電磁場(chǎng)與電磁波第3章

1第3章靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解2

本章內(nèi)容

3.1靜電場(chǎng)分析

3.2導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場(chǎng)分析

3.3恒定磁場(chǎng)分析

3.4靜態(tài)場(chǎng)的邊值問(wèn)題及解的惟一性定理

3.5鏡像法

3.6

分離變量法

靜態(tài)電磁場(chǎng)：場(chǎng)量不隨時(shí)間變化，包括：

靜電場(chǎng)、恒定電場(chǎng)和恒定磁場(chǎng)

時(shí)變情況下，電場(chǎng)和磁場(chǎng)相互關(guān)聯(lián)，構(gòu)成統(tǒng)一的電磁場(chǎng)靜態(tài)情況下，電場(chǎng)和磁場(chǎng)由各自的源激發(fā)，且相互獨(dú)立

33.1靜電場(chǎng)分析

學(xué)習(xí)內(nèi)容

3.1.1靜電場(chǎng)的基本方程和邊界條件

3.1.2電位函數(shù)

3.1.3導(dǎo)體系統(tǒng)的電容與部分電容

3.1.4靜電場(chǎng)的能量

3.1.5靜電力42.邊界條件微分形式：本構(gòu)關(guān)系：1.基本方程積分形式：或若分界面上不存在面電荷，即ρS＝0，則或3.1.1靜電場(chǎng)的基本方程和邊界條件5

在靜電平衡的情況下，導(dǎo)體內(nèi)部的電場(chǎng)為0，則導(dǎo)體表面的邊界條件為

或

導(dǎo)體表面的邊界條件6由即靜電場(chǎng)可以用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度來(lái)表示，標(biāo)量函數(shù)φ稱為靜電場(chǎng)的標(biāo)量電位或簡(jiǎn)稱電位，單位為V（伏特）。1.電位函數(shù)的定義3.1.2

電位函數(shù)72.電位的表達(dá)式對(duì)于連續(xù)的體分布電荷，由面電荷的電位：故得點(diǎn)電荷的電位：線電荷的電位：83.電位差兩端點(diǎn)乘，則有將上式兩邊從點(diǎn)P到點(diǎn)Q沿任意路徑進(jìn)行積分，得關(guān)于電位差的說(shuō)明

P、Q兩點(diǎn)間的電位差等于電場(chǎng)力將單位正電荷從P點(diǎn)移至Q點(diǎn)所做的功，電場(chǎng)力使單位正電荷由高電位處移到低電位處；電位差也稱為電壓，可用U表示；電位差有確定值，只與首尾兩點(diǎn)位置有關(guān)，與積分路徑無(wú)關(guān)。P、Q兩點(diǎn)間的電位差9

靜電位不惟一，可以相差一個(gè)常數(shù)，即選參考點(diǎn)令參考點(diǎn)電位為零電位確定值(電位差)兩點(diǎn)間電位差有定值

選擇電位參考點(diǎn)的原則

應(yīng)使電位表達(dá)式有意義；應(yīng)使電位表達(dá)式最簡(jiǎn)單。若電荷分布在有限區(qū)域，通常取無(wú)限遠(yuǎn)作電位參考點(diǎn)；同一個(gè)問(wèn)題只能有一個(gè)參考點(diǎn)。4.電位參考點(diǎn)

為使空間各點(diǎn)電位具有確定值，可以選定空間某一點(diǎn)作為參考點(diǎn)，且令參考點(diǎn)的電位為零，由于空間各點(diǎn)與參考點(diǎn)的電位差為確定值，所以該點(diǎn)的電位也就具有確定值，即10在均勻介質(zhì)中，有5.

電位的微分方程在無(wú)源區(qū)域，標(biāo)量泊松方程拉普拉斯方程

116.靜電位的邊界條件

設(shè)P1和P2是介質(zhì)分界面兩側(cè)緊貼界面的相鄰兩點(diǎn)，其電位分別為1和2。當(dāng)兩點(diǎn)間距離⊿l→0時(shí)

若介質(zhì)分界面上無(wú)自由電荷，即導(dǎo)體靜電平衡后內(nèi)部電場(chǎng)為零，導(dǎo)體為等位體，所以表面上電位的邊界條件：媒質(zhì)2媒質(zhì)1由和常數(shù)，12

例3.1.1

求電偶極子的電位.

解利用在球坐標(biāo)系中用二項(xiàng)式展開(kāi)，由于，得代入上式，得

表示電偶極矩，方向由負(fù)電荷指向正電荷。+q電偶極子zod－q13

由球坐標(biāo)系中的梯度公式，可得到電偶極子的遠(yuǎn)區(qū)電場(chǎng)強(qiáng)度等位線電場(chǎng)線電偶極子的場(chǎng)圖14

解選定均勻電場(chǎng)空間中的一點(diǎn)o為坐標(biāo)原點(diǎn)，而任意點(diǎn)P的位置矢量為r，則若選擇點(diǎn)o為電位參考點(diǎn)，即，則

