第七章應力和應變分析

§7-1應力狀態(tài)概述§7-2二向和三向應力狀態(tài)的實例§7-3二向應力狀態(tài)分析——解析法§7-4二向應力狀態(tài)分析——圖解法§7-5三向應力狀態(tài)§7-8廣義胡克定律§7-9復雜應力狀態(tài)的應變能密度§7-10強度理論概論§7-11四種常用強度理論第七章應力和應變分析§7-1應力狀態(tài)概述問題的提出:

為什么塑性材料拉伸時會出現滑移線？為什么脆性材料扭轉時沿45o螺旋面斷開？單向應力狀態(tài)純剪切應力狀態(tài)重要結論不僅橫截面上存在應力，斜截面上也存在應力；不僅要研究橫截面上的應力，而且也要研究斜截面上的應力。

過一點不同方向面上應力的集合，稱之為這一點的應力狀態(tài)。應力哪一個截面上？

哪一點？指明應力表示——單元體：①dx、dy、dz（微小的正六面體）②單元體某斜截面上的應力就代表了構件內對應點同方位截面上的應力。PABCDB、C——單向受力，τ＝0A——純剪切，σ＝0D——既有σ，又有τ主平面——單元體的三個相互垂直的面上都無切應力。主應力——主平面上的正應力（也是單元體內各截面上正應力的極值）。通過結構內一點總可找到三個相互垂直的截面皆為主平面。對應的有三個主應力，相應的用、、來表示，它們按代數值的大小順序排列，即§7-2二向和三向應力狀態(tài)的實例§7-3二向應力狀態(tài)分析——解析法平面應力狀態(tài)的普遍形式：在常見的受力構件中，在兩對平面上既有正應力σ又有切應力τ。可將該單元體用平面圖形來表示。xxy

yσ、τ正負號規(guī)定：σ——拉為正，壓為負；τ——以對微單元體內任意一點取矩為順時針者為正，反之為負；單元體各面上的已知應力分量、和、，確定任一斜截面上的未知應力分量，從而確定該點處的主應力和主平面。xxy

y規(guī)定：截面外法線同向為正；

a繞研究對象順時針轉為正；

逆時針為正。一、任意斜截面上的應力xyOxxy

ynyxyx設：斜截面面積為A，由分離體平衡得：xyOxxy

ynyxyx同理：tn二、極值應力xysxtxysyOmax在剪應力相對的項限內，且偏向于x及y大的一側。222xyyxminmaxtsstt+-±=?íì

）（例分析受扭構件的破壞規(guī)律。解：確定危險點并畫其原始單元體求極值應力xyCyxMCxyOxy

yx破壞分析低碳鋼鑄鐵例圖示應力狀態(tài)（單位：Mpa），求：（1）斜截面上的應力；（2）主應力的大小；（3）主平面方位，并在單元體上繪出主平面位置和主應力方向；（4）最大切應力。解：（1）易知，（2）主應力大?。?）主平面方位法線與x軸夾角為67.5o的主平面上對應的是2。（4）最大切應力§7-4二向應力狀態(tài)分析——圖解法對上述方程消去參數（2），得：xyOxxy

ynyxyxtn建立應力坐標系，如下圖所示，（注意選好比例尺）二、應力圓的畫法在坐標系內畫出點A(x，xy)和B(y，yx)

AB與a軸的交點C便是圓心。以C為圓心，以AC為半徑畫圓——應力圓；xxyyxyOnaO

aaCA(

x,

xy)B(

y,yx)x2anD(

a,

a)三、單元體與應力圓的對應關系面上的應力(，)應力圓上一點(，)面的法線應力圓的半徑兩面夾角兩半徑夾角2；且轉向一致。xxyyxyOnaO

aaCA(

x,

xy)B(

y,yx)x2anD(

a,

a)四、在應力圓上標出極值應力OC

aaA(x,

xy)B(

y,

yx)x2a12a0

1

2

3例已知

求此單元體在＝30°和

＝-40°兩斜截面上的應力。例：討論圓軸扭轉時的應力狀態(tài)，并分析鑄鐵件受扭轉時的破壞現象。解：1．取單元體ABCD，其中，，這是純剪切應力狀態(tài)。2．作應力圓主應力為，并可確定主平面的法線。3．分析純剪切應力狀態(tài)的兩個主應力絕對值相等，但一為拉應力，另一為壓應力。由于鑄鐵抗拉強度較低，圓截面鑄鐵構件扭轉時構件將沿傾角為45o的螺旋面因拉伸而發(fā)生斷裂破壞。例求圖示單元體的主應力及主平面的位置。(單位：MPa)3AB12解：主應力坐標系如圖AB的垂直平分線與a

