第九章壓桿穩(wěn)定

第九章壓桿穩(wěn)定§9.1概述一、問(wèn)題的提出材料力學(xué)1中南大學(xué)土木工程學(xué)院材料力學(xué)2中南大學(xué)土木工程學(xué)院構(gòu)件的承載能力①?gòu)?qiáng)度②剛度③穩(wěn)定性工程中有些構(gòu)件具有足夠的強(qiáng)度、剛度，卻不一定能夠安全可靠地工作。材料力學(xué)3中南大學(xué)土木工程學(xué)院材料力學(xué)4中南大學(xué)土木工程學(xué)院2006年12月9日，北京市順義城區(qū)北側(cè)減河上一座懸索橋在進(jìn)行承重測(cè)試時(shí)突然坍塌,約50米橋體連同橋上進(jìn)行測(cè)試的10輛滿載煤渣的運(yùn)輸車一起塌下,1名司機(jī)和2名檢測(cè)人員受傷。

柱腳與地面連接強(qiáng)度不足，局部桿受力大，導(dǎo)致另一柱腳被拔起Ａ型柱的連接桿焊點(diǎn)突然失效，導(dǎo)致Ａ型柱失穩(wěn)破壞材料力學(xué)5中南大學(xué)土木工程學(xué)院壓桿穩(wěn)定性問(wèn)題尤為重要！材料力學(xué)6中南大學(xué)土木工程學(xué)院

穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡隨遇平衡判斷方法——微小擾動(dòng)法在平衡位置給物體一任意微小擾動(dòng)，擾動(dòng)消失后考察物體是否自動(dòng)恢復(fù)原平衡位置。二、三種平衡狀態(tài)及判斷方法材料力學(xué)7中南大學(xué)土木工程學(xué)院穩(wěn)定平衡F<klF=kl臨界狀態(tài)給剛性桿微小擾動(dòng)，考慮擾動(dòng)消失后桿的平衡。lBA剛性桿Fk直線平衡BAFFR微小偏轉(zhuǎn)平衡BAFFR繼續(xù)偏轉(zhuǎn)傾倒BAFFR不穩(wěn)定平衡F>kl材料力學(xué)8中南大學(xué)土木工程學(xué)院保持常態(tài)、穩(wěn)定失去常態(tài)、失穩(wěn)壓彎曲線平衡軸壓直線平衡恢復(fù)直線平衡失穩(wěn)曲線平衡F<Fcr微小擾動(dòng)F彈性桿F<Fcr擾動(dòng)消失Fcr微小擾動(dòng)壓彎曲線平衡Fcr擾動(dòng)消失材料力學(xué)9中南大學(xué)土木工程學(xué)院三、臨界狀態(tài)及失穩(wěn)失穩(wěn)(屈曲)——壓桿失去穩(wěn)定平衡狀態(tài)的現(xiàn)象。注意：臨界荷載是壓桿保持穩(wěn)定平衡時(shí)所能承受的最大荷載，或使壓桿失穩(wěn)時(shí)的最小荷載。中心受壓直桿臨界荷載Fcr——壓桿處于臨界狀態(tài)的軸向壓力。此時(shí)橫截面上的應(yīng)力稱為臨界應(yīng)力scr。失穩(wěn)表現(xiàn)為由直線形式的平衡過(guò)渡到曲線形式的平衡。臨界狀態(tài)——壓桿從穩(wěn)定平衡到不穩(wěn)定平衡之間的過(guò)渡狀態(tài)。材料力學(xué)10中南大學(xué)土木工程學(xué)院四、穩(wěn)定性問(wèn)題1、危害：臨界應(yīng)力往往低于材料的屈服極限；破壞往往突然發(fā)生，是不可恢復(fù)的。2、特點(diǎn)：每根壓桿的臨界荷載各不相同，穩(wěn)定性計(jì)算就是計(jì)算壓桿的臨界荷載。3、廣泛性：除壓桿外，凡有壓應(yīng)力的薄壁構(gòu)件均存在穩(wěn)定性問(wèn)題。殼體在均勻外壓下的失穩(wěn)板條梁在豎向力作用下的失穩(wěn)材料力學(xué)11中南大學(xué)土木工程學(xué)院材料力學(xué)12中南大學(xué)土木工程學(xué)院假設(shè)壓桿在某個(gè)壓力Fcr作用下在曲線狀態(tài)平衡，然后設(shè)法求撓曲函數(shù)。求得不為零的撓曲函數(shù)，說(shuō)明壓桿的確能夠在曲線狀態(tài)下平衡，即出現(xiàn)失穩(wěn)現(xiàn)象?！?.2細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界荷載一、兩端鉸支(球鉸)細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界荷載1、歐拉公式設(shè)：壓桿處于臨界狀態(tài)，在微彎形態(tài)下平衡；此時(shí)的壓力為臨界荷載，即