在球坐標(biāo)系中，取極軸與的方向一致，即，則有

在圓柱面坐標(biāo)系中，取與x軸方向一致，即，而，故

例3.1.2

求均勻電場(chǎng)的電位分布。15

例3.1.3兩塊無(wú)限大接地導(dǎo)體平板分別置于x=0和x=a處，在兩板之間的x=b處有一面密度為

的均勻電荷分布，如圖所示。求兩導(dǎo)體平板之間的電位和電場(chǎng)。

解在兩塊無(wú)限大接地導(dǎo)體平板之間，除x=b處有均勻面電荷分布外，其余空間均無(wú)電荷分布，故電位函數(shù)滿足一維拉普拉斯方程方程的解為obaxy兩塊無(wú)限大平行板利用邊界條件，有

處，最后得

處，

處，所以由此解得17

電容是導(dǎo)體系統(tǒng)的一種基本屬性，是描述導(dǎo)體系統(tǒng)儲(chǔ)存電荷能力的物理量。

孤立導(dǎo)體的電容定義為所帶電量q與其電位的比值，即1.電容

孤立導(dǎo)體的電容

兩個(gè)帶等量異號(hào)電荷（q）的導(dǎo)體組成的電容器，其電容為

電容的大小只與導(dǎo)體系統(tǒng)的幾何尺寸、形狀和及周?chē)娊橘|(zhì)的特性參數(shù)有關(guān)，而與導(dǎo)體的帶電量和電位無(wú)關(guān)。

3.1.3導(dǎo)體系統(tǒng)的電容18(1)假定兩導(dǎo)體上分別帶電荷+q和-q；

(2)計(jì)算兩導(dǎo)體間的電場(chǎng)強(qiáng)度E；計(jì)算雙導(dǎo)體電容的步驟：(4)求比值，即得出所求電容。(3)由 ，求出兩導(dǎo)體間的電位差；或：(1)假定兩導(dǎo)體間電壓U；

(3)根據(jù)計(jì)算導(dǎo)體表面的電量；(2)由 ，求出電場(chǎng)強(qiáng)度E；(4)求比值，即得出所求電容。19

例3.1.4如圖所示的平行雙線傳輸線，導(dǎo)線半徑為a，兩導(dǎo)線的軸線距離為D，且D>>a，求傳輸線單位長(zhǎng)度的電容。

解設(shè)兩導(dǎo)線單位長(zhǎng)度帶電量分別為和。由于，故可近似地認(rèn)為電荷分別均勻分布在兩導(dǎo)線的表面上。應(yīng)用高斯定理和疊加原理，可得到兩導(dǎo)線之間的平面上任一點(diǎn)P的電場(chǎng)強(qiáng)度為兩導(dǎo)線間的電位差故單位長(zhǎng)度的電容為（無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線）20

例3.1.5同軸線內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體半徑為為b，內(nèi)外導(dǎo)體間填充的介電常數(shù)為的均勻介質(zhì)，求同軸線單位長(zhǎng)度的電容。內(nèi)外導(dǎo)體間的電位差

解設(shè)同軸線的內(nèi)、外導(dǎo)體單位長(zhǎng)度帶電量分別為和，應(yīng)用高斯定理可得到內(nèi)外導(dǎo)體間任一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為故得同軸線單位長(zhǎng)度的電容為同軸線21

解：設(shè)內(nèi)導(dǎo)體的電荷為q，則由高斯定理可求得內(nèi)外導(dǎo)體間的電場(chǎng)同心導(dǎo)體間的電壓球形電容器的電容當(dāng)時(shí)，

例3.1.6

同心球形電容器的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a、外導(dǎo)體半徑為b，其間填充介電常數(shù)為ε的均勻介質(zhì)。求此球形電容器的電容。孤立導(dǎo)體球的電容22

如果充電過(guò)程進(jìn)行得足夠緩慢，就不會(huì)有能量輻射，充電過(guò)程中外加電源所作的總功將全部轉(zhuǎn)換成電場(chǎng)能量，或者說(shuō)電場(chǎng)能量就等于外加電源在此電場(chǎng)建立過(guò)程中所作的總功。

靜電場(chǎng)能量來(lái)源于建立電荷系統(tǒng)的過(guò)程中外源提供的能量

靜電場(chǎng)最基本的特征是對(duì)電荷有作用力，這表明靜電場(chǎng)具有能量。

任何形式的帶電系統(tǒng)，都要經(jīng)過(guò)從沒(méi)有電荷分布到某個(gè)最終電荷分布的建立(或充電)過(guò)程。在此過(guò)程中，外加電源必須克服電荷之間的相互作用力而作功。3.1.4靜電場(chǎng)的能量

231.靜電場(chǎng)的能量

設(shè)系統(tǒng)從零開(kāi)始充電，最終帶電量為q、電位為。充電過(guò)程中某一時(shí)刻的電荷量為αq、電位為α。(0≤α≤1)

當(dāng)α增加為(α+dα)時(shí)，外電源做功為:α(qdα)。對(duì)α從0到1積分，即得到外電源所做的總功為

根據(jù)能量守恒定律，此功也就是電量為q的帶電體具有的電場(chǎng)能量We，即

對(duì)于電荷體密度為ρ的體分布電荷，體積元dV中的電荷ρdV具有的電場(chǎng)能量為24故體分布電荷的電場(chǎng)能量為對(duì)于面分布電荷，電場(chǎng)能量為對(duì)于多導(dǎo)體組成的帶電系統(tǒng)，則有——