軸的交點C便是圓心，以C為圓心，以AC為半徑畫圓——應力圓。0

1

2BAC20

(MPa)(MPa)O20MPa在坐標系內畫出點主應力及主平面如圖3AB120

1

2BAC20

(MPa)(MPa)O20MPa解法2—解析法：分析——建立坐標系如圖60°xyO主單元體：六個平面都是主平面若三個主應力已知，求任意斜截面上的應力:§7-5三向應力狀態(tài)這樣，單元體上與主應力之一平行的各個斜截面上的正應力和剪應力，可由三個應力圓圓周上各點的坐標來表示。至于與三個主方向都不平行的任意斜截面，彈性力學中已證明，其應力σn和τn可由圖中陰影面內某點的坐標來表示。在三向應力狀態(tài)情況下：τmax作用在與σ2平行且與σ1和σ3的方向成45°角的平面上，以τ1，3表示例：求圖示應力狀態(tài)的主應力和最大剪應力。（應力單位為MPa）。解：例求圖示應力狀態(tài)的主應力和最大剪應力（應力單位為MPa）。解：例試根據圖a所示單元體各面上的應力作出應力圓，并求出主應力和最大切應力的值及它們的作用面方位。(a)解:1.圖a所示單元體上正應力z=20MPa的作用面(z截面)上無切應力，因而該正應力為主應力。2.與主平面z截面垂直的各截面上的應力與主應力z無關，故可畫出顯示與z截面垂直各截面上應力隨截面方位角變化的應力圓。(a)從圓上得出兩個主應力46MPa和-26MPa。這樣就得到了包括z=20MPa在內的三個主應力。他們按代數值大小排序為

1＝46MPa，

2＝20MPa，

3＝-26MPa。(b)(a)3.依據三個主應力值作出的三個應力圓如圖b所示。2a0＝34?可知為a0＝17?且由x截面逆時針轉動，如圖c中所示。(c)(b)4.最大切應力max由應力圓上點B的縱座標知為

max＝36MPa，作用在由1作用面繞2逆時針45?的面上(圖c)。(c)(b)§7-8廣義胡克定律一、單拉下的應力--應變關系二、純剪的應力--應變關系xyzsxxyzxy三、復雜狀態(tài)下的應力---應變關系依疊加原理,得:

xyzszsytxysx當單元體三個平面皆為主平面時，

分別為x,y,z方向的主應變，與主應力的方向一致，，三主平面內的切應變等于零。對平面應力狀態(tài)

2.各向同性材料的體積應變體積應變：每單位體積的體積變化，用θ表示設單元體的三對平面均為主平面，其三個邊長分別為dx,dy,dz,變形前體積：變形后體積：則體積應變?yōu)椋?代入廣義胡克定律得：即：任一點處的體積應變與該點處的三個主應力之和成正比。同理，可得：例已知一受力構件自由表面上某點處的兩主應變值為ε1＝240×10-6，ε3＝－160×10-6。構件材料為Q235鋼，彈性模量E=210GPa，泊松比ν＝0.3。試求該點處的主應力數值，并求該點處另一主應變ε2的數值和方向。解：由題意可知，點處于平面應力狀態(tài)且由廣義胡克定律可得：是縮短的主應變。其方向沿構件表面的法線方向。例

邊長為0.1m的銅方塊，無間隙地放入變形可略去不計地剛性凹槽中。已知銅的彈性模量E=100GPa，泊松比ν＝0.34。當銅塊受到F=300kN的均布壓力作用時，試求銅塊的三個主應力的大小。解：銅塊橫截面上的壓應力為由題意：按主應力的代數值順序排列，得該銅塊的主應力為：例已知一受力構件自由表面上某一點處的兩個面內主應變分別為：1=24010-6，