F

=FcrF=FcrxF=FcrylM

=Fcrwxw材料力學(xué)13中南大學(xué)土木工程學(xué)院令通解w

=Asinkx+Bcoskx邊界條件Ⅰ：x=0，w=0B=0邊界條件Ⅱ：x=l，w=0F=FcrxF=Fcrylxww=Asinkl=

0A≠0，sinkl=0

kl=np

n=1，2，…

保持微彎平衡形態(tài)的最小壓力為臨界荷載。歐拉公式材料力學(xué)14中南大學(xué)土木工程學(xué)院2、兩個(gè)結(jié)果臨界荷載（1）上述公式只適用于兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿；（2）I——各方向約束情況相同時(shí)應(yīng)取最小形心主慣性矩，桿件局部的削弱面積對(duì)I的計(jì)算無(wú)影響；（3）在確定的約束條件下，臨界荷載Fcr僅與材料E、長(zhǎng)度l和截面尺寸

I有關(guān)，材料的E越大，截面越粗，桿件越短，臨界荷載Fcr越高；（4）臨界荷載是壓桿自身的一種力學(xué)性質(zhì)指標(biāo)，反映承載能力的強(qiáng)弱，臨界荷載Fcr越高，穩(wěn)定性越好，承載能力越強(qiáng)；（5）臨界荷載Fcr與外部軸向壓力的大小無(wú)關(guān)。彎曲撓曲線（1）wmax

=A，數(shù)值不能確定，是由于采用了撓曲線近似微分方程，若采用精確微分方程，可以確定最大撓度值。（2）撓曲線是半個(gè)正弦波形。材料力學(xué)15中南大學(xué)土木工程學(xué)院§9.3不同桿端約束細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界荷載方法2：相當(dāng)長(zhǎng)度法在壓桿中找出長(zhǎng)度相當(dāng)于兩端鉸支的一段（即兩端曲率為零或彎矩為零），該段臨界荷載即為整個(gè)壓桿的臨界荷載。方法1：同鉸支歐拉公式由“微分方程+邊界條件”確定一、約束不同時(shí)細(xì)長(zhǎng)桿的歐拉公式材料力學(xué)16中南大學(xué)土木工程學(xué)院解：設(shè)鉸支端水平約束力為FR，則任意截面的彎矩為：由撓曲線的近似微分方程得：令：得：解得：xw由壓桿撓曲線的近似微分方程，推導(dǎo)如圖所示一端固定、一端鉸支壓桿的歐拉公式。xFcrylFR材料力學(xué)17中南大學(xué)土木工程學(xué)院由桿端的邊界條件：因?yàn)閾隙葁不恒為零，故A、B和FR/Fcr不能同時(shí)為零。所以上述線性方程組的系數(shù)行列式應(yīng)等于零，即xwxFcrylFR材料力學(xué)18中南大學(xué)土木工程學(xué)院展開(kāi)后得sinkl=klcoskl