第i個(gè)導(dǎo)體所帶的電荷——

第i個(gè)導(dǎo)體的電位式中：252.電場(chǎng)能量密度

從場(chǎng)的觀點(diǎn)來(lái)看，靜電場(chǎng)的能量分布于電場(chǎng)所在的整個(gè)空間。

電場(chǎng)能量密度：

電場(chǎng)的總能量：積分區(qū)域?yàn)殡妶?chǎng)所在的整個(gè)空間

對(duì)于線性、各向同性介質(zhì)，則有26

例3.1.7半徑為a的球形空間內(nèi)均勻分布有電荷體密度為ρ的電荷，試求靜電場(chǎng)能量。

解：方法一，利用計(jì)算

根據(jù)高斯定理求得電場(chǎng)強(qiáng)度故27

方法二：利用計(jì)算

先求出電位分布

故28作業(yè)：3.1、3.8293.2導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場(chǎng)分析

恒定電場(chǎng)與靜電場(chǎng)重要區(qū)別：（1）恒定電場(chǎng)可以存在導(dǎo)體內(nèi)部。（2）恒定電場(chǎng)中有電場(chǎng)能量的損耗,要維持導(dǎo)體中的恒定電流，就必須有外加電源來(lái)不斷補(bǔ)充被損耗的電場(chǎng)能量。

恒定電場(chǎng)和靜電場(chǎng)都是有源無(wú)旋場(chǎng)，具有相同的性質(zhì)。

由

可知，導(dǎo)體中若存在恒定電流，則必有維持該電流的電場(chǎng)，雖然導(dǎo)體中產(chǎn)生電場(chǎng)的電荷作定向運(yùn)動(dòng)，但導(dǎo)體中的電荷分布是一種不隨時(shí)間變化的恒定分布，這種恒定分布電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)稱為恒定電場(chǎng)。303.2.1恒定電場(chǎng)的基本方程和邊界條件1.基本方程

恒定電場(chǎng)的基本方程為微分形式：積分形式：

線性各向同性導(dǎo)電媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系

恒定電場(chǎng)的電位函數(shù)由若媒質(zhì)是均勻的，則均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中沒(méi)有體分布電荷

恒定電場(chǎng)的基本場(chǎng)矢量是電流密度和電場(chǎng)強(qiáng)度312.恒定電場(chǎng)的邊界條件媒質(zhì)2媒質(zhì)1

場(chǎng)矢量的邊界條件即即場(chǎng)矢量的折射關(guān)系32

恒定電場(chǎng)同時(shí)存在于導(dǎo)體內(nèi)部和外部，在導(dǎo)體表面上的電場(chǎng)既有法向分量又有切向分量，電場(chǎng)并不垂直于導(dǎo)體表面，因而導(dǎo)體表面不是等位面；

說(shuō)明：33343.2.2恒定電場(chǎng)與靜電場(chǎng)的比擬

如果兩種場(chǎng)，在一定條件下，場(chǎng)方程有相同的形式，邊界形狀相同，邊界條件等效，則其解也必有相同的形式，求解這兩種場(chǎng)分布必然是同一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題。只需求出一種場(chǎng)的解，就可以用對(duì)應(yīng)的物理量作替換而得到另一種場(chǎng)的解。這種求解場(chǎng)的方法稱為比擬法。35恒定電場(chǎng)與靜電場(chǎng)的比擬基本方程靜電場(chǎng)（區(qū)域）本構(gòu)關(guān)系位函數(shù)邊界條件恒定電場(chǎng)（電源外）對(duì)應(yīng)物理量靜電場(chǎng)恒定電場(chǎng)36

工程上常在電容器兩極板之間，同軸電纜的芯線與外殼之間，填充不導(dǎo)電的材料作電絕緣。這些絕緣材料的電導(dǎo)率遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于金屬材料的電導(dǎo)率，但畢竟不為零，因而當(dāng)在電極間加上電壓U時(shí)，必定會(huì)有微小的漏電流J存在。

漏電流與電壓之比為漏電導(dǎo)，即其倒數(shù)稱為絕緣電阻，即3.2.3漏電導(dǎo)37

計(jì)算電導(dǎo)的方法一：

計(jì)算電導(dǎo)的方法二：

計(jì)算電導(dǎo)的方法三：靜電比擬法：(1)假定兩電極間的電流為I；計(jì)算兩電極間的電流密度矢量J；由J=E得到E;

