小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思維結(jié)構(gòu)的解析

小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思維結(jié)構(gòu)的解析第一頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日一、緣起學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中思維的自然結(jié)構(gòu)可以理解為：學(xué)生為完成某學(xué)習(xí)任務(wù)，通過感知以及固有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)獲得了完成這一任務(wù)所需的信息，并根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)空間將這些信息聯(lián)系起來所自然形成的一種思維結(jié)構(gòu)。學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中思維的加工結(jié)構(gòu)可以理解為：完成這一任務(wù)的應(yīng)然結(jié)構(gòu)，即期望學(xué)生所形成的思維結(jié)構(gòu)。

第二頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日在教學(xué)中，低年級(jí)小學(xué)生利用思維的自然結(jié)構(gòu)確定的算法卻遭到了教師的否定，往往被認(rèn)為是錯(cuò)誤的。事實(shí)上，學(xué)生的這種自然結(jié)構(gòu)從構(gòu)成要素來看，它與教師期望的加工結(jié)構(gòu)(標(biāo)準(zhǔn)算法)沒有什么不同，只是先后順序不同罷了。第三頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日案例1：?37個(gè)第四頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日本題的用意是：已知總量為7,其中一個(gè)部分量為3，求另一個(gè)部分量是多少。教師期望學(xué)生用減法計(jì)算，列式為:7-3=4而學(xué)生往往列出的算式為:4+3=7學(xué)生把減法算式卻寫成了加法算式。第五頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日案例2：

樹上有一些鳥，飛走了6只，還剩9只，樹上原來有多少只天鳥?本題的意思是知道了“飛走”和“還剩”這兩個(gè)部分量，求總量是多少。教師期望學(xué)生用加法“6+9=15”計(jì)算，可許多學(xué)生又偏偏列出減法算式“15-6=9”

第六頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日我們發(fā)現(xiàn)：當(dāng)問及學(xué)生答案時(shí)，學(xué)生往往能夠說出題目的正確答案。通過這兩則案例的回顧，可見低齡兒童在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中思維所容易形成的自然結(jié)構(gòu)，往往與教師期望的加工結(jié)構(gòu)不同。第七頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日

二、問題的提出1.導(dǎo)致這種現(xiàn)象發(fā)生的原因是什么呢？2.這個(gè)現(xiàn)象的背后是否隱藏著兒童的某種認(rèn)知規(guī)律？3.當(dāng)學(xué)生這樣列式計(jì)算時(shí)，教師到底應(yīng)當(dāng)判錯(cuò)還是判對(duì)呢？

第八頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日三、小學(xué)生思維的結(jié)構(gòu)解析我們可以認(rèn)為：小學(xué)生的認(rèn)知過程分為三個(gè)階段：第一是感知；第二是加工；第三是輸出。輸出受到感知和加工的影響，那么其中問題一定與感知和加工這兩個(gè)階段有關(guān)。

第九頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日以上兩則案例的共同特點(diǎn)是：學(xué)生寫出來的算式中數(shù)的順序與題目中閱讀到信息的順序是一致的。在第一個(gè)問題中，學(xué)生感知到的信息首先是“空籃子”，第二是“3個(gè)”，第三是“7”個(gè)，它們的關(guān)系應(yīng)該是前二者的和等于第三者。即通過感知，學(xué)生在頭腦中形成的思維結(jié)構(gòu)是：

“口+3=7”由于數(shù)字相對(duì)簡(jiǎn)單，學(xué)生可以輕易算出“口”中是“4個(gè)”，因此頭腦中就不再進(jìn)行其他加工活動(dòng)了，按照這個(gè)順序直接就寫出算式：“4+3=7”

第十頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日第二個(gè)問題也類似，學(xué)生按照閱讀順序感知到信息的順序是“原有—飛走—還?！保鼈冎g的關(guān)系是第一個(gè)減去第二個(gè)等于第三個(gè)，相應(yīng)的思維結(jié)構(gòu)應(yīng)是：“口－6=9”

按照這種順序直接列出算式就是：“15－6=9”第十一頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日