即tankl=kl

用圖解法求解該超越方程：作直線y

=kl和曲線y

=tankl

由此可得該壓桿臨界荷載的歐拉公式為：其第一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)kl=4.49材料力學(xué)19中南大學(xué)土木工程學(xué)院1、兩端鉸支FcrFcrl兩端鉸支，端點(diǎn)彎矩為零，撓曲線為半個(gè)半個(gè)正弦波，其相當(dāng)長(zhǎng)度為本身長(zhǎng)度l。歐拉公式材料力學(xué)20中南大學(xué)土木工程學(xué)院2、一端固定、另一端自由相當(dāng)于長(zhǎng)度為2l的兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界荷載歐拉公式FcrlFcrl材料力學(xué)21中南大學(xué)土木工程學(xué)院3、一端固定、另一端鉸支相當(dāng)于長(zhǎng)度為0.7l的兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界荷載。Fcrl0.7l歐拉公式材料力學(xué)22中南大學(xué)土木工程學(xué)院4、兩端固定，可沿縱向移動(dòng)相當(dāng)于長(zhǎng)度為0.5l的兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界荷載。Fcrl2l4l4l歐拉公式材料力學(xué)23中南大學(xué)土木工程學(xué)院5、兩端固定，可沿橫向移動(dòng)Fcrl0.5l0.5l相當(dāng)于長(zhǎng)度為l的兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界荷載。歐拉公式材料力學(xué)24中南大學(xué)土木工程學(xué)院m

——長(zhǎng)度因數(shù)ml——相當(dāng)長(zhǎng)度長(zhǎng)度因數(shù)m與桿端約束有關(guān)，約束越強(qiáng)，m越小，臨界荷載越大。約束越弱，m越大，臨界荷載越小。兩端鉸支=1.0一端固定、另一端自由

=2.0一端固定、另一端鉸支

=0.7兩端固定，可沿縱向移動(dòng)

=0.5兩端固定，可沿橫向移動(dòng)

=1.0常見(jiàn)約束下的二、歐拉公式的一般形式材料力學(xué)25中南大學(xué)土木工程學(xué)院Fcrml=l鉸－鉸Fcrml=2ll固－自Fcrlml=0.7l固－鉸Fcrlml=0.5l固－固Fcrml=l固－固m=1m=2m=0.7m=0.5m=1材料力學(xué)26中南大學(xué)土木工程學(xué)院FFEIEIFEIEIFEIEIlaaaa桿端約束不同，其它完全相同的四根壓桿，比較其歐拉臨界荷載的大小。(a)(b)(c)(d)Fcr(b)>Fcr(a)>Fcr(c)>Fcr(d)材料力學(xué)27中南大學(xué)土木工程學(xué)院alABCEIEI=∞F圖示剛架，桿AB為剛性桿，桿BC為彈性梁，其抗彎剛度EI為常數(shù)。在剛性桿頂端受到荷載F作用，已知尺寸a和l，求該結(jié)構(gòu)的臨界荷載。解：結(jié)構(gòu)受到擾動(dòng)后處于圖示平衡狀態(tài)Fcrdqq由圖可知，彈性梁BC在B端承受的外力偶矩為彈性梁BC在B端外力偶矩MB的作用下近端的轉(zhuǎn)角為所以結(jié)構(gòu)的臨界荷載為因?yàn)椴牧狭W(xué)28中南大學(xué)土木工程學(xué)院解：圖(a)圖(b)分別求下列細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界荷載。已知l=0.5m，E=200GPa。(45456)等邊角鋼5010圖(a)Fl圖(b)Flyz材料力學(xué)29中南大學(xué)土木工程學(xué)院解：由平衡方程求得桿件壓力為兩桿分別達(dá)到臨界荷載時(shí)F可達(dá)最大值。圖示兩桿材料截面相同，均為細(xì)長(zhǎng)桿，若桿件在ABC面內(nèi)因失穩(wěn)而引起破壞，試求荷載F為最大值時(shí)的q角（設(shè)0<q<p/2）。ABCFlqb材料力學(xué)30中南大學(xué)土木工程學(xué)院lFcr1①lFcr2②兩根材料相同，長(zhǎng)度相等的細(xì)長(zhǎng)壓桿，桿①為正方形截面，桿②為圓截面。兩橫截面面積相等，求其臨界荷載的比值。解：桿①的形心主慣性矩為所以桿②的形心主慣性矩為所以材料力學(xué)31中南大學(xué)土木工程學(xué)院解：受壓力作用時(shí)，桁架周邊四根桿均受壓，結(jié)構(gòu)的臨界荷載即為壓桿失穩(wěn)時(shí)的荷載受拉力作用時(shí)，桁架中間一根桿受壓，結(jié)構(gòu)的臨界荷載即為壓桿失穩(wěn)時(shí)的荷載aaABCDF1F1細(xì)長(zhǎng)桿組成的正方形桁架，分別受一對(duì)壓力和一對(duì)拉力作用，只考慮壓桿穩(wěn)定的情況下，求兩結(jié)構(gòu)臨界荷載的比值。aaABCDF2F2材料力學(xué)32中南大學(xué)土木工程學(xué)院一、臨界應(yīng)力歐拉公式的一般形式臨界應(yīng)力引入慣性半徑§9.4歐拉公式的應(yīng)用范圍令稱為實(shí)際壓桿的柔度（長(zhǎng)細(xì)比）柔度l集中反映壓桿的長(zhǎng)度、約束條件、截面尺寸和形狀對(duì)臨界應(yīng)力的影響。材料力學(xué)33中南大學(xué)土木工程學(xué)院用臨界應(yīng)力表達(dá)的歐拉公式同一桿件，失穩(wěn)一定發(fā)生在l較大的縱向平面內(nèi)。xyz軸銷相同面積條件下，臨界應(yīng)力scr越小，越容易失穩(wěn)。對(duì)應(yīng)于桿在xy平面內(nèi)的(繞z)失穩(wěn)，桿端約束相當(dāng)于兩端鉸支。對(duì)應(yīng)于桿在xz平面內(nèi)(繞y)失穩(wěn)，桿端約束接近于兩端固定。臨界應(yīng)力值應(yīng)是上列兩種計(jì)算值中的較小者，即對(duì)應(yīng)較大的柔度計(jì)算的臨界應(yīng)力值。材料力學(xué)34中南大學(xué)土木工程學(xué)院因?yàn)閮蓷U面積相同于是Fcr(a)<Fcr(b)(a)桿先失穩(wěn)解：la>lb∴

