湖南省長(zhǎng)沙瀏陽(yáng)市2023年高三下學(xué)期聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題含解析_第1頁(yè)
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2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合,集合,則()A. B. C. D.2.各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列的公比,且成等差數(shù)列,則的值為()A. B.C. D.或3.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F,拋物線C與圓交于M,N兩點(diǎn),若,則的面積為()A. B. C. D.4.已知六棱錐各頂點(diǎn)都在同一個(gè)球(記為球)的球面上,且底面為正六邊形,頂點(diǎn)在底面上的射影是正六邊形的中心,若,,則球的表面積為()A. B. C. D.5.閱讀如圖所示的程序框圖,運(yùn)行相應(yīng)的程序,則輸出的結(jié)果為()A. B.6 C. D.6.很多關(guān)于整數(shù)規(guī)律的猜想都通俗易懂,吸引了大量的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)愛(ài)好者,有些猜想已經(jīng)被數(shù)學(xué)家證明,如“費(fèi)馬大定理”,但大多猜想還未被證明,如“哥德巴赫猜想”、“角谷猜想”.“角谷猜想”的內(nèi)容是:對(duì)于每一個(gè)正整數(shù),如果它是奇數(shù),則將它乘以再加1;如果它是偶數(shù),則將它除以;如此循環(huán),最終都能夠得到.下圖為研究“角谷猜想”的一個(gè)程序框圖.若輸入的值為,則輸出i的值為()A. B. C. D.7.已知集合,,,則()A. B. C. D.8.若為虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限9.已知復(fù)數(shù),若,則的值為()A.1 B. C. D.10.函數(shù)在上的圖象大致為()A. B.C. D.11.如圖,四邊形為正方形,延長(zhǎng)至,使得,點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng).設(shè),則的取值范圍是()A. B. C. D.12.如圖所示的莖葉圖為高三某班名學(xué)生的化學(xué)考試成績(jī),算法框圖中輸入的,,,,為莖葉圖中的學(xué)生成績(jī),則輸出的,分別是()A., B.,C., D.,二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知集合,若,則__________.14.函數(shù)的最大值與最小正周期相同,則在上的單調(diào)遞增區(qū)間為_(kāi)_____.15.的展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)______.16.已知,(,),則=_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知向量,函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間;(2)在中,三內(nèi)角的對(duì)邊分別為,已知函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn),成等差數(shù)列,且,求a的值.18.(12分)設(shè),,其中.(1)當(dāng)時(shí),求的值;(2)對(duì),證明:恒為定值.19.(12分)我國(guó)在貴州省平塘縣境內(nèi)修建的500米口徑球面射電望遠(yuǎn)鏡(FAST)是目前世界上最大單口徑射電望遠(yuǎn)鏡.使用三年來(lái),已發(fā)現(xiàn)132顆優(yōu)質(zhì)的脈沖星候選體,其中有93顆已被確認(rèn)為新發(fā)現(xiàn)的脈沖星,脈沖星是上世紀(jì)60年代天文學(xué)的四大發(fā)現(xiàn)之一,脈沖星就是正在快速自轉(zhuǎn)的中子星,每一顆脈沖星每?jī)擅}沖間隔時(shí)間(脈沖星的自轉(zhuǎn)周期)是-定的,最小小到0.0014秒,最長(zhǎng)的也不過(guò)11.765735秒.某-天文研究機(jī)構(gòu)觀測(cè)并統(tǒng)計(jì)了93顆已被確認(rèn)為新發(fā)現(xiàn)的脈沖星的自轉(zhuǎn)周期,繪制了如圖的頻率分布直方圖.(1)在93顆新發(fā)現(xiàn)的脈沖星中,自轉(zhuǎn)周期在2至10秒的大約有多少顆?(2)根據(jù)頻率分布直方圖,求新發(fā)現(xiàn)脈沖星自轉(zhuǎn)周期的平均值.20.(12分)在直角坐標(biāo)系中,已知曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程;(2)若射線的極坐標(biāo)方程為().設(shè)與相交于點(diǎn),與相交于點(diǎn),求.21.(12分)在中,角所對(duì)的邊分別為,,的面積.(1)求角C;(2)求周長(zhǎng)的取值范圍.22.(10分)已知,.(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)的三個(gè)內(nèi)角、、所對(duì)邊分別為、、,若且,求面積的取值范圍.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

可求出集合,,然后進(jìn)行并集的運(yùn)算即可.【詳解】解:,;.故選.【點(diǎn)睛】考查描述法、區(qū)間的定義,對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,以及并集的運(yùn)算.2、C【解析】分析:解決該題的關(guān)鍵是求得等比數(shù)列的公比,利用題中所給的條件,建立項(xiàng)之間的關(guān)系,從而得到公比所滿足的等量關(guān)系式,解方程即可得結(jié)果.詳解:根據(jù)題意有,即,因?yàn)閿?shù)列各項(xiàng)都是正數(shù),所以,而,故選C.點(diǎn)睛:該題應(yīng)用題的條件可以求得等比數(shù)列的公比,而待求量就是,代入即可得結(jié)果.3、B【解析】