由，求出兩導(dǎo)體間的電位差；(5)求比值，即得出所求電導(dǎo)。(1)假定兩電極間的電位差為U；

(2)計(jì)算兩電極間的電位分布；

(3)由得到E;(4)由J=E

得到J;(5)由 ，求出兩導(dǎo)體間電流；

(6)求比值，即得出所求電導(dǎo)。38

例3.2.1

求同軸電纜的絕緣電阻。設(shè)內(nèi)外的半徑分別為a、b，長(zhǎng)度為l

，其間媒質(zhì)的電導(dǎo)率為σ、介電常數(shù)為ε。解：1)直接用恒定電場(chǎng)的計(jì)算方法電導(dǎo)絕緣電阻則設(shè)由內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體的電流為I。392)用靜電比擬法求解根據(jù)例3.1.27（P97）得到同軸線單位長(zhǎng)度的電容為因此，同軸線單位長(zhǎng)度的漏電導(dǎo)為則絕緣電阻為403.3.1恒定磁場(chǎng)的基本方程和邊界條件3.3.2

恒定磁場(chǎng)的矢量磁位和標(biāo)量磁位3.3.3

電感3.3.4

恒定磁場(chǎng)的能量3.3.5

磁場(chǎng)力

3.3恒定磁場(chǎng)分析41微分形式:1.基本方程2.邊界條件本構(gòu)關(guān)系：或若分界面上不存在面電流，即JS＝0，則積分形式:或3.3.1恒定磁場(chǎng)的基本方程和邊界條件42

矢量磁位的定義

磁矢位的任意性與電位一樣，磁矢位也不是惟一確定的，它加上任意一個(gè)標(biāo)量的梯度以后，仍然表示同一個(gè)磁場(chǎng)，即由即恒定磁場(chǎng)可以用一個(gè)矢量函數(shù)的旋度來(lái)表示。

磁矢位的任意性是因?yàn)橹灰?guī)定了它的旋度，沒(méi)有規(guī)定其散度造成的。為了得到確定的A，可以對(duì)A的散度加以限制，在恒定磁場(chǎng)中通常規(guī)定，并稱為庫(kù)侖規(guī)范。1.恒定磁場(chǎng)的矢量磁位矢量磁位或稱磁矢位,單位是T?m(特斯拉?米)

3.3.2恒定磁場(chǎng)的矢量磁位和標(biāo)量磁位43

磁矢位的微分方程在無(wú)源區(qū)：矢量泊松方程矢量拉普拉斯方程

磁矢位的表達(dá)式面電流體電流線電流

磁矢位的邊界條件

利用磁矢位計(jì)算磁通量：45

例

3.3.1求小圓環(huán)電流回路的遠(yuǎn)區(qū)矢量磁位與磁場(chǎng)。小圓形回路的半徑為a，回路中的電流為I。

解如圖所示，由于具有軸對(duì)稱性，矢量磁位和磁場(chǎng)均與無(wú)關(guān)，計(jì)算xz平面上的矢量磁位與磁場(chǎng)將不失一般性。小圓環(huán)電流aIxzyrRθIP46對(duì)于遠(yuǎn)區(qū)，有r>>a

，所以于是得到由于在=0面上，所以上式可寫(xiě)成47式中S=πa2是小圓環(huán)的面積?；?/p>

載流小圓環(huán)可看作為磁偶極子，為磁偶極子的磁矩（或磁偶極矩），則482.恒定磁場(chǎng)的標(biāo)量磁位一般情況下，恒定磁場(chǎng)只能引入磁矢位來(lái)描述，但在無(wú)傳導(dǎo)電流（J＝0）的空間中，則有即在無(wú)傳導(dǎo)電流（J＝0）的空間中，可以引入一個(gè)標(biāo)量位函數(shù)來(lái)描述磁場(chǎng)。

標(biāo)量磁位的引入標(biāo)量磁位或磁標(biāo)位

磁標(biāo)位的微分方程(均勻線性各向同性介質(zhì))49

標(biāo)量磁位的邊界條件和50靜電位 磁標(biāo)位

磁標(biāo)位與靜電位的比較靜電位

磁標(biāo)位

m

51作業(yè)：3.12、3.17521.磁通與磁鏈

3.3.3電感

單匝線圈形成的回路的磁鏈定義為穿過(guò)該回路的磁通量

多匝線圈形成的導(dǎo)線回路的磁鏈定義為所有線圈的磁通總和

CI細(xì)回路

粗導(dǎo)線構(gòu)成的回路，磁鏈分為兩部分：一部分是粗導(dǎo)線包圍的、磁力線不穿過(guò)導(dǎo)體的外磁通量o

；另一部分是磁力線穿過(guò)導(dǎo)體、只有粗導(dǎo)線的一部分包圍的內(nèi)磁通量i。iCIo粗回路53

設(shè)回路C中的電流為I，所產(chǎn)生的磁場(chǎng)與回路C交鏈的磁鏈為，則磁鏈與回路C中的電流I有正比關(guān)系，其比值稱為回路C的自感系數(shù)，簡(jiǎn)稱自感?！庾愿?.自感——內(nèi)自感；粗導(dǎo)體回路的自感：L=Li+Lo

自感只與回路的幾何形狀、尺寸以及周?chē)沤橘|(zhì)有關(guān)，與電流無(wú)關(guān)。

自感的特點(diǎn)：54

對(duì)兩個(gè)彼此鄰近的閉合回路C1和回路C2

，當(dāng)回路C1中通過(guò)電流I1時(shí)，不僅與回路C1交鏈的磁鏈與I1成正比，而且與回路C2交鏈的磁鏈21也與I1成正比，其比例系數(shù)稱為回路C1對(duì)回路C2的互感系數(shù)，簡(jiǎn)稱互感。3.互感同理，回路C2對(duì)回路C1