scr(a)<scr(b)分析哪一根細(xì)長(zhǎng)壓桿先失穩(wěn)？dF5m9mFd(a)(b)材料力學(xué)35中南大學(xué)土木工程學(xué)院二、歐拉公式的適用范圍和經(jīng)驗(yàn)公式適用條件：材料服從胡克定律；小變形。因此，應(yīng)力超過(guò)材料的比例極限sp后，歐拉公式不再成立。歐拉公式的適用范圍是scr≤sp

。撓曲線近似微分方程EIw''=－M歐拉公式導(dǎo)出1、歐拉公式適用范圍材料固有柔度值，與實(shí)際壓桿柔度無(wú)關(guān)。材料力學(xué)36中南大學(xué)土木工程學(xué)院Q235鋼取E=206GPa，sp=200MPa。得lp=100大柔度桿(細(xì)長(zhǎng)桿)可用歐拉公式求臨界荷載或臨界應(yīng)力等價(jià)壓桿柔度實(shí)際壓桿柔度材料固有柔度值2、經(jīng)驗(yàn)公式壓桿柔度則scr>sp超過(guò)壓桿比例極限的穩(wěn)定問(wèn)題材料力學(xué)37中南大學(xué)土木工程學(xué)院超過(guò)材料比例極限的壓桿穩(wěn)定問(wèn)題可用經(jīng)驗(yàn)公式處理。直線公式scr=a－bl

a、b查表Q235鋼a=304MPab=1.12MPa中柔度桿(中長(zhǎng)桿)直線經(jīng)驗(yàn)公式須保證應(yīng)力不大于屈服極限sp<scr