我們知道：人的閱讀順序通常是“從左向右，從上向下”。因此，輸入到頭腦中的信息也是有順序的。這些信息和相應(yīng)的順序就在頭腦中形成了一個(gè)自然的思維結(jié)構(gòu)。其實(shí)，頭腦對(duì)信息的加工是一個(gè)復(fù)雜的過程，其中一個(gè)重要內(nèi)容就是根據(jù)需要對(duì)這樣的結(jié)構(gòu)進(jìn)行調(diào)整。對(duì)于低齡兒童來說，頭腦加工能力相對(duì)較弱，因此感知到的這種自然的思維結(jié)構(gòu)就會(huì)對(duì)輸出產(chǎn)生更大的影響。根據(jù)這樣的分析，兩則案例中學(xué)生所列算式也就不足為奇了。第十二頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日如果我們把學(xué)生感知到的：“口+3=7”和“口－6=9”稱為思維的“自然結(jié)構(gòu)”，那么，教師所期望的“7－3=口”和“6+9=口”就叫做思維的“加工結(jié)構(gòu)”。正是這兩種結(jié)構(gòu)中順序的不一致才導(dǎo)致了產(chǎn)生這一“錯(cuò)誤”的主要原因。第十三頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日

小學(xué)低齡兒童認(rèn)知過程中思維的自然結(jié)構(gòu)形成的主要因素受到兒童當(dāng)時(shí)固有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)空間的影響。兒童思維的自然結(jié)構(gòu)往往與期望的加工結(jié)構(gòu)是不同的，辨別其是否正確的主要依據(jù)應(yīng)該是是否違背數(shù)學(xué)中的客觀規(guī)律。第十四頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日例如，對(duì)于“115X31”這樣的兩位數(shù)乘法。算法有：（教師）豎式標(biāo)準(zhǔn)算法（其依據(jù)的是乘法的意義或乘法對(duì)加法的分配律，即把“31個(gè)115相加”變?yōu)椤?個(gè)115和30個(gè)115相加”，先算出“1個(gè)115”的結(jié)果，再算出“30個(gè)115”相加的結(jié)果，最后將兩個(gè)結(jié)果相加。）第十五頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日（學(xué)生的）算法:（與教師的算法不同，由于學(xué)生已經(jīng)熟悉了乘法的意義：相同加數(shù)的和以及一個(gè)因數(shù)是整十?dāng)?shù)的乘法豎式，自然而然地在頭腦中形成了一個(gè)自然結(jié)構(gòu)，即先算出“30個(gè)115”，相加的結(jié)果，然后與“1個(gè)115”，相加

）（注意！在課堂上，這種算法遭到了教師的否定，被認(rèn)為是錯(cuò)誤的。

）第十六頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日（學(xué)生的）高位算法。學(xué)生利用自然結(jié)構(gòu)所做出的結(jié)果往往會(huì)遭到教師的否定，被判定為“錯(cuò)誤”。這樣不僅會(huì)打擊學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性，還可能會(huì)制約學(xué)生的思維發(fā)展。因此，需要進(jìn)一步討論這種自然結(jié)構(gòu)正誤的辨別標(biāo)準(zhǔn)的問題（以及鋪地錦）第十七頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日四、“錯(cuò)誤”的合理性分析

這兩種結(jié)構(gòu)之間的差異往往就是學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的難點(diǎn)。前面案例中反映出這兩種結(jié)構(gòu)在“信息”內(nèi)容方面其實(shí)基本上是一致的，只是在構(gòu)成方式或者排列順序上不一致。因此在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)把重點(diǎn)放在自然結(jié)構(gòu)與加工結(jié)構(gòu)之間的對(duì)比和轉(zhuǎn)換方面，而能夠做到這一點(diǎn)的前提是教師不僅要了解思維的加工結(jié)構(gòu)，更應(yīng)當(dāng)了解學(xué)生可能形成的自然結(jié)構(gòu)。第十八頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的“欲減卻加，欲加又減”的現(xiàn)象，教師關(guān)于“對(duì)”與“錯(cuò)”一直也存在爭(zhēng)議。認(rèn)為“對(duì)”的主要理由是“這樣列式的學(xué)生通常都能說出問題的正確答案，說明學(xué)生是明白這道題的數(shù)量關(guān)系，并且能夠正確計(jì)算的”。認(rèn)為“錯(cuò)”的主要理由是“學(xué)生沒有分清題目中的已知和未知，應(yīng)當(dāng)把已知數(shù)寫在等號(hào)左側(cè)，把計(jì)算結(jié)果寫在等號(hào)右側(cè)”。第十九頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日

事實(shí)上，一個(gè)問題中的“已知數(shù)”和“未知數(shù)”雖然是不同的，但在思考的過程中往往需要把二者統(tǒng)一起來。比如在學(xué)習(xí)“方程”的時(shí)候，就是用字母代替未知數(shù)，把它看成和已知數(shù)同樣的數(shù)參與到運(yùn)算之中。

