第四章-冪級(jí)數(shù)

函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)一、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

1、定義：考慮各項(xiàng)均為復(fù)數(shù)的級(jí)數(shù)

它的每一項(xiàng)都可分為實(shí)部和虛部，設(shè)為

，則級(jí)數(shù)的部分和為：

第四章解析函數(shù)的冪級(jí)數(shù)表示

2、級(jí)數(shù)的收斂性如果為有限數(shù)s,則稱級(jí)數(shù)收斂，并稱s為它的和，記為不收斂的級(jí)數(shù)稱為發(fā)散級(jí)數(shù)，顯然

這樣復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題就歸結(jié)于兩個(gè)實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題，即級(jí)數(shù)收斂于的充要條件是兩個(gè)實(shí)級(jí)數(shù)及分別收斂于

及。

3、絕對(duì)收斂和條件收斂如果由級(jí)數(shù)各項(xiàng)的模所構(gòu)成的級(jí)數(shù)收斂，則稱絕對(duì)收斂。收斂而非絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)，稱為條件收斂級(jí)數(shù)，顯然，絕對(duì)收斂必收斂。

二、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂和一致收斂

討論各項(xiàng)均在區(qū)域D有定義的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

1、定義：如果對(duì)于D上每一點(diǎn)Z，上述級(jí)數(shù)均收斂，就稱級(jí)數(shù)在D上收斂，其和在D上構(gòu)成一函數(shù)，稱為級(jí)數(shù)的和函數(shù)，記為

（*）（*）定義：對(duì)于級(jí)數(shù)（*），如果在點(diǎn)集D上有一個(gè)函數(shù)，使得則稱級(jí)數(shù)（*）在D上是一致收斂于哥西一致收斂準(zhǔn)則：級(jí)數(shù)（*）在點(diǎn)集D上一致收斂于某函數(shù)的充分必要條件：若級(jí)數(shù)在D的任一有界閉集上一致收斂，則稱此級(jí)數(shù)內(nèi)閉一致收斂

(1)若在D上連續(xù)，則也在D上連續(xù)，即由連續(xù)函數(shù)組成的(內(nèi)閉)一致收斂的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和也連續(xù)。

(2)如果在C上連續(xù)，則沿C可逐項(xiàng)積分，且

性質(zhì)：如果級(jí)數(shù)在D上（內(nèi)閉）一致收斂于3、一致且絕對(duì)收斂判別法如果對(duì)于某區(qū)域D上所有各點(diǎn)z，復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)各項(xiàng)的模，而正的常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，則復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在D上絕對(duì)且一致收斂。級(jí)數(shù)稱為的強(qiáng)（優(yōu)）級(jí)數(shù)，即其強(qiáng)級(jí)數(shù)收斂的復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致且絕對(duì)收斂。

(3)如果在D上解析，則在D上解析，并且即（內(nèi)閉）一致收斂于冪級(jí)數(shù)與解析函數(shù)

一、冪級(jí)數(shù)的收斂性

1、冪級(jí)數(shù)

各項(xiàng)均為冪函數(shù)的復(fù)變項(xiàng)級(jí)數(shù)其中，都是復(fù)常數(shù)，這樣的級(jí)數(shù)叫做以z0為中心的冪級(jí)數(shù)。

2、冪級(jí)數(shù)的收斂性，收斂半徑

先看由上級(jí)數(shù)各項(xiàng)的模所組成的正項(xiàng)級(jí)數(shù)(*)

應(yīng)用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值判別法可知，如果

則級(jí)數(shù)收斂，即原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，可引入記號(hào)即，如果則原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，如果，則

即級(jí)數(shù)后面的項(xiàng)的模越來(lái)越大，不滿足級(jí)數(shù)收斂的心要條件，因而級(jí)數(shù)發(fā)散，即當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)(*)發(fā)散。以為圓心作一半徑為R的圓周，原冪級(jí)數(shù)在圓的內(nèi)部（即）絕對(duì)收斂，在圓外發(fā)散，這個(gè)圓叫冪級(jí)數(shù)的收斂圓，它的半徑R叫做收斂半徑，在收斂圓周上各點(diǎn)，冪級(jí)數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散，應(yīng)具體分析。

用根值判別法可得到收斂半徑的另一公式例1.求級(jí)數(shù)的收斂半徑。解：故級(jí)數(shù)在任何z點(diǎn)收斂。例2.求級(jí)數(shù)的收斂半徑。解：故它們的收斂半徑都為1。在收斂圓周上，即