ssa－bl

ss<ls小柔度桿(短粗桿)此時(shí)scr>ss不屬于壓桿的穩(wěn)定性問(wèn)題，按抗壓強(qiáng)度處理。

拋物線公式(中小柔度桿)scr=a1

–b1l2

a1

，b1

查表，具體請(qǐng)參閱有關(guān)規(guī)范。

材料力學(xué)38中南大學(xué)土木工程學(xué)院0590.19928.7松木0503.26392硬鋁0555.29980鉻鉬鋼601003.74577ss=353MPasb≥510MPa硅鋼601002.57460ss=306MPasb=470MPa優(yōu)質(zhì)碳鋼61.41001.12304ss=235MPasb=372MPaQ235鋼lslpb(MPa)a(MPa)材料一些常用材料的a、b、p、s材料力學(xué)39中南大學(xué)土木工程學(xué)院柔度：影響壓桿承載能力的綜合指標(biāo)，根據(jù)柔度的不同將壓桿分成三類。細(xì)長(zhǎng)桿(p)

——發(fā)生彈性失穩(wěn)；中長(zhǎng)桿(s<p)——發(fā)生彈塑性失穩(wěn)；短粗桿(<s)

——不發(fā)生失穩(wěn)，而發(fā)生屈服?！獙?shí)際壓桿柔度（長(zhǎng)細(xì)比）

三、臨界應(yīng)力總圖中長(zhǎng)桿細(xì)長(zhǎng)桿短粗桿臨界應(yīng)力總圖材料力學(xué)40中南大學(xué)土木工程學(xué)院強(qiáng)度條件相當(dāng)應(yīng)力不大于許用應(yīng)力極限應(yīng)力和安全因數(shù)只與材料有關(guān)，與實(shí)際應(yīng)力狀態(tài)無(wú)關(guān)，即強(qiáng)度許用應(yīng)力為常數(shù)。§9.5～§9.6壓桿的穩(wěn)定計(jì)算極限應(yīng)力塑性材料脆性材料穩(wěn)定條件工作應(yīng)力不大于穩(wěn)定許用應(yīng)力。極限應(yīng)力（臨界應(yīng)力）和穩(wěn)定安全因數(shù)不僅與材料有關(guān)，而且與實(shí)際壓桿的長(zhǎng)度、約束條件、橫截面尺寸和形狀有關(guān)，即與實(shí)際壓桿的柔度有關(guān)，所以穩(wěn)定許用應(yīng)力不是常數(shù)。材料力學(xué)41中南大學(xué)土木工程學(xué)院穩(wěn)定條件工作安全因數(shù)規(guī)定的穩(wěn)定安全因數(shù)工作安全因數(shù)不小于規(guī)定的穩(wěn)定安全因數(shù)。必須由柔度判斷壓桿屬何種性質(zhì)的桿，用何公式來(lái)計(jì)算臨界應(yīng)力或臨界荷載。注意一、安全因數(shù)法理想壓桿：材料均勻，軸線筆直，荷載無(wú)偏心。實(shí)際壓桿：材料缺陷，軸線初彎，荷載偏心。材料力學(xué)42中南大學(xué)土木工程學(xué)院scr、nst與壓桿柔度l有關(guān)，[sw]是的l函數(shù)。[sw]=j[s][s]

—強(qiáng)度許用應(yīng)力

j—穩(wěn)定（折減）因數(shù)