第二十頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日如果利用方程的知識(shí)解決以上的兩個(gè)問題，就是用字母X表示未知數(shù)，根據(jù)題目敘述的自然順序列出方程:“X+3=7”和““X－6=9”這實(shí)際上與前面案例中學(xué)生所列算式的順序是一樣的，就是說方程通常是按照思維的自然結(jié)構(gòu)的順序列出的。

第二十一頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日另外，這種已知與未知的統(tǒng)一關(guān)系還經(jīng)常體現(xiàn)于數(shù)學(xué)結(jié)論的推廣方面。比如用任何具體的已知數(shù)都無法表示一般意義的長(zhǎng)方形面積公式，一旦將具體的已知數(shù)用“未知”的字母來代替，更具普遍性的長(zhǎng)方形面積公式“S=ab”就出現(xiàn)了。

第二十二頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日

從更普遍的意義上說，研究一個(gè)問題的著力點(diǎn)應(yīng)當(dāng)放在數(shù)量關(guān)系方面，這樣的數(shù)量關(guān)系可以有不同的表達(dá)方式，無論什么樣的表達(dá)方式，“已知”和“未知”往往處于同等地位，放在什么位置上并不是最重要的事情。前面案例中學(xué)生利用思維的自然結(jié)構(gòu)列出的算式實(shí)際上已經(jīng)表達(dá)出了問題的數(shù)量關(guān)系，所以應(yīng)當(dāng)認(rèn)為是正確的。第二十三頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日至于“已知數(shù)應(yīng)當(dāng)寫在等號(hào)左側(cè)，計(jì)算結(jié)果應(yīng)當(dāng)寫在等號(hào)右側(cè)”，實(shí)際上是對(duì)等號(hào)的一種誤解。為了說明這一點(diǎn)，我們先來介紹數(shù)學(xué)中的“等價(jià)關(guān)系”。用符號(hào)可以表示成下面三個(gè)條件：1.自身性，即：A=A；2.交換性，即：如果A=B，那么一定有B=A；3.傳遞性，即：如果A=B,B=C，那么，一定有A=C。第二十四頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日“相等關(guān)系”自然也是一種等價(jià)關(guān)系。其中的交換性表明等號(hào)兩側(cè)是可以互換位置的，因此,所謂的“已知數(shù)應(yīng)當(dāng)寫在等號(hào)左側(cè)，計(jì)算結(jié)果應(yīng)當(dāng)寫在等號(hào)右側(cè)”的說法是不成立的，至多可以認(rèn)為是人們約定俗成的一種習(xí)慣。從這個(gè)意義上說，應(yīng)當(dāng)承認(rèn)前面案例中學(xué)生利用思維的自然結(jié)構(gòu)的做法是正確的。第二十五頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日五、小學(xué)生思維的自然結(jié)構(gòu)的辨析

當(dāng)遇到兒童的自然結(jié)構(gòu)與期望的加工結(jié)構(gòu)不一致的時(shí)候，一個(gè)重要問題就是如何從更廣泛的意義上辨別兒童思維中自然結(jié)構(gòu)的正誤。這個(gè)問題直接關(guān)系到對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本體性理解?；诖俗鳛楸鎰e錯(cuò)誤的標(biāo)準(zhǔn)，就需要進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)中“客觀實(shí)際”的含義。小學(xué)生學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)內(nèi)容依據(jù)其客觀性和主觀性可以分為三類。

第二十六頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日第一類是：按照數(shù)學(xué)自身發(fā)展規(guī)律自然生成的內(nèi)容。比如加法交換律a=b、b=a,它反映的是兩種“加”的過程間的內(nèi)在聯(lián)系，是加法運(yùn)算的自然規(guī)律。只要有加法的存在，這種規(guī)律就隨之存在，不依人的意志為轉(zhuǎn)移。再如，“平面上三角形三個(gè)內(nèi)角和等于180度”，反映的是平面上三角形三個(gè)內(nèi)角之間的內(nèi)在聯(lián)系，是平面上三角形的自然屬性，只要是平面上的三角形都具有這種屬性。