，由于通項(xiàng)不趨于零，故處處發(fā)散。當(dāng)時(shí)，收斂，當(dāng)時(shí)，發(fā)散，其余的具體而定。由于收斂，所以在上收斂。

冪級(jí)數(shù)收斂半徑確定法：定理：如果冪級(jí)數(shù)的系數(shù)滿足（1）（2）（3）則冪級(jí)數(shù)的收斂半徑

例.收斂半徑例.例.當(dāng)時(shí)，冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)時(shí)，冪級(jí)數(shù)發(fā)散，故注：冪級(jí)數(shù)

收斂半徑R，

收斂圓：，收斂圓周：

收斂圓外不收斂。

3、冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)的性質(zhì)

(1)冪級(jí)數(shù)在收斂圓的內(nèi)部絕對(duì)且一致收斂。

(2).冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在收斂圓內(nèi)解析。定理：（1）

冪級(jí)數(shù)數(shù)的和函數(shù)在其收斂圓內(nèi)解析（2）在內(nèi)，冪級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)求導(dǎo)至任意階

冪級(jí)數(shù)（1）和（2）的收斂半徑相同（3）

二、解析函數(shù)的泰勒展示泰勒定理：設(shè)在區(qū)域D內(nèi)解析，，只要圓含于D內(nèi)，則在K內(nèi)能展成冪級(jí)數(shù)其中系數(shù)并且展式是唯一的。泰勒級(jí)數(shù)，泰勒展式，泰勒系數(shù)(1)泰勒展式是唯一的，因此可用任何方法來(lái)求一個(gè)解析函數(shù)的泰勒展式，不一定要用系數(shù)公式來(lái)求系數(shù)，即可用簡(jiǎn)接法展開(kāi)。(2)由于冪函數(shù)的和是解析函數(shù)，而解析函數(shù)又可以展為唯一的泰勒級(jí)數(shù)，所以解析函數(shù)與冪級(jí)數(shù)有著不可分割的聯(lián)系。

解析函數(shù)的充分必要條件可表為：

在D內(nèi)解析在D內(nèi)任一點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)可展成冪級(jí)數(shù)(泰勒級(jí)數(shù))。定理：函數(shù)

在區(qū)域D內(nèi)解析的充分必要條件：在D內(nèi)的任a的領(lǐng)域內(nèi)可展成z-a的冪級(jí)數(shù)，即泰勒級(jí)數(shù)。冪級(jí)數(shù)的和在收斂圓上的狀況定理：如果冪級(jí)數(shù)的收斂半徑，則在收斂圓周上至少有一個(gè)奇點(diǎn)從上述定理，我們可以確定：

如果在a點(diǎn)解析，b是的奇點(diǎn)中距離a最近的一個(gè)奇點(diǎn)，則為函數(shù)在點(diǎn)a的鄰域內(nèi)的冪級(jí)數(shù)展式的收斂半徑

例一些初等函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)例以-1和為支點(diǎn)的多值函數(shù)取主值分支在單位圓內(nèi)展成的冪級(jí)數(shù)例按z-1的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)，并指明收斂范圍解析函數(shù)零點(diǎn)的孤立性，唯一性定理定義：設(shè)函數(shù)在解析區(qū)域D內(nèi)一點(diǎn)a的值為零，則稱a為解析函數(shù)的零點(diǎn)。若但，稱a為解析函數(shù)的m階零點(diǎn)。

定理：不恒為零的解析函數(shù)以a為m階零點(diǎn)的充要條件為：其中在內(nèi)解析，且例求其全部的零點(diǎn)，并指出起階函數(shù)在z平面上解析這是的全部零點(diǎn)注意到因此都是的二階零點(diǎn)解析函數(shù)零點(diǎn)的孤立性，唯一性定理定理：設(shè)函數(shù)在解析，且不恒為零，a為其零點(diǎn)，則必有a的一個(gè)鄰域，使得在其中沒(méi)有a之外的零點(diǎn)。推論：設(shè)在解析，在內(nèi)有的一列零點(diǎn)收斂于a，則函數(shù)在

內(nèi)必恒為零定理：設(shè)函數(shù)和在區(qū)域D內(nèi)解析，且在D內(nèi)有一個(gè)收斂于a的點(diǎn)列，在其上和等值，則和在D內(nèi)相等推論：設(shè)函數(shù)和在區(qū)域D內(nèi)解析，且在D內(nèi)某一子域（或一小?。┥舷嗟?，則兩個(gè)函數(shù)在D內(nèi)相等推論：一切在實(shí)軸上成立的恒等式，在z平面上也成立，只要該恒等式的等號(hào)兩