j1

與柔度l有關(guān)不必由柔度判斷壓桿屬何種性質(zhì)的桿，可簡(jiǎn)化計(jì)算。注意穩(wěn)定條件工作應(yīng)力不大于穩(wěn)定許用應(yīng)力二、穩(wěn)定（折減）因數(shù)法材料力學(xué)43中南大學(xué)土木工程學(xué)院解：查表得一根角鋼：兩根角鋼圖示組合之后Iy<Iz所以，用經(jīng)驗(yàn)公式求臨界壓力。穩(wěn)定安全因數(shù)一壓桿長(zhǎng)1.5m，由兩根5.6號(hào)（56568）等邊角鋼組成，兩端鉸支，壓力F=150kN，角鋼為Q235鋼，試用歐拉公式或經(jīng)驗(yàn)公式求臨界壓力和穩(wěn)定安全因數(shù)n。y1zy材料力學(xué)44中南大學(xué)土木工程學(xué)院ABQ235鋼制成的矩形截面桿，兩端約束以及所承受的荷載如圖示（Ⅰ為正視圖，Ⅱ?yàn)楦┮晥D），在AB兩處為銷釘連接。已知b=20mm，h=50mm，l=940mm，l1=880mm，F(xiàn)=70kN，[s]=200MPa，校核桿件的穩(wěn)定性。zbyhl1bFFⅡxzhlFFxyⅠxyz解:1、計(jì)算柔度x—y面內(nèi)，兩端鉸支繞z軸發(fā)生失穩(wěn)，計(jì)算簡(jiǎn)圖如下。BAlyxFzbyhm=1慣性半徑和柔度分別為材料力學(xué)45中南大學(xué)土木工程學(xué)院x—z面內(nèi)，兩端固定，繞y軸發(fā)生失穩(wěn)，m=0.5，計(jì)算簡(jiǎn)圖如下。l1FzxBAl1bFFⅡxzxyzzbyh慣性半徑和柔度分別為比較lz=65.1ly=76.3因?yàn)?/p>

lz<ly

所以x—z面內(nèi)先失穩(wěn)，即繞y軸失穩(wěn)。按較大的柔度ly來(lái)確定壓桿的穩(wěn)定因數(shù)j。材料力學(xué)46中南大學(xué)土木工程學(xué)院2、穩(wěn)定性校核滿足穩(wěn)定性條件！<j[s]=142MPa由線性插值法求ly=76.3時(shí)的穩(wěn)定因數(shù)j。材料力學(xué)47中南大學(xué)土木工程學(xué)院解：①最大柔度x—y面內(nèi)，兩端視為鉸支

z=1x—z面內(nèi)，一端固支，一端自由my=2圖示構(gòu)架起吊重物，BC為鋼拉索，AB桿為圓松木，長(zhǎng)l=6m，[]=11MPa，松木直徑d=0.3m，試求此松木桿的許用壓力。xyzOBAWFTC②求穩(wěn)定因數(shù)木桿③求許用壓力材料力學(xué)48中南大學(xué)土木工程學(xué)院解：對(duì)于單個(gè)10號(hào)槽鋼，形心在C1點(diǎn)。兩根槽鋼圖示組合之后，即最合理圖示立柱，l=6m，由兩根10號(hào)槽鋼組成，材料為Q235鋼，E=200GPa，sp=200MPa，下端固定，上端為球鉸支座，試問(wèn)a多大時(shí)，立柱的臨界壓力最大，值為多少？Flz1y1z0yC1azIy=Iz時(shí)，立柱的臨界壓力最大。求得a=4.32cm材料力學(xué)49中南大學(xué)土木工程學(xué)院求臨界荷載屬于大柔度桿，由歐拉公式求臨界荷載。Fl材料力學(xué)50中南大學(xué)土木工程學(xué)院

解：①桿圖示結(jié)構(gòu)，已知E=200GPa，l<122時(shí)，scr=240－0.0068l2MPa。求臨界荷載Fcr?Fcr61003001058①②②桿所以，F(xiàn)cr=4.32kN材料力學(xué)51中南大學(xué)土木工程學(xué)院組合圓截面壓桿約束如圖所示，①桿l1=900mm，d1=24mm，②桿l2=800mm，d2=28mm。材料為Q235，承受的軸向壓力F=30kN，求系統(tǒng)的臨界荷載和工作安全因數(shù)。F900①②800解：①桿屬于中長(zhǎng)桿，用經(jīng)驗(yàn)公式求臨界應(yīng)力。②桿①桿工作安全因數(shù)②桿工作安全因數(shù)組合系統(tǒng)Fcr=99.5kN，n=3.32材料力學(xué)52中南大學(xué)土木工程學(xué)院解：結(jié)構(gòu)對(duì)稱，①和②桿受力相等①桿的穩(wěn)定性