2=–16010-6，彈性模量E=210GPa，泊松比為=0.3，試求該點處的主應力及另一主應變。所以，該點處的平面應力狀態(tài)me3342.-=§7-9復雜應力狀態(tài)的應變能密度dzdxdy1.空間應力狀態(tài)的應變能密度可得：將廣義胡克定律代入上式：2.體積改變能密度和畸變能密度應變能密度＝體積改變能密度（υV）+ 畸變能密度（υd）（a)（b)=+（c)體積改變能密度υV畸變能密度υd（a）和（b）狀態(tài)的主應力之和相等，故它們的體積應變相等，其也相等，所以只須把代入應變能密度公式即得：(b)狀態(tài)只有體積改變而無形狀改變，稱為體積改變能密度υV(c)狀態(tài)只有形狀改變而無體積改變，稱為畸變能密度υd例用能量法證明三個彈性常數間的關系。純剪單元體的比能為：純剪單元體比能的主應力表示為：txyA13§7-10強度理論概論強度條件的建立材料因強度不足而引起失效現象是不同的，它取決于：1.材料本身的性質，包括塑性材料和脆性材料：單向拉伸試驗塑性材料出現屈服，脆性材料突然斷裂危險點是復雜應力狀態(tài)時σ1、σ2、σ3之間有任意比值，不可能通過做所有情況的試驗來確定其極限應力值。危險點是簡單應力狀態(tài)及純剪切應力狀態(tài)時直接通過試驗結果建立：單向拉壓：純剪切：2.材料的受力狀態(tài)，包括簡單應力狀態(tài)，復雜應力狀態(tài)強度理論的基本思想：1)確認引起材料失效存在共同的力學原因，提出關于這一共同力學原因的假設；2)根據實驗室中標準試件在簡單受力情況下的破壞實驗（如拉伸）結果，建立起材料在復雜應力狀態(tài)下共同遵循的彈性失效準則和強度條件。3)實際上，當前工程上常用的經典強度理論都按脆性斷裂和塑性屈服兩類失效形式，分別提出共同力學原因的假設。脆性斷裂──最大拉應力理論、最大伸長線應變理論屈服失效──最大切應力理論、畸變能密度理論材料破壞一、最大拉應力（第一強度）理論：認為構件的斷裂是由最大拉應力引起的。當最大拉應力達到單向拉伸的強度極限時，構件就斷了。1、破壞判據：2、強度準則：3、實用范圍：實用于破壞形式為脆斷的構件。試驗證明，這一理論與鑄鐵、巖石、砼、陶瓷、玻璃等脆性材料的拉斷試驗結果相符，這些材料在軸向拉伸時的斷裂破壞發(fā)生于拉應力最大的橫截面上。脆性材料的扭轉破壞，也是沿拉應力最大的斜面發(fā)生斷裂，這些都與最大拉應力理論相符，但這個理論沒有考慮其它兩個主應力的影響。二、最大伸長線應變（第二強度）理論：認為構件的斷裂是由最大拉應力引起的。當最大伸長線應變達到單向拉伸試驗下的極限應變時，構件就斷了。1、破壞判據：2、強度準則：3、實用范圍：實用于破壞形式為脆斷的構件。三、最大剪應力（第三強度）理論：認為構件的屈服是由最大剪應力引起的。當最大剪應力達到單向拉伸試驗的極限剪應力時，構件就破壞了。1、破壞判據：3、實用范圍：實用于破壞形式為屈服的構件。2、強度準則：第三強度理論曾被許多塑性材料的試驗結果所證實，且稍偏于安全。這個理論所提供的計算式比較簡單，故它在工程設計中得到了廣泛的應用。該理論沒有考慮中間主應力σ2的影響，其帶來的最大誤差不超過15％，而在大多數情況下遠比此為小。4.畸變能密度理論（第四強度理論）基本假設：畸變能密度是引起材料塑性屈服的 主要因素復雜應力狀態(tài)下屈服準則：強度條件：單向拉伸屈服時，畸變能密度的極限值是：適用范圍：它既突出了最大主切應力對塑性屈服的作用，又適當考慮了其它兩個主切應力的影響，它與塑性較好材料的試驗結果比第三強度理論符合得更好。此準則也稱為米塞斯（Mises）屈服準則，由于機械、動力行業(yè)遇到的載荷往往較不穩(wěn)定，因而較多地采用偏于安全的第三強度理論；土建行業(yè)的載荷往往較為穩(wěn)定，安全系數的估計較準確，因而較多地采用第四強度理論。這個理論和許多塑性材料的試驗結果相符，用這個理論判斷碳素鋼的屈服失效是相當準確的。四個強度理論的強度條件可寫成統(tǒng)一形式：稱為相當應力塑性材料第三強度理論可進行偏保守（安全）設計。第四強度理論可用于更精確設計，要求對材料強度指標、載荷計算較有把握。脆性材料第二強度理論僅用于石料、混凝土等少數材料。第一強度理論用于脆性材料的拉伸、扭轉。

按某種強度理論進行強度校核時，要保證滿足如下兩個條件:1.所用強度理論與在這種應力狀態(tài)下發(fā)生的破壞形式相對應;2.用以確定許用應力[的,也必須是相應于該破壞形式的極限應力。塑性材料（如低碳鋼）在三向拉伸應力狀態(tài)下呈脆斷破壞，應選用第一強度理論。注意脆性材料（如大理石）在三向壓縮應力狀態(tài)下呈塑性屈服失效狀態(tài)，應選用第三、第四強度理論。例(a)一鋼質球體防入沸騰的熱油中,將引起爆裂，試分析原因。受力分析：鋼球入熱油中，其外部因驟熱而迅速膨脹，內芯受拉且處于三向受拉應力狀態(tài)，而發(fā)生脆斷破壞。

例（b）深海海底的石塊，盡管受到很大的靜水壓力,并不破壞，試分析原因。受力分析：石塊處于三向受壓狀態(tài)。第三強度理論：第四強度理論：塑性材料：純剪切應力狀態(tài)：根據強度理論,可以從材料在單軸拉伸時的推知低C鋼類塑性材料在純剪切應力狀態(tài)下的例對于圖示各單元體，試分別按第三強度理論及第四強度理論求相當應力。

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