由圓過(guò)原點(diǎn),知中有一點(diǎn)與原點(diǎn)重合,作出圖形,由,,得,從而直線傾斜角為,寫(xiě)出點(diǎn)坐標(biāo),代入拋物線方程求出參數(shù),可得點(diǎn)坐標(biāo),從而得三角形面積.【詳解】由題意圓過(guò)原點(diǎn),所以原點(diǎn)是圓與拋物線的一個(gè)交點(diǎn),不妨設(shè)為,如圖,由于,,∴,∴,,∴點(diǎn)坐標(biāo)為,代入拋物線方程得,,∴,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線與圓相交問(wèn)題,解題關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)原點(diǎn)是其中一個(gè)交點(diǎn),從而是等腰直角三角形,于是可得點(diǎn)坐標(biāo),問(wèn)題可解,如果僅從方程組角度研究?jī)汕€交點(diǎn),恐怕難度會(huì)大大增加,甚至沒(méi)法求解.4、D【解析】

由題意,得出六棱錐為正六棱錐,求得,再結(jié)合球的性質(zhì),求得球的半徑,利用表面積公式,即可求解.【詳解】由題意,六棱錐底面為正六邊形,頂點(diǎn)在底面上的射影是正六邊形的中心,可得此六棱錐為正六棱錐,又由,所以,在直角中,因?yàn)?,所以,設(shè)外接球的半徑為,在中,可得,即,解得,所以外接球的表面積為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正棱錐的幾何結(jié)構(gòu)特征,以及外接球的表面積的計(jì)算,其中解答中熟記幾何體的結(jié)構(gòu)特征,熟練應(yīng)用球的性質(zhì)求得球的半徑是解答的關(guān)鍵,著重考查了空間想象能力,以及推理與計(jì)算能力,屬于中檔試題.5、D【解析】

用列舉法,通過(guò)循環(huán)過(guò)程直接得出與的值,得到時(shí)退出循環(huán),即可求得.【詳解】執(zhí)行程序框圖,可得,,滿足條件,,,滿足條件,,,滿足條件,,,由題意,此時(shí)應(yīng)該不滿足條件,退出循環(huán),輸出S的值為.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的應(yīng)用,正確依次寫(xiě)出每次循環(huán)得到的與的值是解題的關(guān)鍵,難度較易.6、B【解析】

根據(jù)程序框圖列舉出程序的每一步,即可得出輸出結(jié)果.【詳解】輸入,不成立,是偶數(shù)成立,則,;不成立,是偶數(shù)不成立,則,;不成立,是偶數(shù)成立,則,;不成立,是偶數(shù)成立,則,;不成立,是偶數(shù)成立,則,;不成立,是偶數(shù)成立,則,;成立,跳出循環(huán),輸出i的值為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查利用程序框圖計(jì)算輸出結(jié)果,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】

求得集合中函數(shù)的值域,由此求得,進(jìn)而求得.【詳解】由,得,所以,所以.故選:A【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)值域的求法,考查集合補(bǔ)集、交集的概念和運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算,化簡(jiǎn)得到,再結(jié)合復(fù)數(shù)的表示,即可求解,得到答案.【詳解】由題意,根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算,可得,所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為位于第四象限.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算,以及復(fù)數(shù)的幾何意義,其中解答中熟記復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則,準(zhǔn)確化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)為代數(shù)形式是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】由復(fù)數(shù)模的定義可得:,求解關(guān)于實(shí)數(shù)的方程可得:.本題選擇D選項(xiàng).10、A【解析】

首先判斷函數(shù)的奇偶性,再根據(jù)特殊值即可利用排除法解得;【詳解】解:依題意,,故函數(shù)為偶函數(shù),圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng),排除C;而,排除B;,排除D.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象的識(shí)別,函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】

以為坐標(biāo)原點(diǎn),以分別為x軸,y軸建立直角坐標(biāo)系,利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算即可解決.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,不妨設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1,則,,設(shè),則,所以,且,故.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求變量的取值范圍,考查學(xué)生的基本計(jì)算能力,本題的關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,是一道基礎(chǔ)題.12、B【解析】

試題分析:由程序框圖可知,框圖統(tǒng)計(jì)的是成績(jī)不小于80和成績(jī)不小于60且小于80的人數(shù),由莖葉圖可知,成績(jī)不小于80的有12個(gè),成績(jī)不小于60且小于80的有26個(gè),故,.考點(diǎn):程序框圖、莖葉圖.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1【解析】