圖示結(jié)構(gòu)，已知F=90kN，E=200GPa，lp=99.3，ls=57，兩桿材料均為Q235，長(zhǎng)度相等l=0.8m，穩(wěn)定的經(jīng)驗(yàn)公式scr=304－1.12l(MPa)，nst=3。校核結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性。F①②3230300300②桿的穩(wěn)定性結(jié)構(gòu)滿足穩(wěn)定性要求！材料力學(xué)53中南大學(xué)土木工程學(xué)院圖示結(jié)構(gòu)中鋼梁AB和立柱CD分別由16號(hào)工字鋼和連成一體的兩根角鋼(63mm×63mm×5mm)組成，柱CD屬于b類截面中心受壓桿件。均布荷載集度q=48kN/m，梁及柱的材料均為Q235鋼，[s]=170MPa，E=210GPa。校核梁和柱的安全性。P331,9-162mABCq2m2mDz10解：靜不定結(jié)構(gòu)，求柱的軸力由變形協(xié)調(diào)方程得解得：(立柱CD的壓縮變形相對(duì)彎曲撓度小得多，可忽略不計(jì))梁AB的強(qiáng)度校核梁的危險(xiǎn)截面在C截面。材料力學(xué)54中南大學(xué)土木工程學(xué)院查表得16號(hào)工字鋼Wz=141×10-6m4梁內(nèi)的最大正應(yīng)力梁的強(qiáng)度足夠，是安全的。立柱CD的穩(wěn)定性校核由型鋼表查每個(gè)63mm×63mm×5mm等邊角鋼的幾何數(shù)據(jù)CyCzCA=6.143cm2，iyC=izC=1.94cm。yz兩根等邊角鋼的組合截面，顯然Iy>Iz，于是iy>iz對(duì)兩根等邊角鋼的組合截面而言，慣性半徑越小，其柔度越大，因此取iz=izC=1.94cm。材料力學(xué)55中南大學(xué)土木工程學(xué)院查Q235b類截面中心受壓直桿對(duì)應(yīng)l=103時(shí)的穩(wěn)定因數(shù)為j=0.542。立柱的工作應(yīng)力立柱CD的穩(wěn)定性不符合要求。2mABCq2m2mDz10材料力學(xué)56中南大學(xué)土木工程學(xué)院

解：（1）求①桿的受力F1=3F（2）確定j(l)

（3）確定結(jié)構(gòu)的許可荷載[F]

圖示結(jié)構(gòu)，①桿的直徑d=60mm，許用應(yīng)力[s]=160MPa。試根據(jù)①桿的穩(wěn)定條件確定結(jié)構(gòu)的許可荷載[F]。l60708090100)(lj0.440.340.260.200.16F①d1.5ma2a材料力學(xué)57中南大學(xué)土木工程學(xué)院解：①桿許可荷載正方形截面木制壓桿①、②桿的許用應(yīng)力[s]=10MPa，截面的邊長(zhǎng)a=100mm，求①、②桿同時(shí)達(dá)到穩(wěn)定許用應(yīng)力時(shí)，x與a的關(guān)系。Fx

