(biāo)記為不可解節(jié)點(diǎn)，則搜索失敗，表明原始問題無解，退出搜索過程；如果不能確定S0為不可解節(jié)點(diǎn)，則從Open表中刪去具有不可解先輩的節(jié)點(diǎn)。③轉(zhuǎn)第(2)步。對(duì)上例，若按有界深度優(yōu)先，且設(shè)dm=4，則其節(jié)點(diǎn)擴(kuò)展順序?yàn)椋?，3，5，2，4。

123A4t15

t2Bt3C與/或樹的有界深度優(yōu)先搜索搜索過程為：

(1)先擴(kuò)展1號(hào)節(jié)點(diǎn)，生成2號(hào)節(jié)點(diǎn)和3號(hào)節(jié)點(diǎn)。

(2)擴(kuò)展3號(hào)節(jié)點(diǎn)，生成t1節(jié)點(diǎn)和5號(hào)節(jié)點(diǎn)。由于t1為終止節(jié)點(diǎn)，則標(biāo)記它為可解節(jié)點(diǎn)，并應(yīng)用可解標(biāo)記過程，不能確定3號(hào)節(jié)點(diǎn)是否可解。

(6)搜索成功，得到由1、3、5、2、4號(hào)節(jié)點(diǎn)即t1、t2、t3節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的解樹。

(4)擴(kuò)展2號(hào)節(jié)點(diǎn)，生成A節(jié)點(diǎn)和4號(hào)節(jié)點(diǎn)。

(5)擴(kuò)展4號(hào)節(jié)點(diǎn)，生成t2節(jié)點(diǎn)和B節(jié)點(diǎn)。由于t2為終止節(jié)點(diǎn)，則標(biāo)記它為可解節(jié)點(diǎn)，并應(yīng)用可解標(biāo)記過程，可標(biāo)記2號(hào)節(jié)點(diǎn)為可解，再往上又可標(biāo)記1號(hào)節(jié)點(diǎn)為可解。

(3)擴(kuò)展5號(hào)節(jié)點(diǎn)，生成t3節(jié)點(diǎn)和C節(jié)點(diǎn)。由于t3為終止節(jié)點(diǎn)，則標(biāo)記它為可解節(jié)點(diǎn)，并應(yīng)用可解標(biāo)記過程，可標(biāo)記3號(hào)節(jié)點(diǎn)為可解節(jié)點(diǎn)，但不能標(biāo)記1號(hào)為可解。本章要點(diǎn)搜索的基本概念狀態(tài)空間的盲目搜索狀態(tài)空間的啟發(fā)式搜索與/或樹的盲目搜索與/或樹的啟發(fā)式搜索博弈樹的啟發(fā)式搜索與/或樹的啟發(fā)式搜索過程實(shí)際上是一種利用搜索過程所得到的啟發(fā)性信息尋找最優(yōu)解樹的過程。算法的每一步都試圖找到一個(gè)最有希望成為最優(yōu)解樹的子樹。最優(yōu)解樹是指代價(jià)最小的那棵解樹。它涉及到解樹的代價(jià)與希望樹。4.5與/或樹的啟發(fā)式搜索解樹的代價(jià)可按如下規(guī)則計(jì)算：

(1)若n為終止節(jié)點(diǎn)，則其代價(jià)b(n)=0；

(2)若n為或節(jié)點(diǎn)，且子節(jié)點(diǎn)為n1,n2,…,nk，則n的代價(jià)為：其中，c(n,ni)是節(jié)點(diǎn)n到其子節(jié)點(diǎn)ni的邊代價(jià)。

(3)若n為與節(jié)點(diǎn)，且子節(jié)點(diǎn)為n1,n2,…,nk，則n的代價(jià)可用和代價(jià)法或最大代價(jià)法。若用和代價(jià)法，則其計(jì)算公式為：若用最大代價(jià)法，則其計(jì)算公式為：

(4)若n是端節(jié)點(diǎn)，但又不是終止節(jié)點(diǎn)，則n不可擴(kuò)展，其代價(jià)定義為h(n)=∝。

(5)根節(jié)點(diǎn)的代價(jià)即為解樹的代價(jià)。4.4.1解樹的代價(jià)與希望樹1.解樹的代價(jià)4635例4.13

設(shè)下圖是一棵與/或樹，它包括兩可解樹，左邊的解樹由S0、A、t1、C及t2組成；右邊的解樹由S0、B、t2、D及t4組成。在此與或樹中，t1、t2、t3、t4為終止節(jié)點(diǎn)；E、F是端節(jié)點(diǎn)；邊上的數(shù)字是該邊的代價(jià)。請(qǐng)計(jì)算解樹的代價(jià)。解：先計(jì)算左邊的解樹按和代價(jià)：h(S0)=2+4+6+2=14按最大代價(jià)：h(S0)=(2+6)+2=10再計(jì)算右邊的解樹按和代價(jià)：h(S0)=1+5+3+2=11按最大代價(jià)：h(S0)=(1+5)+2=8

S022ABt1Ct2D21t3Et4F

與/或樹的代價(jià)希望樹是指搜索過程中最有可能成為最優(yōu)解樹的那棵樹。

與/或樹的啟發(fā)式搜索過程就是不斷地選擇、修正希望樹的過程，在該過程中，希望樹是不斷變化的。定義4.2

希望解樹

(1)初始節(jié)點(diǎn)S0在希望樹T(2)如果n是具有子節(jié)點(diǎn)n1,n2,…,nk的或節(jié)點(diǎn)，則n的某個(gè)子節(jié)點(diǎn)ni在希望樹T中的充分必要條件是

(3)如果n是與節(jié)點(diǎn)，則n的全部子節(jié)點(diǎn)都在希望樹T中。

4.4.1解樹的代價(jià)與希望樹2.希望樹與/或樹的啟發(fā)式搜索過程如下：

(1)把初始節(jié)點(diǎn)S0放入Open表中，計(jì)算h(S0)；

(2)計(jì)算希望樹T；

(3)依次在Open表中取出T的端節(jié)點(diǎn)放入Closed表，并記該節(jié)點(diǎn)為n；

(4)如果節(jié)點(diǎn)n為終止節(jié)點(diǎn)，則做下列工作：①標(biāo)記節(jié)點(diǎn)n為可解節(jié)點(diǎn)；②在T上應(yīng)用可解標(biāo)記過程，對(duì)n的先輩節(jié)點(diǎn)中的所有可解解節(jié)點(diǎn)進(jìn)行標(biāo)記；

③如果初始解節(jié)點(diǎn)S0能夠被標(biāo)記為可