的互感為C1C2I1I2Ro55

互感只與回路的幾何形狀、尺寸、兩回路的相對(duì)位置以及周?chē)沤橘|(zhì)有關(guān)，而與電流無(wú)關(guān)。

滿足互易關(guān)系，即M12=M21

互感的特點(diǎn)：564.紐曼公式

如圖所示的兩個(gè)回路C1和回路C2

，回路C1中的電流I1在回路C2上的任一點(diǎn)產(chǎn)生的矢量磁位回路C1中的電流I1產(chǎn)生的磁場(chǎng)與回路C2交鏈的磁鏈為C1C2I1I2Ro故得同理紐曼公式573.3.4恒定磁場(chǎng)的能量1.

磁場(chǎng)能量

電流回路在恒定磁場(chǎng)中受到磁場(chǎng)力的作用而運(yùn)動(dòng)，表明恒定磁場(chǎng)具有能量。

磁場(chǎng)能量是在建立電流的過(guò)程中，由電源供給的。當(dāng)電流從零開(kāi)始增加時(shí)，回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)要阻止電流的增加，因而必須有外加電壓克服回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。

假定建立并維持恒定電流時(shí)，沒(méi)有熱損耗,在恒定電流建立過(guò)程中，電流的變化足夠緩慢，沒(méi)有輻射損耗。在恒定磁場(chǎng)建立過(guò)程中，電源克服感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)作功所供給的能量，就全部轉(zhuǎn)化成磁場(chǎng)能量。58

設(shè)回路從零開(kāi)始充電，最終的電流為I、交鏈的磁鏈為。在時(shí)刻t的電流為i=αI、磁鏈為ψ=α。(0≤α≤1)

根據(jù)能量守恒定律，此功也就是電流為I

的載流回路具有的磁場(chǎng)能量Wm，即對(duì)α從0到1積分，即得到外電源所做的總功為外加電壓應(yīng)為當(dāng)α增加為(α+dα)時(shí)，所做的功根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì):592.磁場(chǎng)能量密度

從場(chǎng)的觀點(diǎn)來(lái)看，磁場(chǎng)能量分布于磁場(chǎng)所在的整個(gè)空間。

磁場(chǎng)能量密度：

磁場(chǎng)的總能量：積分區(qū)域?yàn)閳?chǎng)所在的整個(gè)空間

對(duì)于線性、各向同性介質(zhì)，則有60

例3.3.7同軸電纜的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體的內(nèi)、外半徑分別為

b和c，如圖所示。導(dǎo)體中通有電流I

，試求同軸電纜中單位長(zhǎng)度儲(chǔ)存的磁場(chǎng)能量與自感。

解：由安培環(huán)路定律，得61三個(gè)區(qū)域單位長(zhǎng)度內(nèi)的磁場(chǎng)能量分別為62同軸線單位長(zhǎng)度內(nèi)總的磁場(chǎng)能量為單位長(zhǎng)度的總自感內(nèi)導(dǎo)體的內(nèi)自感內(nèi)外導(dǎo)體間的外自感外導(dǎo)體的內(nèi)自感633.4靜態(tài)場(chǎng)的邊值問(wèn)題及解的惟一性定理3.4.1邊值問(wèn)題的類型 已知場(chǎng)域邊界面上的位函數(shù)值，即

邊值問(wèn)題：在給定的邊界條件下，求解位函數(shù)的泊松方程或拉普拉斯方程

第一類邊值問(wèn)題（或狄里赫利問(wèn)題）已知場(chǎng)域邊界面上的位函數(shù)的法向?qū)?shù)值，即

已知場(chǎng)域一部分邊界面上的位函數(shù)值，而另一部分邊界面上則已知位函數(shù)的法向?qū)?shù)值，即

第三類邊值問(wèn)題（或混合邊值問(wèn)題）

第二類邊值問(wèn)題（或紐曼問(wèn)題）64

自然邊界條件（無(wú)界空間）

周期邊界條件

銜接條件不同媒質(zhì)分界面上的邊界條件，如65例：（第一類邊值問(wèn)題）（第三類邊值問(wèn)題）例：66

在場(chǎng)域V的邊界面S上給定或的值，則泊松方程或拉普拉斯方程在場(chǎng)域V具有惟一值。3.4.2惟一性定理

惟一性定理的重要意義給出了靜態(tài)場(chǎng)邊值問(wèn)題具有惟一解的條件為靜態(tài)場(chǎng)邊值問(wèn)題的各種求解方法提供了理論依據(jù)為求解結(jié)果的正確性提供了判據(jù)

惟一性定理的表述67

解：先求內(nèi)導(dǎo)體的內(nèi)自感。設(shè)同軸線中的電流為I，由安培環(huán)路定理穿過(guò)沿軸線單位長(zhǎng)度的矩形面積元dS=d的磁通為