3m①②2ma②桿許可荷載利用變形條件

解得：

x=0.719a

材料力學(xué)58中南大學(xué)土木工程學(xué)院解:(1)求BC桿的軸力以AB梁為分離體，對(duì)A點(diǎn)取矩，有：托架的撐桿為空心管，材料為Q235鋼，彈性模量E=206GPa。管外徑D=50mm，內(nèi)徑d=40mm，兩端球形鉸支，穩(wěn)定安全因數(shù)nst=3。根據(jù)該桿的穩(wěn)定性要求確定橫梁上均布荷載集度q的許可值。1m2m300ⅠⅠABCqⅠ-Ⅰ截面(2)求BC桿的臨界荷載BC為細(xì)長(zhǎng)桿，可用歐拉公式計(jì)算臨界力。材料力學(xué)59中南大學(xué)土木工程學(xué)院圖示結(jié)構(gòu)，①桿為鋼圓桿，直徑d1=50mm，強(qiáng)度許用應(yīng)力[s]=160MPa，彈性模量E=200GPa。②桿為鑄鐵圓桿，直徑d2=100mm，許用壓應(yīng)力[sc]=160MPa，E=180GPa。若橫梁視為剛性梁，試求許可荷載[F]。F①2mA2m2m2m2mBCD②解：設(shè)①和②桿的軸力分別為FN1和FN2。由平衡方程和變形協(xié)調(diào)方程有FN1FN2所以：由①桿的強(qiáng)度條件材料力學(xué)60中南大學(xué)土木工程學(xué)院考慮②桿的穩(wěn)定性條件鑄鐵對(duì)應(yīng)的j=0.26。取[F]=232kNF①2mA2m2m2m2mBCD②材料力學(xué)61中南大學(xué)土木工程學(xué)院lllABCDF圖示材料相同，彈性模量為E的梁AB和立柱BD，直徑均為d，且有l(wèi)=30d。對(duì)于BD有l(wèi)p=100，穩(wěn)定安全因數(shù)nst=3，求結(jié)構(gòu)的許可荷載[F]。解：設(shè)立柱的軸力為FN，由靜不定結(jié)構(gòu)的變形協(xié)調(diào)方程有即解得：立柱柔度屬于細(xì)長(zhǎng)桿由穩(wěn)定性條件有即取材料力學(xué)62中南大學(xué)土木工程學(xué)院立柱的工作應(yīng)力穩(wěn)定因數(shù)查表得柔度l=77.5慣性半徑慣性矩解得：a=19.1cm兩端鉸支的立柱由4根80mm×80mm×6mm的角鋼組成，屬于b類截面中心受壓桿件。柱長(zhǎng)l=6m，壓力為450kN，材料為Q235鋼，強(qiáng)度許用應(yīng)力[s]=170MPa。求立柱所需橫截面邊長(zhǎng)a的尺寸。P330，9-11解：由型鋼表查得單個(gè)角鋼的A0=9.397cm2，IzC=57.35cm4。材料力學(xué)63中南大學(xué)土木工程學(xué)院最大荷載為500kN的萬(wàn)能材料試驗(yàn)機(jī)，做拉伸試驗(yàn)時(shí)兩根立柱受壓，其失穩(wěn)形式為兩端固定可橫向移動(dòng)。立柱為Q235鋼，彈性模量E=210GPa，長(zhǎng)l=2.5m。規(guī)定的穩(wěn)定安全因數(shù)nst=4，按穩(wěn)定條件設(shè)計(jì)立柱的直徑d。FllFd解：設(shè)立柱為細(xì)長(zhǎng)桿，由穩(wěn)定性條件有其中由此解得取d=90mm屬于細(xì)長(zhǎng)桿，取直徑為90mm。材料力學(xué)64中南大學(xué)土木工程學(xué)院托架的撐桿兩端為球形鉸，材料為Q235鋼，彈性模量E=206GPa。撐桿為空心管，外徑D=50mm，穩(wěn)定安全因數(shù)nst=3，根據(jù)該桿的穩(wěn)定性要求選擇撐桿的內(nèi)徑d。0.5m1.5m300ⅠⅠABCⅠ-Ⅰ截面dDF解：設(shè)撐桿為細(xì)長(zhǎng)桿。由平衡方程求得撐桿的內(nèi)力為由穩(wěn)定性條件有即由方程解得取d=34mm，求撐桿柔度滿足細(xì)長(zhǎng)桿的條件！材料力學(xué)65中南大學(xué)土木工程學(xué)院解：截面設(shè)計(jì)通過(guò)穩(wěn)定因數(shù)法求解由式

可知立柱的橫截面應(yīng)滿足

上式穩(wěn)定因數(shù)j是與柔度l有關(guān)的，而柔度l必須在橫截面已知的情況下才能求出。因此，在A未知時(shí)，j也是未知的。于是，需要采用逐次漸