第二十七頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日第二類是：依據(jù)數(shù)學(xué)自身發(fā)展的需要人為規(guī)定的內(nèi)容。比如在有余數(shù)除法中規(guī)定“余數(shù)要比除數(shù)小”，這一規(guī)定并不是除法運(yùn)算自然擁有的規(guī)律，而是為了保證運(yùn)算結(jié)果的確定性所做出的規(guī)定。除法作為乘法的逆運(yùn)算，“a÷b=qr”,正確與否，應(yīng)當(dāng)由a=b×q+r是否成立來判斷。對(duì)于“7÷2”，在整數(shù)范圍內(nèi)可以有幾種不同形式的結(jié)果，依據(jù)對(duì)應(yīng)的乘法算式檢驗(yàn)都是正確的，見下表：第二十八頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日除法乘法7÷2=0……77=2×0+77÷2=1……57=2×1+57÷2=2……37=2×2+37÷2=3……17=2×3+1第二十九頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日被除數(shù)和除數(shù)分別相等的除法運(yùn)算，卻得到不同的運(yùn)算結(jié)果，像這種運(yùn)算結(jié)果不確定的情況將會(huì)給以此為基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)推理帶來麻煩。數(shù)學(xué)中經(jīng)常需要下面形式的推理:

第三十頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日

如果沒有“余數(shù)要比除數(shù)小”的規(guī)定，這種推理就無法進(jìn)行了。因此，為了保證運(yùn)算結(jié)的確定性，不得已做出“余數(shù)要比除數(shù)小”的規(guī)定。這種規(guī)定性的內(nèi)容是人為的，是為了數(shù)學(xué)自身邏輯發(fā)展的需要。第三十一頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日第三類是：依據(jù)人的某種需要或者習(xí)慣人為規(guī)定、約定俗成的內(nèi)容。比如計(jì)算方法中的豎式，在沒有電子計(jì)算機(jī)(器)的時(shí)代，為了減輕計(jì)算的思維負(fù)擔(dān)，需要借助紙筆作為計(jì)算的工具。在此基礎(chǔ)上，人們發(fā)明了多種多樣的計(jì)算方法，經(jīng)過長(zhǎng)時(shí)間的使用與對(duì)比，把為多數(shù)人所接受的算法傳承下來，作為后人學(xué)習(xí)的標(biāo)準(zhǔn)算法。雖然這些標(biāo)準(zhǔn)算法是依據(jù)數(shù)學(xué)中的規(guī)律形成的，但其更主要的特征是人為規(guī)定，目的在于方便。比如除法豎式起初就不是在的樣子，而是把商寫在被除數(shù)的右側(cè)。

第三十二頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日

再如概念的命名，把具有相同屬性的一類對(duì)象冠以名稱，這種名稱也是人為規(guī)定的內(nèi)容，命名的依據(jù)是使得詞義盡可能反映概念的內(nèi)涵和外延。對(duì)于“質(zhì)數(shù)”這一概念，起初的命名叫做“數(shù)根”，后來演變?yōu)橘|(zhì)數(shù)或者素?cái)?shù)。前面所說的“已知數(shù)應(yīng)當(dāng)寫在等號(hào)左側(cè)，計(jì)算結(jié)果應(yīng)當(dāng)寫在等號(hào)右側(cè)”，僅僅是一種符合人們習(xí)慣的說法而已，不能夠作為辨別正誤的標(biāo)準(zhǔn)。第三十三頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日

如果把第一類叫做“規(guī)律性知識(shí)”，第二類和第三類叫做“規(guī)則性知識(shí)”，可以概括其特征分別為，規(guī)律性知識(shí)具有較強(qiáng)的客觀性，而規(guī)則性知識(shí)具有明顯的主觀特征。將辨別正誤的標(biāo)準(zhǔn)局限于人的主觀方面，顯然是不恰當(dāng)?shù)?。?yīng)當(dāng)把這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)定位于數(shù)學(xué)中的“客觀實(shí)際”，也就是前面所說的“規(guī)律性內(nèi)容”。第三十四頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日

前面案例中學(xué)生思維的自然結(jié)構(gòu)應(yīng)當(dāng)說沒有違背任何數(shù)學(xué)中的規(guī)律，而僅僅與小學(xué)算術(shù)中約定俗成的“已知數(shù)寫在等號(hào)左側(cè)，計(jì)算結(jié)果寫在等號(hào)右側(cè)”不同。這種不同恰恰說明低齡兒童頭腦中較少有人為規(guī)定的條條框框，這或許正是兒童創(chuàng)造性思維的基礎(chǔ)，的確是需要積極保護(hù)、鼓勵(lì)和引導(dǎo)的。第三十五頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日六、初步的結(jié)論

不可否認(rèn)，兒童思維中所形成的自然結(jié)構(gòu)常常會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤，試圖直接避免顯然是不可行的。就好比醫(yī)生在對(duì)病人采取治療措施之前必須對(duì)病情進(jìn)行診斷一樣，只有對(duì)病情、病因有了準(zhǔn)確的了解之后，才有可能實(shí)施有針對(duì)性的治