例3.3.3求同軸線單位長(zhǎng)度的自感。設(shè)內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體厚度可忽略不計(jì)，其半徑為b，空氣填充。得與dΦi交鏈的電流為則與dΦi相應(yīng)的磁鏈為68因此內(nèi)導(dǎo)體中單位長(zhǎng)度總的內(nèi)磁鏈為故單位長(zhǎng)度的內(nèi)自感為再求內(nèi)、外導(dǎo)體間的外自感。則故單位長(zhǎng)度的外自感為單位長(zhǎng)度的總自感為69

例3.3.4計(jì)算平行雙線傳輸線單位的長(zhǎng)度的自感。設(shè)導(dǎo)線的半徑為a，兩導(dǎo)線的間距為D，且D>>a。導(dǎo)線及周?chē)劫|(zhì)的磁導(dǎo)率為μ0。穿過(guò)兩導(dǎo)線之間沿軸線方向?yàn)閱挝婚L(zhǎng)度的面積的外磁鏈為

解設(shè)兩導(dǎo)線流過(guò)的電流為I

。由于D>>a

，故可近似地認(rèn)為導(dǎo)線中的電流是均勻分布的。應(yīng)用安培環(huán)路定理和疊加原理，可得到兩導(dǎo)線之間的平面上任一點(diǎn)P的磁感應(yīng)強(qiáng)度為PII70于是得到平行雙線傳輸線單位的長(zhǎng)度的外自感兩根導(dǎo)線單位的長(zhǎng)度的內(nèi)自感為故得到平行雙線傳輸線單位的長(zhǎng)度的自感為71由圖中可知長(zhǎng)直導(dǎo)線與三角形回路穿過(guò)三角形回路面積的磁通為

解設(shè)長(zhǎng)直導(dǎo)線中的電流為I，根據(jù)安培環(huán)路定律，得到

例3.3.5如圖所示，長(zhǎng)直導(dǎo)線與三角形導(dǎo)體回路共面，求它們之間的互感。72因此故長(zhǎng)直導(dǎo)線與三角形導(dǎo)體回路的互感為73

例3.3.6如圖所示，兩個(gè)互相平行且共軸的圓形線圈C1和C2，半徑分別為a1和a2，中心相距為d。求它們之間的互感。于是有

解利用紐曼公式來(lái)計(jì)算，則有兩個(gè)平行且共軸的線圈式中θ=2－1為與之間的夾角，dl1=a1d1、dl2=a1d2，且74

若d>>a1，則于是

一般情況下，上述積分只能用橢圓積分來(lái)表示。但是若d>>a1或d>>a2時(shí)，可進(jìn)行近似計(jì)算。75

當(dāng)有電荷存在于導(dǎo)體或介質(zhì)表面附近時(shí)，導(dǎo)體和介質(zhì)表面會(huì)出現(xiàn)感應(yīng)電荷或極化電荷，而感應(yīng)電荷或極化電荷將影響場(chǎng)的分布。非均勻感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位很難求解，可以用等效電荷的電位替代1.

問(wèn)題的提出幾個(gè)實(shí)例接地導(dǎo)體板附近有一個(gè)點(diǎn)電荷，如圖所示。qq′非均勻感應(yīng)電荷等效電荷

3.5鏡像法76接地導(dǎo)體球附近有一個(gè)點(diǎn)電荷，如圖。非均勻感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位很難求解，可以用等效電荷的電位替代接地導(dǎo)體柱附近有一個(gè)線電荷。情況與上例類似，但等效電荷為線電荷。q非均勻感應(yīng)電荷q′等效電荷

結(jié)論：所謂鏡像法是將不均勻電荷分布的作用等效為點(diǎn)電荷或線電荷的作用。

問(wèn)題：這種等效電荷是否存在？這種等效是否合理？772.鏡像法的原理

用位于場(chǎng)域邊界外虛設(shè)的較簡(jiǎn)單的鏡像電荷分布來(lái)等效替代該邊界上未知的較為復(fù)雜的電荷分布，從而將原含該邊界的非均勻媒質(zhì)空間變換成無(wú)限大單一均勻媒質(zhì)的空間，使分析計(jì)算過(guò)程得以明顯簡(jiǎn)化的一種間接求解法。

在導(dǎo)體形狀、幾何尺寸、帶電狀況和媒質(zhì)幾何結(jié)構(gòu)、特性不變的前提條件下，根據(jù)惟一性定理，只要找出的解答滿足在同一泛定方程下問(wèn)題所給定的邊界條件，那就是該問(wèn)題的解答，并且是惟一的解答。鏡像法正是巧妙地應(yīng)用了這一基本原理、面向多種典型結(jié)構(gòu)的工程電磁場(chǎng)問(wèn)題所構(gòu)成的一種有效的解析求解法3.

鏡像法的理論基礎(chǔ)——解的惟一性定理78

像電荷的個(gè)數(shù)、位置及其電量大小——“三要素”；4.鏡像法應(yīng)用的關(guān)鍵點(diǎn)5.