分別代入集合中的元素,求出值,再結(jié)合集合中元素的互異性進(jìn)行取舍可解.【詳解】依題意,分別令,,,由集合的互異性,解得,則.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查集合元素的特性:確定性、互異性、無(wú)序性.確定集合中元素,要注意檢驗(yàn)集合中的元素是否滿足互異性.14、【解析】

利用三角函數(shù)的輔助角公式進(jìn)行化簡(jiǎn),求出函數(shù)的解析式,結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】∵,則函數(shù)的最大值為2,周期,的最大值與最小正周期相同,,得,則,當(dāng)時(shí),,則當(dāng)時(shí),得,即函數(shù)在,上的單調(diào)遞增區(qū)間為,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)、單調(diào)區(qū)間,利用輔助角公式求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵,同時(shí)要注意單調(diào)區(qū)間為定義域的一個(gè)子區(qū)間.15、40【解析】

根據(jù)二項(xiàng)定理展開(kāi)式,求得r的值,進(jìn)而求得系數(shù).【詳解】根據(jù)二項(xiàng)定理展開(kāi)式的通項(xiàng)式得所以,解得所以系數(shù)【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

先利用倍角公式及差角公式把已知條件化簡(jiǎn)可得,平方可得.【詳解】∵,∴,則,平方可得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角恒等變換,倍角公式的合理選擇是求解的關(guān)鍵,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1),(2)【解析】

(1)利用向量的數(shù)量積和二倍角公式化簡(jiǎn)得,故可求其周期與單調(diào)性;(2)根據(jù)圖像過(guò)得到,故可求得的大小,再根據(jù)數(shù)量積得到的乘積,最后結(jié)合余弦定理和構(gòu)建關(guān)于的方程即可.【詳解】(1),最小正周期:,由得,所以的單調(diào)遞增區(qū)間為;(2)由可得:,所以.又因?yàn)槌傻炔顢?shù)列,所以而,.18、(1)1(2)1【解析】分析:(1)當(dāng)時(shí)可得,可得.(2)先得到關(guān)系式,累乘可得,從而可得,即為定值.詳解:(1)當(dāng)時(shí),,又,所以.(2)即,由累乘可得,又,所以.即恒為定值1.點(diǎn)睛:本題考查組合數(shù)的有關(guān)運(yùn)算,解題時(shí)要注意所給出的的定義,并結(jié)合組合數(shù)公式求解.由于運(yùn)算量較大,解題時(shí)要注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性,避免出現(xiàn)錯(cuò)誤.19、(1)79顆;(2)5.5秒.【解析】

(1)利用各小矩形的面積和為1可得,進(jìn)而得到脈沖星自轉(zhuǎn)周期在2至10秒的頻率,從而得到頻數(shù);(2)平均值的估計(jì)值為各小矩形組中值與頻率的乘積的和得到.【詳解】(1)第一到第六組的頻率依次為0.1,0.2,0.3,0.2,,0.05,其和為1所以,,所以,自轉(zhuǎn)周期在2至10秒的大約有(顆).(2)新發(fā)現(xiàn)的脈沖星自轉(zhuǎn)周期平均值為(秒).故新發(fā)現(xiàn)的脈沖星自轉(zhuǎn)周期平均值為5.5秒.【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用,涉及到平均數(shù)的估計(jì)值等知識(shí),是一道容易題.20、(1)曲線的普通方程為;直線的直角坐標(biāo)方程為(2)【解析】

(1)利用消去參數(shù),將曲線的參數(shù)方程化成普通方程,利用互化公式,將直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;(2)根據(jù)(1)求出曲線的極坐標(biāo)方程,分別聯(lián)立射線與曲線以及射線與直線的極坐標(biāo)方程,求出和,即可求出.【詳解】解:(1)因?yàn)椋閰?shù)),所以消去參數(shù),得,所以曲線的普通方程為.因?yàn)樗灾本€的直角坐標(biāo)方程為.(2)曲線的極坐標(biāo)方程為.設(shè)的極徑分別為和,將()代入,解得,將()代入,解得.故.【點(diǎn)睛】本題考查利用消參法將參數(shù)方程化成普通方程以及利用互化公式將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,還考查極徑的運(yùn)用和兩點(diǎn)間距離,屬于中檔題.21、(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)由可得到,代入,結(jié)合正弦定理可得到,再利用余弦定理可求出的值,即可求出角;(Ⅱ)由,并結(jié)合正弦定理可得到,利用,,可得到,進(jìn)而可求出周長(zhǎng)的范圍.【詳解】解:(Ⅰ)由可知,∴.由正弦定理得.由余弦定理得,∴.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,∴,.的周長(zhǎng)為.∵,∴,∴,∴的周長(zhǎng)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的運(yùn)用,考查了三角形的面積公式,考查了學(xué)

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