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微積分B(1)第十次習(xí)題課參考答案(第十四周教學(xué)目的:本周習(xí)題課練習(xí)的是廣義積分、瑕積分的有關(guān)內(nèi)容,希望掌握被積函數(shù)的廣義積分的Abel與Dirichlet判別法,掌握廣義積分、瑕積分的Cauchy收斂準(zhǔn)則,會(huì)計(jì)ln
ln(1). dx(p0) (2). dx(p0) x x(3).ln(1x)dx(p0) (4).ln(x1)pdx(p0) x 1 1x(5. )dx 2
lnsin dx; . 3x(x2)2(x3x(x2)2(x1
|p1|x
|cos(ln (9.
1 dx (10.
(1 )dxxxln 1ln ln 1ln(2.ln
dxx
0x
dx
x
dx.
x xln(1 1ln(1 ln(1 1ln(1
x dx
x dx
x dx. x
dx的斂散性與1 ln(1 0x
dx一致
dx的斂散性與
dx一致.綜上可知,當(dāng)1p2x x1 (4. )dx1ln(1 ) 1x 1x2 2)pdx )pdx1 1x 2 1x1xparctan xparctan
2
I2
2I1x0時(shí)q0
xparctan2
x
xparctan2
x
arctanx同階,故只當(dāng)p1q1pq2I2x
xparctan2
q0
xparctan2
x
同階,故只當(dāng)p1p1I2q0且2pq xparctan綜上所述,當(dāng)
dx或q0且q2p
2
limx2lnsinx0, dx收斂,所1x x02lnsinxdx收斂 2 dx,瑕點(diǎn)x .因?yàn)? 且 dx(a)發(fā)散,所20lnsin
xlnsin 0x 2 20lnsin
dx發(fā)散 00
dxx0,x2,x4 x3(x2)3(x4)1411
11,所以 dx 0
3x(x3x(x2)2(x
5x3(x2)3(x4)33x(x2)2(x
|xa|p1|x
, I0
f(x)dx,Ii
ai2ai1
f
(i
1
f(x)dxa則f(x)dx
I1
n
a1 I0
|xa|p1|x
pn在pi1時(shí)收斂,在pi1
Ii(i12,n有唯一奇點(diǎn)ai,其在ai1時(shí)收斂,在ai1 與I0類(lèi)似,In1a1 pn pi1時(shí)收斂,在pi1發(fā)散n|xa1||x
n(9cos(lnxdxcos 1 01
etdt 2n 12n因?yàn)閘im 1,所以當(dāng)n充分大時(shí),有 2 tetdt 2costdt1.根t1
2n21
22n(101 sin
12 1o(u4 u u4u !
o(u4
u44)24 所以1 sin2x24x2o(x2)由
x2(1cos1sin1)
(1).x3ex2dx 0 xln(3).0(1x2
xdx .0 x tx21
1
(1)
x3
dx
2
tedt2
etdt] e
arctanxdx1arctanx
(1
1 1
x(1x2 4 1 xln xln xln(3) (1x2)2dx0(1x2)2dx (1x2)2dx xln
xt1 xt1
tln2 20(1x2
+(11t
(t2)dt
(1
)2dt xln dx xln dx xln (1x2 0(1x2 (1x2 tln dt xln dx (1t2 (1x2由 2lnsinxdx2ln2 dx2ln2dx2ln dx2ln ln22ln
dx2lncos ln2
2lnsin
dxln
x ln2lnsinx ln22lnsintdt2 22lnsinxdx ln2 f(x)dx斂散與
f(x之間的關(guān)系
f(x)dx 1
Nf(x1nxnn21 1
f
lim1limf(x)0n
N
f(x在[a,f(x)dx收斂,則
f(x)0 如果將非負(fù)條件去掉,是否仍然有
f(x0反證:若
f(x)0不成立,則存在某個(gè)正數(shù)b,以及一個(gè)趨向于正無(wú)窮的點(diǎn)列{xnf(xn2bx1a1xn1xn2f(xbf(x)dxxnf(x)dxxkf(x)dx
2b2nb(當(dāng)n k1xk k因此 f(x)dx發(fā)散
f(x)dx
f(x)=0
f(x)b0,若極限小于零,則考慮f(xXax f(x)2,因此有af(x)dxaf(x)dxXf(x)dx
f(x)dx (xX2x,得 f(x)dx發(fā)散 f(x)dxf(x在[a
)上單調(diào),證明:
f(x)=0 f(x在[af(x0(x0[af(x00xx0f(xf(x00x f x
f(x)dx
f(x)dxf(x0)(xXf(x)dx 令x,得 f(x)dx發(fā)散
3
f(x)=0f(x)dxf(x在[a
limxf(x)=0 f(x在[af(x0 f(x)dx收斂,則0Xax2X時(shí),|xf(t)dt|,即xf(t)dt 又f(x)[a)上單調(diào)遞減,有
22f(x)2
f(t)dt0xf(x2limxf(x)=0f(x在[a上連續(xù)可微,f(x)dx,f(x)dxlimf(x)=0 證明:由xf(x)dxf(xf(a,以及f(x)dxlimf(x 由于
f(x)dx
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