確定鏡像電荷的兩條原則

等效求解的“有效場(chǎng)域”。

鏡像電荷的確定

像電荷必須位于所求解的場(chǎng)區(qū)域以外的空間中；

像電荷的個(gè)數(shù)、位置及電荷量的大小以滿足所求解的場(chǎng)區(qū)域的邊界條件來(lái)確定。791.點(diǎn)電荷對(duì)無(wú)限大接地導(dǎo)體平面的鏡像滿足原問(wèn)題的邊界條件，所得的結(jié)果是正確的。3.5.1接地導(dǎo)體平面的鏡像鏡像電荷電位函數(shù)因z=0時(shí)，q有效區(qū)域q80上半空間(z≥0）的電位函數(shù)q

導(dǎo)體平面上的感應(yīng)電荷密度為導(dǎo)體平面上的總感應(yīng)電荷為812.線電荷對(duì)無(wú)限大接地導(dǎo)體平面的鏡像鏡像線電荷：滿足原問(wèn)題的邊界條件，所得的解是正確的。電位函數(shù)原問(wèn)題有效區(qū)域當(dāng)z=0時(shí)，823.點(diǎn)電荷對(duì)相交半無(wú)限大接地導(dǎo)體平面的鏡像

如圖所示，兩個(gè)相互垂直相連的半無(wú)限大接地導(dǎo)體平板，點(diǎn)電荷q位于(d1,d2)處。顯然，q1對(duì)平面2以及q2對(duì)平面1均不能滿足邊界條件。對(duì)于平面1，有鏡像電荷q1=－q，位于(－d1,d2)對(duì)于平面2，有鏡像電荷q2=－q，位于(d1,－d2)

只有在(－d1,－d2)處再設(shè)置一鏡像電荷q3=q，所有邊界條件才能得到滿足。電位函數(shù)qd1d212RR1R2R3q1d1d2d2q2d1q3d2d183

例3.5.1一個(gè)點(diǎn)電荷q與無(wú)限大導(dǎo)體平面距離為d，如果把它移至無(wú)窮遠(yuǎn)處，需要做多少功？。q'qx=∞0d-d

解：移動(dòng)電荷q時(shí)，外力需要克服電場(chǎng)力做功，而電荷q受的電場(chǎng)力來(lái)源于導(dǎo)體板上的感應(yīng)電荷?？梢韵惹箅姾蓂移至無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)電場(chǎng)力所做的功。由鏡像法，感應(yīng)電荷的電場(chǎng)可以用像電荷q'＝－q替代。當(dāng)電荷q移至x時(shí)，像電荷q'應(yīng)位于－x，則有843.5.2導(dǎo)體球面的鏡像1.點(diǎn)電荷對(duì)接地導(dǎo)體球面的鏡像

如圖所示，點(diǎn)電荷q位于半徑為a的接地導(dǎo)體球外，距球心為d。PqarRdqPaq'rR'Rdd'θ

問(wèn)題：

方法：利用導(dǎo)體球面上電位為零確定

和q′。

令r＝a，由球面上電位為零，即＝0，得qPaq'aR'Rdd'此式應(yīng)在整個(gè)球面上都成立。＝086qPaq'aR'Rdd'條件：若像電荷的位置像電荷的電量87可見(jiàn)，感應(yīng)電荷的分布是不均勻的，導(dǎo)體球面上的總感應(yīng)電荷也與所設(shè)置的鏡像電荷相等。球外的電位函數(shù)為導(dǎo)體球面上的總感應(yīng)電荷為球面上的感應(yīng)電荷面密度為882.點(diǎn)電荷對(duì)不接地導(dǎo)體球的鏡像

先設(shè)想導(dǎo)體球是接地的，則球面上只有總電荷量為q'的感應(yīng)電荷分布，則

導(dǎo)體球不接地時(shí)的特點(diǎn)：

導(dǎo)體球面是電位不為零的等位面

球面上既有感應(yīng)負(fù)電荷分布也有感應(yīng)正電荷分布，但總的感應(yīng)電荷為零

采用疊加原理來(lái)確定鏡像電荷

點(diǎn)電荷q位于一個(gè)半徑為a的不接地導(dǎo)體球外，距球心為d。PqarRd89

然后斷開(kāi)接地線，并將電荷－q'加于導(dǎo)體球上，從而使總電荷為零。為保持導(dǎo)體球面為等位面，所加的電荷－q'可用一個(gè)位于球心的鏡像電荷q"來(lái)替代，即球外任意點(diǎn)的電位為qPaq'rR'Rdd'q"90作業(yè)：3.23913.5.3導(dǎo)體圓柱面的鏡像問(wèn)題：如圖1所示，一根電荷線密度為的無(wú)限長(zhǎng)線電荷位于半徑為a的無(wú)限長(zhǎng)接地導(dǎo)體圓柱面外，與圓柱的軸線平行且到軸線的距離為d。圖1線電荷與導(dǎo)體圓柱圖2線電荷與導(dǎo)體圓柱的鏡像特點(diǎn)：在導(dǎo)體圓柱面上有感應(yīng)電荷，圓軸外的電位由線電荷與感應(yīng)電荷共同產(chǎn)生。分析方法：鏡像電荷是圓柱面內(nèi)部與軸線平行的無(wú)限長(zhǎng)線電荷，如圖2所示。1.線電荷對(duì)接地導(dǎo)體圓柱面的鏡像92由于上式對(duì)任意的φ都成立，因此，將上式對(duì)φ求導(dǎo)，可以得到由于導(dǎo)體圓柱接地，所以當(dāng)時(shí)，電位應(yīng)為零，即

所以有

設(shè)鏡像電荷的線密度為，且距圓柱的軸線為，則由和共同產(chǎn)生的電位函數(shù)93導(dǎo)體圓柱面外的電位函數(shù)：由時(shí)，故導(dǎo)體圓柱面上的感應(yīng)電荷面密度為導(dǎo)體圓柱面上單位長(zhǎng)度的感應(yīng)電荷為導(dǎo)體圓柱面上單位長(zhǎng)度的感應(yīng)電荷與所設(shè)置的鏡像電荷相等。94952.兩平行圓柱導(dǎo)體的電軸圖1兩平行圓柱導(dǎo)體圖2兩平行圓柱導(dǎo)體的電軸特點(diǎn)：由于兩圓柱帶電導(dǎo)體的電場(chǎng)互相影響，使導(dǎo)體表面的電荷分布不均勻，相對(duì)的一側(cè)電荷密度大，而相背的一側(cè)電荷密度較小。分析方法：將導(dǎo)體表面上的電荷用線密度分別為、且相距為2b的兩根無(wú)限長(zhǎng)帶電細(xì)線來(lái)等效替代，如圖2所示。問(wèn)題：如圖1所示，兩平行導(dǎo)體圓柱的半徑均為a，兩導(dǎo)體軸線間距為2h，單位長(zhǎng)度分別帶電荷和。96圖2兩平行圓柱導(dǎo)體的電軸

通常將帶電細(xì)線的所在的位置稱為圓柱導(dǎo)體的電軸，因而這種方法又稱為電軸法。由

利用線電荷與接地導(dǎo)體圓柱面的鏡像確定b

。思考：能否用電軸法求解半徑不同的兩平行圓柱導(dǎo)體問(wèn)題？973.5.4點(diǎn)電荷與無(wú)限大電介質(zhì)平面的鏡像

圖1點(diǎn)電荷與電介質(zhì)分界平面特點(diǎn)：在點(diǎn)電荷的電場(chǎng)作用下，電介質(zhì)產(chǎn)生極化，在介質(zhì)分界面上形成極化電荷分布。此時(shí)，空間中任一點(diǎn)的電場(chǎng)由點(diǎn)電荷與極化電荷共同產(chǎn)生。圖2介質(zhì)1的鏡像電荷問(wèn)題：如圖1所示，介電常數(shù)分別為和的兩種不同電介質(zhì)的分界面是無(wú)限大平面，在電介質(zhì)1中有一個(gè)點(diǎn)電荷q，距分界平面為h。分析方法：計(jì)算電介質(zhì)1中的電位時(shí)，用位于介質(zhì)2中的鏡像電荷來(lái)代替分界面上的極化電荷，并把整個(gè)空間看作充滿介電常數(shù)為的均勻介質(zhì)，如圖2所示。98介質(zhì)1中的電位為

計(jì)算電介質(zhì)2中的電位時(shí)，用位于介質(zhì)1中的鏡像電荷來(lái)代替分界面上的極化電荷，并把整個(gè)空間看作充滿介電常數(shù)為的均勻介質(zhì)，如圖3所示。介質(zhì)2中的電位為圖3介質(zhì)2的鏡像電荷99可得到說(shuō)明：對(duì)位于無(wú)限大電介質(zhì)分界平面附近、且平行于分界面的無(wú)限長(zhǎng)線電荷（單位長(zhǎng)度帶），其鏡像電荷為利用電位滿足的邊界條件100圖1線電流與磁介質(zhì)分界平面圖2磁介質(zhì)1的鏡像線電流特點(diǎn)：在直線電流I產(chǎn)生的磁場(chǎng)作用下，磁介質(zhì)被磁化，在分界面上有磁化電流分布，空間中的磁場(chǎng)由線電流和磁化電流共同產(chǎn)生。問(wèn)題：如圖1所示，磁導(dǎo)率分別為和的兩種均勻磁介質(zhì)的分界面是無(wú)限大平面，在磁介質(zhì)1中有一根無(wú)限長(zhǎng)直線電流平行于分界平面，且與分界平面相距為h。分析方法：在計(jì)算磁介質(zhì)1中的磁場(chǎng)時(shí)，用置于介質(zhì)2中的鏡像線電流來(lái)代替分界面上的磁化電流，并把整個(gè)空間看作充滿磁導(dǎo)率為的均勻介質(zhì)，如圖2所示。3.5.5線電流與無(wú)限大磁介質(zhì)平面的鏡像

101

因?yàn)殡娏餮剌S方向流動(dòng)，所以矢量磁位只有軸向分量，則磁介質(zhì)1和磁介質(zhì)2中任一點(diǎn)的矢量磁位分別為圖3磁介質(zhì)2的鏡像線電流

在計(jì)算磁介質(zhì)2中的磁場(chǎng)時(shí)，用置于介質(zhì)1中的鏡像線電流來(lái)代替分界面上的磁化電流，并把整個(gè)空間看作充滿磁導(dǎo)率為